精品解析：江苏省泰州市2023-2024学年八年级下学期期末数学模拟试题

江苏省泰州市2023-2024学年下学期八年级期末模拟练习数学试卷 测试内容：八下全部+九上第1章 测试时间：120分 总分：150分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 某学校数学社团为了解本校学生每天完成家庭作业所花时间，根据以下四个步骤完成调查：①收集数据，②分析数据；③得出结论，提出建议，④制作并发放调查问卷．这四个步骤的先后顺序为( ) A ①②③④ B. ④①②③ C. ①③②④ D. ④①③② 3. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知：三点，反比例函数的图像经过，三点中的两个点，则（ ） A. 12 B. 24 C. 20 D. 5. 如果一个分式分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（　　）（填序号即可）． ①；②；③；④． A ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 如图，在中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，中点．给出下列结论：①；②四边形是平行四边形；③．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. “买了一张电影票，座位号是奇数号”，这个事件是_______ （填“随机事件”、“不可能事件”或“必然事件”）． 8. 函数的自变量的取值范围是______． 9. 已知反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小，则实数k的值可以是___．（只需写出一个符合条件的实数） 10. 若分式的值为零，则的值是____________． 11. 已知菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根，则此菱形的面积是______． 12. 已知a、b是两个连续整数，且a＜＜b，那么＝_____． 13. 赵爽的“弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图为“弦图”的一部分，正方形的边长为13，点、是正方形内的两点，且，，则的长为______________． 14. 从甲地到乙地有两条公路，一条是全长的普通公路，一条是全长的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为，那么x满足的分式方程是_______． 15. 已知反比例函数 的图象上有一组点 ，，，，它们的横坐标依次增加，且点的横坐标为．“①，②，③，”分别表示如图所示的三角形的面积，记 ，，，则________________（用含 的式子表示）． 16. 如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，以为折痕将翻折，点的对应点为点，连接，交于点，点为线段上一点，连接，，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18 计算： （1）； （2）． 19. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 （1）上表中的a=________，b=________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）； （3）如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 20. 如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种： A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料． 根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图． （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限1瓶，价格如下表），则该班同学用于饮品上的人均花费是多少元？ 饮品名称 自带白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格（元/瓶） 0 2 3 4 （3）若我市约有初中生4万人，估计我市初中生每天用于饮品上的花费是多少元？ 21. 某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多． （1）每件衬衫原来的进价是多少元？ （2）根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？ 22. 下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形是平行四边形．求证：，． 方法一： 证明：如图，连接． 方法二： 证明：如图，延长至点E． 方法三：证明：如图，连接、，与交于点O． 你选择方法______． 证明： 23. 如图，在中，点E为中点，延长交于点F， 联结． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形是矩形． 24. 阅读下面文字： 我们知道：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上小明的表示法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：由“平方与开平方互为逆运算”可知：＜＜，即，∴的整数部分是2，小数部分是． （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分是a，整数部分是b，求的值； （3）已知，其中x是整数，且，求． 25. 如图①所示，是某公园的平面示意图，、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题： （1）若，，，公园的面积为 　　； （2）在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积； （3）若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值． 26. 在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： （1）设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 n 0 表中m＝______，n＝______； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，当______时，y的最大值为______． （3）①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长． ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省泰州市2023-2024学年下学期八年级期末模拟练习数学试卷 测试内容：八下全部+九上第1章 测试时间：120分 总分：150分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项A不符合题意； B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解答此题的关键． 2. 某学校数学社团为了解本校学生每天完成家庭作业所花时间，根据以下四个步骤完成调查：①收集数据，②分析数据；③得出结论，提出建议，④制作并发放调查问卷．这四个步骤的先后顺序为( ) A. ①②③④ B. ④①②③ C. ①③②④ D. ④①③② 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计调查的步骤进行排序即可得到答案． 【详解】解：调查首先需要制作并发放调查问卷，再收集数据，分析数据，最后得出结论，提出建议， ∴先后顺序应为：④①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查统计调查的一般步骤，解题的关键是熟知统计调查的一般步骤为：明确调查问题；确定调查对象；选择调查方法和形式；展开调查；统计、整理调查结果；分析结果，得出结论． 3. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，再把代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4. 已知：三点，反比例函数的图像经过，三点中的两个点，则（ ） A 12 B. 24 C. 20 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的积等于是解题的关键． 根据反比例函数的系数即可得到结论． 【详解】解：，，三点，反比例函数的图象经过，，三点中的两个点，， 反比例函数的图象经过，两点，． 故选：B． 5. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（　　）（填序号即可）． ①；②；③；④． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查约分和最简分式．根据题意中“和谐分式”的的定义判断即可． 【详解】解：①，原式的分子与分母都不能因式分解，故①不是“和谐分式”； ②，故②为“和谐分式”； ③，故③不是“和谐分式”； ④，故④不是“和谐分式”； 故选：B． 6. 如图，在中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点．给出下列结论：①；②四边形是平行四边形；③．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，，，即可得，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②，由平行四边形的性质可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，，，， ∵ ∴，且点E是中点 ∴， ∴①正确 ∵E、F分别是、中点 ∴， ∵G是中点， ∴，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴②正确， ∵四边形是平行四边形， ∴，，且 ∴ ∴③正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线及等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. “买了一张电影票，座位号是奇数号”，这个事件是_______ （填“随机事件”、“不可能事件”或“必然事件”）． 【答案】随机事件 【解析】 【分析】根据事件类型分类进行判断即可． 【详解】解：“买了一张电影票，座位号是奇数号”，这个事件是随机事件． 故答案为：随机事件． 【点睛】本题主要考查了事件的分类，一般事件分为确定事件和随机事件，确定事件包括必然事件和不可能事件． 8. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】##x<0.5 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解． 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．注意当单独的二次根式在分母时，被开方数应大于0． 9. 已知反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小，则实数k的值可以是___．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】1（答案不唯一，只要即可） 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得，即可求解. 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小， ∴， ∴k的值可以是1（答案不唯一，只要即可）； 故答案为：1（答案不唯一，只要即可）. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟知时，反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小是解题关键. 10. 若分式的值为零，则的值是____________． 【答案】1 【解析】 【分析】当分式的分母不为0，分子为0时，分式的值为0，由此进一步对原式的分子分母加以分析即可. 【详解】∵分式的值为零， ∴且， 即：且或， ∴的值是1， 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了分式值为0的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 11. 已知菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根，则此菱形的面积是______． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，以及菱形的性质．根据根与系数的关系得到，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出结果．掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴菱形的面积是， 故答案为：27． 12. 已知a、b是两个连续整数，且a＜＜b，那么＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据估算其连续整数的范围，进而确定a、b的值，相减即可． 【详解】解：∵＜， ∴＜＜， ∴a＝，b＝， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟知无理数估算的方法是解决本题的关键． 13. 赵爽的“弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图为“弦图”的一部分，正方形的边长为13，点、是正方形内的两点，且，，则的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】延长BM交CN于E，延长DN交AM于点F，由赵爽弦图可知：四边形MENF是正方形，进而易得，利用全等三角形的性质可求，再利用勾股定理可求解． 【详解】解：延长BM交CN于E，延长DN交AM于点F， 由题意知：四边形MENF是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 在和中 ， ∴， 同理可得：． ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，理解赵爽弦图是解题的关键． 14. 从甲地到乙地有两条公路，一条是全长的普通公路，一条是全长的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为，那么x满足的分式方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程；客车由高速公路从甲地到乙地需小时，则走普通公路需小时，结合两条路的全长可得到各自的速度；接下来，根据“某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快”可得到方程． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 15. 已知反比例函数 的图象上有一组点 ，，，，它们的横坐标依次增加，且点的横坐标为．“①，②，③，”分别表示如图所示的三角形的面积，记 ，，，则________________（用含 的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，图形类的规律探索，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 16. 如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，以为折痕将翻折，点的对应点为点，连接，交于点，点为线段上一点，连接，，则的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】作点关于的对称点，取的中点，连接，，，，想办法求出，，求出的最小值，再根据，可得结论． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，取的中点，连接，，，，． 四边形是矩形， ， ，， ， ，关于对称， ∴， ， ， ， ， ， 的最小值为， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，解题的关键是求出的最小值，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，分式方程的求解，熟练掌握相关运算方法和运算法则是解题关键． （1）利用因式分解的方法求解一元二次方程即可； （2）根据去分母，分括号，移项合并同类项，系数化为1，检验的过程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 解得． 检验：将代入 ∴原方程的解为． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先化简为最简二次根式，再加减计算即可； （2）先化简再结合乘法公式计算即可． 【详解】（1）原式== （2）原式 = =4-12-5+ = 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，及运用乘法公式简便计算，熟练掌握计算法则和公式是解题关键． 19. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 （1）上表中的a=________，b=________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）； （3）如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】（1）0.59，116 （2）0.6 （3）除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 【解析】 【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【小问1详解】 解：a=59÷100=0.59，b=200×0.58=116． 故答案为：0.59，116； 【小问2详解】 解：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6； 【小问3详解】 解：18÷0.6-18=12（个）． 答：除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 20. 如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种： A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料． 根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图． （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限1瓶，价格如下表），则该班同学用于饮品上的人均花费是多少元？ 饮品名称 自带白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格（元/瓶） 0 2 3 4 （3）若我市约有初中生4万人，估计我市初中生每天用于饮品上的花费是多少元？ 【答案】（1）50人，画图见解析 （2）2.6元 （3）104000元 【解析】 【分析】对于（1），根据购买瓶装矿泉水的人数和所占百分比求出总数，再用总数分别减去三类的人数，可求出C类的人数，最后补充统计图即可； 对于（2），根据总钱数÷总人数可得人均花费； 对于（3），根据（2）中样本的人均花费估算4万人的花费即可． 【小问1详解】 ∵抽查的总人数为：20÷40%＝50人， ∴C类人数＝50﹣20﹣5﹣15＝10人， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 该班同学用于饮品上的人均花费＝（5×0＋20×2＋3×10＋4×15）÷50＝2.6元； 【小问3详解】 我市初中生每天用于饮品上的花费＝40000×2.6＝104000元． 【点睛】本题主要考查了应用统计图解决问题，掌握样本估计总体的思想是解题的关键． 21. 某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多． （1）每件衬衫原来进价是多少元？ （2）根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）50； （2）80． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程． （1）设原来衬衫每件进价为x元，则后一批衬衫每件进价为元，利用数量总价单价，结合两批衬衫购进的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出； （2）设定价为a元，根据后一批衬衫每天的销售利润为3000元，即可得出关于a的一元二次方程的解法，一元二次方程，解之取符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设原来衬衫每件进价为x元，则后一批衬衫每件进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原来衬衫每件进价为50元． 【小问2详解】 解：设定价为a元，根据题意得 ． 整理得， 解得， 为了尽可能让利给顾客， ， 答：定价为80元的时候可以每天的利润达到3000元同时让利于顾客． 22. 下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形是平行四边形．求证：，． 方法一： 证明：如图，连接． 方法二： 证明：如图，延长至点E． 方法三：证明：如图，连接、，与交于点O． 你选择方法______． 证明： 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：证明：选择方法一： 如图，连接， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， 在与中， ， ， ， 即平行四边形的对角相等． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行． 23. 如图，在中，点E为中点，延长交于点F， 联结． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证，得，即可得出结论； （2）先证四边形是平行四边形，得，再证，得，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 24. 阅读下面文字： 我们知道：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上小明的表示法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：由“平方与开平方互为逆运算”可知：＜＜，即，∴的整数部分是2，小数部分是． （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分是a，整数部分是b，求的值； （3）已知，其中x是整数，且，求． 【答案】（1）3，；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先估算出的范围，再求出即可； （2）先估算出和的范围，再求出a、b的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出10+的范围，再求出x、y的值，最后代入求出即可． 【详解】解：（1）∵＜＜， ∴3＜＜4， ∴的整数部分是3，小数部分是-3， 故答案为：3，-3； （2）∵＜＜，＜＜， ∴2＜＜3，6＜＜7， ∴a=-2，b=6， ∴； （3）∵1＜＜2， ∴11＜＜12， ∴x=11，y=， ∴． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． 25. 如图①所示，是某公园的平面示意图，、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题： （1）若，，，公园的面积为 　　； （2）在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积； （3）若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值． 【答案】（1） （2） （3）万元 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质求得、，作辅助线，从而求得，则可求得答案； （2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可； （3）由题意可知为定值，从而将沿MN向下平移2km至，连接交于点，此时点N位于处，此时即为取最小值，过M作于点G，先判定四边形和四边形均为平行四边形，再得出是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，则最短的绿道长度可得，从而费用的最小值可求得． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，，， ，， 在中，过点作于点，如图： ，，， ， ， ， ； 公园的面积为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：连接、，如图： 在中，， ， ， ，，， ， ， ． 种植郁金香区域面积为． 【小问3详解】 解：将沿向下平移至，连接交于点，此时点位于处， 此时即为取最小值，过作于点，如图： ，， 为的中位线， ， 四边形和四边形均为平行四边形， ， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 中， 由勾股定理得：， ， 、、和的最小值为：， 投入资金的最小值为：万元． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理及等边三角形的判定与性质等知识点在最值问题中的综合运用，本题难度略大． 26. 在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： （1）设点P横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 n 0 表中m＝______，n＝______； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，当______时，y的最大值为______． （3）①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长． ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2）①，；②见解析；③3，4 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得根据的长等于纵坐标之差求解即可； （2）①根据表格数据分别将代入即可求得的值；②根据表格数据描点即可；③根据函数图象直接求解即可 （3）由题意可知，，代入得：，即，根据的结论求得最大值，进而求得对角线的长度； ②先求出点，点坐标，设点，可求, 由四边形面积列式，即可求解. 【小问1详解】 点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得 ； 故答案为： 【小问2详解】 ①当，当时， 故答案为：，； ②如图所示， ③观察函数图象， 当时，有最大值为，故答案为: ； 【小问3详解】 ①根据题意可得代入 中，可以得到， 即 ， 由可知函数在时,取得最大值为， ∴当时,,即取得最大值， ， ∴在取得最大值时，矩形的对角线长为 ②∵直线与坐标轴分别交于点, ∴点, 点， 设点， ∴,点， ， ∵四边形面积 由得,当时,有最大值为，即有最小值， ∴四边形面积的最小值为. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$