精品解析：新疆生产建设兵团第二师八一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

八一中学2023—2024学年第一学期高一年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 预测难度系数：0.6 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. 函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数(　　) A. y＝x B. y＝|x|＋1 C. y＝－x2＋1 D. y＝－ 6. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足对任意，,都有成立，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列各组函数中是同一函数是（ ） A. 与 B. 与 C 与 D. 10. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 11. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 12. 设，，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最大值为 D. 有最小值为 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 函数的定义域是__________. 14. 已知幂函数的图象经过点，则______． 15. 已知是第三象限角，且，则______． 16. 已知函数，若，则__________． 四、解答题（共6小题，共70分） 17. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 18. 若函数且的解集为集合. （1）求实数的值; （2）若函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围. 19. 已知，且. （1）求，； （2）求的值. 20. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 21. 给定函数. （1）在同一直角坐标系中画出函数图像； （2） 表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值. 22. 已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之和为20，记． （1）求a的值，并证明：； （2）求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八一中学2023—2024学年第一学期高一年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 预测难度系数：0.6 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两集合的交集定义即得. 【详解】由题意，，则. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定判断即可 【详解】由特称命题的否定为全称命题可得，命题“，”的否定是“，” 故选：B 【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题 3. 函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】根据且恒成立可解决此题． 【详解】由函数（且） 令，即， 可得， 所以函数的图象恒过定点． 故选：A． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将化简，分子分母同时除以，将代入即可求出答案. 【详解】由题意得． 故选：C. 5. 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数(　　) A. y＝x B. y＝|x|＋1 C. y＝－x2＋1 D. y＝－ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性,单调性的定义，依次判断即可. 【详解】A:y＝x是奇函数，故不符合题意；B: y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；C: y＝－x2＋1是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不合题意，D:y＝－是奇函数，不合题意． 故答案为B. 【点睛】这个题目考查了函数奇偶性和单调性的判断，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和 的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性. 6. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数定义得、、三者之间关系，另有弧长公式，两式相除即可. 【详解】 设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得 故选：. 【点睛】本题主要考查扇形弧长公式. 7. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算，，，得到答案. 【详解】，，， 故. 故选：D 8. 已知函数满足对任意，,都有成立，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若对任意，都有＜0成立，则函数是单调减函数，故可列不等式求解的取值范围． 【详解】若对任意，都有＜0成立， 则函数是单调减函数； 故， 解得：. 故选：D. 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列各组函数中是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】直接利用定义域、对应关系、值域判断函数是否是同一函数即可. 【详解】对于A，定义域为， 定义域为，A错； 对于B，定义域为， 定义域为，B错； 对于C，和定义域都是， ，C正确； 选项D，两函数定义域、对应关系、值域相同，正确. 故选：CD 10. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出角的正弦，余弦，正切值，可判断A,B项正误；再运用诱导公式即可判断C,D项正误. 【详解】角的终边经过点，， 则，， ， ，， 故A，B正确，C，D错误. 故选：AB 11. “”的一个必要不充分条件是（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据必要不充分条件定义逐个分析可得答案. 【详解】对于A，因为可以推出，但是不能推出，所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，因为可以推出，但是不能推出，例如：，故是的必要不充分条件，故B正确； 对于C，因为不能推出，例如： ，也不能推出，例如：，故是的既不充分也不必要条件，故C不正确； 对于D，因为可以推出，不能推出，例如：，故是的必要不充分条件. 故选：ABD 12. 设，，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最大值为 D. 有最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式直接判断与的最值情况. 【详解】，，， 当且仅当即时，等号成立，A选项正确，B选项错误； 又，时，，即， 所以，当且仅当时，等号成立，C选项错误，D选项正确； 故选：AD. 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数以及分式的性质即可列不等式求解. 【详解】的定义域需要满足，解得且， 故答案为： 14. 已知幂函数的图象经过点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】将点坐标代入计算得到，计算得到答案. 【详解】的图象过点，，则，，. 故答案为：. 15. 已知是第三象限角，且，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】先解方程得，然后利用诱导公式化简，再弦化切可得. 【详解】由得， 解得或， 又是第三象限角，所以， 故． 故答案为：2 16. 已知函数，若，则__________． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意,函数f(x)=|lnx|，∵f(m)=f(n)，∴|lnm|=|lnn| ∵m>n>0，∴−lnm=lnn，即lnm+lnn=0，可得nm=1， 则 . 四、解答题（共6小题，共70分） 17. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）； （2）3. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则计算即得. （2）利用对数运算性质计算即得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 18. 若函数且的解集为集合. （1）求实数的值; （2）若函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的特点可得和2是方程的两根，由韦达定理列式运算得解； （2）由题意只要m小于函数的最小值，求出函数的最小值得解. 【小问1详解】 由三个二次的关系知：和2是方程的两根， . 【小问2详解】 由函数的图象始终在函数的图象上方， 得m小于函数的最小值. 又， 故. 19. 已知，且. （1）求，； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据的范围结合平方和为求解出，根据商数关系求解出； （2）先用诱导公式化简原式，然后根据齐次式计算求解出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 原式. 20. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解出集合A、B，再求并集即可； （2）利用集合基本关系分类讨论求参数即可. 【小问1详解】 由题意，； 【小问2详解】 ①，解得， ②，无解， 综上， 21. 给定函数. （1）在同一直角坐标系中画出函数的图像； （2） 表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值. 【答案】（1）图象见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据函数解析直接画图象即可； （2）先求出两函数图象的交点坐标，再根据图象可求出的解析式和其最小值. 【小问1详解】 对于，过作一条直线即可得到的图象， 对于是对称轴为，开口向上的抛物线，过作平滑曲线可得的图象，图象如图所示， 【小问2详解】 由，得或，结合图象，可得的解析式为 ， 结合图象可知，当时，. 22. 已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之和为20，记． （1）求a的值，并证明：； （2）求的值． 【答案】（1）；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据的单调性，结合已知条件可得，从而得到；分别写出、的解析式，从而得证； （2）利用（2）中结论求值即可. 【小问1详解】 因为为单调函数， 所以上的最大值与最小值之和为，解得或， 又且，所以； 所以，则， 故，得证. 【小问2详解】 因为， 设， 则， 所以，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$