第4章相似三角形测试卷 2024-2025学年 浙教版数学九年级上册

第4章测试卷 相似三角形 班级 学号 得分 姓名 一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1. 已知 下列变形错误的是( ) B. 2a=3b D. 3a=2b 2.矩形的一组邻边长分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是( ) 3.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm.则投影三角板的对应边长为( ) A. 20cm B. 10cm C. 8cm D. 3.2cm 4. 如图,▱ABCD中,F为BC边的中点,延长AD至点E,使DE:AD=1:3,连结EF交DC于点G,则S△DEG:S△CFG等于( ) A. 2:3 B. 3:2 C. 9:4 D. 4:9 5. 如图所示,已知直线a∥b∥c,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF等于( ) A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 6. 如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC 的面积为a,则△ABD的面积为( ) A. 2a B C. 3a 7. 如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置.已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9.若 则A'D等于( ) A. 2 B. 3 C. 4 D 8. 如图,在△ABC中,以 BC为直径的圆分别交边AC,AB于D,E 两点,连结BD,DE.若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是( ) A. BD⊥AC C. △ADE是等腰三角形 D. BC=2AD 9. 如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE 与AC 相交于点 F,连结 BF,下列结论:①S△ABF=S△ADF;②S△CDF=4S△CEF;③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF.其中正确的是( ) A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 10. 如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,弦AD 平分∠BAC,交 BC 于点E,AB=6,AD=5,则AE的长为( ) A. 2.5 B. 2.8 C. 3 D. 3.2 二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分) 11. 如图,在△ABC中,MN∥BC,分别交AB,AC于点M,N.若AM=1,MB=2,BC=3,则MN的长为 . 12. 如图,在▱ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF 与AB 相交于点 E,与AC 相交于点 F,3AE=2EB,连结DF.若S△AEF=1,则 S△ADF= . 13. 如图,AD∥BC,∠D=90°,AD=2,BC=5,DC=8.若在边 DC上有一点 P,使△PAD与△PBC相似,则PD的长是 . 14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在 BA 的延长线上取一点E，连结OE交AD 于点F,若CD=5,BC=8,AE=2,则AF= . 15.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门.出东门十五步有木.问出南门几何而见木?” 大意是：如图，四边形 DEFG 是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门 H 位于GD 的中点，南门K位于ED 的中点，出东门15步的A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A 处的树木(即点 D 在直线AC 上)?计算KC的长为 步. 16.如图是一张矩形纸片,点 E 在AB 边上,把△BCE 沿直线CE 对折,使点 B 落在对角线AC上的点F 处,连结DF.若点 E,F,D在同一条直线上,AE=2,则 DF= ,BE= . 三、解答题(本大题有8小题，共66分) 17.(6分)在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1). (1)画出△ABC关于x 轴成轴对称的△A₁B₁C₁; (2)画出△ABC以点O为位似中心,位似比为1:2的△A₂B₂C₂. 18.(6 分)如图,已知 E 是AD 上的一点,△ABE∽△ADB,若 ∠AEB=110°,∠A=40°. (1)求∠ABD与∠D的度数; (2)写出△ABE与△ADB的对应边成比例的比例式，并求出相似比. 19.(6分)如图,已知△ABC和△DEC的面积相等,点 E 在BC 边上, 交AC 于点F, 则 DF的长是多少? 20.(8分)如图,在△ABC中,DE∥BC,DE=2,且S四边形DBCE=3S△ADE,求 BC的长. 21.(8分)如图,△ABC的两个顶点B,C在圆上,顶点 A 在圆外,AB,AC 分别交圆于E,D 两点,连结 EC,BD. (1)求证:△ABD∽△ACE; (2)若△BEC与△BDC的面积相等,试判断△ABC的形状. 22.(10分)如图,在△ABC和△A'B'C'中,D,D'分别是AB,A'B'上一点, (1)当 时,求证:△ABC∽△A'B'C'. 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格. (2)当 时，判断 与 是否相似，并说明理由. 23.(10分)如图,在正方形ABCD中,点E在BC边上,连结AE,∠DAE的平分线AG 与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F.设 (1)若 求线段 CF的长. (2)连结 EG,若 EG⊥AF, ①求证：点G为CD边的中点. ②求λ的值. 24.(12分)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线. (1)如图①,在 中， AD 是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD 上的点.求证：四边形 ABEF是邻余四边形； (2)如图②,在 的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使 AB 是邻余线,E,F 在格点上; (3)如图③,在(1)的条件下,取EF 中点M,连结DM并延长交AB 于点Q,延长EF交 AC 于点 N.若 N为AC 的中点， ，求邻余线 AB的长. 第4章测试卷 相似三角形 1. B 2. D 3. A 4. D 5. B 6. C 7. B8. D 9. C 10. B 解析:连结BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠C=∠D=90°.∵弦 AD 平分∠BAC,∴∠CAD=∠DAB.∴△ACE∽△ADB,∴AC: AE=AD:AB=5:6.设AC=5k,AE=6k,则DE=5-6k.在 Rt △ACE 中, 在Rt△ABD中,. ∠AEC=∠BED,∴△AEC∽△BED,∴EE=號. 解得 11. 1 12. 13 或4 14 解析:DH=100,DK=100,AH=15,∵AH∥DK,∴∠CDK=∠A,而∠CKD=∠AHD,∴ 即 解析:设BE=x,则AB=AE+BE=2+x.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=2+x,AB∥CD,∴∠DCE=∠BEC.由折叠得∠BEC=∠DEC,EF=BE=x,∴∠DCE=∠DEC.∴DE=CD=2+x.∵点D,F,E在同一条直线上,∴DF=DE-EF=2+x-x=2.∵AB∥CD,∴△DCF 解得 经检验， -1都是分式方程的根. 即 17. 解：(1)由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1),则△ABC关于x轴成轴对称的 的坐标为. 连结 得到 如图所示 为所求. (2)由题意可知，位似中心是原点，则分两种情况：第一种， 和△ABC 在同一侧,则 A₂(2,6), B₂ (8, 2), C₂(2,2), 顺 次 连 结 各 点,得 第二种， 在△ABC的对侧，则 顺次连结各点，得 综上所述,如图所示的△A₂B₂C₂ 和△A'₂B'₂C'₂ 为所求. 18. 解:(1)∵△ABE∽△ADB,∴∠ABD=∠AEB= 19. 解:∵AB∥DE,∴△CEF∽△CBA,∵EF=9,AB=12,∴EF: AB=9: 12=3 : 4,∴△CEF和△CBA的面积比为9:16,设△CEF的面积为9k,则.S△CDE=S△ABC=16k,∴S△CDF=7k,∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴面积比等于底之比,∴DF:EF=7k:9k,∴DF=7. 20. BC=4. 21. (1)证明:∵同弧所对的圆周角相等,∴∠EBD=∠ECD,又∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACE. (2)解:△ABC是等腰三角形,理由:‘∵S△BEC = 又由(1)知△ABD∽△ACE,∴对应边之比等于1,∴AB=AC,即△ABC为等腰三角形. 22. 解: .理由：如图，过点 D，D'分别作DE∥BC,D'E'∥B'C',DE交AC于点E,D'E'交A'C'于点E'. ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴AB=DE= 同理 又： 同理 即 又∵ ∠C'E'D'.∵DE∥BC,∴∠CED+∠ACB=180°. 同理 ∠A'C'B'.又' 23. (1)解:∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,AB=BC=2,∴∠DAG=∠F.∵AG平分∠DAE,∴∠DAG=∠EAG,∴∠EAG=∠F,∴EA=EF.∵λ=1,∴BE=EC=1.在Rt△ABE中,由勾股定理得 (2)①证明:∵EA=EF,EG⊥AF,∴AG=GF.又∵∠AGD=∠FGC,∠DAG=∠F,所以△DAG≌△CFG,∴DG=CG,∴点G 为CD 边的中点.②解:不妨设CD=2,则CG=1.由①知CF=AD=2.∵EG⊥AF,∴∠EGF=90°.∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BCD=90°,∴∠BCD=∠FCG,∠EGC+∠CGF=90°,∠EGC+∠GEC=90°,∴∠CGF= 24. (1)证明:∵AB=AC,AD 是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°,∴∠FAB与∠EBA互余,∴四边形 ABEF是邻余四边形. (2)解：如图所示(答案不唯一)，四边形ABEF 为所求. (3)解:∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴BD=CD,∵DE=2BE,∴BD=CD=3BE,∴CE=CD+DE=5BE,∵∠EDF=90°,点M 是 EF 的中点,∴DM = ME,∴∠MDE =∠MED,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△DBQ∽ AN=CN,∴AC=2CN=10,∴AB=AC=10. 学科网（北京）股份有限公司 $$