2.1有理数的加法与减法讲义2024-2025学年人教版七年级数学 上册

人教版七年级上册数学第二章2.1有理数的加法与减法 2.1.1、有理数的加法 ★【知识点梳理】 1.有理数加法法则： ①同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和。 ②绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差互为相反数的两个数相加得0. ③一个数与0相加，仍得这个数。 2.有理数的加法的运算律 ⑴加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a ⑵加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=a+(b+c) 3.在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即： （1）当b>0时，a+b>a ⑵当b<0时，a+b<a ⑶当b=0时，a+b=a ★【例题解析】 【例1】．下列计算中，正确的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】．一天早晨的气温是，中午上升了，中午的气温是（    ） A． B． C． D． 【例3】．把（+6）﹣（﹣10）+（﹣3）﹣（+2）写成省略加号和的形式为（　　） A．6+10﹣3+2 B．6﹣10﹣3﹣2 C．6+10﹣3﹣2 D．6+10+3﹣2 【例4】．7+（–3）+（–4）+18+（–11）=（7+18）+[（–3）+（–4）+（–11）]是应用了 A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律与结合律 【例5】．数轴上与它的相反数之间的整数的和为 ． 【例6】．绝对值不大于4.5的所有整数的和为 ． 【例7】．对于任意的两个有理数，下列结论中成立的是 ( ) A．若a＋b=0，则a=－b B．若a＋b>0，则a>0，b>0 C．若a＋b<0，则a<b<0 D．若a＋b<0，则a<0 【例8】．若两个数的和为正数，则这两个数（    ） A．至少有一个为正数 B．只有一个是正数 C．有一个必为零 D．都是正数 【例9】．学校，家，书店坐落在一条东西走向的大街上，学校在家东边20米，书店在家西边10米，张明从家里出发，向西走了50米，又向东走了70米，此时张明的位置在（    ） A．在家 B．在学校 C．在书店 D．不在上述地方 【例10】．计算： (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7)； (8)； (9)． 【例11】．拆项法．计算：． 【例12】．定义一种新运算*，其规则为，如：，那么的值是 ． 【例13】．小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【例14】.有8筐白菜，以每筐25千克为标准重量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：1.5，﹣3，2，﹣0.5，1，﹣1.5，﹣2，﹣2.5． 回答下列问题： ①与标准重量比较，8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ ②若白菜每千克售价2.6元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 【例15】．小明的父亲上星期五买进某公司股票1000股,每股30元,如表为本周内每日该股票的涨跌情况(单位:元) 星 期 一 二 三 四 五 每股涨跌 +3 +1.5 -2 -1.5 +1 (1)    星期三收盘时,每股是多少元? (2)本周内最高价是每股多少元?最低每股多少元? 【例16】．阅读下面的解答过程：计算： +++…+． 解：因为=1﹣， =﹣， =﹣，…， =﹣ 所以原式=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣） =1+（﹣+）+（﹣+）+…+（﹣+）﹣ =1﹣= 根据以上解决问题的方法计算： = (2)1﹣ 【综合练习题】 1．计算的结果等于（    ） A．1 B． C．7 D． 2．计算的结果等于（    ） A．9 B． C． D．5 3．某市2009年元旦的最高气温为12℃，最低气温为－2℃，那么这天的最高气温比最低气温高 （   ） A．－14℃ B．－10℃ C．14℃ D．10℃ 4．将式子3-5-7写成和的形式，正确的是（   ） A．3+5+7 B．-3+(-5)+(-7) C．3-(+5)-(+7) D．3+(-5)+(-7) 5．如果a+b=c，且a、b都大于c，那么a、b一定是（ ） A．同为负数 B．一个正数一个负数 C．同为正数 D．一个负数一个是零 6．已知两个有理数的和为负数，则这两个有理数（    ） A．均为负数 B．均不为零 C．至少有一正数 D．至少有一负数 7．某支付平台主要提供支付及理财服务，通过该平台购物、生活缴费、金融理财等可以获得相应的积分，积分可以兑换礼品或获得优惠权益． 王先生三天内积内的变动情况为：，，，，，，，，，，． 则这三天后王先生的积分增加了（　） A．11分 B．14分 C．20分 D．83分 8．一个数为﹣5，另一个数比它的相反数大4，这两数的和为 ． 9．下列说法中：①一定是负数；②一定是正数；③倒数等于它本身的数为；④绝对值等于它本身的数是正数；⑤两个有理数的和一定大于其中每一个加数；⑥如果两个数的和为，那么这两个数一定是一正一负．正确的有 ．（填序号） 10．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 12．计算： (1)；(2)． 13．计算： (1)； 14．计算：  ． 15． 16．计算 ． 17．某司机在东西路上开车接送乘客，他早晨从A地出发，（取向东为正）到晚上送走最后一位乘客为止，他一天行驶里程记录如下（单位：㎞）： +10，-5，-15，+30，-20，-16，+14 （1）该司机最后离出发点A地多远？在哪个方向上？ （2）若汽车每100㎞耗油3L，则该汽车今天耗油多少升？ 18．食堂要购进筐青萝卜，以每筐千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如表： 与标准质量的差（千克） 0 2 筐数 1 4 2 3 5 5 (1)筐萝卜中，最轻的一筐比最重的要轻多少？ (2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比，是多了还是少了？差值是多少？ (3)这批青萝卜每千克售价为元，买进这筐青萝卜的实际总价钱需要多少元？ 19．“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下面的问题：已知，求的值． 20．股民李星星在上周星期五以每股 11.2 元买了一批股票，下表为本周星期一 到星期五该股票的涨跌情况 求：（1）本周星期三收盘时，每股的钱数． （2）李星星本周内哪一天把股票抛出比较合算，为什么？ 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 2.1.2、有理数的减法 ★【知识点梳理】 1.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 2.有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和” ②按运算意义读作“负8减7减6加5” 6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法） =-33+18-15-1+23 （省略加号和括号） =(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合） =-49+41 （运用加法法则一进行运算） =-8 （运用加法法则二进行运算） Ⅱ.把和为整数的加数相结合 （凑整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法） =6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号） =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合） =4-10+3.8 （运用加法法则进行运算） =7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算） =-2.2 （得出结论） Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） --+-+- 原式=(--)+(-+)+(+-) =-1+0- =-1 Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） (+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25) 原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1) =+3-3+10-1 =(3-1)+(-3)+10 =2-3+10 =-3+13 =10 Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） -3+10-12+4 原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-) =-1++ =-1++ - Ⅵ.分组结合 2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69 原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69) =0 Ⅶ.先拆项后结合 （1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100） 【例1】．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【例2】．今天某地最低气温是，最高气温是，那么今天该地的温差是（    ）℃ A．3 B． C． D．6 【例3】．死海：西亚著名大盐湖，湖面海拔高度，我国最大的咸水湖是位于我国西部的青海湖，湖面海拔高度为，这两个咸水湖的湖面高度相差 【例4】．下列说法正确的是（    ） A．若两个数的差是正数，则这两个数都是正数 B．两个有理数的差一定小于它们的和 C．减去一个负数，差小于被减数 D．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数 【例5】．计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． (8） （9）． 【例6】．火眼金睛（寻找错误并纠正） 计算：． 【陷阱】________． 【例7】．计算： (1)； (2)． 【例8】．定义新运算“⨂”，规定：⨂ ．如：⨂ ，则⨂ 的值是（    ） A．8 B． C．4 D． 【例9】．用“△”表示一种运算符号，表示对于任何数a和b，有，那么 ． 【例10】．阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕ b＝n可以使（a+c）⊕ b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c，如果1⊕ 1＝2，那么2020⊕ 2020＝ ． 【例11】．学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值|等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上内容完成下面的问题： (1)______； (2)______； (3)如果有理数，则______； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：. 【例12】．计算: 【例13】．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示3和9的两点之间的距离是______；数轴上表示2和的两点之间的距离是______．（直接写出最终结果） (2)若数轴上表示的数和的两点之间的距离是4，则的值为______． (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 试卷第2页，共3页 试卷第9页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 【综合练习题】 1．一天中午12时的气温是，到晚上温度下降了，那么晚上的温度是 ． 2．酒精冻结的温度是，水银冻结的温度是，酒精冻结的温度比水银冻结的温度低多少摄氏度？ 3．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1)； (2)； (3)． 6．计算： (1) (2) (3)； (4)． 7．用合理的方法计算下列各题： (1)； (2)． (3) (4) (5) (6) (7) 8．计算：． 9．计算： (1)； (2)． （3）． 10．计算：． 11．对于任意有理数，，定义新运算：，则 ． 12．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值 ①数轴上表示3和8的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ；如果，那么x为 ； ③当代数式取最小值时，相应的x的值是 ． 13．小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：．（单位：） (1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2)小虫离开O点最远时是多少？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ $$