1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 (分层作业）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 分层作业 1、 题型研究 1、 全称量词命题的否定 【例题1】下列命题的否定是假命题的是（    ） A．能被3整除的整数是奇数;存在一个能被3整除的整数不是奇数 B．每一个四边形的四个顶点共圆;存在一个四边形的四个顶点不共圆 C．有的三角形为正三角形;所有的三角形不都是正三角形 D．;，都有 二、存在量词命题的否定 【例题2】“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用 【例3】已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 . 2、 基础达标 1.给出下列四个说法： ①命题“，都有”的否定是“，使得”； ②已知、，命题“若，则”的逆否命题是真命题； ③是的必要不充分条件； ④若为函数的零点，则. 其中正确的个数为 A． B． C． D． 2.已知命题，.则p的否定是 . 3.命题“，都有”的否定是 . 4.下列命题中是假命题的是（    ） A．，使 B．，函数有零点 C．，函数都不是偶函数 D．，使是幂函数，且在上单调递减 5．下列命题正确的是（    ） A．， B．是的充分不必要条件 C．， D．若，则 6.命题的否定形式为 . 7.设命题，，则命题的否定是： . 8.下列命题的说法错误的是 A．若为假命题，则均为假命题． B．命题“”为真命题． C．“”是“”的充分不必要条件． D．命题“若，则”的逆否命题为：“若， 则” 9.已知命题：，；命题：若＜，则＞，则下列为真命题的是（    ） A． B． C． D． 10.下列命题中，假命题的序号有 ． （1）“”是“函数为偶函数”的充要条件； （2）“直线垂直平面内无数条直线”是“直线垂直平面”的充分条件； （3）若，则； （4）若，则. 3、 能力提升 1.已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 2.下列四个命题： ①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”； ②“”是“”的充分不必要条件； ③若为假命题，则，均为假命题； ④对于命题：存在，使得，则为：任意，均为 其中，错误的命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.已知命题，为假命题，则实数m的取值范围为 . 4.已知a是常数，命题p：存在实数x，使得．若命题p是假命题，则实数a的范围为 ． 5.命题“所有三角形都有内切圆”的否定是 ． 6.命题的否定 ． 7.下列四个命题： ①命题“若，则”的否命题是“若，则”； ②若命题，则； ③若是的充分条件，则是的必要条件； ④若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题． 其中叙述正确的命题是 （填序号） 8.）给出如下四个命题中正确命题的编号是 . ①“”是“”的充分不必要条件； ②命题“若，则”的否命题为“若，则”； ③命题“，”的否定是：“，”； ④在中，“”是“”的充要条件. 4、 直击高考 1.（22-23高二下·山西运城·阶段练习）命题，命题存在使得或，具体写出命题： . 2.（20-21高三上·湖北武汉·期中）命题“，”的否定是 ；设，，分别是的三条边，且．我们知道为直角三角形，那么．反过来，如果，那么为直角三角形．由此可知，为直角三角形的充要条件是．请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是 ． 3.（19-20高三下·福建福州·开学考试）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是 4.（2022·河南开封·三模）设函数的定义域为D，若命题p：“，”为假命题，则a的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 分层作业 1、 题型研究 1、 全称量词命题的否定 【例题1】下列命题的否定是假命题的是（    ） A．能被3整除的整数是奇数;存在一个能被3整除的整数不是奇数 B．每一个四边形的四个顶点共圆;存在一个四边形的四个顶点不共圆 C．有的三角形为正三角形;所有的三角形不都是正三角形 D．;，都有 【答案】C 【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，再结合全称命题和存在性命题的真假判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，命题能被3整除的整数是奇数，则存在一个能被3整除的整数不是奇数， 例如：实数不是奇数，但能被整除，所以是真命题； 对于B中，命题每一个四边形的四个顶点共圆，则存在一个四边形的四个顶点不共圆，其中命题为假命题，所以是真命题； 对于C中，命题有的三角形为正三角形，则所有的三角形不都是正三角形，其中命题为真命题，所以是假命题； 对于D中，命题，则，都有， 由不等式，所以命题为假命题，所以是真命题. 故选：C. 【点睛】对于全称命题和存在性命题的改写与真假判定的策略： 1、全称命题与存在性命题的否定改写： （1）改写量词：确定命题所含有的量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； （2）否定结论：对原命题的结论进行否定. 2.全称命题与存在性命题的真假判断方法： 命题名称 真假 判断方法一 全称命题 真 所有对象是命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 存在性命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假 所有对象使命题为假 否定为真 二、存在量词命题的否定 【例题2】“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知命题为假,可知命题的否定为真,写出对应命题的否定,进而求出参数的取值范围. 【详解】因为“”是假命题，所以，所以. 故选:D. 【点睛】本题考查特称命题的否定为全称命题,通过全称命题为真求解参数取值范围问题,难度较易. 三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用 【例3】已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“”为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题， 因为集合，当时，集合，符合； 当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以， 综上所述：实数的取值范围为， 故答案为：. 2、 基础达标 1.给出下列四个说法： ①命题“，都有”的否定是“，使得”； ②已知、，命题“若，则”的逆否命题是真命题； ③是的必要不充分条件； ④若为函数的零点，则. 其中正确的个数为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定可判断出命题①的真假；根据原命题的真假可判断出命题②的真假；解出不等式，利用充分必要性判断出命题③的真假；构造函数，得出，根据零点的定义和函数的单调性来判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，由全称命题的否定可知，命题①为假命题； 对于命题②，原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题，命题②为真命题； 对于命题③，解不等式，得或，所以，是的充分不必要条件，命题③为假命题； 对于命题④，函数的定义域为， 构造函数，则函数为增函数， 又， 为函数的零点，则， ，，则，命题④为真命题. 故选C. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定，四种命题的关系，充分必要的判断以及函数的零点，考查推理能力，属于中等题. 2.已知命题，.则p的否定是 . 【答案】， 【分析】根据题意，由全称命题的否定方法分析可得答案． 【详解】解：根据题意，命题，，是全称命题， 则的否定是，． 故答案为：，． 3.命题“，都有”的否定是 . 【答案】，使得 【分析】根据全称命题的否定形式否定即可得答案. 【详解】命题“，都有”的否定是 “，使得”. 故答案为：“，使得”. 4.下列命题中是假命题的是（    ） A．，使 B．，函数有零点 C．，函数都不是偶函数 D．，使是幂函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】根据存在性命题和任意性命题定义，逐项判断，即可求得答案. 【详解】对于A，当时，成立，故A为真命题； 对于B，令，，对于方程．，方程恒有解，故满足条件，故B为真命题； 对于C，当时，为偶函数，故C为假命题； 对于D，当时，，满足使是幂函数，且在上单调递减，故D为真命题. 综上所述，只有C为假命题. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是掌握存在性命题和任意性命题定义，解题时可采用特殊值，对命题进行检验正确性，考查了分析能力和推理能力，属于基础题. 5．下列命题正确的是（    ） A．， B．是的充分不必要条件 C．， D．若，则 【答案】B 【解析】利用配方法可判断选项A的正误；根据充分条件和必要条件的定义可判断选项B的正误；利用特殊值法可判断选项C、D的正误. 【详解】由知A错误； 解方程可得，由能推出，所以条件充分，由推不出，所以条件不必要，故B正确； 当时，不成立，故C错误； 由推不出，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题、特称命题、充分不必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题. 6.命题的否定形式为 . 【答案】 【解析】根据全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以，命题的否定为， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可. 7.设命题，，则命题的否定是： . 【答案】，， 【解析】根据命题的否定的定义改写． 【详解】命题，的否定是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查命题的否定，注意命题的否定只是否定结论，条件不变，但其中存在量词与全称量词需要互换． 8.下列命题的说法错误的是 A．若为假命题，则均为假命题． B．命题“”为真命题． C．“”是“”的充分不必要条件． D．命题“若，则”的逆否命题为：“若， 则” 【答案】A 【分析】分别利用复合命题的真假，充分条件的必要条件的定义，逆否命题的定义进行判断即可. 【详解】对于选项，若假命题，则至少有一个是假命题，则不正确； 对于选项，由于，则命题“”为真命题，则正确; 对于选项；当时，成立，反过来，的解集是 或，不能得出，则“”是 “”的充分不必要条件， 则正确; 对于选项D，若则的否定是若，则，则正确; 故选：A. 9.已知命题：，；命题：若＜，则＞，则下列为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断命题为真命题，命题为假命题，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】取，则，故命题为真命题； 取，，满足，但是，故命题为假命题. 故为假命题，为真命题，为假命题，为假命题. 故选：B. 【点睛】本题考查了命题的真假判断，命题的否定，且命题，意在考查学生的计算能力和推断能力. 10.下列命题中，假命题的序号有 ． （1）“”是“函数为偶函数”的充要条件； （2）“直线垂直平面内无数条直线”是“直线垂直平面”的充分条件； （3）若，则； （4）若，则. 【答案】（2）（3） 【详解】（1）若“函数为偶函数”，则， 即，则， 平方得， 即，则，即， 则“”是“函数为偶函数”的充要条件；正确； （2）“直线垂直平面内无数条直线”则“直线垂直平面”不一定成立，故（2）错误； （3）当时，满足，但不成立，故（3）错误； （4）若：，则：正确． 故答案为（2）（3） 3、 能力提升 1.已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出命题的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假. 【详解】解：命题，使成立，故命题为真命题； 当，时，成立，但不成立，故命题为假命题； 故命题，，均为假命题，命题为真命题． 故选：B． 2.下列四个命题： ①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”； ②“”是“”的充分不必要条件； ③若为假命题，则，均为假命题； ④对于命题：存在，使得，则为：任意，均为 其中，错误的命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】①利用互为逆否命题的两个命题之间的关系可判断其正误； ②利用充分、必要条件的概念可判断②； ③利用真值表可判断③的正误； ④利用命题及其否定可判断④的正误． 【详解】解：①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，正确； ②若则，充分性成立；反之，若，则或，必要性不成立， 即“”是“”的充分不必要条件，②正确； ③若为假命题，则，必有一个为假命题，不一定均为假命题，故③错误； ④对于命题，使得，则为：，均有，正确． 故选：B． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系及充分、必要条件的概念、命题的否定及其应用，属于中档题． 3.已知命题，为假命题，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】命题，为真命题，结合二次函数的最值，即可得到结果. 【详解】∵命题，为假命题， ∴命题，为真命题， 又， ∴， 即实数m的取值范围为. 故答案为：. 4.已知a是常数，命题p：存在实数x，使得．若命题p是假命题，则实数a的范围为 ． 【答案】 【分析】写出命题p的否定，随后可求出a的范围． 【详解】命题p：存在实数x使得，为假命题， 所以，它的否定：对任意实数x，，为真命题， 所以对任意实数x都成立，即 所以实数a的范围是. 故答案为： 5.命题“所有三角形都有内切圆”的否定是 ． 【答案】“存在一个三角形没有内切圆” 【分析】根据全称命题的否定方法：改量词，否结论，由此得到结果. 【详解】解：全称命题“所有三角形都有内切圆”， 它的否定是特称命题：“存在一个三角形没有内切圆”， 故答案为：“存在一个三角形没有内切圆”. 6.命题的否定 ． 【答案】. 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可． 【详解】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 所以命题的否定为：. 故答案为： 7.下列四个命题： ①命题“若，则”的否命题是“若，则”； ②若命题，则； ③若是的充分条件，则是的必要条件； ④若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题． 其中叙述正确的命题是 （填序号） 【答案】②③④ 【分析】①写出否命题并进行判断；②根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，进行判断；③根据逆否命题同真假，由此得到并进行判断；④先判断出的真假，然后根据含逻辑联结词的命题的真假判断出的真假. 【详解】解：对于①，命题“若，则”的否命题是“若，则”；所以①不正确； 对于②，若命题，则；满足命题的否定形式，所以②正确； 对于③，若是的充分条件，其等价命题为，故是的必要条件，故③正确； 对于④，若命题“”与命题“或”都是真命题，所以是假命题，则命题一定是真命题．所以④正确． 故答案为：②③④． 8.）给出如下四个命题中正确命题的编号是 . ①“”是“”的充分不必要条件； ②命题“若，则”的否命题为“若，则”； ③命题“，”的否定是：“，”； ④在中，“”是“”的充要条件. 【答案】②④ 【分析】根据充分条件、必要条件定义可判断出①④，根据原命题的否命题要否定条件和结论可判断②，命题的否定只否定结论，不否定条件可判断出③. 【详解】①中， 由，所以，所以“”是“”的必要不充分条件，所以①错； ②中，命题“若，则”的否命题为“若，则”，所以②正确； ③中，命题“，”的否定是：“，”，所以③错； ④中，在中，“”由正弦定理可得，即，所以，逆推也可以，所以④正确. 故答案为：②④ 【点睛】本题主要考查充分、必要条件的判断，以及命题的否定和否命题，尤其注意特称命题和全称命题的否定. 4、 直击高考 1.（22-23高二下·山西运城·阶段练习）命题，命题存在使得或，具体写出命题： . 【答案】任意或，使得且 【分析】 或，：，使且，根据命题的形式直接写出命题. 【详解】 或，：，使且， 那么命题：任意或，使得且. 故答案为：任意或，使得且 【点睛】本题考查特称命题的否定和逻辑连接词，重点考查正确写出命题，属于基础题型. 2.（20-21高三上·湖北武汉·期中）命题“，”的否定是 ；设，，分别是的三条边，且．我们知道为直角三角形，那么．反过来，如果，那么为直角三角形．由此可知，为直角三角形的充要条件是．请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是 ． 【答案】 ， 【分析】根据全称量词命题的否定直接写出即可；根据勾股定理，充要条件及反证法得出为锐角三角形的一个充要条件是. 【详解】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“，”的否定是，； 设，，是的三条边，且，为锐角三角形的一个充要条件是. 证明如下： 必要性：在中，是锐角，过点作于点，如下图：    根据图象可知 ， 即，可得证. 充分性：在中，，所以不是直角. 假设是钝角，如下图：过点作，交延长线于点，    则 ， 即，，与矛盾. 故为锐角，即为锐角三角形. 【点睛】本题考查命题的否定的写法与锐角三角形的充要条件证明，属于中档题.充要条件的证明需注意一下几点： 充要条件的证明要从必要性和充分性两个方面考查； 必要时可以用反证法证明. 3.（19-20高三下·福建福州·开学考试）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】根据所给的特征命题写出它的否定：“”为真命题，再根据命题的否定真命题，得出，解不等式即可得出结果. 【详解】解：因为命题“”为假命题， 则“”为真命题， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查特称命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据真命题得出判别式的情况，从而得出参数的取值范围. 4.（2022·河南开封·三模）设函数的定义域为D，若命题p：“，”为假命题，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据特称命题为假命题转化为全称命题是真命题，进而转化为恒成立问题， 利用恒成立问题即可求解. 【详解】命题p：“，”为假命题，则“，”为真命题. 则函数的图象要恒在图象的上方（两个式需都有意义）. 作图可知.    所以a的取值范围是. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$