3 立体图形的认识与测量-【指南针·小学数学总复习】2024年六年级小考必备

第二部分空间与图形 三立体图形的认识与测量 知识网络 正方体：由6个完全相同的正方形组成，12条棱，8个顶点，所有棱的长度都相等。 长方体：由6个长方形（或有一组相对面是正方形）围成，相对面完全相同， 12条棱，8个顶点，相对棱长度相等 特征 圆柱：由3个面围成，上下两底面是相等的两个圆，侧面是一个曲面，沿高 展开是长方形或正方形。 圆锥：由2个面围成，底面是一个圆，侧面是一个曲面，展开后是扇形。 正方体的表面积=棱长×棱长×6 体 长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 表面积 形 侧面积=底面周长×高 圆柱 表面积=侧面积+底面积×2 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 长方体的体积=长×宽×高 V=Sh 体积圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3V=S动 知识梳理 一、表面积、体积、容积的含义及单位 1.表面积：物体表面面积的总和，叫做物体的表面积（单位：km2、m2、dm、cm)。 2.体积：物体所占空间的大小，叫做物体的体积（单位：m3、dm3、cm3)。 3.容积：容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量（单位：L、l)。 4.体积与容积单位之间的换算：1dm3=1L1cm3=1mL 二、立体图形的特征 1.长方体的特征：六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）：相对的面面积相等，12 条棱，相对的4条棱长度相等；有8个顶点：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高： 两个面相交的边叫做棱：三条棱相交的点叫做顶点：把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。 2.正方体的特征：六个面都是正方形；六个面的面积相等；12条棱，棱长都相等；有8个顶 点：正方体可以看作特殊的长方体。 3.圆柱：圆柱的上下两个面叫做底面：圆柱有一个曲面叫做侧面；圆柱两个底面之间的距离 d97 指南针·数学小学总复习 叫做高。圆柱上底和下底是相等的两个圆，侧面展开图是一个长方形或正方形：长方形的宽是 圆柱的高，长是圆柱底面的周长。 4.圆锥：圆锥的底面是个圆，它的侧面是个曲面；从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的 高：把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 三、立体图形的表面积和体积 计算公式 名称 图形 展开图 文字表示的公式 字母表示的公式 表面积=（长×宽十宽× 长方体 S表=2(ab+bh+ah) 高+长×高)×2 V=abh 体积=长×宽×高 表面积=棱长×棱长×6 S表=6a2 方体 体积=棱长×棱长×棱长 V=a 表面积=侧面积+十底面积×2 S表=Ch+2πr2 柱 侧面积=底面周长×高 Sg=2πrh 体积=底面积×高 V=xr2h=Sh 圆 2Tr 体积=底面积×高÷3 考点解析 考点●立体图形的表面积和体积 【例1】某体育馆有一个长方体形状的游泳池，长50米，宽30米，深3米，现在要在游泳池的 各个面上抹上一层水泥，抹水泥的面积有多少平方米？如果每平方米用水泥12千克，22吨够吗？ 【精析】求抹水泥的面积有多少平方米，实际就是求这个长方体游泳池的表面积，要计算 前、后、左、右、下这5个面的面积之和。再根据每平方米用水泥的千克数，算出这个游泳池共用 水泥多少千克，即可知道22吨水泥是否够用。 解：50×30+50×3×2+30×3×2=1980（平方米） 12×1980=23760(千克)=23.76（吨） 23.76>22,所以，22吨水泥不够用。 答：抹水泥的面积有1980平方米。22吨水泥不够用。 498 第二部分空间与图形 【例2】有一个高为6.28分米的圆柱形机件，它的侧面展开正好是一个正方形，求这个机 件的体积？ 【精析】圆柱侧面展开是个正方形，说明圆柱的底面周长和高相等。先通过底面周长求出 底面积，再求体积 解：3.14×(6.28÷3.14÷2)2×6.28=19.7192（立方分米） 答：这个机件的体积是19.7192立方分米。 【例3】一个圆锥形沙堆高1.5米，底面周长是18.84米，每立方米沙约重1.7吨，这堆沙 约重多少吨？ 【精析】要求沙堆的质量，先要求沙堆的体积。沙堆是圆锥形，已知它的高和底面周长，根 据圆锥体积的计算公式，先求圆锥的底面积。 解：底面半径：18.84÷3.14÷2=3（米） 体积：号×3.14×3×1.5=14.13（立方米） 沙推的质量：14.13×1.7=24.021（吨） 答：这堆沙约重24.021吨。 【跟踪试练】 1.一张长方形纸板长是30厘米、宽是18厘米，先从它的四个角上各剪去一个边长是2厘 米的小正方形，然后用剩下的部分折成一个无盖的长方体纸盒（接头处忽略不计），这个 纸盒的容积是多少毫升？（纸板的厚度忽略不计） 2.如右图，陀螺的高是8厘米，中间最大的圆的直径是9厘米，这个陀螺 的体积是多少立方厘米？ 8厘米 3.将一个圆锥形铁块完全浸没在一个底面直径12厘米、水深8厘米的圆柱形容器中，水面上升 了2厘米（水未溢出）。这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？（容器的厚度忽略不计） 99 指南针·数学小学总复习 考点2●立体图形的切割与拼组 【例4】求右面组合图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【精析】观图可知，这个组合图形是由两个圆柱组合而成，表面积是由两个 侧面、大圆柱的下底面、上底环形面和小圆柱的上底面几部分组成。从图中不难 发现，大圆柱的上底环形面与小圆柱的上底面的面积之和正好等于大圆柱的上底 面。因此，这个组合图形的表面积等于大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积。这 个组合图形的体积等于大圆柱的体积加上小圆柱的体积。 解：表面积：3.14×(8÷2)2×2+3.14×8×5+3.14×6×3-282.6（平方厘米） 体积：3.14×(8÷2)2×5+3.14×(6÷2)2×3=335.98（立方厘米） 【跟踪试练】 4.在一个正方体木块上挖去一个长方体（如图）。剩余部分的表面积 10 是多少平方厘米？（单位：厘米） 10 6 10 5.有一个底面周长为12.56米的圆柱，从中间斜着截去圆柱的一半（如图），剩余部分的体 积是多少立方米？（单位：米） 随堂练习 L.在括号里填上适当的数。 7.9立方分米=( )升 8600平方厘米=( )平方分米 980立方分米=( )立方米 9.4立方米=( )立方分米 2.把两个棱长都是3厘米的正方体，拼成一个长方体，这个长方体的表面积是 ),体积是( ）。 3.把一根棱长8分米的正方体木料锯成两个长方体，表面积一共增加了( )平方 分米。 4.一个圆柱的侧面展开得到一个长方形，长方形的长是9.42厘米，宽是3厘米，这个圆柱体 的侧面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立 方厘米，将它削成一个最大的圆锥体，应削去( )立方厘米。 4100 第二部分空间与图形 5.一块长16厘米的长方形铁皮，在它的四角上分别剪去边长是4厘米的正方形，然后把它 焊接成一个长方体盒子，如果这个盒子的体积是768立方厘米，原来这块铁皮的面积是 多少平方厘米？ 知能训练 一、填一填。 1.一个正方体的底面积是25平方分米，它的表面积是( )平方分米，它的体积是 ( )立方分米。 2.一个长方体的长为5厘米，宽为3厘米，高为2厘米，它的最大的一个面是( )面，面积是 ( )平方厘米。这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 3.( )个棱长是2厘米的立方体拼起来组成一个棱长是4厘米的立方体。 4.将一根长5米的圆柱形木料锯成4段，表面积增加60平方分米，这根木料的体积是 )立方分米。 5.一个圆柱体积是18立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。 6.把一根长5dm,横截面半径为1dm的圆柱体木料锯成两段完全相同的圆柱，表面积增 加了( ),原来这根木料的表面积是( ),体积是( 二、判断（对的打“、/”，错的打“×”）。 L.把两个一样的正方体拼成一个长方体后，体积和表面积都不变。 2.正方体的棱长扩大2倍，体积扩大4倍。 3.一个长方体可能有8条棱的长度都相等。 4.圆锥的体积是圆柱体积的。 5.一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米。 三、选择（将正确答案的序号写在括号里）。 1.用一根长( )铁丝正好可以做一个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体框架。 A.28厘米 B.126平方厘米 C.56厘米 D.90立方厘米 2.把一个棱长为4cm的正方体，分割成两个长方体，这两个长方体表面积总和是()平 方厘米。 A.64 B.128 C.80 D.96 3.右图中，甲的体积( )乙的体积：甲的表面积( )乙的表 面积。 A.大于 B.小于 C.等于 D.不能确定 d101 指南针·数学小学总复习 4.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是()。 A.1:2r B.1:x C.2:r D.1:1 5.把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，切削掉的部分重8千克，这段圆钢重( )千克。 A.24 B.16 C.8 D.12 四、解决问题。 1.一个棱长4分米的正方体油箱中装满了油，如果把这箱油倒入另一个长0.8米，宽2.5 分米的长方体油箱中，（未装满）油深多少？ 2.一个游泳池长15米，宽10米，深2米，如果它的底部及四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积有多 大？如果在这个游泳池里注入1.5米深水，需水多少立方米？ 3.从一个圆柱形铁柱的一端切下长10厘米的一段圆柱，这样剩下的圆柱表面积比原来圆 柱表面积减少了314平方厘米，求切割下来的圆柱的体积是多少？ 4.一个盛有水的圆柱形容器，底面直径10厘米，水深20厘米，放人一块石头，水面升高到 25厘米，这块石头的体积是多少？ 5.王师傅要制作一个模型，他拿来一个棱长为8分米的正方体铁块，在其中一 个面的正中间打了一个直径为4分米的圆孔，一直贯穿到对面（如图）。为 了防止模型生锈，王师给这个模型中可能与空气接触的表面都喷上油 漆，需要喷油漆的面积是多少平方分米？ 4102稻南针·痕学小学惑复习·参考若案 四.L,略2略3 7,设圆的半径为半径的长度相当于直角三角 表113.15,91.210.7 五.1.102.9 形直角边的长度。于×，+2■D平方厘米， 9+2'×8×号-16,6立方遥米。 (2)有酉43 六、1，+∠2+∠3+∠4=110+110°=220 得广一0平方厘米，阴影部分的面积等于 答：1明，6立方用米 (3)离天4 2.∠1=(183-1207+2m30 33、14×(12+2)2×2w226,08K立.方厘米 (4)正南】东北 网的面积减去直角三角形的而积，即义1× 答：226.08立方师米 二平面图形的周长与面积 40.66.1 0×号-20-1.（军方厘案） 4.10×10×6十6×5×2+4×5×2-700（平方厘 5(1)同314×=5024（平方厘米） 考点解析 米) 随堂搐习 5.3.14×(1256÷&14÷2宁×(6+10)÷2=10048 (2)料维 1.36米 吉名4××-冠.照立方腿 2.10×2+28-10(米) 1.0962103号43 立方米) 最(1)6 (15+28)×10+2-215(平方米) 菌堂塔习 ()膏一个面积是：平方程米的平行四边形即 5.0m20dm2144r226em 3.周长，1,146+10×2一越84（米） 1.7.98网以398n00 可. 6.7,68m150.7214.15m 面积：10×G0(平方米) 2.90平方用米51立方甲米3.128 (3)把平行四边形搜2：1的比数大，就是把底 4,周长：21,75厘米 知能训练 4.282%423921.19514.13 程高都大司原米的2信 -、1,162.393.1624.山.3370 雀积：2纽.4375平方厚米 5768+1G-4-10+4=24(m,(24+4%2)× (4)411 5.3.146.257.2 5.如图，连接BD,观察图振可知Sm 16=512cm) 随盈练习 8.4218,5612.58费0：25 10. 乞分，因此闭影都分的面积等于半径 知控训练 1.,4.61平移转平移转 58.52 =,1.15012药2.底15230 3114略 二.1，/2.3.4 为(0+2)分米的圈面积的十，即片×314× 384.5005.年 5(11东由1600西北1800北东 三、1.A2D5.B .628dr32,6dm1.7dnm 00(2)41600+100+6001+(8+8+2) (10+2)F=9.62平方分米). 四.1.200分米20米 二、，×2×3W4.×5,× 250(米) (30*20)2-2500(平方米》 三、I.C2B3AC4.B5.D 知修训练 2.[4ū+2)-1×3.14=75.364平方米) 四.1.4+(a8×10x2,5)-3,2dm) 一，1前西东工再自 3.78,5×2÷3,1L+2-25(米) 2.15×10+15×2×2+10×2×2-250(平方 玉平移能转大小形状4.350 25×25×1.142-81.25(平方米) 米) 62.15,3517上左正 4.70厘米=0.7米2千米=2000米 13×10×1.5=225(立方米】 二，1.×23× 6.将正方彩A议中的面积看成两个三角彩面积 2000+(0.7×3,14×10019(分钟 3美(314+10+2x)m×10-785(m) 三，1.B2C5.A 的和，如下图 5.41)38dm(2)15375cm 4(受)×25-20-25em) 图、A(6,77,(4.4).C6,4》图略 Smmn-5m×名-AC×(C×)于 3)周长：2×2.14×10=62.8（厘米】 五、山豆豆从家到学校的路线是：先向正东方向 而积：10×2×10=200（平方厘米） 58×86-2×31L×(4+2)1+314×4× 走300米到商场，脚向东偏南5方向 8×2=号×ACXAC=30(平方加米) 8-8.36(半方分米) 立体图形的认识与测量 150来到公园，再何东佩北0°方向走200 所以AC×AC-3×2-0(平方厘米). 四图形与位置、图形的运动 米围可到医院 考点解桥 虽然不知道扇形的半径是多少，阻由上面的 2(300+300+150+200+310+180》+60 1,由题意可知，长方体纸盒的长是(30一：一2)厘 考点解朝 推导果出了半径的平方。在计算瑞形的面积 =1440÷60 米，宽是(18一2一2)用米，高是2厚米，利用长 1.北西2600售南4500 时，可以直接利用半径的平方计算 一24[分钟) 方体的容积计算公式可以直接求出这个派盒 2.(1D正东0 8:00-7:30=30分仰 2430 Sw-名14×0×-47.1（平方厘米） 的容积，并将单位换草戒毫升，列式为(0 (2) 答：豆豆不会迟到 S■#-7.1-对-17.1（平方用米） -2-2)×(18一2-2)×2=728（这方厘米》 30 728(毫升》 人Sm-Su一而×.14×(6X2- 答，728毫升 37.8(平方厘米) 2.这个陀螺可以看作是由两个楼面相等的圆锥 六、1南：车站：北：公同：东南：图书馆：西南：学 组合而成的，它的体积业就是两个图锥的体 :东建：电聪院：西北：高 积之和，上，下两个园维的高之和是8原米。 1车站(4,2)：公同(4,5)，图书第(5,2)学 由此可以求出这个它螺的体积，列式为线1 校(2,2)：电航(5,5)：商场(2,5) 213 214