2.1.1 直线的倾斜角与斜率（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

2.1.1 直线的倾斜角与斜率 导学案 1、 教学目标 1. 掌握直线的倾斜角与直线斜率的概念； 2. 了解倾斜角和斜率概念的形成过程，感受分类讨论的数学方法、从特殊到一般的探究思路，理解其分别从形和数两个角度刻画直线的倾斜程度，体会数形结合的思想； 3. 掌握过两点的直线斜率公式，会用斜率表示直线的方向向量，会用向量方法导出斜率定义的过程. 2、 教学重难点 4. 重点：①掌握直线的倾斜角与直线斜率的概念； ②掌握过两点的直线斜率公式． 5 难点：会用向量方法导出斜率定义的过程. 3、 教学过程 1． 复习回顾，引入新知 引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念.在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡儿、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化.这是解析几何的创始. 我们知道，点是构成直线的基本元素．在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来． 问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？ 2． 新课探究 回顾：我们学过函数y=kx+b，它的图象是什么？ 一条直线. 问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？ 学生的最常见的回答是“两点确定一条直线”. 追问：还有没有其他确定一条直线的方法？ 如何利用坐标系确定它的位置？ 一点和一个方向也可以确定一条直线．设，为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线． 追问：经过一点P有多少条直线？ 在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线，它们组成一个直线束． 问题3：怎样描述这种“倾斜程度”的不同? 问题4:你认为直线的倾斜角在什么范围内变化？ 当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．图2.1-2中直线的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角．当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为．因此，直线的倾斜角的取值范围为， 这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向． 小试牛刀：判断下列结论是否正确 1. 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角. √ 2. 方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等. √ 3. 方向不同的直线，倾斜角可能相等. × 4. 可以用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向 √ 小结：任何一条直线都有唯一确定的倾斜角与它对应 问题5：直线的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢? 我们知道，直线可由其上任意两点，唯一确定，可以推断，直线的倾斜角一定与两点的坐标有内在联系．到底具有怎样的联系？ 下面我们利用向量来研究这个问题.在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为． （1）已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？ （2）类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？ 追问：你能将上述方法进行一般性的推广吗？ 问题6：当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 当直线与轴平行或重合时，直线倾斜角为0，，又此时，，所以当直线与轴平行或重合时，上述式子成立. 综上可知，直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系： ． ① 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示，即 ② 注释：日常生活中常用坡度表示倾斜面的倾斜程度：．当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的． 问题7：当直线的倾斜角由逐渐增大到时，其斜率如何变化？为什么？ 问题8：（1）已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点的顺序有关吗？ （2）当直线平行于轴，或与轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ （1）已知直线上的两点，，则 所以，计算直线的斜率时，与两点的顺序无关. （2）直线与y轴平行或重合， ① 倾斜角为90°，斜率不存在； ② x1=x2，斜率公式中分母为0; 所以，不适用于以上斜率公式。 问题9：你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？ 我们知道，直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量．直线的方向向量的坐标为． 当直线与轴不垂直时，，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标为，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则． 3． 应用新知 牛刀小试：（1）完成下列表格 2.(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( BC ). A．30° B．60° C．120° D．150° 例1如图2.1-6，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 解：直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率， 由>及可知，直线与的倾斜角均为锐角；由可知，直线的倾斜角为钝角． 总结：1、利用两点坐标求斜率应该注意什么？ ① 先判断两点的横坐标是否相等：相等则斜率不存在，不相等则用斜率公式求斜率； ② 先用斜率公式计算斜率，注意坐标相减的方向，切勿出现以下错误： 2、如何用斜率正负判断倾斜角是锐角还是钝角？ 斜率大于0，倾斜角为锐角；斜率小于0，倾斜角为钝角； 跟踪练习： 已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 解：直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率， 由>及可知，直线与的倾斜角均为钝角；由可知，直线的倾斜角为锐角． 4． 能力提升 题型一：利用斜率相等求参数值 过、两点的直线的倾斜角为，那么　 　． 【解答】解：过、两点的直线的倾斜角为，则， 又．故答案为：1． 方法总结：利用同一直线或者平行直线的斜率相等，建立方程，解方程求解参数值 题型二：利用直线的方向向量求斜率 若直线的一个方向向量，则直线的斜率为：______ 【解答】解：由直线的方向向量，可得直线的斜率. 方法总结：若直线的一个方向向量，则直线的斜. 题型三：已知倾斜角的范围求斜率的范围 (1)若直线l的倾斜角α满足45°<α<60°，求直线l的斜率k的取值范围． (2)若直线l的倾斜角α满足120°<α<135°，求直线l的斜率k的取值范围． (3)若直线l的倾斜角α满足45°<α<120°，求直线l的斜率k的取值范围． 【解答】、、 方法总结：利用倾斜角范围求斜率范围，借助数形结合，可快速得出答案. 注意倾斜角范围是否跨90° 题型四：已知斜率的范围求倾斜角的范围 (1)若直线l的斜率k满足k≥，求直线l的倾斜角α的取值范围． (2)若直线l的斜率k满足k≤，求直线l的倾斜角α的取值范围． (3)若直线l的斜率k满足﹣1<k<1，求直线l的倾斜角α的取值范围． 【解答】，， 方法总结：利用斜率的范围求倾斜角范围，借助数形结合，可快速得出答案. 注意斜率范围是否跨 0. 5． 课堂小结 6． 随堂限时小练 1. 下图中，表示直线的倾斜角的是( ) 2. 若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角, 则直线l的倾斜角为( ) A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 3. 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°得到直线l′，则直线l′的倾斜角为( ) A. α+45° B. α-135° C. 135°-α D.当0°≤α<135°时为α+45°，当135°≤α<180°时为α-135° 4、下列说法中，正确的是 (　　) A. 直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα B. 直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α C. 若直线的倾斜角为α，则sinα＞0 D. 任意直线都有倾斜角α，且α ≠ 90°时，斜率为tanα 5、（1）经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(2, k)，求k的值. （2）已知直线l的一个方向向量为，求直线l的倾斜角和斜率. 6. 已知经过A(m,2), B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为α, 且45°<α<135°, 试求实数m的取值范围. 7． 课后作业布置 作业1：人教版A版教材55页 练习第1题、2、3、4、5题. 作业2：预习 2.1.2 两条直线平行于垂直的判定 8． 课后作业答案 1．已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率： （1）； （2）； （3）； （4）． 1．解析：（1） ； （2） （3）； （4）． 2．已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．答案：（1）0；（2）；（3）；（4）． 3．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角： （1）， （2）， 3．解析：（1），，可知其倾斜角为锐角； （2），，可知其倾斜角为钝角． 4．已知是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角： （1），； （2），； （3），． 4．解析：（1），所以经过点的直线的倾斜角为； （2）因为的横坐标相同，纵坐标不同，所以经过点的直线的倾斜角为； （3），所以经过点的直线的倾斜角为． 5．经过，两点的直线的方向向量为，求的值． 5．解析：，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.1 直线的倾斜角与斜率 导学案 1、 教学目标 1. 掌握直线的倾斜角与直线斜率的概念； 2. 了解倾斜角和斜率概念的形成过程，感受分类讨论的数学方法、从特殊到一般的探究思路，理解其分别从形和数两个角度刻画直线的倾斜程度，体会数形结合的思想； 3. 掌握过两点的直线斜率公式，会用斜率表示直线的方向向量，会用向量方法导出斜率定义的过程. 2、 教学重难点 4. 重点：①掌握直线的倾斜角与直线斜率的概念； ②掌握过两点的直线斜率公式． 5 难点：会用向量方法导出斜率定义的过程. 3、 教学过程 1． 复习回顾，引入新知 引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念.在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡儿、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化.这是解析几何的创始. 我们知道，点是构成直线的基本元素．在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来． 问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？ 2． 新课探究 回顾：我们学过函数y=kx+b，它的图象是什么？ 问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？ 追问：还有没有其他确定一条直线的方法？ 如何利用坐标系确定它的位置？ 追问：经过一点P有多少条直线？ 问题3：怎样描述这种“倾斜程度”的不同? 问题4:你认为直线的倾斜角在什么范围内变化？ 小试牛刀：判断下列结论是否正确 1. 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角. 2. 方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等. 3. 方向不同的直线，倾斜角可能相等. 4. 可以用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向 问题5：直线的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢? 追问：你能将上述方法进行一般性的推广吗？ 问题6：当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 注释：日常生活中常用坡度表示倾斜面的倾斜程度：．当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的． 问题7：当直线的倾斜角由逐渐增大到时，其斜率如何变化？为什么？ 问题8：（1）已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点的顺序有关吗？ （2）当直线平行于轴，或与轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 问题9：你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？ 3． 应用新知 牛刀小试：（1）完成下列表格 2.(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( ). A．30° B．60° C．120° D．150° 例1如图2.1-6，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 跟踪练习： 已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 4． 能力提升 题型一：利用斜率相等求参数值 过、两点的直线的倾斜角为，那么　 　． 题型二：利用直线的方向向量求斜率 若直线的一个方向向量，则直线的斜率为：______ 题型三：已知倾斜角的范围求斜率的范围 (1)若直线l的倾斜角α满足45°<α<60°，求直线l的斜率k的取值范围． (2)若直线l的倾斜角α满足120°<α<135°，求直线l的斜率k的取值范围． (3)若直线l的倾斜角α满足45°<α<120°，求直线l的斜率k的取值范围． 题型四：已知斜率的范围求倾斜角的范围 (1)若直线l的斜率k满足k≥，求直线l的倾斜角α的取值范围． (2)若直线l的斜率k满足k≤，求直线l的倾斜角α的取值范围． (3)若直线l的斜率k满足﹣1<k<1，求直线l的倾斜角α的取值范围． 5． 课堂小结 6． 随堂限时小练 1. 下图中，表示直线的倾斜角的是( ) 2. 若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角, 则直线l的倾斜角为( ) A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 3. 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°得到直线l′，则直线l′的倾斜角为( ) A. α+45° B. α-135° C. 135°-α D.当0°≤α<135°时为α+45°，当135°≤α<180°时为α-135° 4、下列说法中，正确的是 (　　) A. 直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα B. 直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α C. 若直线的倾斜角为α，则sinα＞0 D. 任意直线都有倾斜角α，且α ≠ 90°时，斜率为tanα 5、（1）经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(2, k)，求k的值. （2）已知直线l的一个方向向量为，求直线l的倾斜角和斜率. 6. 已知经过A(m,2), B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为α, 且45°<α<135°, 试求实数m的取值范围. 7． 课后作业布置 作业1：人教版A版教材55页 练习第1题、2、3、4、5题. 作业2：预习 2.1.2 两条直线平行于垂直的判定 8． 课后作业 1．已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角： （1）； （2）； （3）； （4）． 3．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角： （1）， （2）， 4．已知是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角： （1），； （2），； （3），． 5．经过，两点的直线的方向向量为，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$