精品解析：河南省信阳市息县关店理想学校2023-2024学年七年级下学期期末数学A试题

2023-2024学年关店理想学校人教版七年级数学下册期末模拟试卷A （满分：120分 时间100分钟） 一、选择题：（本题共10小题，共28分） 1. 把左边如图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的定义，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．根据平移的定义，逐项核对即可． 【详解】解：根据平移定义可知：把如图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是C． 故选：C． 2. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系每一象限点的坐标特征是解题的关键．根据平面直角坐标系中点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据第四象限内点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为， 故选：B． 3. 下列说法正确的是（　　） A. （﹣4）2的平方根是﹣4 B. 没有意义 C. 无限小数都是无理数 D. 一个数的立方根等于它本身，这个数是0、1、﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数和无理数的定义以及平方根和立方根的特点分别进行解答即可． 【详解】解：A、（﹣4）2的平方根是±4，故本选项错误； B、有意义，故本选项错误； C、无限不循环小数都是无理数，故本选项错误； D、一个数的立方根等于它本身，这个数是0、1、﹣1，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数和无理数的定义以及平方根和立方根，解决本题的关键是熟记有理数和无理数的定义以及平方根和立方根的特点. 4. 下列各式中，是关于和的二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程）逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是方程，则此项不符合题意； B、是二元一次方程，则此项符合题意； C、中的不是整式，不是二元一次方程，则此项不符合题意； D、中的的次数为2，不是二元一次方程，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程，熟记定义是解题关键． 5. 下列采用的调查方式中，合适的是（ ） A. 为了解妫水河的水质情况，采用抽样调查方式 B. 某工厂为了解所生产的产品的合格率，采用全面调查的方式 C. 某学校给学生做校服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式 D. 为了解神舟飞船设备零件的质量情况，采用抽样调查的方式 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽样调查与全面调查的意义：抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，并运用概率估计方法，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法；结合具体的问题情境进行判断即可． 【详解】解：A．为了解妫水河的水质情况，适合使用抽样调查，因此选项A符合题意； B．某工厂为了解所生产的产品的合格率，适合使用抽样调查，因此选项B不符合题意； C．某学校给学生做校服前进行尺寸大小的调查，适合使用全面调查，因此选项C不符合题意； D．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，必须使用全面调查，因此选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的前提． 6. 二元一次方程有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当是，故选B. 7. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故C符合题意； A、B、D中的条件都不能判定， 故选：C． 8. 若，则下列各式不正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，可得答案． 【详解】解：A、两边都加2，不等式仍然成立，故A不符合题意； B、两边都减2，不等式仍然成立，故B不符合题意； C、两边都乘以-2，不等号的方向改变，不等式不成立，故C符合题意； D、两边都除以2，不等式仍然成立，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 9. 我国明代数学家程大位的名著《增删算法统宗》 里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各几人？设大、小和尚各有x、y人，根据题意，得（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式得出答案． 【详解】解：设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组： ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 10. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可得出：横坐标为运动次数，纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮，进而即可求出答案． 【详解】解：根据动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 第4次运动到点，第5次接着运动到点，， 横坐标为运动次数，经过第2023次运动后，动点的横坐标是2023， 纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮， ， 经过第2023次运动后，动点的坐标是； 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点不可能在第______象限． 【答案】一 【解析】 【分析】分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解． 【详解】解：①m-3＞0，即m＞3时，-2m＜-6， 4-2m＜-2， 所以，点P（m-3，4-2m）在第四象限； ②m-3＜0，即m＜3时，-2m＞-6， 4-2m＞-2， 点P（m-3，4-2m）可以在第二或三象限， 综上所述，点P不可能在第一象限． 故答案为：一． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 12. 已知是方程的解，则＝________． 【答案】-3 【解析】 【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以求出a的值． 【详解】把代入方程得： ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值． 13. 把一副三角板放在同一水平面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数为_____． 【答案】75° 【解析】 【分析】根据两直线平行内错角相等求出即可，关键是作出辅助线，如图： 【详解】过公共点作EF∥AB ∵AB∥CD ∴EF∥CD ∴∠AFE=∠A， ∠EFC=∠C 又∵∠A=45°，∠C=30° ∴∠1=45°+30°=75° 故答案为75° 【点睛】本题考查平行线的性质，关键是两直线平行内错角相等． 14. 若不等式组有解，则a的取值范围是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组解集的确定方法结合题意进行求解即可． 详解】∵不等式组有解 ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了根据不等式组解集的情况求参数，解题的关键是求出不等式组的解集． 15. 为了解本校七年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试1分钟仰卧起坐的次数，并将其绘制成如图所示的频数直方图．那么仰卧起坐次数在25～30次的人数占抽查总人数的百分比是______． 【答案】40% 【解析】 【分析】根据频数分布直方图中的数据，可以计算出仰卧起坐次数在25～30次的人数占抽查总人数的百分比． 【详解】解： ×100%＝40%， 即仰卧起坐次数在25～30次的人数占抽查总人数的百分比是40%， 故答案为：40%． 【点睛】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 三、解答题：（本题共8小题，共75分） 16. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，求出每个不等式的解集，找出公共部分，并把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 17. 已知：如图，点为线段上的点，点为线段上的点，连接，，，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴_______（_____________）， ∴（_____________）， ∵（已知）， ∴_____________， ∴， ∴（_____________）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等． 【解析】 【分析】先通过内错角相等，可证得，得到，再证，得，由平行线的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（ 内错角相等，两直线平行 ）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴， ∴， ∴（ 两直线平行，内错角相等 ）． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 18. 如图，三角形经过某种变换后得到三角形，点、、的对应点分别是点、、，请观察它们之间的关系，完成以下问题： （1）请分别写出点A，D的坐标：A______，D______； （2）若三角形内任意一点M坐标是，点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是______； （3）在上述变换情况下，点与点为对应点，求的值． 【答案】（1）；； （2）； （3）2． 【解析】 【分析】（1）观察平面直角坐标系可得点，的坐标； （2）根据平面直角坐标系中点的坐标特征可知点、、和点、、关于原点对称，从而得出点的坐标； （3）根据（2）中的结论列出方程组，求解即可． 【小问1详解】 由平面直角坐标系得点的坐标是，点的坐标是， 故答案为：；； 【小问2详解】 点与点，点与点，点与点，两点的横纵坐标互为相反数， 这三组对应点均关于原点对称， 若三角形内任意一点的坐标是，点经过这种变换后得到点，点的坐标是， 故答案为：； 【小问3详解】 根据题意得， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了几何变换，坐标与图形性质，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 19. 新修订的《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日正式施行，新修订的分类标准，将生活垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可收物四类，小明所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如图的频数分布表和频数分布直方图： a．线上垃圾分类知识测试频数分布表 成绩分组 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 频数 3 9 m 12 8 b．线上垃圾分类知识测试频数分布直方图： c．成绩在80≤x＜90这一组的成绩为： 80，81，82，83，85，86，87，88，89 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m值为 　 　； （2）请补全频数分布直方图； （3）小明居住的社区大约有居民2000人，若达到测试成绩85分为优秀，那么估计小明所在的社区优秀的人数约为 　 　人． 【答案】（1）18；（2）见解析；（3）600 【解析】 【分析】（1）根据题意，可以得到样本容量，然后即可计算出m的值； （2）根据频数分布表中的数据和m的值，可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据题目中的数据，可以计算出小明所在的社区优秀的人数； 【详解】解：（1）由题意可得， 本次抽样调查样本容量为50，表中m的值为：50-3-9-12-8=18， 故答案为：18； （2）由（1）值m的值为18， 由频数分布表可知80≤x＜90这一组的频数为12， 补全的频数分布直方图如图所示： （3）2000×=600（人）， 估计小明所在的社区优秀的人数约为600人， 故答案为：600． 【点睛】本题考查频数分布直方图，用样本估计总体，解题的关键是根据题干所给数据得出m的值及样本估计总体思想的运用． 20. 某货运码头，有稻谷和棉花共2680吨，其中稻谷比棉花多380吨． （1）求稻谷和棉花各是多少吨？ （2）现安排甲、乙两种不同型号的集装箱共50个，将这批稻谷和棉花运往外地．已知稻谷35吨和棉花15吨可装满一个甲型集装箱；稻谷25吨和棉花35吨可装满一个乙型集装箱．在50个集装箱全部使用的情况下，如何安排甲、乙两种集装箱的个数，有哪几种方案？ 【答案】（1）棉花1150吨，稻谷1530吨 （2）共有三种方案：①甲种集装箱28个，乙种集装箱22个；②甲种集装箱29个，乙种集装箱21个；③甲种集装箱30个，乙种集装箱20个． 【解析】 分析】（1）稻谷x吨，棉花y吨，根据题意列出方程组求解即可即可； （2）设甲种集装箱的个数为m个，则乙种集装箱的个数为个，根据这批稻谷和棉花要装完列出不等式组，并求解即可． 【小问1详解】 解：设稻谷x吨，棉花y吨， 由题意得：， 解得：， 答：棉花1150吨，稻谷1530吨 【小问2详解】 设甲种集装箱的个数为m个，则乙种集装箱的个数为个， 将这批稻谷和棉花运往外地，则应该是全部运走， 所以， 解得：， 因为m为整数，所以m的值为28、29、30， 当时，； 当时，； 当时，； 共有三种方案： ①甲种集装箱28个，乙种集装箱22个； ②甲种集装箱29个，乙种集装箱21个； ③甲种集装箱30个，乙种集装箱20个． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用与解不等式组的应用，根据题意找出等量关系和不等关系列出方程组和不等式组并正确求解是解题的关键． 21. （1）阅读以下内容：已知，满足，且求的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于，的方程组再求的值． 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值． 丙同学：先解方程组，再求的值． （2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．请先选择思路，再解答题目．我选择_______同学的思路（填“甲”或“乙”或“丙”）． 【答案】乙，详见解析 【解析】 【分析】可以分别求解再进行比较，乙的解法比较简单. 【详解】解：甲同学：解得 把代入，得 解得：=4 乙同学： ①+②得 ，即： ∵ ∴ 解得=4 丙同学： 解得 把代入得 解得=4 综合上述，甲的解法比较繁琐，计算量大，乙同学的做法比较巧，计算量也小，所以我选乙. 故答案为：乙 【点睛】考核知识点：解二元一次方程组.熟练掌握方程组基本解法是关键. 22. 某公园的门票价格如表所示： 购票人数 人 人 100人以上（不含100人） 每人门票价 13元 11元 9元 某校初一（1）（2）两个班去游览公园，其中（1）班人数较少，不足50人，（2）班人数较多，超过50人，但是不超过100人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两个班联合起来，作为一个团体购票，则只需付936元． （1）请列出方程组，求出两个班各有多少学生？ （2）你认为是否存在这样的可能：51到100人之间买票的钱数与100人以上（不含100人）买票的钱数相等？如果有，请求出各有多少人时买票钱数相等？ 【答案】（1）（1）班有学生48人，（2）班有学生56人 （2）90人和110人或99人和121人买票钱数相等 【解析】 【分析】（1）由两班人数之和为整数可得出初一（1）（2）两个班的人数之和大于100，设初一（1）班有人，初一（2）班有人，根据“总价单价数量”，即可得出二元一次方程组，解之即可； （2）设人与人买票钱数相等（，），根据“总价单价数量”且总价相等，即可得出关于的二元一次方程，结合为正整数及其范围，即可求出的值． 【小问1详解】 解：如果初一（1）（2）两个班的人数之和不大于100， 则，不符合题意， ∴初一（1）（2）两个班的人数之和大于100． 设初一（1）班有人，初一（2）班有人， 依题意，得， 解得． 答：（1）班有48人，（2）班有56人； 【小问2详解】 设人与人买票钱数相等（，）， 依题意，得， ∴为9的整数倍，为11的整数倍， ∴或． 答：90人和110人或99人和121人买票钱数相等． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程． 23. 已知点在射线上． （1）如图，，若，，求的度数； （2）在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； （3）在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）先根据平行线的性质得到的度数，再根据直角、周角的定义即可求得的度数； （2）如图②，过O点作，根据平行线的判定和性质可得、的数量关系； （3）由已知推出，得到，结合角平分线的定义可推出，根据（2），进而推出． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：；理由如下： 证明：如图②，过O点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵由（2）知，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年关店理想学校人教版七年级数学下册期末模拟试卷A （满分：120分 时间100分钟） 一、选择题：（本题共10小题，共28分） 1. 把左边如图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（　　） A. （﹣4）2的平方根是﹣4 B. 没有意义 C. 无限小数都是无理数 D. 一个数的立方根等于它本身，这个数是0、1、﹣1 4. 下列各式中，是关于和的二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列采用的调查方式中，合适的是（ ） A. 为了解妫水河的水质情况，采用抽样调查方式 B. 某工厂为了解所生产的产品的合格率，采用全面调查的方式 C. 某学校给学生做校服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式 D. 为了解神舟飞船设备零件的质量情况，采用抽样调查的方式 6. 二元一次方程有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是 A. B. C. D. 7. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A B. C. D. 8. 若，则下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 我国明代数学家程大位的名著《增删算法统宗》 里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各几人？设大、小和尚各有x、y人，根据题意，得（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点不可能在第______象限． 12. 已知是方程的解，则＝________． 13 把一副三角板放在同一水平面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数为_____． 14. 若不等式组有解，则a的取值范围是__________________． 15. 为了解本校七年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试1分钟仰卧起坐的次数，并将其绘制成如图所示的频数直方图．那么仰卧起坐次数在25～30次的人数占抽查总人数的百分比是______． 三、解答题：（本题共8小题，共75分） 16. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 17. 已知：如图，点为线段上的点，点为线段上的点，连接，，，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴_______（_____________）， ∴（_____________）， ∵（已知）， ∴_____________， ∴， ∴（_____________）． 18. 如图，三角形经过某种变换后得到三角形，点、、的对应点分别是点、、，请观察它们之间的关系，完成以下问题： （1）请分别写出点A，D的坐标：A______，D______； （2）若三角形内任意一点M的坐标是，点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是______； （3）在上述变换情况下，点与点为对应点，求的值． 19. 新修订的《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日正式施行，新修订的分类标准，将生活垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可收物四类，小明所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如图的频数分布表和频数分布直方图： a．线上垃圾分类知识测试频数分布表 成绩分组 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 频数 3 9 m 12 8 b．线上垃圾分类知识测试频数分布直方图： c．成绩在80≤x＜90这一组的成绩为： 80，81，82，83，85，86，87，88，89 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为 　 　； （2）请补全频数分布直方图； （3）小明居住的社区大约有居民2000人，若达到测试成绩85分为优秀，那么估计小明所在的社区优秀的人数约为 　 　人． 20. 某货运码头，有稻谷和棉花共2680吨，其中稻谷比棉花多380吨． （1）求稻谷和棉花各是多少吨？ （2）现安排甲、乙两种不同型号的集装箱共50个，将这批稻谷和棉花运往外地．已知稻谷35吨和棉花15吨可装满一个甲型集装箱；稻谷25吨和棉花35吨可装满一个乙型集装箱．在50个集装箱全部使用的情况下，如何安排甲、乙两种集装箱的个数，有哪几种方案？ 21. （1）阅读以下内容：已知，满足，且求的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于，方程组再求的值． 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值． 丙同学：先解方程组，再求的值． （2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．请先选择思路，再解答题目．我选择_______同学的思路（填“甲”或“乙”或“丙”）． 22. 某公园门票价格如表所示： 购票人数 人 人 100人以上（不含100人） 每人门票价 13元 11元 9元 某校初一（1）（2）两个班去游览公园，其中（1）班人数较少，不足50人，（2）班人数较多，超过50人，但是不超过100人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两个班联合起来，作为一个团体购票，则只需付936元． （1）请列出方程组，求出两个班各有多少学生？ （2）你认为是否存在这样的可能：51到100人之间买票的钱数与100人以上（不含100人）买票的钱数相等？如果有，请求出各有多少人时买票钱数相等？ 23. 已知点在射线上． （1）如图，，若，，求的度数； （2）在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； （3）在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$