三角函数的图像与性质（课件）-2024-2025学年高一上学期同步教学课件

三角函数 的图像与性质 人教版高中数学必修第一册第五章第四节 学校：四川省丹棱中学校       参赛教师  韩丙清 第一课时 了解周期函数与最小正周期的意义: 了解三角函数的周期性和奇偶性; 会利用周期性的定义和诱导公式求简单三角函数的周期: 借助图象直观理解正、余弦函数的性质: 学习目标 教学重难点 教学重点：通过正弦曲线、余弦曲线探究正弦函数、余弦函数的性质(周期性和奇偶性): 教学难点：求解简单三角函数的周期性，判断简单三角函数的奇偶性. 根据以往学习函数的流程，研究完定义之后，该研究什么呢？ 问题1 研究函数的步骤： 通过定义画出图象，观察图象得出性质. 1 画图象的步骤是什么？ 列表 描点 连线 2 要将整个定义域的图象都画出来吗？ 不需要将整个定义域的图象画出来. 3 应该换哪一个区域的图象呢？你是如何知道的？ 只需要画出[0, 2π]的图象，是通过终边相同角得到的. 在单位圆中任取一点P(x,y), 在正弦函数图象上找到的横坐标是P点的横坐标吗？ 问题2 正弦函数图象的横坐标是什么呢？ 正弦函数图象的横坐标是以x轴非负半轴为始边，过点P的终边所对应的角的弧度，纵坐标是对应的正弦值T(x0, sinx0). 在[0, 2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义确定正弦函数值sinx0，并画出T(x0, sinx0). 怎样绘制y=sin x, x∈ [0,2π]的图象呢？ 问题3 在画图之前，需要找点，找哪些点呢？找几个点呢？ 取特殊角，例如, , , , …, 2π列表、描点、连线; 方案1 在[0,2π]内取等分点，将其分成12份，列表、描点、连线. 方案2 通过正弦函数在[0,2π]的图象，你能做出它在定义域内的图象吗？你是依据什么得到的这个图象呢？请动手画一画. 问题4 将y=sinx在[0,2π]的图象向左(右)平移2kπ个单位长度就可以得到整个函数图象， 根据诱导公式一函数y=sinx ， x∈[2kπ,(2k+1)π] , k∈Z 且k≠0的图象与 y=sin x, x∈[0,2π]图象形状完全一致，因此将函数y=sin x, x∈[0,2π]图象不断向左向右平移(每次平移2π个单位长度)就可以得到正弦函数y=sinx, x∈R的图象. 在确定正弦函数图象形状时应抓住哪些关键点？ 问题5 (0,0), (, 1) , (π, 0), (, -1), (2π, 0) 1 为什么这些点是关键点？ 因为这五个点分别为最大值点、最小值点和三个零点，其中最大值点和最小值点的横坐标是单调区间的分界. 2 怎样做出 y = sin x, x ∈[0,2π]的简图？ 在确定图象形状时起关键作用，描出这五个点，函数y =sin x, x ∈[0,2π]的图象形状就基本确定了，因此，只要找到这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就可以得到函数的简图，称为“五点(画图)法”. x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 现在我们知道了正弦函数的图象，你能画出余弦函数的图象吗？ 问题6 1 正弦函数与余弦函数有什么关系？ 2 可以用我们前面学习的什么知识得到？ 利用诱导公式sin(x+ )=cosx将正弦函数图象向左平移个单位长度就可以得到余弦函数图象. 类比以往对函数性质的研究，同学们认为我们应该研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 问题1 依据终边相同角我们可以知道三角函数是“周而复始”的，那与此对应的性质是什么呢？ 类比以往对函数性质的研究，同学们认为我们应该研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 问题1 定义域 值域 单调性 奇偶性 对称性 周期性(特有的性质) 定义域 R 值域 [-1,1] 结合三角函数定义和诱导公式sin(x +2kπ) = sinx, k ∈Z可以得到，自变量x的值每增加2π的整数倍时所对应的函数值，与x对应的函数值相等. 在数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律. 一般地设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+ T∈D，且 f(x +T) = f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 我们观察正弦函数的变化规律，再依据终边相同角，你能猜出正弦函数的周期是多少吗？ 问题2 例如，-2π,2π,4π等等都是正弦函数的周期.即∀x∈Z且k≠0常数2kπ都是它的周期. 函数的周期不止一个 如果在周期函数f(x)所在的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期. 没有特殊说明的情况下求的都是最小正周期. 正弦函数的最小正周期是多少？ 在之前的学习中，我们知道sin 0 = 0, sin π = 0，由此我们可以得到sin (π +0) =sin 0，我们可以说正弦函数的周期是π吗？ 为什么不可以说正弦函数的周期是π？ 周期函数要满足什么性质？ 1 2 3 4 根据以上探究，我们可以得到： 正弦函数是周期函数，2kπ(x ∈ Z且k ≠ 0)都是它的周期，最小正周期是2π. 类似地，余弦函数也是周期函数，2kπ(x ∈ Z且k ≠0)都是它的周期.最小正周期是2π. 周期函数必须满足“每一个值”. 周期是多值的，不止一个. 有些周期函数无最小正周期.例如f(x)=2. 观察这些函数和余弦函数的图象，你还能发现函数的其它性质吗？ 问题3 单调性 奇偶性 对称性 你可以分别判断一下正弦函数和余弦函数的奇偶性吗？ 偶函数 奇函数 你能证明一下你的判断吗？ 依据诱导公式，用定义法证明. 证明: f(x) = sinx与f(x)=cosx的定义域均为R f(-x)= sin(-x)=- sinx=- f(x) 所以f(x) = sinx是奇函数 f(-x)= cos(-x) = cosx= f(x) 所以f(x)= cosx是偶函数 课堂总结 课堂总结 正弦函数、余弦函数图象的初步认识反思感悟　解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 用“五点法”作三角函数的图象. 1 2 例题讲解 例 2.求下列函数的周期: (1)y = 3 sin x, x ∈ R (2)y = cos 2x, x ∈R (3)y =2 sin(x- ), x∈R 若h(x) = sin (ωx + φ)，你可以求出它的最小正周期吗？ 解: h(x) = sin (ωx + φ) h(x) = sin(ωx + φ +2π) h(x)= sin[ω(x+)+φ] 即h(x) =h(x+) 所以T= 作业布置 200页1.2题 完成教科书练习题 203页2.3题 作业设计 1.下列函数是偶函数的是（ ） A. y=sinx B. y=2sinx C. y=1+sinx D. y=|sinx| 2.函数y=1+sinx, x∈[0, 2π]的图像与直线y=2的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.函数y=1-sinx的定义域是 ( ) A. [-1,1] B. [0,+∞) C. (-∞,0) D. (-∞,+∞) 4.函数y=2cosx-3的值域是 ( ) A. [-1,1] B. [-5,+∞) C. [-5,-1] D. (-∞,+∞) 5.若cosa=2m-1.则m的取值范围为 ( ) A. [0,1] B. [-1,1] C. [-1,0] D. [-1,2] 同学们再见！ $$