2.3 有理数的乘方（检测卷）-2024-2025学年人教版新教材数学七年级上册同步培优过关必刷卷

2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优过关必刷卷●新教材【第2章《有理数的运算》】 2.3 有理数的乘方 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.38（较难）题目来源：全国各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•商南县校级期末）数据显示，截至2023年9月底，全国登记在册个体工商户已达122000000户．将122000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2023秋•越城区校级期末）已知算式“5■”的值为，“■”部分是因被污染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是　　 A． B． C． D． 3．（2分）（2023秋•坡头区期末）在应用有理数减法法则计算时，其中需要把“”变成“”的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2分）（2023秋•茌平区期末）对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：※，则2※等于　　 A． B． C．0 D．2 5．（2分）（2023秋•山亭区期末）以下判断：①的倒数是；②若，则的值为2或；③的相反数是2；④平方等于它本身的数只有1和0．其中正确的序号是　　 A．②③④ B．①②④ C．①② D．①③④ 6．（2分）（2023秋•桥西区期末）下如为小亮某次测试的答卷，每小题20分，他的得分应是　　 （1）的绝对值为1 （2）数轴上到距离为3的点是1 （3）的底数是2 （4）的倒数是 （5）绝对值等于本身的有理数为非负有理数 A．100分 B．80分 C．60分 D．40分 7．（2分）（2023秋•义乌市校级月考）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是；若，则第2017次运算结果是　　 A．1 B．2 C．7 D．8 8．（2分）（2019秋•思明区校级期中）设，，则、的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 9．（2分）（2023秋•洛江区期中）设，利用等式，则与最接近的正整数是　　 A．18 B．20 C．24 D．25 10．（2分）（2022•西城区校级模拟）如图，，，，是数轴上四个点，点表示数为10，点表示的数为，，则数所对应的点在线段　　上． A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•清江浦区校级开学）一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是10厘米，瓶里酒深15厘米．将酒瓶塞紧后使其倒立，此时酒深25厘米，酒瓶的容积为 　　厘米取． 12．（2分）（2023秋•禅城区期末）利用如图所示的图形，可求的值是 　　． 13．（2分）（2024春•高港区校级月考）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考；如果知道，，能否求呢？对于，规定，，例如：，所以，．记，，，；与之间的关系式为 　　． 14．（2分）（2023秋•大祥区期末）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，若输入数为3，则计算结果为 　　． 15．（2分）（2023秋•河东区期末）若有理数，互为倒数，，互为相反数，的绝对值是2，则　　． 16．（2分）（2023秋•邢台期末）在计算时，利用乘法的 　　可以简单运算；其计算结果是 　　． 17．（2分）（2023秋•开州区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美．那么比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是　 　． 18．（2分）（2022秋•巴东县期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”其意思是“有蒲和莞两种植物，蒲第一日长了3尺，莞第一日长了1尺，以后蒲每日生长的长度是前一日的一半，莞每日生长的长度是前一日的2倍，问几日蒲、莞上涨的长度相等．” 请计算出第三日后，蒲、莞的长度相差为　　尺． 19．（2分）（2021春•鼓楼区校级期末）我们把对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为《》，即当为非负整数时，若，则《》．例如《0.67》，《2.49》，下列结论中：①《》《》；②当为非负整数时，《》《》；③满足《》的非负实数只有两个．其中结论正确的是 　　．（填序号） 20．（2分）（2023秋•靖江市校级期中）如图，定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“运算”的结果是11．若，则第449次“运算”的结果是 　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2023秋•赣榆区月考）计算： （1）； （2）． 22．（6分）（2023秋•中原区期末）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被污染了． （1）如果被污染的数字是，请计算； （2）如果计算结果等于，求被污染的数字． 23．（8分）（2023秋•衢江区期末）《如何选择合适的话费套餐》 【背景素材】 某通信运营商提供融合套餐，一人付费全家享，其中两种套餐的具体内容如下： 套餐 套餐 每月基本服务费 169元 199元 每月免费国内通用流量 每月免费国内通话时间 800分钟 1000分钟 超出后通话收费 0.15元分钟 超出后流量收费 3元，不足按收费 【问题解决】若某用户目前使用套餐． 任务月全家使用流量，通话时长850分钟，请计算该用户12月份的套餐费用． 任务2：该用户查看全家近半年通话时长及流量使用情况，发现每月通话时长基本在850分钟左右，但流量使用波动较大．视该用户每月通话时长为850分钟，设其每月使用流量为为正整数）． （1）请表示该用户每月所需支付的费用． （2）请计算说明，该用户何时需要调整套餐． 24．（8分）（2023秋•获嘉县期末）小东对有理数，定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” （1）请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 　　，异号得 　　，并用绝对值较大的数减绝对值较小的数；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． （2）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同． ①用“乘减法”计算：　　； ②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 25．（8分）（2023秋•信州区期末）观察下列各式： ；；；； （1）根据你发现的规律，计算下面算式的值：　　； （2）请用一个含的算式表示这个规律：　　； （3）根据发现的规律，请计算算式的值（写出必要的解题过程） 26．（8分）（2023秋•滨海新区期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． （1）求出，的值； （2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位长度秒的速度向左运动． ①设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ ②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？ 27．（8分）（2023•城阳区校级一模）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：　　，　　； （2）关于除方，下列说法错误的是 　　 ．任何非零数的圈2次方都等于1； ．对于任何正整数，； ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．　　；　　；　　． （2）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于 　　； （3）算一算：． 28．（8分）（2020秋•裕华区校级期中）请先阅读下列一段内容，然后解答问题． 因为，，，， ， 所以 （1）请你计算： （2）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优过关必刷卷●新教材【第2章《有理数的运算》】 2.3 有理数的乘方 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.38（较难）题目来源：全国各地名校真题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•商南县校级期末）数据显示，截至2023年9月底，全国登记在册个体工商户已达122000000户．将122000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】用移动小数点的方法确定值，根据整数位数减一原则确定值，最后写成的形式即可． 【规范解答】解：， 故选：． 【考点评析】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定，运用整数位数减去1确定值是解题的关键． 2．（2分）（2023秋•越城区校级期末）已知算式“5■”的值为，“■”部分是因被污染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据有理数除法运算法则计算即可． 【规范解答】解：， 故选：． 【考点评析】本题考查了有理数的除法，能根据商为确定运算符号是解题的关键． 3．（2分）（2023秋•坡头区期末）在应用有理数减法法则计算时，其中需要把“”变成“”的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【思路点拨】根据有理数的减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数即可求得． 【规范解答】解：， 需要把“”变成“”的号的是②③． 故选：． 【考点评析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数减法运算法则是关键． 4．（2分）（2023秋•茌平区期末）对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：※，则2※等于　　 A． B． C．0 D．2 【思路点拨】根据※，可以求得所求式子的值． 【规范解答】解：※， ※ ， 故选：． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 5．（2分）（2023秋•山亭区期末）以下判断：①的倒数是；②若，则的值为2或；③的相反数是2；④平方等于它本身的数只有1和0．其中正确的序号是　　 A．②③④ B．①②④ C．①② D．①③④ 【思路点拨】①先将化为假分数，再求其倒数即可； ②直接去绝对值符号求的值即可； ③根据相反数的定义求的相反数即可； ④将这个数设为未知数，根据题意列方程并求解即可． 【规范解答】解：①，它的倒数是， ①正确； ②， 或2， ②正确； ③的相反数是， ③不正确； ④设这个数为， 根据题意，得， 经整理，得， 解得或1， ④正确； 综上，①②④正确， 故选：． 【考点评析】本题考查相反数等，掌握相关定义是本题的关键． 6．（2分）（2023秋•桥西区期末）下如为小亮某次测试的答卷，每小题20分，他的得分应是　　 （1）的绝对值为1 （2）数轴上到距离为3的点是1 （3）的底数是2 （4）的倒数是 （5）绝对值等于本身的有理数为非负有理数 A．100分 B．80分 C．60分 D．40分 【思路点拨】根据绝对值的定义、乘方、倒数的定义即可解答． 【规范解答】解：（1）的绝对值为1，原说法正确，得分20分； （2）数轴上到距离为3的点是1或，原说法错误，不得分； （3）的底数是2，原说法正确，得分20分； （4）的倒数是，原说法正确，得分20分； （5）绝对值等于本身的有理数数为非负有理数，原说法正确，得分20分； 小亮的得分为80分， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了倒数，相反数，乘方，绝对值和数轴上两点的距离计算，熟知相关知识是解题的关键． 7．（2分）（2023秋•义乌市校级月考）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是；若，则第2017次运算结果是　　 A．1 B．2 C．7 D．8 【思路点拨】根据关于整数的“”运算：探究规律后即可解决问题； 【规范解答】解：由题意时，第一次经运算是32，第二次经运算是1，第三次经运算是8，第四次经运算是 以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1， 第2017次运算结果8， 故选：． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，关于整数的“”运算，解题的关键是理解题意，循环从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题． 8．（2分）（2019秋•思明区校级期中）设，，则、的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 【思路点拨】先化简、，再根据有理数大小比较的方法进行比较即可求解． 【规范解答】解： ， ， ． 故选：． 【考点评析】考查了有理数的混合运算，有理数大小比较，关键是化简求出、的值． 9．（2分）（2023秋•洛江区期中）设，利用等式，则与最接近的正整数是　　 A．18 B．20 C．24 D．25 【思路点拨】利用等式，代入原式得出数据的规律性，从而求出． 【规范解答】解：利用等式，代入原式得： 而 故选：． 【考点评析】此题主要考查了数的规律，关键是运用已知发现规律，题目规律性比较强． 10．（2分）（2022•西城区校级模拟）如图，，，，是数轴上四个点，点表示数为10，点表示的数为，，则数所对应的点在线段　　上． A． B． C． D． 【思路点拨】先根据，计算出每一个线段的长度，再把的长度与进行比较即可． 【规范解答】解：点表示数为10，点表示的数为， ， ， ， 点表示的数为， ， ， 数所对应的点在点左侧， 数所对应的点在点之间， 故选：． 【考点评析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，估算出的大小是得出正确答案的关键． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•清江浦区校级开学）一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是10厘米，瓶里酒深15厘米．将酒瓶塞紧后使其倒立，此时酒深25厘米，酒瓶的容积为 　1500　厘米取． 【思路点拨】分析由于瓶中酒的体积不变，正放时酒深15厘米，倒放时酒深25厘米，倒放时空着部分的高是厘米，底面直径是10厘米的空气柱的体积，因此酒瓶的容积就相当于高为厘米，底面直径是10厘米的圆柱的体积，根据圆柱的容积一底面积高，列式为：，据此解答． 【规范解答】解： ． （立方厘米） 答：酒瓶的容积是1500立方厘米． 故答案为：1500． 【考点评析】此题主要考查圆柱的容积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 12．（2分）（2023秋•禅城区期末）利用如图所示的图形，可求的值是 　　． 【思路点拨】根据图形，可以发现，然后计算即可． 【规范解答】解：由图可得， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 13．（2分）（2024春•高港区校级月考）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考；如果知道，，能否求呢？对于，规定，，例如：，所以，．记，，，；与之间的关系式为 　　． 【思路点拨】根据题目中规定和所举的例子列等式计算即可 【规范解答】解：由题意可得：，， 即， 即． 故答案为：． 【考点评析】本题考查有理数的乘方，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 14．（2分）（2023秋•大祥区期末）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，若输入数为3，则计算结果为 　　． 【思路点拨】根据题目所给运算程序进行计算即可． 【规范解答】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键． 15．（2分）（2023秋•河东区期末）若有理数，互为倒数，，互为相反数，的绝对值是2，则　5　． 【思路点拨】由题意得，，把相应的值代入所求的式子运算即可． 【规范解答】解：、互为倒数，、互为相反数， ，，， ． 故答案为：5． 【考点评析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 16．（2分）（2023秋•邢台期末）在计算时，利用乘法的 　分配律　可以简单运算；其计算结果是 　　． 【思路点拨】利用利用乘法的 分配律可以简单运算；其计算结果是． 【规范解答】解：根据乘法的分配律得： ． 故答案为：分配律，． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 17．（2分）（2023秋•开州区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美．那么比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是　16　． 【思路点拨】根据“完美指标”的意义知道，自然数的真因数越多，此数越完美；因为在的数中，11、13、17、19是质数，真因数只有1，所以先排除这4个数，再分别找出12、14、15、16、18的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，分别求出“完美指标”． 【规范解答】解：12的正因数有：1、2、3、4、6、12，其中1、2、3、4、6是真因数， 完美指标：， 14的正因数有：1、2、7、14，其中1、2、7是真因数， 完美指标：， 15的正因数有：1、3、5、15，其中1、3、5是真因数， 完美指标：， 16的正因数有：1、2、4、8、16，其中1、2、4、8是真因数， 完美指标：， 18的正因数有：1、2、3、6、9、18，其中1、2、3、6、9是真因数， 完美指标：， 由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1， 所以，比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16． 答：比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16． 故答案为：16． 【考点评析】考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是，根据所给出的新的运算方法，即完美指标的意义及计算方法，找出对应的数，列式解决问题． 18．（2分）（2022秋•巴东县期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”其意思是“有蒲和莞两种植物，蒲第一日长了3尺，莞第一日长了1尺，以后蒲每日生长的长度是前一日的一半，莞每日生长的长度是前一日的2倍，问几日蒲、莞上涨的长度相等．” 请计算出第三日后，蒲、莞的长度相差为　　尺． 【思路点拨】根据题意求出两种植物生长长度的规律即可求解． 【规范解答】解：（1）设：日蒲、莞上涨的长度相等， 由题意得：蒲，第日上涨长度为：；莞，第日上涨长度为：， 则：，解得：． 答：2.6日蒲、莞上涨的长度相等 （2）蒲第3日后上涨长度为：， 莞，第3日上涨长度为：7， 二者差为尺， 故答案是． 【考点评析】本题考查的是有理数的乘方，重点是要求出两种植物生长长度的规律，是一道难度较大的题目． 19．（2分）（2021春•鼓楼区校级期末）我们把对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为《》，即当为非负整数时，若，则《》．例如《0.67》，《2.49》，下列结论中：①《》《》；②当为非负整数时，《》《》；③满足《》的非负实数只有两个．其中结论正确的是 　②③　．（填序号） 【思路点拨】先用题中给的“例如”中的数据代入到①②③，得出①错；再证明②③，充分利用题目中的定义进行转化成不等式，从而可解． 【规范解答】解：①当时，《》《1.34》，而2《》，左边右边，故①不成立； ②注意到，都是非负数，令左边《》，则，，则，可得《》，移项得《》左边， 即左边右边，②式成立． ③令，则《》，又因为《》，故，所以将代入式子，得，，解得：，又由于《》知《》为整数，得，得或1（非负整数），即或所以《》的非负实数只有2个．故③式成立． 故答案为②③． 【考点评析】本题考查等式与不等式之间的转换，从而才可解，难度较大，常考，要熟练掌握． 20．（2分）（2023秋•靖江市校级期中）如图，定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“运算”的结果是11．若，则第449次“运算”的结果是 　8　． 【思路点拨】解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，只有转化成功，才能有的放矢． 【规范解答】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数）， 需再进行②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第1次运算结果为1352，， 第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，， 可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8， 从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数， 这样循环计算一直到第449次“运算”，得到的结果为8． 故答案为：8． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2023秋•赣榆区月考）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数混合运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 【考点评析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，进行正确计算． 22．（6分）（2023秋•中原区期末）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被污染了． （1）如果被污染的数字是，请计算； （2）如果计算结果等于，求被污染的数字． 【思路点拨】（1）按照有理数混合运算法则运算即可； （2）设被污染的数字为，列出方程解答即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）设被污染的数字为， 由题意，得， 解得 所以被污染的数字是． 【考点评析】本题考查了有理数混合运算及解方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 23．（8分）（2023秋•衢江区期末）《如何选择合适的话费套餐》 【背景素材】 某通信运营商提供融合套餐，一人付费全家享，其中两种套餐的具体内容如下： 套餐 套餐 每月基本服务费 169元 199元 每月免费国内通用流量 每月免费国内通话时间 800分钟 1000分钟 超出后通话收费 0.15元分钟 超出后流量收费 3元，不足按收费 【问题解决】若某用户目前使用套餐． 任务月全家使用流量，通话时长850分钟，请计算该用户12月份的套餐费用． 任务2：该用户查看全家近半年通话时长及流量使用情况，发现每月通话时长基本在850分钟左右，但流量使用波动较大．视该用户每月通话时长为850分钟，设其每月使用流量为为正整数）． （1）请表示该用户每月所需支付的费用． （2）请计算说明，该用户何时需要调整套餐． 【思路点拨】任务1：根据基本服务费加超出的通话费加超出的流量收费，即可求解； 任务（1）根据基本服务费加超出的通话费加超出的流量收费，即可表示出该用户每月所需支付的费用； （2）由（1）知，当套餐的费用等于套餐的基本服务费时，列出方程求出即可作出说明． 【规范解答】解：任务 解：（元； 答：该用户12月份的套餐费用为191.5元． 任务 （1）元； 答：该用户每月所需支付的费用为元； （2）由题意得：， 解得：， 由于为正整数，故， 答：每月使用流量为时，需要调整套餐． 【考点评析】本题考查了有理数的运算，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意得出有理数混合运算的式子是解题的关键． 24．（8分）（2023秋•获嘉县期末）小东对有理数，定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” （1）请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 　正　，异号得 　　，并用绝对值较大的数减绝对值较小的数；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． （2）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同． ①用“乘减法”计算：　　； ②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 【思路点拨】（1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）①根据（1）中的“乘减法”进行计算即可； ②设，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【规范解答】解：（1），，，，，，，，，． 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用绝对值较大的数减绝对值较小的数；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正，负； （2）① ， 故答案为：0； ②结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，理由如下： ，，， 左边，右边， 左边右边， 结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立． 【考点评析】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． 25．（8分）（2023秋•信州区期末）观察下列各式： ；；；； （1）根据你发现的规律，计算下面算式的值：　　； （2）请用一个含的算式表示这个规律：　　； （3）根据发现的规律，请计算算式的值（写出必要的解题过程） 【思路点拨】（1）根据所给的4个算式的规律，等于分母是6，分子是的分数的大小． （2）根据所给的4个算式的规律，等于分母是6，分子是的分数的大小． （3）用的值减去的值，求出算式的值是多少即可． 【规范解答】解：（1）． （2）． （3） 故答案为：；． 【考点评析】此题主要考查了有理数的混合运算，以及数字的变化规律，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 26．（8分）（2023秋•滨海新区期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． （1）求出，的值； （2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位长度秒的速度向左运动． ①设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ ②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？ 【思路点拨】（1）根据题意可以、的符号相反、可得，根据可得的值，本题得以解决； （2）①根据题意可以求得两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇是点对应的数值； ②根据题意和分类讨论的数学思想可以解答本题． 【规范解答】解：（1），两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，， ，， 即的值是，的值是90； （2）①由题意可得， 点对应的数是：， 即点对应的数为：50； ②设相遇前，经过秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度， （秒， 设相遇后，经过秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度， （秒， 由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度． 【考点评析】本题考查有理数的乘法、绝对值、数轴、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． 27．（8分）（2023•城阳区校级一模）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：　　，　　； （2）关于除方，下列说法错误的是 　　 ．任何非零数的圈2次方都等于1； ．对于任何正整数，； ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．　　；　　；　　． （2）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于 　　； （3）算一算：． 【思路点拨】初步探究 （1）根据新定义计算； （2）根据新定义可判断错误； 深入思考 （1）把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算； （2）利用新定义求解； （3）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算． 【规范解答】解：初步探究 （1），； （2）选项错误； 深入思考 （1）；；． （2）； （3）原式 ． 故答案为，，，，，，． 【考点评析】本题考查了有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 28．（8分）（2020秋•裕华区校级期中）请先阅读下列一段内容，然后解答问题． 因为，，，， ， 所以 （1）请你计算： （2）． 【思路点拨】（1）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果； （2）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果． 【规范解答】解：（1）原式； （2）原式． 【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$