2.2 有理数的乘法与除法（检测卷）-2024-2025学年人教版新教材数学七年级上册同步培优过关必刷卷

2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优过关必刷卷●新教材【第2章《有理数的运算》】 2.2 有理数的乘法与除法 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.49（较难）题目来源：全国各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•福清市期末）若表示、两数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2023秋•江岸区期末）有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2分）（2023秋•兰山区期末）已知，，且，则的值等于　　 A．2或 B．1或 C．2或1 D．或 4．（2分）（2023秋•长春期末）已知、两数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2023秋•赵县月考）对于，含有括号的因数减小1后积的变化是　　 A．减小3 B．增加3 C．减小4 D．增加4 6．（2分）（2023秋•市北区期末）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 7．（2分）（2023秋•宜都市期末）非零有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论不一定成立的是　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2023秋•忠县校级月考）下列说法正确的有　　 ①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3； ③若且，则式子的值为1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（2分）（2022秋•井研县期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．（2分）（2023春•浦东新区期末）若两数之积为负数，则这两个数一定是　　 A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2023秋•竹溪县期末）已知有理数、，满足，，若，则的值为 　　． 12．（2分）（2023秋•头屯河区校级月考）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的是 　　． 13．（2分）（2023秋•莲湖区期中）计算的结果是 　　． 14．（2分）（2023秋•青羊区校级期中）已知，，且，则的值为　 　． 15．（2分）（2023秋•江夏区期中）对于任意有理数和、都不为，满足，则对于下列关系式：①；②；③；④．其中一定成立的是 　　．（只填序号） 16．（2分）（2023秋•黄埔区校级期中）已知，，且，则的值为　 　． 17．（2分）（2022秋•花溪区校级期中）已知，均不为0，请计算：　 　． 18．（2分）（2022秋•番禺区校级月考）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 　　． 19．（2分）（2022秋•玉州区期中）下列说法： ①若，互为相反数，则； ②如果，则； ③若表示一个有理数，则的最小值为7； ④若，，则的值为． 其中一定正确的结论是 　　（只填序号）． 20．（2分）（2020秋•福田区校级期中）已知有理数，满足，，，则的值为　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2023秋•市中区校级月考）计算： （1）； （2）． 22．（6分）（2023秋•昭平县期中）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 23．（8分）（2023秋•南皮县期中）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中，．设点、、所对应的数之和是，点、、所对应的数之积是． （1）若以为原点，写出点、所对应的数，并计算的值；若以为原点，计算的值； （2）若原点在图中数轴上点的右边，且，求的值． 24．（8分）（2022秋•江津区期中）我们知道，每个自然数都有因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标”．例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10．所以10的“完美指标”是：，我们规定．若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”．例如，因为6的“完美指标”是，7没有正偶数因数，7的“完美指标”是，且，所以6比7更“完美”． 根据上述材料，求出18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数． 25．（8分）（2023秋•太和县期中）【阅读材料】 当有理数不等于0时， 把2个相同的有理数的除法运算记作； 把3个相同的有理数的除法运算记作； 把4个相同的有理数的除法运算记作； 把5个相同的有理数的除法运算记作； 特别地，规定． 【解决问题】 （1）若，，则　　；计算的结果是 　　． （2）计算：． （3）对于任何正整数，判断是否成立，并说明理由． 26．（8分）（2023秋•大冶市期中）已知：是最大的负整数，，，且，请回答问题． （1）请直接写出、、的值：　　，　　，　　； （2）在数轴上，、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在到之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； （3）在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 27．（8分）（2023秋•金州区月考）阅读下列材料：，即当时，；当时，． 用这个结论可以解决下面问题： （1）已知、是有理数，当时，求的值． （2）已知、、是有理数，当时，求的值． （3）已知、、是有理数，，，求的值． 28．（8分）（2019秋•冠县期末）如图，已知点在数轴上，从点出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达点，点所表示的有理数是5的相反数，按要求完成下列各小题． （1）请在数轴上标出点和点； （2）求点所表示的有理数与点所表示的有理数的乘积； （3）若将该数轴进行折叠，使得点和点重合，则点和数 　　所表示的点重合． 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5．（2分）（2023秋•赵县月考）对于，含有括号的因数减小1后积的变化是　　 A．减小3 B．增加3 C．减小4 D．增加4 【思路点拨】用，即可求解． 【规范解答】解： ， 所以含有括号的因数减小1后积减小4． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 6．（2分）（2023秋•市北区期末）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由题意，，，由此判断即可． 【规范解答】解：由题意，，， ，，， 故选：． 【考点评析】本题考查有理数的除法，有理数的加法，有理数的减法，绝对值，数轴等知识，解题的关键是理解题意，正确判断． 7．（2分）（2023秋•宜都市期末）非零有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论不一定成立的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先根据数轴分析出与的大小关系，再根据有理数的乘法法则和有理数的加减法法则进行逐项判断即可． 【规范解答】解：因为，根据数轴可知，或或， ．，选项一定成立，不符合题意； ．，选项一定成立，不符合题意； ．当时，； 当时，； 当时，．所以选项不一定成立，符合题意； ．当时，； 当时，； 当时，．所以选项一定成立，不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了数轴上点的表示的数的正负及实数的加减乘除法的符号法则，解决本题的关键是牢记有理数的加减乘除法则． 8．（2分）（2023秋•忠县校级月考）下列说法正确的有　　 ①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3； ③若且，则式子的值为1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】①先由商为得，进而得，所以、、三数中有一个负数，两个正数或三个均为负数，分别根据绝对值的性质与有理数的除法法则和加减法则计算便可； ②由，得，，，由，得、、三数中有一个负数，两个正数或三个均为负数，再分别根据绝对值的性质与有理数的除法法则和加减法则计算便可； ③由且，得，，求得、的值，再代入式子中求值； 【规范解答】解：①，，是非零的有理数，且 ． ． 、、三数中有一个负数，两个正数或三个均为负数， 当、、三数中有一个负数，两个正数时， ． 当、、三数均为负数时， ． 故①符合题意． ②． ，，． ． 、、三数中有一个负数，两个正数或三个均为负数， 当、、三数中有一个负数，两个正数时， 可令为负，和为正． 则． 当、、三数均为负数时， 则． 故②符合题意． ③． ． ． ． ，或，． 或． 故③不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了有理数的乘法，加法，减法，解题关键在于根据式子进行分情况讨论． 9．（2分）（2022秋•井研县期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【思路点拨】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的的值为多少即可． 【规范解答】解：根据分析，可得 则所有符合条件的的值为：128、21、20、3． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律． 10．（2分）（2023春•浦东新区期末）若两数之积为负数，则这两个数一定是　　 A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 【思路点拨】根据有理数的乘法法则，举反例，排除错误选项，从而得出正确结果． 【规范解答】解：例如，，所以正确， 故选：． 【考点评析】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定结果符号． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2023秋•竹溪县期末）已知有理数、，满足，，若，则的值为 　　． 【思路点拨】先根据已知条件，把，和用，，表示出来，再根据，判断，，中三个数中只有一个负数，然后选择一种情况：，，，利用绝对值的性质进行判断即可． 【规范解答】解：， ，，中三个数中既有正数又有负数，且，，， ， ，，中三个数中只有一个负数， 设，，则， ，，， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了有理数的有关计算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加法乘法法则． 12．（2分）（2023秋•头屯河区校级月考）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的是 　①③⑤⑥　． 【思路点拨】先根据数轴上，，的位置，可得，，利用乘法的符号法则、有理数的减法法则、绝对值的化简等知识点逐个判断得结论． 【规范解答】解：由数轴可知， ，， 故①正确； ，， ， ，故②错误； ， ，故③正确； 由已知，， ， ，故④错误； ， ，故⑤正确； ，， ，， ，故⑥正确； 故答案为：①③⑤⑥． 【考点评析】本题考查了数轴上点的特点，有理数乘法的符号法则，有理数的大小比较，绝对值的化简等知识点，掌握减法、乘法的符号法则是解决本题的关键． 13．（2分）（2023秋•莲湖区期中）计算的结果是 　　． 【思路点拨】根据有理数的乘除法法则进行计算即可． 【规范解答】解：原式． 故答案为：． 【考点评析】本题考查有理数的乘除法，掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 14．（2分）（2023秋•青羊区校级期中）已知，，且，则的值为　　． 【思路点拨】根据绝对值的性质求出、，再根据异号得负判断出、异号，然后根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【规范解答】解：，， ，， ， 、异号， 当时，，， 当时，，， 综上所述，的值为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 15．（2分）（2023秋•江夏区期中）对于任意有理数和、都不为，满足，则对于下列关系式：①；②；③；④．其中一定成立的是 　②④　．（只填序号） 【思路点拨】先根据绝对值的性质，分三种情况进行讨论，①当，时；②当，时；③当，或，，就能得到答案． 【规范解答】解：分三种情况讨论： ①当，时，若，则可得：，，，， 故②④正确； ②当，时，则，可得，，，， 故②④正确； ③当，或，时，若，则，与已知条件矛盾，故舍去． 故答案为：②④． 【考点评析】本题主要考查了绝对值的性质．解题关键是熟练掌握绝对值的性质，能够根据题意分类讨论． 16．（2分）（2023秋•黄埔区校级期中）已知，，且，则的值为　或　． 【思路点拨】根据绝对值的性质求出，，再根据有理数的加法判断出的值，有理数的除法进行计算即可得解． 【规范解答】解：，， ，， ， 当时，， ， 当时，， ， 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．（2分）（2022秋•花溪区校级期中）已知，均不为0，请计算：　0或2或　． 【思路点拨】分类讨论：，；，；，；，． 【规范解答】解：①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上所述，或或． 故填：0或2或． 【考点评析】本题考查了有理数的除法．注意分类讨论，以防漏解． 18．（2分）（2022秋•番禺区校级月考）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 　①④　． 【思路点拨】根据图示，可得：，，，据此逐项判断即可． 【规范解答】解：根据题意，可得：，，，， 则，故①正确； ，故②错误； ，故③错误； ，故④正确； 正确的有①④， 故答案为：①④． 【考点评析】此题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 19．（2分）（2022秋•玉州区期中）下列说法： ①若，互为相反数，则； ②如果，则； ③若表示一个有理数，则的最小值为7； ④若，，则的值为． 其中一定正确的结论是 　②③　（只填序号）． 【思路点拨】利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【规范解答】解： 的相反数是0， 当，为0时，相反数的商为0，就不成立， ①的说法错误； 当，同号或，中至少一个为0时，， 如果，则， ②的说法正确； 当时，根据绝对值的几何意义可得的最小值为7， ③的说法正确； 若，，则，，中必然为两个正数一个负数， 当有两个正数一个负数时，设，，， ； ④的说法错误； 综上，正确的说法有：②③， 故答案为：②③． 【考点评析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义，对于错误的说法举出反例是解题的关键． 20．（2分）（2020秋•福田区校级期中）已知有理数，满足，，，则的值为　0　． 【思路点拨】分情况讨论、的符号和大小，化简，用表示，代入求解的表达式即可求解． 【规范解答】解：由题意得： （1）若，则，，则，而， 故：这种情况不存在； （2）同理若，则，可得： ． 故答案为0． 【考点评析】本题考查的是有理数的运算、绝对值化简得内容，通常根据给出的条件，用一个字母代替另外一个字母，代入表达式即可化简，本题难度较大． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2023秋•市中区校级月考）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）根据有理数的乘法法则和交换律进行计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再利用有理数的乘法法则计算即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点评析】本题考查有理数的乘除法法则和交换律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 22．（6分）（2023秋•昭平县期中）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【思路点拨】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果． 【规范解答】解：根据题意得： ， 则原式． 【考点评析】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23．（8分）（2023秋•南皮县期中）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中，．设点、、所对应的数之和是，点、、所对应的数之积是． （1）若以为原点，写出点、所对应的数，并计算的值；若以为原点，计算的值； （2）若原点在图中数轴上点的右边，且，求的值． 【思路点拨】（1）根据题意，若以为原点时，分别写出点、所表示的数，从而求出；若以为原点，分别写出、所表示的数，从而求出； （2）根据题意，分别求出、、所表示的数，即可求出的值． 【规范解答】解：（1）以为原点，点，所对应的数分别是，1， ， ， ， 以为原点，点，所对应的数分别是，， ； （2）原点在点的右边，且， ， 所对应的数为，所对应的数为，所对应的数为0.5， ． 【考点评析】本题考查的是数轴上的点所表示的数、有理数加法和有理数乘法，掌握数形结合是关键． 24．（8分）（2022秋•江津区期中）我们知道，每个自然数都有因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标”．例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10．所以10的“完美指标”是：，我们规定．若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”．例如，因为6的“完美指标”是，7没有正偶数因数，7的“完美指标”是，且，所以6比7更“完美”． 根据上述材料，求出18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数． 【思路点拨】先求出各数的正因数，再根据题目中求“完美指标“的方法计算各数的”完美指标”，即可得出答案． 【规范解答】18的正因数有1，2，3，6，9，18， 正奇因数有1，3，9，正偶因数有2，6，18， 18的“完美指标”是； 19的正因数有1，19， 正奇因数有1，19，无正偶因数， 19的“完美指标”是； 20的正因数有1，2，4，5，10，20， 正奇因数有1，5，正偶因数有2，4，10，20， 20的“完美指标”是； 21的正因数有1，3，7，21， 正奇因数有1，3，7，21，无正偶因数， 21的“完美指标”是； 因为， 所以18是18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数． 【考点评析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题目中给出的计算方法进行计算是解决本题的关键． 25．（8分）（2023秋•太和县期中）【阅读材料】 当有理数不等于0时， 把2个相同的有理数的除法运算记作； 把3个相同的有理数的除法运算记作； 把4个相同的有理数的除法运算记作； 把5个相同的有理数的除法运算记作； 特别地，规定． 【解决问题】 （1）若，，则　4　；计算的结果是 　　． （2）计算：． （3）对于任何正整数，判断是否成立，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据运算的定义和法则即可得到答案； （2）根据运算法则分别计算即可得到答案； （3）根据运算法则转化即可求作出判断． 【规范解答】解：（1），， ， ， 故答案为：4，27； （2）原式， ， ， ； （3）不一定成立． 理由如下： 由材料可得，，， 当为奇数时，，； 当为偶数时，，； 故对于任何正整数，不一定成立． 【考点评析】本题考查了有理数的除法新运算，读懂题意，理解新运算是解题的关键． 26．（8分）（2023秋•大冶市期中）已知：是最大的负整数，，，且，请回答问题． （1）请直接写出、、的值：　1　，　　，　　； （2）在数轴上，、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在到之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； （3）在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【思路点拨】（1）根据题意，利用有理数乘法及加法法则判断确定出，，的值即可； （2）根据的范围判断出，，的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果； （3）根据题意表示出与，代入中，去括号合并得到结果，即可作出判断． 【规范解答】解：（1）根据题意得：，或，或， ，， ，，； 故答案为：1，，5； （2）点表示的数为1，点表示的数为，为之间的点， ， ，，， 则原式 ； （3）根据题意得：对应的数为，对应的数为，对应的数为， ，， 代入得：． 【考点评析】此题考查了有理数的乘法，数轴，绝对值，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 27．（8分）（2023秋•金州区月考）阅读下列材料：，即当时，；当时，． 用这个结论可以解决下面问题： （1）已知、是有理数，当时，求的值． （2）已知、、是有理数，当时，求的值． （3）已知、、是有理数，，，求的值． 【思路点拨】（1）分3种情况讨论即可求解； （2）分4种情况讨论即可求解； （3）根据已知得到，，，、、两正一负，进一步计算即可求解． 【规范解答】解：（1）已知，是有理数，当时， ①，，； ②，，； ③、异号，． 故或0； （2）已知，，是有理数，当时， ①，，，； ②，，，； ③、、两负一正，； ④、、两正一负，． 故或； （3）已知，，是有理数，，， 则，，，、、两正一负， 则． 故答案为：或0；或；． 【考点评析】此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 28．（8分）（2019秋•冠县期末）如图，已知点在数轴上，从点出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达点，点所表示的有理数是5的相反数，按要求完成下列各小题． （1）请在数轴上标出点和点； （2）求点所表示的有理数与点所表示的有理数的乘积； （3）若将该数轴进行折叠，使得点和点重合，则点和数 　　所表示的点重合． 【思路点拨】（1）将点向右移动3个单位长度得到点的位置，依据相反数的定义得到点表示的数； （2）依据有理数的乘法法则计算即可； （3）找出的中点，然后可得到与点重合的数． 【规范解答】解：（1）如图所示： （2）． （3）、中点所表示的数为，点与数所表示的点重合． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查的是数轴、相反数、有理数的乘法，在数轴上确定出点、、的位置是解题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$