5.2 函数的基本性质（第4课时）（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

5.2函数的基本性质（第4课时） -含指幂对函数 题型1：函数周期的定义及求解 1．对于函数，如果存在一个 T，使得当x取其定义域D中的 时，有，且 ，那么函数就叫做周期函数，T叫做函数的 . 【答案】 非零常数 任意值 一个周期 【分析】略 【解析】略 2．已知函数的最小正周期为3，则函数的最小正周期为 ． 【答案】6 【分析】利用周期性定义即可得到结果. 【解析】设函数的最小正周期为， 则， ∴， 即， ∴函数的最小正周期为， 又函数的最小正周期为3， ∴. 故答案为：6 3．函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为 ． 【答案】4 【分析】利用奇函数及周期函数的定义即可求解. 【解析】，，又为奇函数， 是周期为的周期函数. 故答案为：4. 4．已知奇函数的定义域为.若为偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据奇偶函数的性质推出函数的周期及，从而得解. 【解析】奇函数的定义域为，则且， 又为偶函数，所以，即， 即，所以， 即是以为周期的周期函数，则. 故答案为： 5．已知函数是R上的奇函数，且，当时，，则＝ . 【答案】－/－0.5 【分析】由得到函数的周期，然后利用周期性和奇偶性求即可． 【解析】由得：，则是周期为4的奇函数． 所以， 故答案为： 题型2：由函数周期求解析式 6．已知函数为偶函数，且，若当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由函数为偶函数，我们根据偶函数的性质，可求出，时，的解析式，又由是以6为周期的周期函数，我们根据周期函数的性质，可得，时，的解析式． 【解析】当，时，， 则 当，时，， 由是以6为周期的周期函数， 则 即： 故答案为： 【点睛】本题解析的关键点是根据函数的奇偶性，求函数在对称区间上的解析式，若已知函数的奇偶性，及函数在区间，上的解析式，求对称区间，上的解析式，一般步骤为：取区间上任意一个数，即，，则，，由区间，上的解析式，写出的表达式，根据奇函数（偶函数给出区间，上函数的解析式． 7．已知函数是定义域为R的偶函数，且周期为2，当时，，则当时， . 【答案】 【解析】先根据函数奇偶性，求出的解析式；由函数的周期性，得到，根据的解析式，即可得出结果. 【解析】当时，， 则， 因为是定义域为R的偶函数，所以； 当时，，则， 又的周期为2，所以； 故答案为：. 8．设是定义在上周期为4的偶函数，且当时，，则函数在上的解析式为 . 【答案】，. 【分析】设，则，则有，由函数的解析式可得的表达式，结合函数的奇偶性与周期性可得，即可求出结果. 【解析】解：根据题意，设，则，则有， 当时，， 则， 又为周期为4的偶函数， 所以，， 则有，； 故答案为：，. 9．已知奇函数满足，当时，，则 ；当时， ． 【答案】 1 【分析】（1）由得，再根据函数为奇函数，代入解析式即可求解； （2）由可得是以为周期的函数，，当时，，利用时，，可求得答案. 【解析】（1）由，则，， 又为奇函数，， 又， ， （2），， ， 是以为周期的函数， 当时，则 为奇函数，由，，所以当，则 所以， 故答案为   1 ；   【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性以及函数解析式的求解，求函数解析式时求出是以为周期的函数是关键，属于基础题. 题型3：证明是周期函数 10．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的函数值； (2)证明：为周期函数． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，得到，再由，利用赋值法求解； （2）由函数是定义在上的奇函数，得到，再由，利用周期函数的定义求解. 【解析】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又因为， 所以， 则； （2）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，又， 所以，即， 则， 所以是以4为周期的周期函数. 11．已知是定义在上的函数，满足. (1)若，求； (2)求证：的周期为4； (3)当时，，求在时的解析式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出，然后再求即可； （2）利用函数周期性的定义，即可证明； （3）根据以及题设条件，先求出，再根据，即可解出在时的解析式． 【解析】（1）∵， ∴. （2）∵对任意的，满足 ∴， ∴函数是以4为周期的周期函数. （3）设，则， ∵当时，， ∴当时，， 又∵， ∴ ∴. 12．若函数的定义域为R，且 (1)求的值，并证明函数是偶函数； (2)判断函数是否为周期函数并说明理由，求出的值 【答案】(1)1，证明见解析 (2)是周期函数，理由见解析， 【分析】（1）令，可求的值；令，得可证明函数是偶函数； （2）令，有，通过代换，有，可证明周期并求值. 【解析】（1）令，则， 因为，所以． 令，则， 因为，所以， 即：，所以函数是偶函数． （2）是周期函数，理由如下． 令，则， 即：，所以， 所以，所以， 所以， 所以函数是周期为3的周期函数． 所以， 因为，令，得， 所以， 因为为偶函数，所以． 【点睛】方法点睛： 探究抽象函数题的必要技巧是赋值、换元及迭代，一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联，寻找并运用函数的周期性与奇偶性单调性，还有数形结合，先猜后证等等. 13．已知定义在上的函数满足，都有且当时， (1)求； (2)证明：为周期函数； (3)判断并证明在区间上的单调性． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)函数在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）分别令，即可得出答案; （2）令可得：，得出，即可得出周期性； （3）结合（2）的结论，利用定义证明单调性即可. 【解析】（1）令，得，由于当时，因此 令，得，即，因此． （2）证明：令，得， 因此，所以 由周期性的定义可知，函数是以4为周期的周期函数． （3）函数在上单调递减，证明如下： 任取，有 由于，故,由（1）知， 因此，又， 因此 故，因此在上单调递减. 题型4：由周期性求函数值 14．已知奇函数满足，且当时，． (1)证明：； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据结合奇函数的性质证明即可； （2）由（1）可知函数的周期为4，利用周期将函数的自变量化简到内求解即可. 【解析】（1）证明：因为奇函数满足， 所以， 所以， 所以， 即； （2）由（1）可知4为的周期， 因为，所以， 得，所以， 所以 . 15．已知定义在上的函数满足：. (1)求证：是周期函数，并求出其周期； (2)若，，求的值. 【答案】(1)证明见解析，周期为6. (2)3 【分析】（1）根据写出即可求解； （2）根据周期性即可求解. 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∴是周期函数，周期为6； （2）∵是周期为6的函数，且，， ∴. 16．设是定义在上函数且满足， ，其中，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据函数的周期性及分段函数分段处理的原则即可求解. 【解析】由，得是定义在上且周期为2的函数， 令，可得，即① 又② 联立①②，解得，， 所以的值为. 故答案为：. 17．已知f(x)是定义在R上的函数，满足． （1）若，求； （2）证明：函数f(x)的周期是2； （3）当时，f(x)＝2x，求f(x)在时的解析式，并写出f(x)在时的解析式． 【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）当时，，当时，． 【分析】（1）代入由已知先求得，继而求得； （2）令x取x＋1得，代入可求得，由此可得函数的周期； （3）由当时，，代入可求得；由函数的周期得当时，，．可求得函数解析式. 【解析】解：（1）所以，故； （2）因为，令x取x＋1得，所以， 所以，2是函数f(x)的周期． （3）当时，，则， 又，即，解得． 所以当时，，所以， 因为f(x)的周期为2，所以当时， ． 所以. 题型5：判断或证明函数的对称性 18．函数． (1)求函数的定义域； (2)证明：函数图象关于y轴对称． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据真数大于零，列不等式组求解即可； （2）任取函数上一点，设关于y轴对称点，只需要说明点满足函数解析式即可证明． 【解析】（1）因为且， 所以， 故函数的定义域为：； （2）在上任取点， 则， 设关于y轴对称点， 显然满足， 即也在上， 所以函数图象关于y轴对称． 19．已知，且方程有两个相等的实根． (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性并证明． 【答案】(1)对称中心为 (2)在区间上单调递增，证明见解析 【分析】（1）利用方程有两个相等的实根求出可得，再由可得答案； （2）在区间上单调递增，利用单调性定义证明即可． 【解析】（1）得有两个相等的实根， 所以，解得，此时，，符合题意， 所以， ， 所以函数图象的对称中心为； （2）在区间上单调递增，证明如下， 由（1）， 设，， 因为，所以，， 所以， 所以在区间上单调递增. 20．已知函数． (1)求证：； (2)若函数，满足，则函数的图象关于点对称．设函数，求图象的对称中心． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数解析式，利用作差法计算的结果与0比较，即可证明结论； （2）结合题意可得，利用函数解析式代入化简可求得的值，即可求得答案. 【解析】（1）由题意知， 故 ， 所以. （2）， 设图象的对称中心为，则， 即， 即， 故，即， 故图象的对称中心为. 题型6：由函数的对称性求解析式 21．已知函数的定义域为R，其图象关于点对称. (1)求实数a，b的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2)1011. 【分析】（1）根据对称性列方程解出a和b并验证得解. （2）根据对称性分组计算. 【解析】（1）由定义域为R的函数的图象关于点对称，得， 则 ，即，解得，则， 因此，即函数的图象关于点对称， 所以. （2），令， 则， 因此， 所以，即. 22．已知函数满足，当时，. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，所以，应用对称性求解析式；（2）结合对称性及单调性转化为即可求解. 【解析】（1）因为函数满足，所以函数关于对称， 当时，，所以， 所以， 所以． （2）由(1)可知，函数在区间单调递减，在区间单调递增， 不等式可化为，解得， 所以实数的取值范围为 23．已知函数，且，函数的图象与函数的图象关于原点对称. （1）写出函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）当时， ，当时， . 【分析】（1）设图象上任意点，根据对称性，关于原点对称的点在的图象上，则，即可求解； （2）根据题意写出，求出即可判断奇偶性； （3）分类讨论当时，当时分别求解不等式. 【解析】（1）由题：函数，且，函数的图象与函数的图象关于原点对称， 设图象上任意点关于原点对称的点在的图象上，则，所以， 即； （2）是奇函数，证明如下： ， 即， ， 所以是奇函数； （3）由题：， 即， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述：当时， ，当时， . 【点睛】此题考查根据对称性求函数解析式，根据定义判断奇偶性，解含参数的不等式，综合性较强. 题型7：由函数的对称性求函数值或参数值 24．若函数，，，则 ；的值为 . 【答案】 2或20 【分析】根据函数解析式可得，结合已知可得，再根据解得或2，列对数方程求参即可. 【解析】因为，在定义域上任取x，则， 所以，所以； 由，即，解得或2， 所以或，可得或100， 所以n的值为2或20． 故答案为：；2或20 25．已知函数，若，则 ． 【答案】﹣3 【分析】利用函数的对称性可求得函数值． 【解析】根据题意，函数， 则 ， 则， 若，则， 故答案为：﹣3． 26．定义在上的函数是奇函数，满足，且图像关于直线对称，则 ． 【答案】5 【分析】令，根据的奇偶性，求出，再根据，求出，即可得到，再根据的对称性，求出即可； 【解析】解：因为定义在上的函数是奇函数，令，则，所以，又，所以，则，所以，即，又图像关于直线对称，所以 所以 故答案为： 27．若函数的图像关于原点对称，则 ，若，则时的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题可得，即可求出，再根据函数单调性可求出的取值范围. 【解析】的图象关于原点对称， ，解得， 则，在单调递减， . 故答案为：2；. 28．已知是定义在上的函数且图象关于点对称，是偶函数，若当时，，则 ． 【答案】 【分析】由函数的对称性和奇偶性，得函数的奇偶性和周期性，得函数在时的解析式，求得的值. 【解析】因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，所以是定义在上的奇函数，， 又因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，， 所以，函数是一个周期为4的周期函数， 因为时，，所以，， . 故答案为：-1. 【点睛】函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，可通过代换得到函数的周期性. 29．已知是偶函数，，且当时，，则 . 【答案】 【分析】 根据题意，结合函数的基本性质，推得，得到函数是周期为的函数，进而求得的值. 【解析】设函数，因为函数为偶函数， 可得，所以， 令，可得，所以，即， 又因为，可得， 设，可得，即， 所以函数是周期为的函数，则， 又因为当时，，所以. 故答案为：. 30．已知函数的图象与函数的图象交于点和点，则 ． 【答案】8 【分析】由与图象的对称性及中点坐标公式即可求值. 【解析】不妨设，可画出两函数的大致图象如下： 如图，由题意可知，点纵坐标为，点纵坐标为，且四边形为平行四边形， 设与的交点为，故为与的中点， 因为，，所以， 所以. 故答案为：8 题型8：由函数的周期性与对称性综合应用 31．定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，给出下列几个命题： ①；②的图象关于直线对称；③在上单调递减. 其中正确命题的序号是 .（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③ 【分析】根据题干中函数的奇偶性，周期性，单调性，依次判断各个选项即可. 【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，， 则由，得，所以①正确； 又， 所以的图象关于直线对称，②正确； 因为为奇函数，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为关于直线对称， 所以在上单调递减，③正确. 故答案为：①②③ 32．已知函数，正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】，得，得关于对称； 又在单调递增，由对称性可得在单调递增，即在单调递增. 故由可得，代入化简所求表达式结合均值不等式即可求最值. 【解析】，∴，∴关于对称. 在单调递增，由对称性得在单调递增，∴在单调递增. ∴， ∴ 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 33．已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】根据函数的对称性及单调性之间的关系即可求解. 【解析】由题意，因为函数对任意的均有， 所以可得函数的图象关于对称， 又由在上单调递减，则在上单调递增， 因为，可得， 则不等式，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 34．已知是定义在R上的奇函数，满足，有下列说法： ①的图象关于直线对称； ②的图象关于点对称； ③在区间上至少有5个零点； ④若上单调递增，则在区间上单调递增． 其中所有正确说法的序号为 ． 【答案】②③④ 【分析】求得函数的图象关于点对称判断①②；求得在区间上零点个数判断③；求得在区间上的单调性判断④ 【解析】因为，所以， 故函数是周期为3的周期函数，又是定义在R上的奇函数， 则，所以， 故函数的图象关于点对称，故①错误，②正确； 由题意可知，，因为， 令，可得， 即， 所以，从而， 故函数在区间上至少有5个零点，故③正确； 因为，， 且函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 故函数在区间上也单调递增，故④正确． 故答案为：②③④ 35．已知函数是定义在R上的函数，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，.函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为 . 【答案】 【分析】由的周期性和对称性求出函数的值域，再将不等式转化为在上恒成立，求解即可. 【解析】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于原点对称，即函数是奇函数， 又因为函数是定义在上的函数，所以. 当时，， 当时，，故当时，， 由已知函数的周期为4， 又可知恰好是一个周期， 所以函数的值域是. 对任意，存在，使得成立， 即存在，使，当时显然成立， 当时，取得最小值， 所以，解得. 综合得实数构成的集合为. 故答案为：. 36．我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象关于点成中心对称，则实数的值为 ；若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 2 【分析】 由题意可得，代入计算即可得，结合函数的单调性与对称性即可求得实数的取值范围. 【解析】因为函数的图象关于点成中心对称， 所以， 即， 即，所以， 所以在定义域上单调递减， 令， 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以的图象关于对称， 且单调递减， 因为，即， 即，也即， 所以，则，解得或， 故实数的取值范围是． 故答案为：2；. 一、填空题 1．设函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，，若，则 【答案】 【分析】结合奇、偶函数的性质，得是周期为4的周期函数，根据题意，得，，列方程组求出a和b，即可得解. 【解析】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则有， 又是奇函数，则， 所以，即， 则有，所以函数是周期为4的周期函数， 则，又，所以， 则，所以， 由，当时，得，则，所以， 所以，所以当时，， 故. 故答案为：. 2．定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【解析】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以越靠近对称轴函数值越小， 所以由得， 由于，所以， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，， 在时单调递减，， 所以恒成立，则实数a的取值范围 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下 （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心. 3．已知函数满足：．则下列三个结论： （1）； （2）； （3）． 其中正确的结论是 ． 【答案】（1）（3） 【分析】构造函数得，进而得，从而可判断（1）；举反例排除断（2）；利用（1）结论，结合基本不等式求范围判断（3）. 【解析】令，则，则， 两式相减，整理得， 所以，故（1）对； 当时，， 满足，但，故（2）错； 由， 当且仅当或2时取等号， 所以， 可得，故（3）对. 故答案为：（1）（3） 【点睛】关键点睛：本题结论（1）的解决关键是通过构造函数得到，进而得到，从而得解. 4．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.据此，对于函数，其图象的对称中心是 ，且有 . 【答案】 【分析】根据条件分析得到，由此列出关于的方程并求解出的值，则对称中心坐标可知；根据条件可得，然后根据函数值的对称特点求解出原式的值. 【解析】设的对称中心为，则为奇函数， 所以， 即， 化简可得， 所以，解得， 所以图象的对称中心为； 因为图象的对称中心为，所以， 所以，所以， 所以， 所以原式， 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下： （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心为. 5．设函数是定义在整数集上的函数，且满足，对任意的x，都有，则＝ . 【答案】 【分析】根据给出的条件，推导函数的周期性及各函数值，再考虑，，的特点，结合周期性求值. 【解析】令，， 令，，， 令，则即，可得， ，函数周期， ，∴x为奇数时，， n为奇数时，也为奇数，此时；n为偶数时，为4的整数倍，此时. ∴， ，由，则为偶数， 记， ， ， 所以. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据条件，采用“赋值法”，可得，，，的值，再推导出函数是周期为4的周期函数.再判断，当为奇数时，，当为偶数时，，且是4的倍数，所以. 二、单选题 6．已知函数的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合条件判断函数的对称性质和单调性，再分别界定三个自变量的值或者范围，利用函数对称性和单调性即得. 【解析】依题可知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增,则在区间上单调递减. 因，则，，故，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于，得知了函数在上的单调性之后，如何判断三个自变量的大小范围，考虑到三个都是大于1的，且有一个是，故对于和，就必然先考虑它们与的大小，而这需要利用对数函数的单调性得到. 7．已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 【答案】D 【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值. 【解析】解：对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误； 对于B，取，满足及， 因为，所以的图象不关于点对称， 所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，令，，代入已知等式得， 可得，结合得，， 再令，代入已知等式得， 将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，， 两式相加易得，所以有， 即：， 有：， 即：，所以为周期函数，且周期为3， 因为，所以，所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定. 三、解答题 8．已知函数 (1)求证：用单调性定义证明函数是上的严格减函数； (2)已知“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”.试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 【答案】(1)见解析； (2)存在，为； (3)2. 【分析】(1)先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； 假设函数的图像存在对称中心， (2)结合函数的对称性及恒成立问题可建立关于，的方程，进而可求，； (3)由已知代入整理可得，的关系，然后结合恒成立可求的范围，进而可求． 【解析】（1）设，则， ∴， ∴函数是上的严格减函数； （2）假设函数的图像存在对称中心， 则恒成立， 整理得恒成立， ∴， 解得，， 故函数的对称中心为； （3）∵对任意,，都存在,及实数，使得， ∴， 即， ∴， ∴， ∵,，∴,， ∵,，∴,,， ∴，即， ∴， ∴，即的最大值为2． 9．已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，；当时， 【分析】（1）由题意可知对任意恒成立，整理得，令，由的单调性，求出的最小值即可； （2）由时，，可求得)时，，利用在上单调递增，即可求出的范围； （3）由对一切实数恒成立，得一切实数恒成立．当时，；当时，可得，进而可得答案． 【解析】（1）由题意可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立， 整理得：， ∴， 令，则， ∵在上单调递增，∴， ∴． （2）∵时，， ∴当时，， ∴当时，， 即)时，， ∵在上单调递增， ∴且，即. （3）由已知，有对一切实数恒成立， 即一切实数恒成立， 当时，； 当时，∵，∴，， 于是，， 故要使恒成立，只有， 当时，，得到且； 当时，，得到，即， 综上可知：当时，；当时，． 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；． 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2函数的基本性质（第4课时） -含指幂对函数 题型1：函数周期的定义及求解 1．对于函数，如果存在一个 T，使得当x取其定义域D中的 时，有，且 ，那么函数就叫做周期函数，T叫做函数的 . 2．已知函数的最小正周期为3，则函数的最小正周期为 ． 3．函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为 ． 4．已知奇函数的定义域为.若为偶函数，则 . 5．已知函数是R上的奇函数，且，当时，，则＝ . 题型2：由函数周期求解析式 6．已知函数为偶函数，且，若当时，，则当时， ． 7．已知函数是定义域为R的偶函数，且周期为2，当时，，则当时， . 8．设是定义在上周期为4的偶函数，且当时，，则函数在上的解析式为 . 9．已知奇函数满足，当时，，则 ；当时， ． 题型3：证明是周期函数 10．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的函数值； (2)证明：为周期函数． 11．已知是定义在上的函数，满足. (1)若，求； (2)求证：的周期为4； (3)当时，，求在时的解析式. 12．若函数的定义域为R，且 (1)求的值，并证明函数是偶函数； (2)判断函数是否为周期函数并说明理由，求出的值 13．已知定义在上的函数满足，都有且当时， (1)求； (2)证明：为周期函数； (3)判断并证明在区间上的单调性． 题型4：由周期性求函数值 14．已知奇函数满足，且当时，． (1)证明：； (2)求的值． 15．已知定义在上的函数满足：. (1)求证：是周期函数，并求出其周期； (2)若，，求的值. 16．设是定义在上函数且满足， ，其中，若，则的值为 ． 17．已知f(x)是定义在R上的函数，满足． （1）若，求； （2）证明：函数f(x)的周期是2； （3）当时，f(x)＝2x，求f(x)在时的解析式，并写出f(x)在时的解析式． 题型5：判断或证明函数的对称性 18．函数． (1)求函数的定义域； (2)证明：函数图象关于y轴对称． 19．已知，且方程有两个相等的实根． (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性并证明． 20．已知函数． (1)求证：； (2)若函数，满足，则函数的图象关于点对称．设函数，求图象的对称中心． 题型6：由函数的对称性求解析式 21．已知函数的定义域为R，其图象关于点对称. (1)求实数a，b的值； (2)求的值. 22．已知函数满足，当时，. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求实数的取值范围． 23．已知函数，且，函数的图象与函数的图象关于原点对称. （1）写出函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）求关于的不等式的解集. 题型7：由函数的对称性求函数值或参数值 24．若函数，，，则 ；的值为 . 25．已知函数，若，则 ． 26．定义在上的函数是奇函数，满足，且图像关于直线对称，则 ． 27．若函数的图像关于原点对称，则 ，若，则时的取值范围为 . 28．已知是定义在上的函数且图象关于点对称，是偶函数，若当时，，则 ． 29．已知是偶函数，，且当时，，则 . 30．已知函数的图象与函数的图象交于点和点，则 ． 题型8：由函数的周期性与对称性综合应用 31．定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，给出下列几个命题： ①；②的图象关于直线对称；③在上单调递减. 其中正确命题的序号是 .（写出所有正确命题的序号） 32．已知函数，正实数，满足，则的最小值为 ． 33．已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为 ． 34．已知是定义在R上的奇函数，满足，有下列说法： ①的图象关于直线对称； ②的图象关于点对称； ③在区间上至少有5个零点； ④若上单调递增，则在区间上单调递增． 其中所有正确说法的序号为 ． 35．已知函数是定义在R上的函数，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，.函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为 . 36．我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象关于点成中心对称，则实数的值为 ；若，则实数的取值范围是 ． 一、填空题 1．设函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，，若，则 2．定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 3．已知函数满足：．则下列三个结论： （1）； （2）； （3）． 其中正确的结论是 ． 4．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.据此，对于函数，其图象的对称中心是 ，且有 . 5．设函数是定义在整数集上的函数，且满足，对任意的x，都有，则＝ . 二、单选题 6．已知函数的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 三、解答题 8．已知函数 (1)求证：用单调性定义证明函数是上的严格减函数； (2)已知“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”.试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 9．已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$