1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 教学设计 1、 教学目标 课程目标 1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系. 数学学科素养 1. 通过实例，使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定,培养学生的数学抽象核心素养； 2.理解全称量词命题与存在量词命题之间的关系，提升逻辑推理的核心素养； 2、 重点难点 1. 教学重点： 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 2. 教学难点： 全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定. 3、 学情分析&教材分析 本节内容比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，然后看条件的特征得出全称量词命题及存在量词命题，从而判断命题的真假；然后归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律. 学生在上一节中，学习了全称量词与存在量词，对用数学符号表示数学命题已经不陌生，全称量词命题的否定与存在量词命题的否定是上一节内容的延伸，教材中许多数学知识也来自生活，这都是学生进一步学习的基础，为本节内容提供有力的保障和支撑。 4、 学习目标 1.能写出命题的否定，并会判断真假；会正确的对全称量词命题和存在量词命题进行否定； 2.理解全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。 5、 导入新知 一个命题有真有假，对一个命题进行否定，就会得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．大家能否对一个命题进行否定呢？ 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。 举例：（1） 56是7的倍数； （2） 空集是集合A={1,2,3}的真子集 否定： 56不是7的倍数； 否定： 空集不是集合A={1,2,3}的真子集 设计意图：通过问题与思考题的探究，引导学生概括出命题的否定的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。 6、 学习新知 （一）全称量词命题的否定 【问题1】　写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x＋|x|≥0. 它们与原命题在形式上有什么变化？ 提示　 上面三个命题都是全称量词命题,即具有“”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”,也就是说, 存在一个矩形不是平行四边形; 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”,也就是说, 存在一个素数不是奇数; 命题(3)的否定是“并非所有的”,也就是说, 从命题形式看,这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 一般来说,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词,变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说, 假定全称量词命题为“”,则它的否定为“并非”, 也就是“不成立”. 通常,用符号“”表示“不成立”. 对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论: 全称量词命题:它的否定: 也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题。 在日常生活和数学中经常使用的两类量词为全称量词和特称量词,含一个量词的全称命题和含一个量词的特称命题也是常见的命题. 知识梳理 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假． 7、 应用新知 例3写出下列全称量词命题的否定： （1）所有能被3整除的整数都是奇数； （2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； （3）对任意，的个位数字不等于3. 【解析】（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数. （2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上. （3）该命题的否定：，的个位数字等于3. 【变式1】写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被2整除的整数都是偶数； (2)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上； (3)∀x∈R，使得5x－12＝0. 【解析】(1)该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数． (2)该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上． (3)该命题的否定：∃x∈R，使得5x－12≠0. 反思感悟　全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确结论是关键． (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 二、存在量词命题的否定 问题2　写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3). 它们与原命题在形式上有什么变化？ 提示　这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，p(x)”的形式． 命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 命题(3)的否定是“并非所有的”,也就是说,. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题． 一般来说,对含有一个量词的全称量词命题进行否定, 我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词, 变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可. 也就是说,假定全称量词命题为“”,则它的否定为“并非”, 也就是“不成立”. 通常,用符号“”表示“不成立”. 对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论: 全称量词命题: 它的否定:也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题。 【知识梳理】 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 例4写出下列存在量词命题的否定： （1），； （2）有的三角形是等边三角形； （3）有一个偶数是素数 【解析】（1）该命题的否定：，. （2）该命题否定：所有的三角形都不是等边三角形. （3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. 【变式2】写出下列命题的否定． (1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 【解析】　(1)存在一个矩形不是平行四边形； (2)存在一个素数不是奇数； (3)∃x∈R，x2－2x＋1<0. 例5写出下列命题的否定，并判断真假： （1）任意两个等边三角形都相似； （2）， 【解析】（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题. （2）该命题的否定：，.因为对任意，， 所以这是一个真命题. 【变式3】写出下列命题的否定,并判断其否定的真假: (1):不论取何实数,方程必有实根; (2). 【解析】:存在一个实数,使方程没有实数根. 因为该方程的判别式恒成立,故为假命题. (2)为假命题. 反思感悟　存在量词命题否定的关注点 （1）存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论． 即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，． （2）存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 知识梳理 名称 符号语言 含义 否定 含义 全称量词命题 对中任意一个都成立 存在中的元素,使不成立. 特称量词命题 存在中的元素,使成立. 对中任意一个都不成立 8、 能力提升 题型一：全称量词命题的否定 【练习1】写出下列命题的否定： (1)∀n∈Z，n∈Q； (2)任意奇数的平方还是奇数； (3)每个平行四边形都是中心对称图形． 【解析】　(1)∃n∈Z，n∉Q. (2)存在一个奇数的平方不是奇数． (3)存在一个平行四边形不是中心对称图形． 反思感悟　全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，，全称量词命题的否定是存在量词命题． 题型二：存在量词命题的否定 【练习2】写出下列命题的否定. (1)有些四边形有外接圆; (2)某些平行四边形是菱形; (3). 【解析】 (1)所有的四边形都没有外接圆; (2)所有平行四边形都不是菱形; (3). 反思感悟　对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述． 题型三：全称量词命题、存在量词命题的综合应用 【练习3】对于任意实数,不等式恒成立.求实数的取值范围. 【解析】令,则, 因为,不等式恒成立,所以只要即可. 所以所求的取值范围是. 反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 9、 课堂总结 【设计意图】帮助学生梳理本节课的知识并给出思考题。 10、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)课本P31的练习1~2题； (3)课本P31的习题1.5的4、5、6. 练习 3. 写出下列命题的否定：（1），；（2）任意奇数的平方还是奇数；（3）每个平行四边形都是中心对称图形. 【解析】（1）该命题的否定：，； （2）该命题的否定：存在一个奇款的平方不是奇数； （3）该命题的否定：存在一个平行四边形不是中心对称图形. 【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题. 4. 写出下列命题的否定：（1）有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数. 【解析】（1）该命题的否定：任意三角形都不是直角三角形； （2）该命题的否定：所有的梯形都不是等腰梯形； （3）该命题的否定：任意一个实数，它的绝对值都是正数. 【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题. 习题1.5 复习巩固 1. 判断下列全称量词命题的真假: (1)每一个末位是0的整数都是5的倍数; (2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; (3)对任意负数的平方是正数; (4)梯形的对角线相等 【解析】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题. (2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题. (3)对任意负数,不等式两边同时乘以负数有.故为真命题 (4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型. 2. 判断下列存在量词命题的真假: (1)有些实数是无限不循环小数; (2)存在一个三角形不是等腰三角形; (3)有些菱形是正方形; (4)至少有一个整数是4的倍数. 【解析】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如等.故为真命题. (2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题. (3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题. (4)假设有一个整数是4的倍数,则因为能被4整除,故为偶数,故为奇数,故为奇数.设,则,故除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数使得是4的倍数.故为假命题. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型. 3. 写出下列命题的否定: (1); (2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0; (3); (4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直. 【解析】(1)“”为全称命题,故否定为：“”; (2)“所有可以被5整除的整数,末位数字都是0”为全称命题, 故否定为：“存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0” (3)“”为特称命题,故否定为：“”; (4) “存在一个四边形,它的对角线互相垂直”为特称命题, 故否定为：“任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.” 【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的否定,属于基础题型. 综合运用 4. 判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定: (1)平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交; (2)每个二次函数的图象都是轴对称图形; (3)存在一个三角形,它的内角和小于180°; (4)存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上. 【解析】(1)举出反例：函数与x轴不相交.故原命题为假命题. 命题的否定:平面直角坐标系下,存在一条直线不与x轴相交; (2)因为二次函数均有对称轴, 故原命题为真命题. 命题的否定: 存在一个二次函数的图象不是轴对称图形; (3)因为三角形内角和为180°.故原命题为假命题. 命题的否定: 任意一个三角形,它的内角和不小于180°; (4)举出例子说明：有一个角为60°的菱形满足四个顶点不在同一个圆上.故原命题为真命题. 命题的否定:任意一个四边形,它的四个顶点都在同一个圆上. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定以及全称命题与特称命题的否定,属于基础题型. 5. 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定: (1)平行四边形的对角线互相平分; (2)三个连续整数的乘积是6的倍数; (3)三角形不都是中心对称图形; (4)一元二次方程不总有实数根. 【解析】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分; 它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分; (2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数; 它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数; (3)存在一个三角形不是中心对称图形; 它的否定:所有的三角形都是中心对称图形; (4)存在一个一元二次方程没有实数根; 它的否定:任意一元二次方程都有实数根. 【点睛】本题主要考查了含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题及其否定,属于基础题型. 拓广探索 6. 在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题,例如: ①若,则;(假命题) ②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题) 这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题. (1)有人认为,①的否定是“若,则”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗?如果不对,请你正确地写出命题①②的否定. (2)请你列举几个“若p,则q”形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假. 【解析】 (1)不对.①的否定:存在;②的否定:存在一个四边形为等腰梯形,它的对角线不相等. (2)命题1:矩形的对角线相等,是真命题;它的否定是:存在一个矩形,它的对角线不相等,是假命题. 命题2:实数的平方是正数,是假命题;它的否定:存在一个实数,它的平方不是正数,是真命题. 【点睛】本题主要考查了“若p,则q”形式的全称量词命题及其否定的辨析,属于基础题型. 11、 板书设计 板书设计 1.对全称量词命题否定有两个方面 （1）改变量词：把全称量词换为存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． （2）否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2.若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题. 3.对存在量词命题否定有两个方面 （1）改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． （2）否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 4.由于命题与命题的否定一真一假，所以如果判断一个命题的真假困难时，那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断. 5.命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 例1 例2 例3 练习1 练习2 练习3 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$