专题12.7 全等三角形单元提升卷-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（人教版）

第12章 全等三角形单元提升卷 【人教版】 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·黑龙江黑河·期末）下列说法不正确的是（　 　） A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同; B．图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关; C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形; D．全等三角形的对应边相等，对应角相等. 【答案】C 【分析】直接利用全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”与性质“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可得． 【详解】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，选项说法正确，不符合题意； B、图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关，选项说法正确，不符合题意； C、全等图形的面积相等，但面积相等的两个图形不一定是全等图形；选项说法错误，符合题意； D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，选项说法正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义与性质，解题的关键是掌握全等三角形的定义与性质． 2．（3分）（23-24八年级·上海·专题练习）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的知识．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 【详解】解：图中的两个三角形全等 与，与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角 故选：D． 3．（2011·北京·一模）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知O是的中点，再加上对顶角相等即可证明，利用证明全等．本题考查了三角形全等的判定方法，认真观察图形，选择合适的方法是解此题的关键． 【详解】解：∵将两根钢条的中点O连在一起， ∴， 在和中， ， ∴ ， 故选：B． 4．（3分）（23-24八年级·山东烟台·期中）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝5，AC＝1 B．AB＝5，BC＝4，∠A＝40° C．∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝5 D．∠C＝90°，AB＝8 【答案】C 【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得 【详解】A、因为AB+ AC= BC，所以这三边不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、根据AB=5，BC=4，∠A=40°不能画出唯一三角形，如图所示△ABD和△ABC，故本选项不符合题意； C、根据∠A=60°，∠B=50°，AB=5，符合全等三角形的判定定理ASA，即能画出唯一三角形，故本选项正确； D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个唯一的三角形，故本选项不符合题意； 故选：C 根据题意得， 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 5．（3分）（23-24八年级·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，证明，，根据题意列方程，解方程即可． 【详解】解：如图，作于， 是的角平分线，，， ， 在和中， ， ， 同理，， 设的面积为，由题意得， ， 解得， 即的面积为11， 故选：A 6．（3分）（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）有两个三角锥，，其中甲、乙、丙、丁分别表示，，，．若，，则下列叙述何者正确（    ）    A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等 C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等 【答案】B 【分析】根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答． 【详解】解：，，为公共边， ，即甲、乙全等； 中，，即， 虽，， 不全等于，即丙、丁不全等． 综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．找着，即是正确解决本题的关键． 7．（3分）（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】过C作轴于M，轴于N，推出证，推出，求出，代入求出即可． 【详解】解：过C作轴于M，轴于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故选:A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出． 8．（3分）（23-24八年级·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键． ，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：，．理由如下： 在与中，， ， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中， ， ∴． 在与中，， ∴． 故选：D 9．（3分）（23-24八年级·重庆开州·期中）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．110° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题． 【详解】解：如图延长C′D交AB′于H．    ∵△AEB≌△AEB′， ∴∠ABE＝∠AB′E， ∵C′H∥EB′， ∴∠AHC′＝∠AB′E， ∴∠ABE＝∠AHC′， ∵△ADC≌△ADC′， ∴∠C′＝∠ACD， ∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD， ∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC， ∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°， ∴∠C′AH＝120°， ∴∠C′＋∠AHC′＝60°， ∴∠BFC＝60°＋40°＝100°， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 10．（3分）（23-24八年级·山东济南·期中）如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ∴， ，①正确； ∴， 由三角形的外角性质得：， ，②正确； 作于，于，如图2所示：    则， 在和中， ， ， ， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的①②④； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．属于选择题中的压轴题． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，，，，，，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，证明得出，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（3分）（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为3，且的周长为20，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．过O作于M，于N，连接，利用角平分线的性质求得，然后利用求解即可． 【详解】解：过O作于M，于N，连接， ∵点O到边的距离为3， ∴， ∵的周长为20， ∴ ∵，的平分线交于点O，，， ∴， ∴ ， 故答案为：30． 13．（3分）（23-24八年级·浙江·阶段练习）如图，已知在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，，．请你添加一个条件 ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、(在直角三角形中)．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 点在同一条直线上，且，即在和中，已经有两边对应相等，根据判定两个三角形全等的方法：，所以可添加条件为． 【详解】解：． 以下证明添加条件为时，． ， ， ， ， 在和中， ∴． 故答案为：． 14．（3分）（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．    【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据全等三角形的判定画出图形，即可判断． 【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．      由图可得，所有格点三角形的个数是4， 故答案为：4． 15．（3分）（23-24八年级·四川成都·期中）如图，在中，，D是的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动，它们运动的时间为，设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查全等三角形的对应边相等的性质，根据对应角分情况讨论是本题的关键． 用表示出相关线段，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与 是对应边两种情况讨论即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ， 设点、的运动时间为，则，， ①当时， ， 解得：， 则， 故点的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 故点的运动速度为； 故答案为：2或． 16．（3分）（23-24八年级·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据，结合角的和差关系即可得答案． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（6分）（23-24八年级·广东湛江·期中）如图，两棵大树、之间相距（即），小华从点B沿走向点D，行走一段时间后，他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和C，且两条视线的夹角，且．已知大树的高为，小华行走的速度为， (1)求证：； (2)求小华从点B走到点E的时间． 【答案】(1)见解析 (2)8s 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）先证明，再根据证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，再求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∵， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴小华走的时间是． 19．（8分）（23-24八年级·河南郑州·期中）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务． 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题 问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？ 项目图纸 解决过程 ①标记测试直杆的底端点，测量的长度．②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到；④记下直杆与地面的夹角； 项目数据 … 任务： (1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是 ； A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．②→④→③→① (2)若，则 ； (3)请你说明他们作法的正确性． 【答案】(1)D (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实践操作题——利用全等三角形原理测长度，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的方法． （1）根据“使直杆斜靠在墙上，顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角，而后使直杆顶端缓慢下滑，直到，标记直杆的底端点，测量的长度”的顺序，从新排列“解决过程”，即得； （2）根据判定和全等，得到，进一步解答即可； （3）根据判定的合理性说明他们作法的正确性． 【详解】（1）正确的顺序应是： ②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合； ④记下直杆与地面的夹角； ③使直杆顶端缓慢下滑，直到； ①标记测试直杆的底端点，测量的长度． 故答案为：； （2）在和中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）证明：由（2）知，在和中， ， ， ． 即测量的长度，就等于的长度，即点的高度． 20．（8分）（23-24八年级·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系． 此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示： ，， ，， ， （2）解：在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）解：、、的数量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（2）可知：，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 21．（8分）（23-24八年级·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点E．若，，求的度数．    解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容） ∵（已知）， 　　（　　）， ∴（　　）， ． ∵平分（已知）， ∴（　　）， ． ∴（　　）， ． ∵（已知）， ∴（　　）． 在直角三角形中， ∵（　　）， ∴． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和等于180°、角平分线的定义和垂直的定义，关键是可以根据题意灵活变化，最终求出所要求的问题的答案． 由，，根据三角形内角和等于，可得的度数，因为平分，从而可得的度数，进而求得的度数，由可得的度数，从而求得的度数． 【详解】解：（已知）， （三角形内角和等于180°）， （等式的性质）， ． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， ， （已知）， （垂直的定义）， 在直角三角形中， （直角三角形的两锐角互余）， ． 22．（8分）（23-24八年级·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 (2)C (3)见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可． （2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）判断，即可． 【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2） 解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线， , 在与中， , ， , 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴, 又 ∴ ， ，， ∵， ∴, , 即， 又∵， ∴ ， ∴， ∴． 23．（8分）（23-24八年级·陕西宝鸡·期中）【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作的垂线段，分别交于点，证明即可解答； （2）过点作的垂线段，交的延长线于点，可得，证明，可得，即可解答； （3）过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，同（2）中原理可得平分，可得即可解答。 【详解】（1）证明：如图，过点作的垂线段，分别交于点， ，是的角平分线， ， 点在的角平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）； （2），理由如下： 如图，过点作的垂线段，交的延长线于点， 是的角平分线，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点， 根据（2）中原理可得， 是的平分线， ， ， 平分，，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 全等三角形单元提升卷 【人教版】 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·黑龙江黑河·期末）下列说法不正确的是（　 　） A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同; B．图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关; C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形; D．全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2．（3分）（23-24八年级·上海·专题练习）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（2011·北京·一模）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）（23-24八年级·山东烟台·期中）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝5，AC＝1 B．AB＝5，BC＝4，∠A＝40° C．∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝5 D．∠C＝90°，AB＝8 5．（3分）（23-24八年级·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 6．（3分）（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）有两个三角锥，，其中甲、乙、丙、丁分别表示，，，．若，，则下列叙述何者正确（    ）    A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等 C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等 7．（3分）（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．（3分）（23-24八年级·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 9．（3分）（23-24八年级·重庆开州·期中）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．110° C．100° D．120° 10．（3分）（23-24八年级·山东济南·期中）如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，，，，，，则 ． 12．（3分）（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为3，且的周长为20，则的面积为 ． 13．（3分）（23-24八年级·浙江·阶段练习）如图，已知在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，，．请你添加一个条件 ，使得． 14．（3分）（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．    15．（3分）（23-24八年级·四川成都·期中）如图，在中，，D是的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动，它们运动的时间为，设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ． 16．（3分）（23-24八年级·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 18．（6分）（23-24八年级·广东湛江·期中）如图，两棵大树、之间相距（即），小华从点B沿走向点D，行走一段时间后，他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和C，且两条视线的夹角，且．已知大树的高为，小华行走的速度为， (1)求证：； (2)求小华从点B走到点E的时间． 19．（8分）（23-24八年级·河南郑州·期中）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务． 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题 问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？ 项目图纸 解决过程 ①标记测试直杆的底端点，测量的长度．②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到；④记下直杆与地面的夹角； 项目数据 … 任务： (1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是 ； A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．②→④→③→① (2)若，则 ； (3)请你说明他们作法的正确性． 20．（8分）（23-24八年级·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 21．（8分）（23-24八年级·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点E．若，，求的度数．    解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容） ∵（已知）， 　　（　　）， ∴（　　）， ． ∵平分（已知）， ∴（　　）， ． ∴（　　）， ． ∵（已知）， ∴（　　）． 在直角三角形中， ∵（　　）， ∴． 22．（8分）（23-24八年级·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 23．（8分）（23-24八年级·陕西宝鸡·期中）【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$