第03讲 探索三角形全等的条件（4个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第03讲 探索三角形全等的条件（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点2．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点3．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点4．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型强化 题型一．全等三角形的判定 1．（2023秋•靖江市期末）如图，在与中，，用“”定理说明，则需再添加一个条件为 　　．（写出一个即可） 2．（2023秋•广陵区校级月考）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•云龙区校级月考）如图（1），，，垂足分别为、，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其它条件不变，当点、运动到何处时有与全等，求出相应的的值． 题型二．直角三角形全等的判定 4．（2021秋•东海县期中）如图，，，，则能直接判断的理由是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•天宁区校级月考）如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则　　． 6．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，．求证：． 题型三．全等三角形的判定与性质 7．（2022秋•建邺区校级月考）如图，，为的中点，若，，则是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 　　． 9．（2021秋•秦淮区校级月考）（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 题型四．全等三角形的应用 10．（2023秋•盐都区月考）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是 　　． 11．（2021春•泰兴市期末）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是　　 A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 12．（2023秋•海州区校级期中）麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点，，，在直线上（点，之间不能直接测量，为池塘的长度），点，在的异侧，且，，测得． （1）求证：； （2）若，，求池塘的长． 分层练习 一、单选题 1．（21-22八年级上·江苏淮安·期中）如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是（    ） A． B．2 C． D．3 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在四边形A中，如果，，那么下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，，垂足分别为D、E，且，则与全等的直接理由是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，为测量桃李湖两端的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．那么判定的理由是（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线，下面的画法（   ） （1）利用刻度尺在的两边上，分别取；（2）连接，利用刻度尺画出的中点E；（3）画射线，所以射线为的角平分线． A．利用了 B．利用了 C．利用了 D．利用了 7．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）不能判断两个三个角形全等的条件是（     ） A．有三条边对应相等 B．有两边及夹角对应相等 C．有三个角对应相等 D．有两个角及夹边对应相等 8．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 9．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，交于点M，交于点N．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 10．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；④若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝2ab．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，中，，，为的中点，则中线的取值范围为 ． 12．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，要证，只需再补充一个条件： （写一个即可）． 13．（21-22八年级上·江苏扬州·期中）如图，点D在上，．若，则 ． 14．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）在学习了《探索三角形全等的条件》后，小龙编了这样一个题目：“如图，已知，，，求证：．”老师说他的已知条件给多了，你帮他去掉一个已知条件： ．（写出一个即可） 15．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，，要使得，若以“”为依据，需添加条件 ． 16．（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 ． 17．（19-20八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 时，能够使与全等． 18．（19-20八年级上·江苏苏州·期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，∠ABD＝2∠BAC＝45°，若AD＝12，则△ABD的面积为 ．    三、解答题 19．（19-20八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，D为CB上一点，过点D作DE⊥AB于点E． (1)若CD=DE，判断∠CAD与∠BAD的数量关系； (2)若AE=EB，CB=10，AC=5,求△ACD的周长． 20．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，是线段上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程． 你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 21．（八年级上·江苏南京·期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D在边BC上，且点D到边AB和边AC的距离相等． （1）用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注出点D）； （2）求点D到边AB的距离． 22．（22-23八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知，点D是的平分线上一点，点E、F分别在AB、BC上，且．试判断与的关系，并说明理由．    23．（八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，已知∠AOB及点C、D两点，请利用直尺和圆规作一点P，使得点P到射线OA、OB的距离相等，且P点到点C、D的距离也相等． （2）如图②，利用方格纸画出△ABC关于直线1的对称图形△A′B′C′（不写作图或画图方法，保留痕迹，并用黑色签字笔加粗加黑） 24．八年级上·江苏徐州·期末）如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分线与AB的垂直平分线DG交于点D，DE⊥CA的延长线于点E，DF⊥CB于点F． (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)求证：AE＝BF； (3)求DG的长． 25．（八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，在中，平分 ． （1）用直尺和圆规作的平分线，交于点． （2）求证：点在的平分线上． 26．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，点A、B分别在射线OM、ON上，点C在内部. (1)若， ①如图1，若，求证：. ②如图2，若，求证：OC平分. (2)如图3，点A、B分别在射线OM、ON上运动，点C随之运动，且，P为OM上定点，当点C运动到何处时，PC的长度最短？请用尺规作图作出PC最短时C点的位置（保留作图痕迹，不要写作法） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 探索三角形全等的条件（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点2．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点3．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点4．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型强化 题型一．全等三角形的判定 1．（2023秋•靖江市期末）如图，在与中，，用“”定理说明，则需再添加一个条件为 　（答案不唯一）　．（写出一个即可） 【分析】根据直角三角形全等的判定定理求解即可． 【解答】解：添加的条件可以为，理由如下： 由题意可知： 在与中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】此题考查了直角三角形全等的判定，熟记直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 2．（2023秋•广陵区校级月考）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】要判定，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加、、后可分别根据、、能判定，而添加后则不能． 【解答】解：、添加，根据，能判定，故选项不符合题意； 、添加，根据，能判定，故选项不符合题意； 、添加，根据，能判定，故选项不符合题意； 、添加时，不能判定，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 3．（2022秋•云龙区校级月考）如图（1），，，垂足分别为、，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其它条件不变，当点、运动到何处时有与全等，求出相应的的值． 【分析】（1）利用，，可根据“”证明；则，然后证明，从而得到； （2）讨论：若，则，，即，；②若，则，，即，，然后分别求出即可． 【解答】解：（1），． 理由如下：，， ， ， ， ， 在和中 ， ； ， ， ， ， ； （2）①若， 则，，可得：， 解得：，； ②若， 则，，可得：， 解得：，． 综上所述，当与全等时的值为2或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 题型二．直角三角形全等的判定 4．（2021秋•东海县期中）如图，，，，则能直接判断的理由是　　 A． B． C． D． 【分析】由“”可证和． 【解答】解：，， ， 在和中， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形的判定方法是本题的关键． 5．（2023秋•天宁区校级月考）如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则　7　． 【分析】用证明，得，，所以． 【解答】解：在中，， ， ， ． 故填7． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 6．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，．求证：． 【分析】先利用定理证明和全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到，因为，所以，根据平角定义可得． 【解答】证明：如图，在和中， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 题型三．全等三角形的判定与性质 7．（2022秋•建邺区校级月考）如图，，为的中点，若，，则是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行的性质求得内错角相等，根据得出，从而得出，已知，的长，即可得出的长． 【解答】解：， ， 是的中点， ， 在与中， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 8．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 　2.4　． 【分析】延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【解答】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2.4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．（2021秋•秦淮区校级月考）（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论． 【解答】（1）证明： ，， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ，且， ， 在和中 ， ，， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． 题型四．全等三角形的应用 10．（2023秋•盐都区月考）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是 　　． 【分析】根据，判断可出． 【解答】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， 在和中， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，属较简单题目． 11．（2021春•泰兴市期末）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是　　 A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【解答】解：、带①②去，符合判定，选项符合题意； 、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 12．（2023秋•海州区校级期中）麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点，，，在直线上（点，之间不能直接测量，为池塘的长度），点，在的异侧，且，，测得． （1）求证：； （2）若，，求池塘的长． 【分析】（1）先由平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． 【解答】（1）证明：， ， 在与中， ； （2）解：， ， ， ，， ． 答：的长是． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．（21-22八年级上·江苏淮安·期中）如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等． 根据平行线的性质，得出，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，即可求线段的长． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：B． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在四边形A中，如果，，那么下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形内角和定理，通过证明和，再逐项分析即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】在和中， ∵， ∴， ∴，A选项正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴，C选项正确，不符合题意； ∴， ∴，B选项正确，不符合题意； 故选：D． 4．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，，垂足分别为D、E，且，则与全等的直接理由是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的条件可得和是直角三角形，再根据条件，可根据定理判定． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形全等证明，掌握相关知识是解题的关键． 5．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，为测量桃李湖两端的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．那么判定的理由是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等是解题的关键． 根据题意可得，，结合公共边，即可证明． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：A． 6．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线，下面的画法（   ） （1）利用刻度尺在的两边上，分别取；（2）连接，利用刻度尺画出的中点E；（3）画射线，所以射线为的角平分线． A．利用了 B．利用了 C．利用了 D．利用了 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．结合已知条件，利用“”可证，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， 即射线为的角平分线， 故选：A． 7．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）不能判断两个三个角形全等的条件是（     ） A．有三条边对应相等 B．有两边及夹角对应相等 C．有三个角对应相等 D．有两个角及夹边对应相等 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法有、、、是解题的关键． 【详解】解：A.判定方法为，能判断三角形全等，不符合题意； B.判定方法为，能判断三角形全等，不符合题意； C.如边长为和的两个等边三角形，三个角对应相等，但不全等，所以不能判断三角形全等，故符合题意； D.判定方法为，能判断三角形全等，不符合题意； 故选：C． 8．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 9．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，交于点M，交于点N．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．通过和推出相关结论，即可得到答案． 【详解】，，， ， ， ， 故①符合题意； ， ， ，， ， 故②符合题意； ， ， 和不一定相等． 其中所有正确结论的序号是①②． 故选：A． 10．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；④若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝2ab．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；作OG⊥AC于G，求得OG=OD=1，根据三角形的面积的计算可证得②正确；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF=AH，进而判定③正确；作作OG⊥AB于G，OM⊥AC于M，根据三角形的面积可证得④错误． 【详解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴∠OBA=∠CBA，∠OAB=∠CAB， ∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=180°-∠CBA-∠CAB =180°-（180°-∠C） =90°+∠C，①错误； 作OG⊥AB于G， ∵BO是∠ABC的平分线，OG⊥AC，OD⊥BC，OD=1， ∴OG= OD=1， ∵AB=4， ∴S△ABO=AB×OG=×4×1=2，②正确； 在AB上取一点H，使BH=BE， ∵∠C=60°， 由①知∠AOB=90°+∠C， ∴∠AOB=90°+30°=120°， ∴∠BOE=∠AOF=60°， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠HBO=∠EBO， 在△HBO和△EBO中， ， ∴△HBO≌△EBO（SAS）， ∴∠BOH=∠BOE=60°， ∴∠AOH=180°-60°-60°=60°， ∴∠AOH=∠AOF， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠HAO=∠FAO， 在△HAO和△FAO中， ， ∴△HAO≌△FAO（ASA）， ∴AF=AH， ∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正确； 作OG⊥AB于G，OM⊥AC于M， ∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，OD=a， ∴点O在∠C的平分线上， ∴OG=OM=OD=a， ∵AB+AC+BC=2b， ∴S△ABC=×AB×OG+×AC×OM+×BC×OD=（AB+AC+BC）•a=ab，④错误． 综上，②③正确，共2个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，中，，，为的中点，则中线的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了添加辅助线，全等三等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，延长到，使，连接，可证明，根据全等三角形的性质可得，在中利用三角形三边关系可求得的范围，可求得的取值范围． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，    为的中点， ， 在和中， ， （）， ， 在中，由三角形三边关系可得， 即， ， ， ， 故答案为：． 12．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，要证，只需再补充一个条件： （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有：、、、或，熟练掌握并灵活运用适当的判定定理是解题关键．根据全等三角形的判定定理即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴当时，， 当时，， 当时，． 故答案为：（答案不唯一） 13．（21-22八年级上·江苏扬州·期中）如图，点D在上，．若，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 14．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）在学习了《探索三角形全等的条件》后，小龙编了这样一个题目：“如图，已知，，，求证：．”老师说他的已知条件给多了，你帮他去掉一个已知条件： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴条件多余， 或者：∵，， ∴， ∴条件多余 或者：∵，， ∴， ∴条件多余 故答案为：（或或）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 15．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，，要使得，若以“”为依据，需添加条件 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定内容．“”的内容是：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据题目中的已知条件只需添加两条斜边相等即可． 【详解】解：，， ， 和是直角三角形， 和有公共直角边， 以“”为依据判定需要添加斜边相等，即， 故答案为：． 16．（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意过点B'作B'H⊥AC于H，由全等三角形的判定得出△ACB≌△B'HA（AAS），得AC＝B'H＝4，则有S△AB'C＝AC•B′H即可求得答案． 【详解】解：过点B'作B'H⊥AC于H， ∴∠AHB'＝90°，∠BAB'=90°， ∴∠HAB'+∠HB'A＝90°，∠BAC+∠CAB'＝90°， ∴∠HB'A＝∠CAB， 在△ACB和△B'HA中， ， ∴△ACB≌△B'HA（AAS）， ∴AC＝B'H， ∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝＝4， ∴AC＝B'H＝4， ∴S△AB'C＝AC•B′H＝×4×4＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质和旋转的性质以及勾股定理，根据题意利用全等三角形的判定证明△ACB≌△B'HA是解决问题的关键． 17．（19-20八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】3厘米/秒或厘米/秒 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等； 分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】 解： 设点P运动的时间为t秒，则，， ， ①当，时，与全等， 此时， ， 解得， ， 此时，点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得， 点Q的运动速度为厘米/秒； 故答案为：3厘米/秒或厘米/秒． 18．（19-20八年级上·江苏苏州·期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，∠ABD＝2∠BAC＝45°，若AD＝12，则△ABD的面积为 ．    【答案】36． 【分析】作DE⊥DB交AB于E，EF垂直AC于F，则∠DEB=90°-∠ABD=45°，证出AE=DE=DB，通过证明△AEF≌△BCD，得出BC==AF=AD=6，由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】作DE⊥DB交AB于E，EF垂直AC于F，如图所示： 则∠DEB=90°-∠ABD=45°， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴DB=DE， ∵∠ABD=2∠BAC=45°， ∴∠BAC=22.5°， ∴∠ADE=∠DEB-∠BAC=22.5°=∠BAC， ∴AE=DE=DB， ∵∠AFE=90°， ∴F是AD中点，AF=FD， 又∵∠C=90°， ∴∠CBD=90°-45°-22.5°=22.5°， 在Rt△AEF和Rt△BCD中 ∴Rt△AEF≌Rt△BCD（AAS）， ∴AF=BC=AD=6， ∴△ABD的面积S=AD×BC=×12×6=36； 故答案为：36．    【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式的的计算，熟记特殊三角形的判定和性质定理是解题关键． 三、解答题 19．（19-20八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，D为CB上一点，过点D作DE⊥AB于点E． (1)若CD=DE，判断∠CAD与∠BAD的数量关系； (2)若AE=EB，CB=10，AC=5,求△ACD的周长． 【答案】(1)相等；(2)15. 【分析】（1）由∠C=∠AED=90°，CD=DE，AD=AD，利用HL可以证明△ACD≌△AED，即可得到∠CAD=∠BAD； （2）由垂直平分线定理，得到AD=BD，则BC=AD+CD=10，即可得到△ACD的周长． 【详解】解：（1）∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°=∠C， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED，（HL） ∴∠CAD=∠BAD； （2）∵AE=BE，DE⊥AB, ∴DE垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴BC=BD+CD=AD+CD=10， ∴△ACD的周长=AD+CD+AC=10+5=15. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及垂直平分线定理，解题的关键是掌握垂直平分线定理. 20．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，是线段上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程． 你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 【答案】①③，②，见解析；或②③，①，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选的补充条件是①③，结论是②，证明，即可；选的补充条件是②③，结论是①，证明即可． 【详解】解：选的补充条件是①③，结论是②， 证明：∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 选的补充条件是②③，结论是①， 证明：∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 故答案为：①③，②或②③，①． 21．（八年级上·江苏南京·期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D在边BC上，且点D到边AB和边AC的距离相等． （1）用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注出点D）； （2）求点D到边AB的距离． 【答案】（1）见解析（2）4.8 【分析】（1）作∠A的角平分线交BC于D，则根据角平分线的性质可判断点D到边AB和边AC的距离相等； （2）利用勾股定理计算出AD=6，设设点D到AB的距离为h，，利用等面积法得到×10h=8×6×，然后解方程求出h即可． 【详解】解：（1）作∠A的角平分线（或BC的垂直平分线）与BC的交点即为点D． 如图： （2）∵AB＝AC，AD是∠A角平分线 ∴AD⊥BC，垂足为D，∵BC＝16， ∴BD＝CD＝8， ∵AB＝10，在RT△ABD中 ∴根据勾股定理求得AD＝6， 设点D到AB的距离为h，则×10h=8×6×，解得h＝4.8， 所以点D到边AB的距离为4.8． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质． 22．（22-23八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知，点D是的平分线上一点，点E、F分别在AB、BC上，且．试判断与的关系，并说明理由．    【答案】，理由见解析 【分析】过点D作于点G，过点D作于点H，根据角平分线的性质得出，通过证明，即可得出结论． 【详解】解：过点D作于点G，过点D作于点H，    ∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，全等三角形对应角相等；注意不能用证明全等． 23．（八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，已知∠AOB及点C、D两点，请利用直尺和圆规作一点P，使得点P到射线OA、OB的距离相等，且P点到点C、D的距离也相等． （2）如图②，利用方格纸画出△ABC关于直线1的对称图形△A′B′C′（不写作图或画图方法，保留痕迹，并用黑色签字笔加粗加黑） 【答案】见解析 【分析】（1）直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出其交点，即可得出答案； （2）利用轴对称图形的性质得出对应点，进而得出答案． 【详解】（1）如图1所示，点P即为所求； （2）如图2所示：△A′B′C′即为所求． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及角平分线的作法、线段垂直平分线的作法等知识，正确掌握利用轴对称求最短路线作法是解题关键． 24．八年级上·江苏徐州·期末）如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分线与AB的垂直平分线DG交于点D，DE⊥CA的延长线于点E，DF⊥CB于点F． (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)求证：AE＝BF； (3)求DG的长． 【答案】(1)直角三角形；(2)过程见解析；(3)5. 【分析】(1)根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形； (2)根据中垂线、角平分线的性质来证明Rt△AED≌Rt△BFD，然后根据全等三角形的对应边相等推知AE=BF； (3)首先根据(1)和(2)得出的结论，证明△ADB是直角三角形，再利用三线合一的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出DG． 【详解】解：(1)∵AC=6，BC=8，AB=10， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形； (2)证明：连接AD、BD， ∵CD是∠BCA的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE=DF， ∵DG是AB边的垂直平分线， ∴DA=DB， 在Rt△AED和Rt△BFD中， ∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL）， ∴AE=BF； (3)由(1)得∠ACB=90°， ∵∠E=∠DFC=90° ∴∠EDF=90°， 由(2)知∠EDA=∠FDB， ∴∠ADB=90°， ∵DG⊥AB，DA=DB， ∴DG=AB=5． 故答案为：(1)直角三角形；(2)过程见解析；(3)5. 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、三线合一的性质和勾股定理的逆定理等知识，根据已知得出△ADB是等腰直角三角形是解题关键． 25．（八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，在中，平分 ． （1）用直尺和圆规作的平分线，交于点． （2）求证：点在的平分线上． 【答案】（1）如图所示见解析；（2）见解析. 【分析】（1）根据尺规作图要求作出的平分线CF即可； （2）作FQ⊥BC于Q，FK⊥AD于K，FH⊥AE于H．只要证明FK=FH即可解决问题； 【详解】（1）如图所示； （2） 作FQ⊥BC于Q，FK⊥AD于K，FH⊥AE于H． ∵点在平分线上， ∴FK=FH， ∵点在平分线上， ∴FQ=FH， ∴FQ=FK，FK⊥AD, FQ⊥BC ∴点在平分线上． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型． 26．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，点A、B分别在射线OM、ON上，点C在内部. (1)若， ①如图1，若，求证：. ②如图2，若，求证：OC平分. (2)如图3，点A、B分别在射线OM、ON上运动，点C随之运动，且，P为OM上定点，当点C运动到何处时，PC的长度最短？请用尺规作图作出PC最短时C点的位置（保留作图痕迹，不要写作法） 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)当点C运动到PC⊥OC时，PC最短，作图见解析 【分析】（1）①如图1，连接OC，可证得Rt△OAC≌Rt△OBC（HL），即可得出CA=CB． ②如图2，过点O作OD⊥CB交CB的延长线于点D，作OE⊥AC于点E，连接OC，可证得△OAE≌△OBD（AAS），Rt△OCE≌Rt△OCD（HL），即可得出OC平分∠ACB． （2）如图3，过点C作CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点E，作射线OC，可证得△CAD≌△CBE（AAS），Rt△OCD≌Rt△OCE（HL），得出点C在∠MON的平分线上运动，所以当点C运动到PC⊥OC时，PC最短时C点的位置． 【详解】（1）证明：①如图1，连接OC， ∵CA⊥OM，CB⊥ON， ∴∠OAC=∠OBC=90°， 在Rt△OAC和Rt△OBC中， ， ∴Rt△OAC≌Rt△OBC（HL）， ∴CA=CB． ②如图2，过点O作OD⊥CB交CB的延长线于点D，作OE⊥AC于点E，连接OC， 则∠OEA=∠ODB=90°， ∵∠ACB=∠MON=90°，∠OAE+∠OBC+∠ACB+∠MON=360°， ∴∠OAE+∠OBC=180°， ∵∠OBD+∠OBC=180°， ∴∠OAE=∠OBD， 在△OAE和△OBD中， ， ∴△OAE≌△OBD（AAS）， ∴OE=OD， 在Rt△OCE和Rt△OCD中， ， ∴Rt△OCE≌Rt△OCD（HL）， ∴∠OCE=∠OCD， ∴OC平分∠ACB． （2）如图3，过点C作CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点E，作射线OC， 则∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠ACB=∠MON=90°，∠CAD+∠OBC+∠ACB+∠MON=360°， ∴∠CAD+∠OBC=180°， ∵∠CBE+∠OBC=180°， ∴∠CAD=∠CBE， 在△CAD和△CBE中， ， ∴△CAD≌△CBE（AAS）， ∴CD=CE， 在Rt△OCD和Rt△OCE中，   ， ∴Rt△OCD≌Rt△OCE（HL）， ∴∠COD=∠COE， ∴OC平分∠MON． ∴点C在∠MON的平分线上运动， ∴当点C运动到PC⊥OC时，PC最短， 可以过点P作OC的垂线段找到，如图3所示，点C′即为所求作的点． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段最短，作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$