1.1.2菱形的判定课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1.1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第2课时 菱形的判定 学习目标 1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判 定定理．（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点） 一组邻边相等 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 平行四边形 菱形的性质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 复习引入 问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 对称性： 既是中心对称图形 也是轴对称图形 根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法： AB=AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形. 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. A B C D 菱形的判定 1.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（　　） A．AB＝AC B．AD＝BD C．BE平分∠ABC D．BE⊥AC 练一练 C 巧用“角平分线+平行线→等腰三角形”基本图形 2.如图，将▲ABC沿着BC方向平移得到▲DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可） AB=BE（答案不唯一） 思考 还有其他的判定方法吗？ 四条边都相等的四边形是菱形 AB=BC=CD=AD 几何语言描述： ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形 ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD 四边形ABCD A B C D 菱形的判定定理 1： 1．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是(　 　) A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四条边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 B C 2.如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（       ） A．△AOB是等边三角形 B．PE=PF C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形 D 思考 还有其他的判定方法吗？ A B C O D 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 证一证 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 AC⊥BD 几何语言描述： ∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理 2： 证明：在△AOB中. ∵AB= , OA=2,OB=1. ∴AB2=AO2+OB2. ∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, AB= ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形. A B C O D 典例精析 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OA=OC,OB=OD,添加一个条件使四边形ABCD是菱形,那么所添加的条件可以是  (写出一个即可). AC⊥BD AB=AD 2.已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 则下列条件不能判定 ABCD为菱形的是( ) A.AB=AD B.AC⊥BD C.∠BAD=∠CDA D.CA平分∠BCD C 对应训练 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证：四边形EFGH是菱形. 2. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. 又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB, OC,OD的中点， ∴OE= OA,OG= OC,OF= OB,OH= OD, ∴OE=OG,OF=OH. ∴四边形EFGH是平行四边形 ∵AC⊥BD,即EG⊥HF, ∴四边形EFGH是菱形。 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理2：四边相等的四边形是菱形. 菱形的判定 定义 定理 课堂小结 1.判断下列说法是否正确 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ 当堂检测 2.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形． 证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴四边形ACFD是菱形． 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便． 归纳 证明：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC， ∠AOD=∠EOC=90°. ∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE，OD=OE， ∵OD=OE，OA=OC， ∴四边形ADCE是平行四边形 又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形． 3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形. B C A D O E M N （1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE， ∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB=AF， ∴四边形ABEF为菱形； 4.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长． （2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长． 解：∵四边形ABEF为菱形， ∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO， 在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4， ∴AE=2AO=8． 四条边都相等 菱形 一组邻边相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对边分别平行或相等 四边形 平行四边形 归纳总结 $$