第2章《有理数的运算》章节总复习（知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版新教材数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材 第2章《有理数的运算》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 章节知识梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：倒数 3 考点讲练2：有理数的加法 4 考点讲练3：有理数的减法 4 考点讲练4：有理数的加减混合运算 4 考点讲练5：有理数的乘法 6 考点讲练6：有理数的除法 6 考点讲练7：有理数的乘方 8 考点讲练8：非负数的性质：偶次方 10 考点讲练9：有理数的混合运算 10 考点讲练10：近似数和有效数字 12 考点讲练11：科学记数法—表示较大的数 13 中等题真题汇编练 14 培优题真题汇编练 17 章节知识梳理 知识点01:有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点02:有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点03:科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 高频易错知识点拨 易错知识点01：有理数的加法与减法 异号相加：学生可能在异号有理数相加时忘记取绝对值较大的加数的符号，或者用较大的绝对值减去较小的绝对值时出现错误。 减法转加法：学生可能在将有理数减法转化为加法时出错，特别是忘记给减数添加负号。 易错知识点02：有理数的乘法与除法 符号判断：学生可能在有理数乘法或除法中忘记判断符号，或者错误地认为异号相乘为正、同号相乘为负。 零的运算：学生可能忘记任何数与0相乘都得0，或者错误地认为0可以作除数。 易错知识点03：有理数的乘方 底数的正负：学生可能在计算有理数的乘方时忽略底数的正负，导致结果出错。特别是负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数这一点容易混淆。 乘方与乘法：学生可能将乘方运算误认为是乘法运算的多次重复，而实际上乘方是求相同因数的积的运算。 易错知识点04：有理数的混合运算 运算顺序：学生可能忘记有理数的混合运算顺序是先乘方、再乘除、最后加减，导致计算结果出错。 括号处理：学生可能在处理带有括号的有理数混合运算时忘记先算括号内的运算，或者错误地改变括号内的运算顺序。 考点讲练1：倒数 【精讲题】（2024•威海一模）若有理数的相反数是2，则的倒数等于　　 A．2 B． C． D． 【举一反三练1】（2023•南岗区校级三模）的倒数是　　 A． B． C． D．2023 【举一反三练2】（2023秋•毕节市校级期末）的相反数是 　，绝对值是 　　，倒数是 　　． 【举一反三练3】（2022秋•拱墅区校级期中）的相反数是 　　；的倒数是 　　． 考点讲练2：有理数的加法 【精讲题】（2023秋•南明区期末）张烨同学每天从家到学校要走，他家与学校、超市在一条东西走向的大街上，且张烨家在学校和超市的正中间．若把张烨家、学校、超市都看成一个点，大街看成一条直线．一天早上，张烨从家出发，先去超市买完笔记本，再到学校，他一共走的路程为　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024•成华区校级开学）如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的．那么，这样的四位数最多能有 　 　个． 【举一反三练2】（2024春•松江区期末）　　． 【举一反三练3】（2024•长安区开学）． 　　（判断对错） 考点讲练3：有理数的减法 【精讲题】．（2023秋•临邑县期末）已知有理数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•环江县期末）北京某天的气温是，则这天的温差是　　． 【举一反三练2】（2023秋•凉州区期末）若，，且，则　　． 【举一反三练3】（2023秋•洛宁县期中）已知：，， （1）求的值． （2）若，求的值． 考点讲练4：有理数的加减混合运算 【精讲题】．（2024•西城区校级一模）小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高6分，第三次比第二次低10分，第四次又比第三次高12分．那么这四次测验的平均成绩是 A．90分 B．85分 C．87.5分 D．81分 【举一反三练1】（2023秋•阜平县期末）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“” ．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● （1）“■”处的数为 　　，“●”处的数为 　　； （2）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【举一反三练2】（2023秋•遂川县期末）国家对进出口茶叶的衡量检验规定，装茶叶实际重量与标明重量允许误差为．误差范围内为重量合格品，超出误差值为重量不合格品，今抽查10袋某品牌茶叶，每袋茶叶的标准重量是500克，超出部分记为正，统计成下表： 茶叶的袋数 2 3 3 1 1 每袋超出标准的克数 0 （1）求所抽查的10袋茶叶中的合格率； （2）求这10袋茶叶的总重量． 【举一反三练3】（2023秋•开封期末）某快递员骑电动车送快递，某天在一条东西方向的路上行驶，从地出发，约定向东走为正，当天的行走记录如下（单位千米） ，，，，，，，，，，，，． （1）收工时，快递员在地的哪个方向？求此时快递员与地的距离； （2）若电动车每千米耗电0.02度，求该天共耗电多少度． 考点讲练5：有理数的乘法 【精讲题】（2023秋•德城区期末）已知有理数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•贵州期末）有理数、在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 【举一反三练3】（2023秋•潮阳区期末）已知有理数，，，且． （1）在如图所示的数轴上将，，三个数表示出来； （2）化简：． 考点讲练6：有理数的除法 【精讲题】（2023秋•高碑店市期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论不正确的是 　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】．（2023秋•成都期末）【初探】 从这九个数字中任选两个不同数字，分别记为，，由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相加的和除以11，所得的商记为．如：，，可以组成12，21，它们的和为33，因为，所以． （1）　9　； （2）一定是整数吗？请说明理由； 【拓广】 从 这九个数字中任选三个不同数字，记为，，，由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位数相加的和除以22，所得的商记为，，． （3）若，，，且，求的值． 【举一反三练2】（2023秋•鼓楼区校级期中）某自行车厂一周计划每日生产400辆自行车，由于人数和操作原因，每日实际生产量分别为405辆、393辆、397辆、410辆、391辆、385辆、405辆． （1）用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况； （2）该车厂本周实际共生产多少辆自行车？平均每日实际生产多少辆自行车？ 【举一反三练3】（2023秋•太和县期中）【阅读材料】 当有理数不等于0时， 把2个相同的有理数的除法运算记作； 把3个相同的有理数的除法运算记作； 把4个相同的有理数的除法运算记作； 把5个相同的有理数的除法运算记作； 特别地，规定． 【解决问题】 （1）若，，则　4　；计算的结果是 　　． （2）计算：． （3）对于任何正整数，判断是否成立，并说明理由． 考点讲练7：有理数的乘方 【精讲题】（2023秋•宿松县期末）下列说法正确的是　　 A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【举一反三练1】（2023秋•阳信县期末）下列各对数中，相等的一对是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【举一反三练2】（2023秋•夏邑县期末）引入 如图1，已知数轴上有三点、、．其中、两点所表示的数分别为和5，点表示的数为． 观察 （1）求、两点之间的距离； （2）当点距离点个单位长度时，求； 操作 （3）折叠数轴，使、两点重合，则折痕与数轴的交点表示的数是 　1　；用此方法，则数轴上表示的点与表示 　　的点重合； （4）如图2，将此数轴沿、两处虚线剪开，将中间的一段对折，使其左右两端重合，这样连续对折2次后，再将其展开，直接写出最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 【举一反三练3】（2023秋•荔城区校级期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”； 一般地，把，为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：　　；　　； （2）关于除方，下列说法错误的是 　　； ．任何非零数的圈2次方都等于1 ．对于任何大于等于2的整数， ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． （1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： 　　；　　； （2）计算：． 考点讲练8：非负数的性质：偶次方 【精讲题】（2023秋•衡东县期末）若，则的值为　　 A．1 B． C．5 D．不确定 【举一反三练1】（2023秋•埇桥区期中）下列代数式中，值一定是正数的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2023秋•开封期末）若，则　　． 【举一反三练3】（2023秋•太和县期末）已知：是最大的负整数，且、、满足， （1）直接写出　　，　　，　　． （2），，所对应的点分别为，，，若点以每秒个单位长度的速度运动，点和点分别以每秒3个单位长度和6个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． ①当点向右运动，且时，请问：的值是否随着时间的变化而变化． ②当的值不随着时间的变化而变化，求的值． 考点讲练9：有理数的混合运算 【精讲题】（2023秋•安陆市期末）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是若，则第2023次经运算的结果是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【举一反三练1】（2023秋•茂名期末）下列计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2024•西安开学）某市打市内电话的收费标准是：前3分钟0.2元（不满3分钟按3分钟计算），以后每打1分钟加0.1元；打长途电话的收费标准是：每10秒0.08元（不满10秒按10秒计算）．小明有一天连续打了若干个电话，共计话费1.96元，小明最多打了 　　分钟电话． 【举一反三练3】（2024•成华区校级开学）计算： （1） ； （2）； （2） ； （4）； （5） ． 考点讲练10：近似数和有效数字 【精讲题】（2023秋•泗阳县期末）由四舍五入法得到的近似数150.38万，精确到　　 A．万位 B．百位 C．百分位 D．百万位 【举一反三练1】（2023•丰泽区开学）2023年7月28日上午9时55分，今年第5号台风“杜苏芮”从晋江沿海登陆，中心附近最大风力达到15级．截至8月1日，共造成福建266.9万人受灾，农作物受灾面积 公顷，直接经济损失147.55亿元人民币．横线上的数读 作 　 　，四舍五入到万位约是 　　公顷． 【举一反三练2】（2023•兰山区开学）2022年6月5日，我国神舟十四号飞船载着3名航天员飞往中国空间站，中国空间站每90分钟绕地球飞行一周，约425658400米，　 ，省略“万”后面的尾数，约是 　　万． 【举一反三练3】（2021秋•歙县期末）据了解，火车票价按“”的方法来确定，已知站至站总里程数为1200千米，全程参考价为180元，下表是沿途各站至站的里程数（单位：千米） 车站名 各站至站的里程数 1200 1030 910 620 450 219 98 0 例如：要确定站至站火车票价，其票价为（元； （1）站与站的实际乘车里程数为 　千米； （2）求站至站的火车票价（精确到1元）； （3）旅客张大妈乘火车去女儿家，上车过两站后，她拿着车票问乘务员：“我已经过了两站了，我快到站了吗？”乘务员看到王大妈手中的票价是87元，马上说下一站就到了，请向王大妈是在哪一站下车？（要求写出解答过程） 考点讲练11：科学记数法—表示较大的数 【精讲题】（2024•龙湖区一模）据悉，在国内大量终端的背景下，鸿蒙生态有望形成百亿级别的市场规模．仅移动端应用规模达261万，为鸿蒙相关技术服务开辟道路．数“261万”用科学记数法表　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】2023秋•金州区期末）将3080000用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2022秋•浉河区校级月考）希望工程办公室收到各界人士捐款共计一千五百万元．以此来资助贫困失学儿童． （1）如果每名失学儿童可获得500元资助，那么共可资助多少名失学儿童？（用科学记数法表示结果） （2）如果社会各界人士捐款数平均10元人，则需多少人捐助才能获得这笔捐款？（用科学记数法表示结果） （3）在山区，尚有不少孩子因为贫困，不能顺利地完成九年义务教育学业，上述数据给你什么启示？ 【举一反三练3】（2017春•高港区校级月考）我国约有平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能相当于燃烧吨煤所产生的能量 （1）一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤？（用科学记数法表示） （2）若1吨煤大约可以发出度电，那么（1）中的煤大约发出多少度电？（用科学记数法表示） 中等题真题汇编练 1．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）按照图所示的操作步骤，若输入x的值为3，则输出y的值为 ． 3．（22-23七年级上·河南南阳·期末）2014年至2016年，中国同“一带一路”沿线国家贸易总额达约20万亿元．将数据20万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·内蒙古·阶段练习）下列各数：，，，，，，，，，其中属于非负整数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级上·河南平顶山·期中）如图，数轴上的六个点满足，则在点B、C、D、E对应的数中，最接近的点是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 7．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期末）用“△”表示一种运算符号，表示对于任何数a和b，有，那么 ． 8．（23-24七年级上·广西钦州·期末）已知，，，，观察以上计算过程，寻找规律计算 ． 9．（23-24七年级下·四川达州·期末）定义：若一个两位数，满足（，为正整数），则称该两位数为“类完全平方数”，记．例如：，则是一个“类完全平方数”，且．若两位数是一个“类完全平方数”，且，则的最大值 ． 10．（2024·北京·三模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 11．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． （1）直接写出计算结果： ______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ， ； （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． （4）【结论应用】计算：． 12．（22-23七年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 13．（22-23七年级上·山东青岛·期中）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 14．（22-23七年级上·云南红河·期末）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 培优题真题汇编练 15．（2024·广西南宁·二模）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，神舟十八号的飞行速度约为米/分，把“”用科学记数法表示应是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如，取，则243 105…若，则第2023次“F”运算的结果是（    ） A．1 B．4 C．2 D． 18．（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）已知．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 19．（23-24七年级上·四川泸州·期末）根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（    ） A． B． C．510 D．512 20．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）“五一”假期，杭州文旅市场的表现不俗．记者从杭州市文化广电旅游局了解到，2024年5月1日至5日，杭州全市共接待游客10514732人．据了解2023年五一小长假，杭州全市共接待游客8509908人．今年与去年相比，杭州全市共接待游客增加了约 万人（省略万位后面的尾数）． 21．（23-24七年级下·重庆万州·期中）已知甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱，合伙订购某种商品若干件，商品买来后，甲、乙分别比丙多拿了9件、12件，最后结算时，三人要求按所得商品的实际数量付钱，进行多退少补，已知甲要付给丙18元，那么乙还应付给丙 元． 22．（21-22七年级上·浙江台州·期末）A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是 小时，乙往返一趟所需时间是 小时； （2）出发后航行 小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 23．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）阅读材料：求的值． 解：设将等式两边同时乘以2， 得：， 将两式作差，得：， 即， 即， 仿照此法计算： ． 运用上面的运算方法计算： ． 24．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）计算： (1)； (2)． 25．（22-23七年级上·河南洛阳·期中）随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也将自己家果园的苹果梨在某直播平台进行销售，经过一段时间的销售，小李发现每天能销售左右的苹果梨．下表为小李月份第一周销售苹果梨的情况（以为标准，超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 根据以上内容回答下列问题： (1)小李在第一周星期一到星期三这三天共卖出苹果梨_______； (2)这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________苹果梨； (3)若苹果梨的售价为元，不考虑其他因素，求小李这周直播销售苹果梨的总收入． 26．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为________；点A与点C的距离为________个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材 第2章《有理数的运算》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 章节知识梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：倒数 3 考点讲练2：有理数的加法 5 考点讲练3：有理数的减法 6 考点讲练4：有理数的加减混合运算 8 考点讲练5：有理数的乘法 10 考点讲练6：有理数的除法 12 考点讲练7：有理数的乘方 16 考点讲练8：非负数的性质：偶次方 21 考点讲练9：有理数的混合运算 24 考点讲练10：近似数和有效数字 26 考点讲练11：科学记数法—表示较大的数 28 中等题真题汇编练 30 培优题真题汇编练 39 章节知识梳理 知识点01:有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点02:有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点03:科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 高频易错知识点拨 易错知识点01：有理数的加法与减法 异号相加：学生可能在异号有理数相加时忘记取绝对值较大的加数的符号，或者用较大的绝对值减去较小的绝对值时出现错误。 减法转加法：学生可能在将有理数减法转化为加法时出错，特别是忘记给减数添加负号。 易错知识点02：有理数的乘法与除法 符号判断：学生可能在有理数乘法或除法中忘记判断符号，或者错误地认为异号相乘为正、同号相乘为负。 零的运算：学生可能忘记任何数与0相乘都得0，或者错误地认为0可以作除数。 易错知识点03：有理数的乘方 底数的正负：学生可能在计算有理数的乘方时忽略底数的正负，导致结果出错。特别是负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数这一点容易混淆。 乘方与乘法：学生可能将乘方运算误认为是乘法运算的多次重复，而实际上乘方是求相同因数的积的运算。 易错知识点04：有理数的混合运算 运算顺序：学生可能忘记有理数的混合运算顺序是先乘方、再乘除、最后加减，导致计算结果出错。 括号处理：学生可能在处理带有括号的有理数混合运算时忘记先算括号内的运算，或者错误地改变括号内的运算顺序。 考点讲练1：倒数 【精讲题】（2024•威海一模）若有理数的相反数是2，则的倒数等于　　 A．2 B． C． D． 【思路点拨】根据乘积是1的两数互为倒数；只有符号不同的两个数是互为相反数，据此填空即可． 【规范解答】解：有理数的相反数是2， ， 的倒数等于， 故选：． 【考点评析】此题考查了相反数，倒数的定义．此题比较简单，解题的关键是掌握相反数和倒数的定义． 【举一反三练1】（2023•南岗区校级三模）的倒数是　　 A． B． C． D．2023 【思路点拨】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案． 【规范解答】解：的倒数是2023． 故选：． 【考点评析】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义． 【举一反三练2】（2023秋•毕节市校级期末）的相反数是 　2023　，绝对值是 　　，倒数是 　　． 【思路点拨】根据乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，进行作答． 【规范解答】解：的相反数是2023，绝对值是2023，倒数是． 故答案为：2023；2023；． 【考点评析】本题主要考查了求一个数的倒数，绝对值和相反数，掌握倒数，绝对值和相反数的定义是关键． 【举一反三练3】（2022秋•拱墅区校级期中）的相反数是 　　；的倒数是 　　． 【思路点拨】乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数是互为相反数，根据定义解答． 【规范解答】解：的相反数是； ，， 的倒数是， 故答案为：，． 【考点评析】此题考查了倒数的定义，相反数的定义，熟记定义是解题的关键． 考点讲练2：有理数的加法 【精讲题】（2023秋•南明区期末）张烨同学每天从家到学校要走，他家与学校、超市在一条东西走向的大街上，且张烨家在学校和超市的正中间．若把张烨家、学校、超市都看成一个点，大街看成一条直线．一天早上，张烨从家出发，先去超市买完笔记本，再到学校，他一共走的路程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据线段的和差求解． 【规范解答】解：张烨家在学校和超市的正中间， 家到学校与家到超市的距离相等，都为1.5千米， 张烨从家出发，先去超市，再到学校，共走（千米）， 故选：． 【考点评析】本题考查了列代数式，掌握线段的和差是解题的关键． 【举一反三练1】（2024•成华区校级开学）如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的．那么，这样的四位数最多能有 　168　个． 【思路点拨】由于一个四位数与一个三位数的和为1999，所以四位数首位必须为1，又和的后三位为9，所以相加时没有出现进位现象，找出合适的组合，0和9，2和7，3和6，4和5（因为，又四位数的首位是1，不能重复，则数字8不能用在这），因此考虑三位数可能的情况，三位数一定下来，四位数只有唯一的可能．由于0不能为首位，所以这个三位数首位有7种选法，当百位数确定时，则十位数有6种选法，当前两位确定时，则个数数有4种选法，根据乘法原理可知，这样的四位数是多能有个． 【规范解答】解：由于其和为1999，则这四位数的首位一定是1，和的后三位是9，所以相加时没有出现进位现象，和为9的组合有：0和9，2和7，3和6，4和和8在本题中不符题意），由于两个数的和一定，因此三位数一定下来，四位数只有唯一的可能． 由于0不能为首位，所以这个三位数首位有种选法，则十位数有种选法，个位数有种选法，根据乘法原理可知，这样的四位数最多能有个． 故答案为：168． 【考点评析】本题考查的是有理数的加法，完成本题要注意三位数一定下来，四位数只有唯一的可能，所以当三位数确定一个数时，实际上也确定了四位数上相应位数上的数，如三位数的首位确定为2，则同时确定了这个四位数的百位数7． 【举一反三练2】（2024春•松江区期末）　　． 【思路点拨】依据有理数的加法法则计算即可． 【规范解答】解；原式． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查的是有理数的加法，掌握加法法则是解题的关键． 【举一反三练3】（2024•长安区开学）． 　　（判断对错） 【思路点拨】根据题意，将每一个分数改写成一个减法算式，然后裂项，求出最后的结果，发现并不等于2，因此该题错误． 【规范解答】解： 所以本题错误． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了分数的计算，解决本题的关键是裂项求出结果判断是否是2． 考点讲练3：有理数的减法 【精讲题】（2023秋•临邑县期末）已知有理数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据、在数轴上对应的点表示的有理数可知：，，，，据此判断即可． 【规范解答】解：根据、在数轴上对应的点表示的有理数可知： ，，，， 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，正确，符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了数轴及有理数减法，熟练掌握数轴的相关知识是关键． 【举一反三练1】（2023秋•环江县期末）北京某天的气温是，则这天的温差是　6　． 【思路点拨】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【规范解答】解：根据题意得：， 故答案为：6 【考点评析】此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•凉州区期末）若，，且，则　　． 【思路点拨】先根据已知条件判断和的正负，然后利用绝对值的性质进行化简即可． 【规范解答】解：，，且， ，， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了有理数的加减运算和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 【举一反三练3】（2023秋•洛宁县期中）已知：，， （1）求的值． （2）若，求的值． 【思路点拨】（1）由，可得，，，可分为4种情况求解； （2）由可得，，或，，代入计算即可． 【规范解答】解：（1），， ，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． （2）由可得，，或，． 当，时，， 当，时，． 【考点评析】考查了绝对值，有理数的加减法，此题主要用了分类讨论的方法，各种情况都有考虑，不能遗漏． 考点讲练4：有理数的加减混合运算 【精讲题】（2024•西城区校级一模）小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高6分，第三次比第二次低10分，第四次又比第三次高12分．那么这四次测验的平均成绩是 A．90分 B．85分 C．87.5分 D．81分 【思路点拨】分别计算得到每次测验的成绩，再计算四次测验的平均成绩即可． 【规范解答】解：第一次8（5分）， 第二次（分， 第三次（分， 第四次（分， 这四次测验的平均成绩是（分． 故选：． 【考点评析】本题考查了有理数的加减的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键． 【举一反三练1】．（2023秋•阜平县期末）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“” ．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● （1）“■”处的数为 　　，“●”处的数为 　　； （2）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【思路点拨】（1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车7天行驶的总路程，再求出用电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【规范解答】解：（1）由表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了， 第三天处的数为：，第六天处记录的数为：， “■”处的数为，“●”处的数为， 故答案为：，； （2）由题意得： ， ， ， ， 行车电脑不会发出充电提示． 【考点评析】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是理解题意，列出正确的算式． 【举一反三练2】（2023秋•遂川县期末）国家对进出口茶叶的衡量检验规定，装茶叶实际重量与标明重量允许误差为．误差范围内为重量合格品，超出误差值为重量不合格品，今抽查10袋某品牌茶叶，每袋茶叶的标准重量是500克，超出部分记为正，统计成下表： 茶叶的袋数 2 3 3 1 1 每袋超出标准的克数 0 （1）求所抽查的10袋茶叶中的合格率； （2）求这10袋茶叶的总重量． 【思路点拨】（1）先求出表格中数的绝对值，然后与2.5进行比较，从而求出答案即可； （2）先列出算式求出总的是超过还是不足的克数，然后列出算式进行计算即可． 【规范解答】解：（1），，，，， （袋，， 合格产品有9袋，合格率为； （2） （克， （克， 答：这10袋茶叶质量为5001.6克． 【考点评析】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则． 【举一反三练3】（2023秋•开封期末）某快递员骑电动车送快递，某天在一条东西方向的路上行驶，从地出发，约定向东走为正，当天的行走记录如下（单位千米） ，，，，，，，，，，，，． （1）收工时，快递员在地的哪个方向？求此时快递员与地的距离； （2）若电动车每千米耗电0.02度，求该天共耗电多少度． 【思路点拨】（1）求出他行驶路程的代数和即可； （2）先求得各数的绝对值的和，再乘以0.02即可． 【规范解答】解：（1）（千米）， 答：收工时，快递员在地的东边，距离地20千米； （2）（千米）， （度， 答：该天共耗电1.2度． 【考点评析】本题主要考查正负数的意义和有理数的加减法，需要注意的是行走的路程是各数的绝对值之和． 考点讲练5：有理数的乘法 【精讲题】（2023秋•德城区期末）已知有理数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】判断出，的符号，可得结论． 【规范解答】解：由题意，，，， ，，，， 故选：． 【考点评析】本题考查有理数的乘法，数轴，绝对值，有理数的减法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【举一反三练1】（2023秋•贵州期末）有理数、在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先观察数轴可得：，，，然后根据有理数的乘法法则，加法法则对各个选项进行判断即可． 【规范解答】解：观察数轴可知：，，， ，，，， 成立，，和都不成立， 、、选项均不符合题意，选项符合题意， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了有理数的乘法、加法运算和大小比较，解题关键是熟练掌握有理数的加法和乘法法则． 【举一反三练2】（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 【思路点拨】分别根据运算“”的运算方法列式，然后进行计算即可得解． 【规范解答】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•潮阳区期末）已知有理数，，，且． （1）在如图所示的数轴上将，，三个数表示出来； （2）化简：． 【思路点拨】（1）先根据已知条件，判断，，的正负，然后根据绝对值的大小，确定在数轴上的位置，把它们在数轴上表示出来即可； （2）根据，，的大小，判断，，的正负，然后利用绝对值的性质化简即可． 【规范解答】解：（1），，， ，， 将，，三个数在数轴上表示为： （2）由（1）可知：，，，， ，，， ． 【考点评析】本题主要考查了数轴和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握把有理数中数轴上表示出来，正确利用绝对值性质进行化简． 考点讲练6：有理数的除法 【精讲题】（2023秋•高碑店市期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论不正确的是 　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先观察数轴可得：，，，然后利用有理数的加减乘除法则对各个选项中的式子进行计算，然后判断即可． 【规范解答】解：观察数轴可知：，，， ，，，， ，，选项的计算正确，选项计算不正确， ，，选项不符合题意，选项符合题意， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了有理数的运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则． 【举一反三练1】（2023秋•成都期末）【初探】 从这九个数字中任选两个不同数字，分别记为，，由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相加的和除以11，所得的商记为．如：，，可以组成12，21，它们的和为33，因为，所以． （1）　9　； （2）一定是整数吗？请说明理由； 【拓广】 从 这九个数字中任选三个不同数字，记为，，，由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位数相加的和除以22，所得的商记为，，． （3）若，，，且，求的值． 【思路点拨】（1）根据已知条件中的新定义，直接列出算式，求出的值即可； （2）根据已知条件中的新定义，列出算式，进行化简即可； （3）根据定义，列出代数式，进行化简，求出，，的值，再根据题意，列出方程，进行代换即可． 【规范解答】解：（1） ， 故答案为：9； （2）一定是整数，理由如下： 由题意得： ， ，都是整数， 也是整数， 一定是整数； （3）由题意得： ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查新定义的应用，解题关键是弄清题意，根据题意．列出算式． 【举一反三练2】（2023秋•鼓楼区校级期中）某自行车厂一周计划每日生产400辆自行车，由于人数和操作原因，每日实际生产量分别为405辆、393辆、397辆、410辆、391辆、385辆、405辆． （1）用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况； （2）该车厂本周实际共生产多少辆自行车？平均每日实际生产多少辆自行车？ 【思路点拨】（1）在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．比400辆多出的数记作正数，比400辆少的记作负数； （2）本周实际共生产自行车的辆数本周内每日实际生产量之和，再除以7即得平均每日实际生产自行车的辆数． 【规范解答】解：（1）以每日生产400辆自行车为标准，多出的数记作正数，不足的数记作负数，则有 ，，，，，，； （2）（辆，（辆． 即总产量为2786辆，平均每日实际生产398辆． 【考点评析】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 【举一反三练3】（2023秋•太和县期中）【阅读材料】 当有理数不等于0时， 把2个相同的有理数的除法运算记作； 把3个相同的有理数的除法运算记作； 把4个相同的有理数的除法运算记作； 把5个相同的有理数的除法运算记作； 特别地，规定． 【解决问题】 （1）若，，则　4　；计算的结果是 　　． （2）计算：． （3）对于任何正整数，判断是否成立，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据运算的定义和法则即可得到答案； （2）根据运算法则分别计算即可得到答案； （3）根据运算法则转化即可求作出判断． 【规范解答】解：（1），， ， ， 故答案为：4，27； （2）原式， ， ， ； （3）不一定成立． 理由如下： 由材料可得，，， 当为奇数时，，； 当为偶数时，，； 故对于任何正整数，不一定成立． 【考点评析】本题考查了有理数的除法新运算，读懂题意，理解新运算是解题的关键． 考点讲练7：有理数的乘方 【精讲题】（2023秋•宿松县期末）下列说法正确的是　　 A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【思路点拨】．根据乘方的意义，找出幂的底数，进行判断即可； ．根据乘方意义进行判断即可； ．分别说出各个幂表示的意义，然后进行判断即可； ．观察选项中的幂，找出其底数，进行判断即可． 【规范解答】解：．的底数是2，此选项的说法错误，故不符合题意； ．表示5个2相乘，此选项的说法错误，故不符合题意； ．表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，它们表示的意义不同，故不符合题意； ．的底数是2，此选项的说法正确，故此选项符合题意， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练掌握有理数乘方的意义． 【举一反三练1】（2023秋•阳信县期末）下列各对数中，相等的一对是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【思路点拨】，，选项根据乘方的意义算出每个数的结果，各个选项分别进行判断即可； 选项根据互为相反数的定义和绝对值的性质化简各数，然后判断即可． 【规范解答】解：．，，，故此选项符合题意； ．，，，故此选项不符合题意； ．，，，故此选项不符合题意； ．，，故此选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义、互为相反数的定义和绝对值的性质． 【举一反三练2】（2023秋•夏邑县期末）引入 如图1，已知数轴上有三点、、．其中、两点所表示的数分别为和5，点表示的数为． 观察 （1）求、两点之间的距离； （2）当点距离点个单位长度时，求； 操作 （3）折叠数轴，使、两点重合，则折痕与数轴的交点表示的数是 　1　；用此方法，则数轴上表示的点与表示 　　的点重合； （4）如图2，将此数轴沿、两处虚线剪开，将中间的一段对折，使其左右两端重合，这样连续对折2次后，再将其展开，直接写出最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 【思路点拨】（1）直接利用数轴上两点间的距离公式求出答案即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式，列出关于的方程，解方程即可； （3）根据已知条件求出的一半，从而求出折痕与数轴的交点表示的数，然后再根据表示的点与点的位置，从而得到表示的点到点的距离等于与重合的点到点的距离相等，从而求出答案即可； （4）根据，求出折叠2次后最右端的折痕表示的数即可． 【规范解答】解：（1）、两点所表示的数分别为和5， ， 、两点之间的距离为8； （2）点表示的数为，点距离点个单位长度， ， ， 或， 或1； （3）由（1）得， ， 折叠数轴，使、两点重合，则折痕与数轴的交点表示的数是， 点表示的数是，与重合， 数轴上表示的点与表示6的点重合， 故答案为：1，6； （4）设最右端的折痕与数轴的交点表示的数为， 由（1）可知，对折2次后最右端的折痕表示的数为， 最右端的折痕与数轴的交点表示的数为：3． 【考点评析】本题主要考查了数轴，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，利用数形结合的思想求出答案． 【举一反三练3】（2023秋•荔城区校级期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”； 一般地，把，为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：　　；　　； （2）关于除方，下列说法错误的是 　　； ．任何非零数的圈2次方都等于1 ．对于任何大于等于2的整数， ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． （1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： 　　；　　； （2）计算：． 【思路点拨】初步探究： （1）利用除方的定义解答即可；（2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可； 深入思考： （1）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可； （2）将算式中的除方化成乘方的形式，按有理数的混合运算法则计算即可． 【规范解答】解：初步探究： （1）， ， 故答案为：，； （2）、，即任何非零数的圈2次方都等于1，故选项正确； 、，故选项正确； 、， ， ，故选项错误； 、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确，故选项正确， 故选：； 深入思考： （1）， ， 故答案为：，； （2） ． 【考点评析】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键． 考点讲练8：非负数的性质：偶次方 【精讲题】（2023秋•衡东县期末）若，则的值为　　 A．1 B． C．5 D．不确定 【思路点拨】先根据非负数的性质求出，的值，进而可得出结论． 【规范解答】解：， ，， 解得，， ． 故选：． 【考点评析】本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数的和为0时，每一项都等于0是解题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•埇桥区期中）下列代数式中，值一定是正数的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据平方数非负数，绝对值非负数对各选项分析判断即可得解． 【规范解答】解：、时，，0既不是正数也不是负数，故本选项错误； 、时，，0既不是正数也不是负数，故本选项错误； 、， ，不一定是正数，故本选项错误； 、，一定是正数，故本选项正确． 故选：． 【考点评析】本题考查了偶次方非负数，绝对值非负数的性质，熟记各性质是解题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•开封期末）若，则　9　． 【思路点拨】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【规范解答】解：， ，；，， ． 【考点评析】本题考查的知识点是：某个数的绝对值与另一数的平方的和等于0，那么绝对值里面的代数式的值为0，平方数的底数为0． 【举一反三练3】（2023秋•太和县期末）已知：是最大的负整数，且、、满足， （1）直接写出　　，　　，　　． （2），，所对应的点分别为，，，若点以每秒个单位长度的速度运动，点和点分别以每秒3个单位长度和6个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． ①当点向右运动，且时，请问：的值是否随着时间的变化而变化． ②当的值不随着时间的变化而变化，求的值． 【思路点拨】（1）根据是最大的负整数，即可确定的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得，，的值； （2）①表示出秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，得出，，求出的值即可； ②分两种情况：当点向右运动时，点表示的数为，当点向左运动时，点表示的数为，分别求出的值即可． 【规范解答】解：（1）是最大的负整数， ， ， ，， 解得：，， 故答案为：；1；6． （2）①的值不变；理由如下： 秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， 的值保持不变； ②当点向右运动时，点表示的数为， ， ， ， 的值不随着时间的变化而变化， ， 解得：， ， 不符合题意舍去； 当点向左运动时，点表示的数为， ， ， 的值不随着时间的变化而变化， ， 解得：； 综上分析可知，当的值不随着时间的变化而变化时，的值为． 【考点评析】本题考查了整式加减的应用，数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 考点讲练9：有理数的混合运算 【精讲题】（2023秋•安陆市期末）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是若，则第2023次经运算的结果是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【思路点拨】根据关于整数的“”运算：探究规律后即可解决问题． 【规范解答】解：由题意时，第一次经“”运算是，第二次经“”运算是，第三次经“”运算是，第四次经“”运算是， 以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1， 第2023次运算结果8， 故选：． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，关于整数的“”运算，解题的关键是理解题意，循环从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题． 【举一反三练1】（2023秋•茂名期末）下列计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据有理数的加法可以判断，根据有理数的除法可以判断，根据有理数的减法可以判断，根据有理数的乘方可以判断． 【规范解答】解：、，故选项错误，不符合题意； 、，故选项错误，不符合题意； 、，故选项正确，符合题意； 、，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则． 【举一反三练2】（2024•西安开学）某市打市内电话的收费标准是：前3分钟0.2元（不满3分钟按3分钟计算），以后每打1分钟加0.1元；打长途电话的收费标准是：每10秒0.08元（不满10秒按10秒计算）．小明有一天连续打了若干个电话，共计话费1.96元，小明最多打了 　　分钟电话． 【思路点拨】元，元，，所以打市内电话收费标准比打长途电话收费低，所以要尽可能地多打市内电话，据此先求出1.96元里面有多少个0.2元，也就是有多少个3分钟，再求出剩下的0.16元，由于0.16元减去0.1元等于0.06元，0.06元不够打10秒长途的，不符合题意，所以这0.16元全部打长途，求出0.16元里面有多少个0.08元，也就是有多少个10秒，据此解答即可． 【规范解答】解：（个， （分， 则 （元， 那么 （秒， 27分钟秒分20秒（分钟）， 即小明最多打了分钟的电话， 故答案为：． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，明确所给数量属于哪一种情况是解题的关键，据此选择符合题意的解题方法． 【举一反三练3】（2024•成华区校级开学）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【思路点拨】（1）根据有理数的混合运算法则进行计算； （2）根据有理数的混合运算法则进行计算； （3）先化简繁分数，再求乘法运算； （4）先计算括号，再算乘除，最后算减法； （5）先计算括号，找到规律，再求解． 【规范解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 考点讲练10：近似数和有效数字 【精讲题】（2023秋•泗阳县期末）由四舍五入法得到的近似数150.38万，精确到　　 A．万位 B．百位 C．百分位 D．百万位 【思路点拨】根据近似数精确到哪一位，看末尾数字实际在哪一位进行求解即可． 【规范解答】解：由四舍五入法得到的近似数150.38万，数字8在百位，则精确到百位， 故选：． 【考点评析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数和有效数字规则是关键． 【举一反三练1】（2023•丰泽区开学）2023年7月28日上午9时55分，今年第5号台风“杜苏芮”从晋江沿海登陆，中心附近最大风力达到15级．截至8月1日，共造成福建266.9万人受灾，农作物受灾面积37396.27公顷，直接经济损失147.55亿元人民币．横线上的数读作 　三万七千三百九十六点二七　，四舍五入到万位约是 　　公顷． 【思路点拨】读出各数位上的数字即可，然后把千位上的数字7四舍五入得到它的近似数． 【规范解答】解：37396.27读作三万七千三百九十六点二七；37396.27四舍五入到万位约为4万． 故答案为：三万七千三百九十六点二七；4万． 【考点评析】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式． 【举一反三练2】（2023•兰山区开学）2022年6月5日，我国神舟十四号飞船载着3名航天员飞往中国空间站，中国空间站每90分钟绕地球飞行一周，约425658400米，这个数读作 　四亿两千五百六十五万八千四百　，省略“万”后面的尾数，约是 　　万． 【思路点拨】利用数位读数，然后把千位上的数字8四舍五入即可． 【规范解答】解：425658400米，这个数读作：四亿两千五百六十五万八千四百米，省略“万”后面的尾数，约是42566万． 故答案为：四亿两千五百六十五万八千四百，42566． 【考点评析】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式． 【举一反三练3】（2021秋•歙县期末）据了解，火车票价按“”的方法来确定，已知站至站总里程数为1200千米，全程参考价为180元，下表是沿途各站至站的里程数（单位：千米） 车站名 各站至站的里程数 1200 1030 910 620 450 219 98 0 例如：要确定站至站火车票价，其票价为（元； （1）站与站的实际乘车里程数为 　691　千米； （2）求站至站的火车票价（精确到1元）； （3）旅客张大妈乘火车去女儿家，上车过两站后，她拿着车票问乘务员：“我已经过了两站了，我快到站了吗？”乘务员看到王大妈手中的票价是87元，马上说下一站就到了，请向王大妈是在哪一站下车？（要求写出解答过程） 【思路点拨】（1）根据里程数表格，利用910减去219即可得； （2）根据火车票价的确定方法列式计算即可得； （3）设张大妈的实际乘车里程数为千米，根据票价是87元建立方程，解方程可得的值，再对照表格数据进行分析即可得出答案． 【规范解答】解：（1）站与站的实际乘车里程数为（千米）， 故答案为：691． （2）（元， 答：站至站的火车票价为147元． （3）设张大妈的实际乘车里程数为千米， 则， 解得， 所以张大妈上车后，经过三站下车，实际乘车里程数为580千米， 对照表格可知，站与站的距离、站与站的距离均为580千米， 答：王大妈在站或站下车． 【考点评析】本题考查了有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，理解火车票价的确定方法是解题关键． 考点讲练11：科学记数法—表示较大的数 【精讲题】（2024•龙湖区一模）据悉，在国内大量终端的背景下，鸿蒙生态有望形成百亿级别的市场规模．仅移动端应用规模达261万，为鸿蒙相关技术服务开辟道路．数“261万”用科学记数法表　　 A． B． C． D． 【思路点拨】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【规范解答】解：261万． 故选：． 【考点评析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【举一反三练1】（2023秋•金州区期末）将3080000用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【规范解答】解：． 故选：． 【考点评析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解决本题的关键是要正确确定的值以及的值． 【举一反三练2】（2022秋•浉河区校级月考）希望工程办公室收到各界人士捐款共计一千五百万元．以此来资助贫困失学儿童． （1）如果每名失学儿童可获得500元资助，那么共可资助多少名失学儿童？（用科学记数法表示结果） （2）如果社会各界人士捐款数平均10元人，则需多少人捐助才能获得这笔捐款？（用科学记数法表示结果） （3）在山区，尚有不少孩子因为贫困，不能顺利地完成九年义务教育学业，上述数据给你什么启示？ 【思路点拨】（1）用总捐款数除以资助每名失学儿童需要的钱，可得出资助失学儿童的数目，然后用科学记数法表式为的形式，其中，为整数； （2）用总捐款数除以平均每人捐款数，可得出捐款的人数，然后用科学记数法表示式为的形式，其中，为整数； （3）每个人应伸出援助之手，作为学生应从零花钱中挤出一些，为帮助贫困学生尽份力量． 【规范解答】解：（1）（名 （名； （2）（人 （人； （3）每个人应伸出援助之手，作为学生应从零花钱中挤出一些，为帮助贫困学生尽份力量． 【考点评析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【举一反三练3】（2017春•高港区校级月考）我国约有平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能相当于燃烧吨煤所产生的能量 （1）一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤？（用科学记数法表示） （2）若1吨煤大约可以发出度电，那么（1）中的煤大约发出多少度电？（用科学记数法表示） 【思路点拨】（1）根据乘法的意义列出算式计算，再用科学记数法表示即可； （2）用（1）的结果乘以，求出结果后再用科学记数法表示即可． 【规范解答】解：（1） （吨． 答：一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧吨煤． （2） （度． 答：（1）中的煤大约发出度电． 【考点评析】此题主要考查了科学记数法表示较大的数，整式的混合运算，熟练应用运算法则是解题关键 中等题真题汇编练 1．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了乘方的简单计算，并考查了负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数． 根据有理数乘方的定义及运算法则，先计算出各选项的值，再比较即可． 【规范解答】解：A、，故错误； B、，故错误； C、，正确； D、，故错误； 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）按照图所示的操作步骤，若输入x的值为3，则输出y的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是程序框图的含义，理解程序框图的含义，按照正确的运算顺序进行计算是解本题的关键．根据程序框图的含义，先计算，再乘以2，即可得到答案． 【规范解答】解：∵输入的值为3， ∴， 故答案为：． 3．（22-23七年级上·河南南阳·期末）2014年至2016年，中国同“一带一路”沿线国家贸易总额达约20万亿元．将数据20万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【规范解答】解：将数据20万亿用科学记数法表示为． 故选：C． 4．（22-23七年级上·内蒙古·阶段练习）下列各数：，，，，，，，，，其中属于非负整数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【思路点拨】本题考查了分数、整数的知识，绝对值和有理数的乘方；根据分数、整数分类的性质，对数字逐个判断，即可得到答案． 【规范解答】解：，，，， 属于非负整数的有：，，，，，共有5个， 故选：D． 5．（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，利用有理数的相应的法则对各项进行运算即可求解．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【规范解答】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：A． 6．（22-23七年级上·河南平顶山·期中）如图，数轴上的六个点满足，则在点B、C、D、E对应的数中，最接近的点是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】C 【思路点拨】本题考查数轴以及线段，解题的关键是掌握数轴上点的意义． 先求出，再得出，进而得出各个点表示的数，即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴点B对应的数为，点C对应的数为，点D对应的数为，点E对应的数为， 点C与的距离为， 点D与的距离为， ∵， ∴最接近的点是点D， 故选：C． 7．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期末）用“△”表示一种运算符号，表示对于任何数a和b，有，那么 ． 【答案】14 【思路点拨】根据“”所代表的运算法则，将数据代入进行运算即可．此题考查了有理数的运算，解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则，属于基础题． 【规范解答】由题意得： 故答案为：14． 8．（23-24七年级上·广西钦州·期末）已知，，，，观察以上计算过程，寻找规律计算 ． 【答案】41 【思路点拨】本题考查了数字变化规律，观察分母是从1到的个数相乘，分子是从开始乘，依次减个数相乘是解题的关键． 根据已知的三个等式得．对于来讲，等于一个分式，其中分母是从1到的个数相乘，分子是从开始乘，依次减个数相乘． 【规范解答】解：， ， 故答案为：41． 9．（23-24七年级下·四川达州·期末）定义：若一个两位数，满足（，为正整数），则称该两位数为“类完全平方数”，记．例如：，则是一个“类完全平方数”，且．若两位数是一个“类完全平方数”，且，则的最大值 ． 【答案】 【思路点拨】根据两位数是一个“类完全平方数”，推出是的倍数并且满足，求的最大值，逐个尝试即可求出正确答案． 【规范解答】解：∵两位数是一个“类完全平方数”，且 ∴是的倍数 当时，，不满足是两位数； 当时，，不满足是两位数； 当时，，不满足是两位数； 当时，，满足是两位数， ∵ 又∵，，，， ∴不符合题意， 当时，，满足是两位数， ∵， 又∵， ∴不符合题意， 当时，，满足是两位数， ∵， 又∵， ∴符合题意， ∴的最大值为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了阅读材料题，认真读懂题干中的例子是解答本题的关键． 10．（2024·北京·三模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 ② 1040 【思路点拨】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【规范解答】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， ∴经济损失最少的是②， 故答案为：②； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1040． 11．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． （1）直接写出计算结果： ______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ， ； （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． （4）【结论应用】计算：． 【答案】（1）；2；（2）；；（3）；（4） 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． （1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据（2）的计算结果得出规律即可； （4）根据有理数的混合运算顺序和运算法则及除方的运算法则计算即可． 【规范解答】解：（1）； ， 故答案为：，2； （2） ； 故答案为：，； （3） ， 故答案为：． （4） ． 12．（22-23七年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)19 【思路点拨】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数四则混合运算法则，结合乘法分配律，进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 13．（22-23七年级上·山东青岛·期中）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)315；29 (2)本周实际销售总量达到了计划量 (3)该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元 【思路点拨】本题考查有理数混合运算的实际应用； （1）根据记录的数据列式计算即可得到结论； （2）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论； （3）先计算每天的工资，再相加即可求解． 理解题意并列出式子是解题的关键． 【规范解答】（1）解：本周前三天销售儿童滑板车：（辆）， 根据记录的数据可知销售量最多的一天为星期六，销售量最少的一天为星期五，销量之差为： （辆）； 故答案为：315；29． （2）解：， ∵ ∴本周实际销售总量达到了计划量． （3）解： （元）， 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元． 14．（22-23七年级上·云南红河·期末）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)84675 【思路点拨】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算的应用，熟练掌握运算法则，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据表格列式计算即可得出答案； （2）根据最大数减去最小数即可得出答案； （3）根据工资的计算方法列式计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：根据记录可知前三天共生产（辆）； （2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）； （3）解：， （元）， 该厂工人这一周的工资总额是元． 培优题真题汇编练 15．（2024·广西南宁·二模）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，神舟十八号的飞行速度约为米/分，把“”用科学记数法表示应是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【规范解答】解：． 故选A． 16．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查新定义运算，有理数的减法运算，根据的定义求出和，再计算减法即可． 【规范解答】解：由题意知，， ， 故选B． 17．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如，取，则243 105…若，则第2023次“F”运算的结果是（    ） A．1 B．4 C．2 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第次运算的结果，通过计算从第四次开始，结果就只有两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【规范解答】解：当， 第1次“F”运算的结果是：， 第2次“F”运算的结果是：， 第3次“F”运算的结果是：， 第4次“F”运算的结果是： 第5次“F”运算的结果是4， 第6次“F”运算的结果是1， … 观察以上结果，从第4次开始，结果就只有1、4两个数循环出现， 且当次数为偶数时，结果是1，次数为奇数时，结果是4， 而2023次奇数，所以最后结果是4． 故选：B． 18．（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）已知．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 【答案】/0.5 【思路点拨】本题考查了数字的循环规律，分别按照定义求出若干组数的值，从而发现循环规律，是解题的关键．根据差倒数的定义分别求出…，发现每3个数为一个循环组依次循环，用除以3，根据商和余数的情况可以确定的值． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ......， ∴每3个数为一个循环组依次循环3， ∵， ∴是第个循环组的第3个数，与相同， ∴， 故答案为：． 19．（23-24七年级上·四川泸州·期末）根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（    ） A． B． C．510 D．512 【答案】B 【思路点拨】本题考查图形变化的规律．观察所给图形，发现各部分数字变化的规律即可解决问题． 【规范解答】解：观察所给图形可知， 左上角的数字依次为：，，，，…， 所以第n个图形中左上角的数字可表示为：． 右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2， 所以第n个图形中右上角的数字可表示为：． 下方的数字为同一个图形中左上角数字的， 所以第n个图形中下方的数字可表示为：． 当时， ， ， ， 所以． 故选：B． 20．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）“五一”假期，杭州文旅市场的表现不俗．记者从杭州市文化广电旅游局了解到，2024年5月1日至5日，杭州全市共接待游客10514732人．据了解2023年五一小长假，杭州全市共接待游客8509908人．今年与去年相比，杭州全市共接待游客增加了约 万人（省略万位后面的尾数）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一个数的近似数，利用今年人数去年人数得到增加的人数，再根据要求估算即可． 【规范解答】解：人万人， 故答案为：． 21．（23-24七年级下·重庆万州·期中）已知甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱，合伙订购某种商品若干件，商品买来后，甲、乙分别比丙多拿了9件、12件，最后结算时，三人要求按所得商品的实际数量付钱，进行多退少补，已知甲要付给丙18元，那么乙还应付给丙 元． 【答案】45 【思路点拨】本题主要考查有理数混合运算的应用，因为出了同样的钱买所有商品，所以三人在丙买的件数以外还有21件商品的钱也由三个人均摊，就是说又各出了7件的钱．丙出的钱实际上是帮甲垫了一件加帮乙垫了2件，也是甲乙该还的钱． 【规范解答】解：根据题意得：， ∵甲要付给丙18元， ∴甲比丙多拿了2件，一件是9元， 则乙还应付给丙元． 故答案为：45． 22．（21-22七年级上·浙江台州·期末）A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是 小时，乙往返一趟所需时间是 小时； （2）出发后航行 小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 【答案】 2.5 3.2 80 【思路点拨】本题考查有理数四则运算的实际应用，理解题意列出算式是解题关键． （1）分别求出甲船顺水和逆水航行的速度，再根据时间=路程÷速度求解即可； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时，从而可求出乙往返的次数为，再结合题意可知为整数，且最小，则得出，进而可求出时间． 【规范解答】解：（1）甲船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 甲船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以甲往返一趟所需时间是时； 乙船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 乙船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以乙往返一趟所需时间是时． 故答案为：2.5，3.2； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时， 所以乙往返的次数为． 因为甲、乙两船恰好首次同时回到A港口， 所以为整数，且最小， 所以x最小可取32， 所以航行时间为时． 故答案为：80． 23．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）阅读材料：求的值． 解：设将等式两边同时乘以2， 得：， 将两式作差，得：， 即， 即， 仿照此法计算： ． 运用上面的运算方法计算： ． 【答案】；． 【思路点拨】本题考查有理数的乘方，设，将等式两边同时乘以2得到另一等式，两式相减即可得到的值；设，两边同时乘以3得另一等式，两式相减即可得到2倍的的值，进而得出答案． 【规范解答】解：设， 将等式两边同时乘以2得：， 将下式减去上式得：，即， 则； 设①， 两边同时乘以3得：②， 得：，即 即． 故答案为：，． 24．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【思路点拨】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用有理数的加减运算的法则进行运算即可； （2）先算乘方，再算绝对值，除法转为乘法，再算乘法，最后算加减即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 25．（22-23七年级上·河南洛阳·期中）随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也将自己家果园的苹果梨在某直播平台进行销售，经过一段时间的销售，小李发现每天能销售左右的苹果梨．下表为小李月份第一周销售苹果梨的情况（以为标准，超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 根据以上内容回答下列问题： (1)小李在第一周星期一到星期三这三天共卖出苹果梨_______； (2)这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________苹果梨； (3)若苹果梨的售价为元，不考虑其他因素，求小李这周直播销售苹果梨的总收入． 【答案】(1)； (2)； (3)小李这周直播销售苹果梨的总收入为元． 【思路点拨】（）根据前三天销售量相加计算即可； （）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （）将总数量乘以价格解答即可； 本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： （元）， 答：小李这周直播销售苹果梨的总收入为元． 26．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为________；点A与点C的距离为________个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【答案】(1)①，215；②175 (2)①；②或；③4 【思路点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是： （1）①根据两点之间的距离直接列式计算；②将所得三个数相加即可； （2）①首先根据已知判断出数轴的1个单位长度为，再推出A在B的左边且相距10个单位长度，即可得解；②求出A、C相距220个单位长度，进一步可得A、D的距离110个单位长度，即可得解；③求出B、C的距离，再结合最大刻度为，求出，即可得到k的最小整数值． 【规范解答】（1）解：①∵点A与点B的距离为， ∴； 点A与点C的距离为单位长度； ②， 即点A，B，C所表示的数的和为175； （2）①∵刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，， ∴数轴的1个单位长度为， ∴当刻度尺上时，代表数轴上2个单位长度， ∴B表示，A在B的左边且相距， 则A在B的左边且相距10个单位长度， 则； ∵A表示的数为，C表示的数为200， 则A、C相距220个单位长度，即， ∴A、D的距离为，即110个单位长度， ∴D所表示的数为或； B表示的数为，C表示的数为200， 则B、C的距离为， ∴， ∵要用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离， ∴，即k的最小整数值为4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$