2.3 有理数的乘方（知识精讲+易错点拨+十二大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版新教材数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数的运算》】 2.3 有理数的乘方 （知识精讲+易错点拨+十二大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：有理数幂的概念理解 5 考点讲练2：有理数的乘方运算 6 考点讲练3：有理数乘方逆运算 7 考点讲练4：乘方运算的符号规律 8 考点讲练4：乘方的应用 9 考点讲练5：有理数四则混合运算 10 考点讲练6：有理数四则混合运算的实际应用 11 考点讲练7：程序流程图与有理数计算 12 考点讲练8：算“24”点 13 考点讲练9：含乘方的有理数混合运算 14 考点讲练10：科学计数法表示绝对值大于1的数 15 考点讲练11：求一个数的近似数 16 考点讲练12：由近似数推断真值范围 17 中等题真题汇编练 17 培优题真题汇编练 20 新知精讲梳理 知识点01：有理数的乘方定义 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方运算的结果叫做幂。例如，a^n表示n个a相乘，其中a是底数，n是指数，an读作“a的n次幂”或“a的n次方”。 注意：当底数为0时，0的任何正整数次幂都是0（但0的0次幂在数学中是未定义的）。 知识点02：有理数的乘方性质 正数的乘方：正数的任何次幂都是正数。例如，2³= 8，54= 625。 负数的乘方： 负数的奇数次幂是负数。例如，(-3)^3 = -27。 负数的偶数次幂是正数。例如，(-2)^4 = 16。 1和-1的乘方： 1的任何次幂都是1。例如，1n = 1（n为任意整数）。 -1的偶次幂是1，奇次幂是-1。例如，(-1)2 = 1，(-1)3 = -1。 知识点03：有理数的乘方运算法则 同底数幂的乘法：同底数幂相乘时，指数相加。即am × an = a(m+n)（m、n为正整数）。 同底数幂的除法：同底数幂相除时，指数相减。即am ÷ an = a(m-n)（a ≠ 0，m、n为正整数，且m > n）。 幂的乘方：幂的乘方时，指数相乘。即(a^m)^n = a^(m×n)（m、n为正整数）。 积的乘方：积的乘方时，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即(ab)n = an × bn（n为正整数）。 知识点04：有理数混合运算的运算顺序 有理数的混合运算包含加、减、乘、除以及乘方五种基本运算。在进行混合运算时，需要遵循一定的运算顺序，以确保运算结果的准确性。具体运算顺序如下： 先乘方：在有理数的混合运算中，首先进行乘方运算。乘方运算的优先级高于其他四种基本运算。 再乘除：在进行完乘方运算后，接下来进行乘法和除法运算。乘法和除法运算的优先级相同，从左到右依次进行。 最后加减：完成乘除运算后，最后进行加法和减法运算。加法和减法运算的优先级相同，也遵循从左到右的运算顺序。 此外，如果运算式中含有括号，需要优先进行括号内的运算。括号内的运算也遵循上述的运算顺序。 知识点05：有理数混合运算的运算法则 有理数混合运算的运算法则主要包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律以及分配律等。这些运算法则在有理数的混合运算中同样适用，可以帮助学生简化运算过程，提高运算效率。 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a + b = b + a。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a + b) + c = a + (b + c)。 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即a × b = b × a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即(a × b) × c = a × (b × c)。 分配律：一个数与两个数的和或差相乘，等于这个数分别与这两个数相乘，再把所得的积相加或相减。即a × (b + c) = a × b + a × c，a × (b - c) = a × b - a × c。 知识点06：有理数混合运算在实际问题中的应用 有理数的混合运算不仅限于纯粹的数学计算，还广泛应用于解决实际生活中的问题。例如，在购物、旅行、工程计算等方面，都需要运用有理数的混合运算来解决问题。通过解决实际问题，学生可以更好地理解有理数混合运算的实际意义和应用价值。 知识点07：科学记数法 定义：科学记数法是一种表示很大或很小的数的方法，它把一个数表示成a×10^n的形式（1 ≤ |a| < 10，n为整数）。 应用：科学记数法常用于表示天文、物理、化学等领域中的大数或小数，以便于计算和记录。 转换：将一个数转换为科学记数法时，需要确定a和n的值。其中，a是原数中有效数字的部分（即第一个非零数字及其后面的数字），n是原数的整数位数减1（对于小于1的数，n是负数，表示小数点向左移动了多少位）。 高频易错知识点拨 易错知识点01：乘方定义的理解误区 混淆乘方与乘法：部分学生可能将乘方运算误解为简单的乘法运算，忽略了乘方是求多个相同因数的积的运算。例如，将a3错误地理解为a+a+a或a×3。 底数和指数的混淆：在书写或计算乘方时，容易混淆底数和指数的位置，导致计算结果错误。例如，将a^2错误地写为2a。 易错知识点02：乘方性质的掌握不足 负数乘方的符号判断：对于负数的乘方，学生容易在判断结果的符号时出错。特别是当指数为奇数或偶数时，负数的乘方结果的正负性容易混淆。 1和-1的乘方特殊性：对于1和-1的乘方，学生可能忽视其特殊性，导致在计算过程中出错。例如，将1的任何次幂都视为1，但忽略了0的0次幂在数学中是未定义的。 易错知识点03：乘方运算法则的应用错误 同底数幂的乘除运算：在进行同底数幂的乘除运算时，学生容易忘记指数相加或相减的法则，导致计算结果错误。 幂的乘方与积的乘方混淆：幂的乘方与积的乘方是两种不同的运算法则，但学生在应用时容易混淆。例如，将(am)n错误地理解为a(m+n)，或将(ab)n错误地理解为an+bn。 易错知识点04：运算顺序错误 易错点：学生在进行有理数的混合运算时，容易忽略运算的优先级，即先乘方、再乘除、最后加减的顺序，以及括号内的运算优先于括号外的运算。这可能导致运算结果出错。 纠正方法：强调运算顺序的重要性，让学生牢记运算的优先级。 通过大量练习，使学生熟悉并掌握运算顺序。 易错知识点05：符号处理不当 易错点：异号两数相加或相减时，学生容易忘记确定结果的符号，或者错误地处理绝对值。 多个有理数相乘时，学生容易忽视负因数的个数对结果符号的影响。 纠正方法：强调符号处理的重要性，特别是异号两数相加或相减时的符号确定方法。 教授学生如何正确计算多个有理数相乘时的符号，即根据负因数的个数确定结果的符号。 易错知识点06：去括号法则应用错误 易错点：学生在去除括号时，容易忽略括号前的符号对括号内各项的影响，导致运算结果出错。 纠正方法：强调去括号法则的重要性，即括号前是正号时，去掉括号后各项符号不变；括号前是负号时，去掉括号后各项符号都要改变。 通过实例练习，让学生熟练掌握去括号法则的应用。 易错知识点07：运算律应用错误 易错点：加法交换律和结合律：学生在应用这两个运算律时，容易忽视其适用范围和条件，导致运算结果出错。乘法分配律：学生在应用乘法分配律进行有理数的混合运算时，容易出错。 纠正方法：强调运算律的重要性及其适用范围和条件。 通过实例练习，让学生熟练掌握运算律的应用，特别是在有理数的混合运算中如何灵活运用运算律来简化运算过程。 易错知识点08：知识理解错误 易错点：学生对有理数的概念、性质以及运算法则理解不透彻，导致在混合运算中出现错误。 纠正方法：加强基础知识的讲解和巩固，确保学生对有理数的概念、性质以及运算法则有深入的理解。 通过实例分析和讨论，帮助学生纠正对知识的误解和错误理解。 易错知识点09：科学记数法的应用误区 有效数字的确定：在科学记数法中，有效数字的确定是一个重要环节。但学生容易忽略这一点，导致在转换或计算过程中出错。 小数点的移动方向：在将普通数转换为科学记数法时，需要确定小数点的移动方向。但学生可能因对指数的理解不足而移动错误的方向。 考点讲练1：有理数幂的概念理解 【精讲题】（22-23七年级上·湖北荆门·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（22-23七年级上·河北邢台·期中）若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 考点讲练2：有理数的乘方运算 【精讲题】（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号里． +8，0.275，，0，，，，0.1010010001…，，，，， 正整数集合{                               }； 整数集合{                                 }； 非负整数集合{                            }； 正分数集合{                               }． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【举一反三练2】（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）（1）计算下列各式并且填空： （    ）； （    ）； （    ）； （    ）； …… （2）细心观察上述运算和结果，你会发现什么规律？ （3）你能很快算出等于多少吗？ 考点讲练3：有理数乘方逆运算 【精讲题】（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是37，a是多少？ 【举一反三练2】（22-23七年级上·湖北黄冈·阶段练习）观察下面三行数： ，9，，81···① 1，，9，···② ，10，，82···③ (1)认真观察第①行数的排列规律，若设第①行的第n个数为a，则 （用含n的式子表示） (2)分析第②③行数与第①行数分别之间的关系，解答问题：设x、y、z分别为第①②③行的2012个数，求的值． 考点讲练4：乘方运算的符号规律 【精讲题】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）给出下列判断：①若，则；②若a、b互为相反数，则；③单项式﹣的系数是；④代数式的值永远是正的；⑤几个有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负；⑥多项式是关于x，y的四次多项式，其中判断正确的有（    ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三练1】（21-22七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【举一反三练2】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…；① 0，，6，，30，，…；② ，2，，8，，32，…；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是__________，第n个数是__________； (2)第②行的第n个数是__________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 考点讲练4：乘方的应用 【精讲题】（24-25七年级上·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【举一反三练1】（22-23七年级上·内蒙古兴安盟·期中）拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 【举一反三练2】（2024七年级下·全国·专题练习）如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______； (2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数） (3)若，分别计算；． 考点讲练5：有理数四则混合运算 【精讲题】（22-23七年级上·山东滨州·期末）计算下列各题： (1) ； (2)； (2) ； (4)； 【举一反三练1】（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1) ； (2) ； (2) ； (4)． 【举一反三练2】（22-23七年级上·辽宁大连·阶段练习）脱式计算 （1） ； （2）； （3）． 考点讲练6：有理数四则混合运算的实际应用 【精讲题】（22-23七年级上·浙江衢州·阶段练习）出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的路上进行的，若规定向东行驶为正，则他这天下午行车的里程（单位：千米）如下： (1)将小李下午的出发地记为0，他将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午的出发地有多远？在出发地的哪个方向？ (2)如果该出租车的耗油量为升/千米，那么这天下午共耗油多少升？ 【举一反三练1】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）番薯枣子是余姚大岚的特产，每年冬季是其盛产期．小徐同学打算从大岚寄10箱番薯枣子到杭州，以每箱千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示： 每箱与标准质量的差值（单位：千克） 箱数 2 1 2 5 小徐同学选择了圆通快递，收费标准如下：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计． (1)求这10箱番薯枣子的总重量． (2)现快递公司提供两种寄件方式：方案一：每箱单独发一个包裹，共寄10件；方案二：10箱打包进一个大箱子，大箱子重2千克，10元一个，共寄1件．请通过计算说明哪种方案更省钱？省多少元？ 【举一反三练2】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以分钟跳个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组名同学分钟跳绳个数记录如下： ，，，，，，，，，（单位：个）． (1)求这个小组分钟每人平均跳绳的个数？ (2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准个记“”分，每不足个记“”分，刚好达到标准记“”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 考点讲练7：程序流程图与有理数计算 【精讲题】（2024七年级下·全国·专题练习）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第次“运算”的结果是 ． 【举一反三练1】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”后的结果是（   ） A．16 B．4 C．1 D．5 【举一反三练2】（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，若它是奇数，则对它乘3再加1；若它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1，这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．例如：取正整数3，最少经过下面7步运算可得1，即：．若正整数最少经过8步运算可得到1，则的值为 ； 考点讲练8：算“24”点 【精讲题】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【举一反三练1】（17-18七年级上·湖北武汉·期中）小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是______． (3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，(注：每个数字只能用一次，如：)，请另写出一种符合要求的运算式子． 【举一反三练2】（23-24七年级上·浙江·周测）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） ________________；________________； (2)如果表示正，表示负，请你用（1）中的4张牌表示的数写出运算结果为24的算式（写出2个）：________________；________________； (3)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是________． ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数   ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                  ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 考点讲练9：含乘方的有理数混合运算 【精讲题】（22-23七年级上·河南南阳·期末）计算： (1) ； (2)． 【举一反三练1】（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）计算下列各题 (1) ； (2)； (3)； (3) ； (5)； (6) ． 考点讲练10：科学计数法表示绝对值大于1的数 【精讲题】（2024·山东潍坊·中考真题）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024·河南漯河·二模）生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（    ） A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【举一反三练2】（23-24八年级下·河北承德·开学考试）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为5元/本、8元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． (1)用含，的代数式表示； (2)若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值． 考点讲练11：求一个数的近似数 【精讲题】（23-24七年级上·河北保定·期末）下列说法正确的是（    ） A．与是同类项 B．单项式的系数是5 C．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，则这个两位数是 D．用四舍五入法把25.395精确到0.01的近似数是25.4 【举一反三练1】（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需，已知无线电波的传播速度为，用四舍五入法把精确到十分位，并用科学记数法表示出地球与月球之间的距离． 【举一反三练2】（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）某天上午，出租车司机小华以自己的家为出发点，在南北走向的公路上运营．如果规定向北为正、向南为负，那么他这天上午行程（单位：千米）．如下：． 回答下列问题： (1)将最后一批乘客送到目的地时，小华在自己家的北方还是南方？ (2)若出租车平均每千米耗油量为升，则这天上午出租车耗油共多少升？（结果精确到0.1） 考点讲练12：由近似数推断真值范围 【精讲题】（22-23七年级上·浙江·期中）把精确到十分位的近似数是23.6，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）（1）将用科学记数法表示为 ； （2）把精确到十分位的近似数是 ； （3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于 ，而小于 的数． 【举一反三练2】（23-24六年级下·全国·假期作业）某工厂小张师傅接受了加工两根轴的任务，他很快地完成了任务，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小张不服气地说：“图纸上要求的是，而我做的轴，一根是，另一根是，怎么不合格了？” 请你说一说，是小张师傅做的轴不合格，还是质检员故意刁难？为什么？ 中等题真题汇编练 1．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，创造了中国航天员连续在轨飞行时间的最长记录，该乘组共在轨飞行约15800000秒，15800000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）下列各组中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）定义一种新运算“”，规则为：例：，则 ． 6．（23-24七年级下·河北承德·期末）经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时50多名党员，发展成为今天已经拥有超过9800万党员的世界第一大政党．9800万用科学记数法表示为 ． 7．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）小明学习了“幂的运算”后做这样一道题：，则整数x的值为 ． 8．（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 9．（22-23七年级上·辽宁丹东·期中）计算： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列各式： … (1)猜想_______ (2)根据上面的规律，解答下列问题： ① ②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 11．（22-23七年级上·辽宁阜新·期中）某领导慰问高速公路养护小组．乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，． (1)求该领导乘车最后到达的地方在服务区何方？距离多远？ (2)若行驶千米耗油升，则这次巡视共耗油多少升？ (3)若领导在这个巡视点发放苹果做为慰问品，以为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，这个巡视点的苹果重量记为，，，，，（单位：），求发放苹果的总重量． 12．（22-23七年级上·河南新乡·期中）某大型超市上周日购进新鲜的黄瓜1000公斤，每公斤1.5元，受暴发的“毒黄瓜”的影响，销售价格出现较大的波动，表中为一周内黄瓜销售价格的涨跌情况（涨为正，跌为负，其中星期一的销售价格是与进价比较，单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 六 每公斤销售价涨跌（与前一天比较） (1)到星期二时，每公斤的黄瓜售价是多少元？ (2)本周最低售价是每公斤多少元？ (3)已知截止到星期五，已卖出黄瓜700公斤，销售总额为935元．如果超市星期六能将剩下的黄瓜全部卖出．不考虑损耗等其他因素，请算算该超市本周销售黄瓜是盈还是亏？盈亏是多少？ 培优题真题汇编练 13．（23-24七年级上·陕西西安·期末）是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”． 如：的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则等于 （   ） A． B． C． D．5 14．（23-24七年级上·山西晋中·期末）根据国家统计局发布的数据，2023年全国粮食总产量亿斤，再创新高，为全而推进乡村振兴，加快建设农业强国奠定了坚实基础．数据亿斤用科学记数法可表示为（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 15．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，…，请你推算的个位数字是（　　） A．6 B．4 C．2 D．8 16．（22-23七年级上·广东广州·期中）今年“十一”期间，广州部分公园举行游园活动，据统计，天河公园早晨时分有人进入公园，接下来的第一个分钟内有人进去人出来，第二个分钟内有人进去人出来，第三个分钟内有人进去人出来，第四个分钟内有人进去人出来．按照这种规律进行下去，到上午时分公园内的人数是（   ） A． B． C． D． 17．（22-23七年级上·贵州贵阳·期中）计算题： (1)； (2)； (4) ； (4)． 18．（23-24七年级上·江西吉安·期中）某登山队5名队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地500m的顶峰攀登．设向上走为正，向下走为负，整个行程记录如下(单位：)，，，，，，，，，，，． (1)此时他们离顶峰还差多少米？ (2)登山时，5名队员在行进中使用了氧气，且每人每米要消耗氧气，他们共使用了氧气多少升？ 19．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 20．（23-24七年级上·陕西西安·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机， (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________    (2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________    (3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：    ①若、分别输入1，则输出结果1，记； ②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记； 问：当输入自然数7，输入自然数6时，的值是多少？ 21．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）计算 (1) (2) (2) (4) 22．（22-23七年级上·四川德阳·期末）计算 (1)； (2)； (3)． 23．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． (3)探究并计算： ①． ②． 24．（23-24七年级上·山东济南·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ． （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式： ． （4）利用（3）的结论计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数的运算》】 2.3 有理数的乘方 （知识精讲+易错点拨+十二大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：有理数幂的概念理解 5 考点讲练2：有理数的乘方运算 7 考点讲练3：有理数乘方逆运算 9 考点讲练4：乘方运算的符号规律 12 考点讲练4：乘方的应用 14 考点讲练5：有理数四则混合运算 17 考点讲练6：有理数四则混合运算的实际应用 20 考点讲练7：程序流程图与有理数计算 22 考点讲练8：算“24”点 24 考点讲练9：含乘方的有理数混合运算 27 考点讲练10：科学计数法表示绝对值大于1的数 31 考点讲练11：求一个数的近似数 32 考点讲练12：由近似数推断真值范围 34 中等题真题汇编练 35 培优题真题汇编练 42 新知精讲梳理 知识点01：有理数的乘方定义 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方运算的结果叫做幂。例如，a^n表示n个a相乘，其中a是底数，n是指数，an读作“a的n次幂”或“a的n次方”。 注意：当底数为0时，0的任何正整数次幂都是0（但0的0次幂在数学中是未定义的）。 知识点02：有理数的乘方性质 正数的乘方：正数的任何次幂都是正数。例如，2³= 8，54= 625。 负数的乘方： 负数的奇数次幂是负数。例如，(-3)^3 = -27。 负数的偶数次幂是正数。例如，(-2)^4 = 16。 1和-1的乘方： 1的任何次幂都是1。例如，1n = 1（n为任意整数）。 -1的偶次幂是1，奇次幂是-1。例如，(-1)2 = 1，(-1)3 = -1。 知识点03：有理数的乘方运算法则 同底数幂的乘法：同底数幂相乘时，指数相加。即am × an = a(m+n)（m、n为正整数）。 同底数幂的除法：同底数幂相除时，指数相减。即am ÷ an = a(m-n)（a ≠ 0，m、n为正整数，且m > n）。 幂的乘方：幂的乘方时，指数相乘。即(a^m)^n = a^(m×n)（m、n为正整数）。 积的乘方：积的乘方时，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即(ab)n = an × bn（n为正整数）。 知识点04：有理数混合运算的运算顺序 有理数的混合运算包含加、减、乘、除以及乘方五种基本运算。在进行混合运算时，需要遵循一定的运算顺序，以确保运算结果的准确性。具体运算顺序如下： 先乘方：在有理数的混合运算中，首先进行乘方运算。乘方运算的优先级高于其他四种基本运算。 再乘除：在进行完乘方运算后，接下来进行乘法和除法运算。乘法和除法运算的优先级相同，从左到右依次进行。 最后加减：完成乘除运算后，最后进行加法和减法运算。加法和减法运算的优先级相同，也遵循从左到右的运算顺序。 此外，如果运算式中含有括号，需要优先进行括号内的运算。括号内的运算也遵循上述的运算顺序。 知识点05：有理数混合运算的运算法则 有理数混合运算的运算法则主要包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律以及分配律等。这些运算法则在有理数的混合运算中同样适用，可以帮助学生简化运算过程，提高运算效率。 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a + b = b + a。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a + b) + c = a + (b + c)。 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即a × b = b × a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即(a × b) × c = a × (b × c)。 分配律：一个数与两个数的和或差相乘，等于这个数分别与这两个数相乘，再把所得的积相加或相减。即a × (b + c) = a × b + a × c，a × (b - c) = a × b - a × c。 知识点06：有理数混合运算在实际问题中的应用 有理数的混合运算不仅限于纯粹的数学计算，还广泛应用于解决实际生活中的问题。例如，在购物、旅行、工程计算等方面，都需要运用有理数的混合运算来解决问题。通过解决实际问题，学生可以更好地理解有理数混合运算的实际意义和应用价值。 知识点07：科学记数法 定义：科学记数法是一种表示很大或很小的数的方法，它把一个数表示成a×10^n的形式（1 ≤ |a| < 10，n为整数）。 应用：科学记数法常用于表示天文、物理、化学等领域中的大数或小数，以便于计算和记录。 转换：将一个数转换为科学记数法时，需要确定a和n的值。其中，a是原数中有效数字的部分（即第一个非零数字及其后面的数字），n是原数的整数位数减1（对于小于1的数，n是负数，表示小数点向左移动了多少位）。 高频易错知识点拨 易错知识点01：乘方定义的理解误区 混淆乘方与乘法：部分学生可能将乘方运算误解为简单的乘法运算，忽略了乘方是求多个相同因数的积的运算。例如，将a3错误地理解为a+a+a或a×3。 底数和指数的混淆：在书写或计算乘方时，容易混淆底数和指数的位置，导致计算结果错误。例如，将a^2错误地写为2a。 易错知识点02：乘方性质的掌握不足 负数乘方的符号判断：对于负数的乘方，学生容易在判断结果的符号时出错。特别是当指数为奇数或偶数时，负数的乘方结果的正负性容易混淆。 1和-1的乘方特殊性：对于1和-1的乘方，学生可能忽视其特殊性，导致在计算过程中出错。例如，将1的任何次幂都视为1，但忽略了0的0次幂在数学中是未定义的。 易错知识点03：乘方运算法则的应用错误 同底数幂的乘除运算：在进行同底数幂的乘除运算时，学生容易忘记指数相加或相减的法则，导致计算结果错误。 幂的乘方与积的乘方混淆：幂的乘方与积的乘方是两种不同的运算法则，但学生在应用时容易混淆。例如，将(am)n错误地理解为a(m+n)，或将(ab)n错误地理解为an+bn。 易错知识点04：运算顺序错误 易错点：学生在进行有理数的混合运算时，容易忽略运算的优先级，即先乘方、再乘除、最后加减的顺序，以及括号内的运算优先于括号外的运算。这可能导致运算结果出错。 纠正方法：强调运算顺序的重要性，让学生牢记运算的优先级。 通过大量练习，使学生熟悉并掌握运算顺序。 易错知识点05：符号处理不当 易错点：异号两数相加或相减时，学生容易忘记确定结果的符号，或者错误地处理绝对值。 多个有理数相乘时，学生容易忽视负因数的个数对结果符号的影响。 纠正方法：强调符号处理的重要性，特别是异号两数相加或相减时的符号确定方法。 教授学生如何正确计算多个有理数相乘时的符号，即根据负因数的个数确定结果的符号。 易错知识点06：去括号法则应用错误 易错点：学生在去除括号时，容易忽略括号前的符号对括号内各项的影响，导致运算结果出错。 纠正方法：强调去括号法则的重要性，即括号前是正号时，去掉括号后各项符号不变；括号前是负号时，去掉括号后各项符号都要改变。 通过实例练习，让学生熟练掌握去括号法则的应用。 易错知识点07：运算律应用错误 易错点：加法交换律和结合律：学生在应用这两个运算律时，容易忽视其适用范围和条件，导致运算结果出错。乘法分配律：学生在应用乘法分配律进行有理数的混合运算时，容易出错。 纠正方法：强调运算律的重要性及其适用范围和条件。 通过实例练习，让学生熟练掌握运算律的应用，特别是在有理数的混合运算中如何灵活运用运算律来简化运算过程。 易错知识点08：知识理解错误 易错点：学生对有理数的概念、性质以及运算法则理解不透彻，导致在混合运算中出现错误。 纠正方法：加强基础知识的讲解和巩固，确保学生对有理数的概念、性质以及运算法则有深入的理解。 通过实例分析和讨论，帮助学生纠正对知识的误解和错误理解。 易错知识点09：科学记数法的应用误区 有效数字的确定：在科学记数法中，有效数字的确定是一个重要环节。但学生容易忽略这一点，导致在转换或计算过程中出错。 小数点的移动方向：在将普通数转换为科学记数法时，需要确定小数点的移动方向。但学生可能因对指数的理解不足而移动错误的方向。 考点讲练1：有理数幂的概念理解 【精讲题】（22-23七年级上·湖北荆门·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】、用乘方的意义即可判断，、有理数混合运算法则进行计算，即可判断． 【规范解答】A.，故此项错误； B.，故此项错误； C.，故此项正确； D.，故此项错误． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了乘方的意义，有理数混合运算，理解乘方的意义，掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 【举一反三练1】（22-23七年级上·河北邢台·期中）若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据乘方的意义，可知：，即可得出答案． 【规范解答】解：∵， 又∵是的倍， ∴． 故选：D． 【考点评析】此题考查了乘方的意义，掌握乘方的意义是解题的关键． 【举一反三练2】（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【思路点拨】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：． 考点讲练2：有理数的乘方运算 【精讲题】（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号里． +8，0.275，，0，，，，0.1010010001…，，，，， 正整数集合{                               ……}； 整数集合{                                 ……}； 非负整数集合{                             ……}； 正分数集合{                                ……}． 【答案】，；，，0，，；，0，；，，， 【思路点拨】本题主要考查的是有理数的分类，按照要求进行分类即可，非负整数包括正整数和0，整数包括正整数、0和负整数，其中无限不循环小数不是有理数，故也不是分数，注意，，． 【规范解答】解：，， 正整数集合，； 整数集合，，0，，； 非负整数集合，0，； 正分数集合，，，； 故答案为：，；，，0，，；，0，；，，，． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【思路点拨】本题考查了整式的规律探究，有理数的乘方．根据题意得到式子的规律，再根据幂的运算得到尾数的规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为：，当时代入求解，然后找出2的次方末尾数字规律，进而可得结果． 【规范解答】解：由题意可推导一般性规律为：， 当时， ， ∴， ∵，，，，， ∴尾数是4个一循环， ∵， ∴尾数为：， 故选：C． 【举一反三练2】（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）（1）计算下列各式并且填空： （    ）； （    ）； （    ）； （    ）； …… （2）细心观察上述运算和结果，你会发现什么规律？ （3）你能很快算出等于多少吗？ 【答案】（1）  （2）见解析  （3） 【思路点拨】本题考查数字规律问题，观察发现上述运算的结果和加数首尾两个数的和的一半的平方有关是解题的关键． （1）直接运算即可解题； （2）根据（1）得计算结果得到结论即可； （3）运用结论计算解题． 【规范解答】解：（1）； ； ； ； 故答案为：； （2）规律：上述运算和结果，规律是首，尾两个加数和的一半的平方； （3） 考点讲练3：有理数乘方逆运算 【精讲题】（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【思路点拨】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是37，a是多少？ 【答案】(1)①7；②206 (2)a是或 【思路点拨】此题主要考查根据题意规定的运算法则列式求解，解题的关键是正确理解题意规定的运算法则． （1）①根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； ②根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； （2）根据题目所给的运算顺序，列出方程，根据平方根的定义进行计算即可． 【规范解答】（1）解：①； ②； （2）解：根据题意可得： ， ， 解得：， ∴a是或． 【举一反三练2】（22-23七年级上·湖北黄冈·阶段练习）观察下面三行数： ，9，，81···① 1，，9，···② ，10，，82···③ (1)认真观察第①行数的排列规律，若设第①行的第n个数为a，则 （用含n的式子表示） (2)分析第②③行数与第①行数分别之间的关系，解答问题：设x、y、z分别为第①②③行的2012个数，求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路点拨】（1）观察第①行数得，第①行数满足（n为该行第几个数，即n为正整数，且）． （2）观察第②③行数与第①行数，即可得出它们之间的关系，求出x，y，z的值，再代入求解即可． 【规范解答】（1）观察第①行数得，第①行数的规律是（n为该行第几个数，即n为正整数，且）． 故答案为：； （2）第②行数是第①行数对应的数除以的结果；第③行数是第①行数对应的数加1的结果． ，， ∴ ． 【考点评析】本题考查了数字类的的规律题，掌握数字之间的规律并代入代数式求解是解题的关键． 考点讲练4：乘方运算的符号规律 【精讲题】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）给出下列判断：①若，则；②若a、b互为相反数，则；③单项式﹣的系数是；④代数式的值永远是正的；⑤几个有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负；⑥多项式是关于x，y的四次多项式，其中判断正确的有（    ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【思路点拨】根据绝对值的意义即可判断①，根据相反数的性质即可判断②，根据单项式的系数即可判断③，根据乘方的非负性即可判断④，根据多个有理数的乘法符号法则即可判断⑤，根据多项式的定义进行判断即可⑥． 【规范解答】解：①若，则，故说法错误； ②若a、b互为相反数且，则，故说法错误； ③单项式的系数是，故说法错误； ④∵，∴代数式，即代数式的值永远是正的，故说法正确； ⑤几个非零有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负，故说法错误； ⑥多项式是关于x，y的三次多项式，故说法错误； 综上可知，判断正确的有1个， 故选：A 【考点评析】此题考查了绝对值的意义、乘方的非负性、单项式和多项式、多个有理数的乘法、相反数等知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 【举一反三练1】（21-22七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【思路点拨】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【规范解答】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【考点评析】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【举一反三练2】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…；① 0，，6，，30，，…；② ，2，，8，，32，…；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是__________，第n个数是__________； (2)第②行的第n个数是__________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】（1）观察可得从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； （2）观察可得第②行每个数等于第①行对应的数减去2，据此求解即可； （3）观察可得第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； 【规范解答】（1）解：第①行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第①行的第n个数可以表示为：， 第①行的第8个数是， 第①行的第n个数是， 故答案为：，； （2）解：观察可得，第②行每个数等于第①行对应的数减去2， ∴第②行的第n个数是； （3）解：第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第③行的第n个数可以表示为：， 第①行的第10个数是，第②行的第10个数是，第③行的第10个数， ∴． 【考点评析】本题考查了有理数的乘方和探究数的规律，找到并表示出数列的规律是解题的关键． 考点讲练4：乘方的应用 【精讲题】（24-25七年级上·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【答案】(1)128 (2) 【思路点拨】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意得：（根） ∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根． （2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是． ∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀， ∴8次后，平均每一根面条横截面积． 【举一反三练1】（22-23七年级上·内蒙古兴安盟·期中）拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查有理数的乘方，能够根据题意列出式子是解题的关键．由图可知，第一次捏合是，即，第二次是，即，第三次是，即，即可得到答案． 【规范解答】解：第一次捏合后面条根，即根， 第二次捏合后面条根，即根， 第三次捏合后面条根，即根， 故第8次捏合后面条为根， 故选D． 【举一反三练2】（2024七年级下·全国·专题练习）如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______； (2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数） (3)若，分别计算；． 【答案】(1)1， (2)3 (3)0.6020，0.699． 【思路点拨】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键． （1），，则有；，，则有； （2）根据，进行求解即可； （3）由题意得：，． 【规范解答】（1）由题意得：， ， ； 由题意得：， ， ； 故答案为：1，； （2）∵，， ∴ 故答案为3； （3）， ， ． 考点讲练5：有理数四则混合运算 【精讲题】（22-23七年级上·山东滨州·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)10 (2) (3) (4) 【思路点拨】本题主要考查了含乘方有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再进行加减运算，即可求解； （2）将除法变为乘法，再进行运算，即可求解； （3）先计算括号内的，再将除法变为乘法运算即可； （4）先计算平方，绝对值，立方，乘法，再进行加减运算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【举一反三练1】（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1)； (2) ； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数混合运算的运算顺序和每一步的运算法则是解题关键． （1）先将减法化为加法，再按照有理数的加法交换律和结合律计算即可； （2）先运算乘除，最后计算减法解题； （3）利用乘法分配律计算后计算加法； （4）先计算乘方和括号内的，然后运算乘除，最后运算加减解题． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【举一反三练2】（22-23七年级上·辽宁大连·阶段练习）脱式计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）16；（2）18；（3） 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键． （1）先化除为乘、然后运用乘法分配律解答即可； （2）先根据乘法运算律等量变换，然后再运用乘法结合律运算即可； （3）先算小括号，再算中括号，最后算其他即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ； （3） ． 考点讲练6：有理数四则混合运算的实际应用 【精讲题】（22-23七年级上·浙江衢州·阶段练习）出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的路上进行的，若规定向东行驶为正，则他这天下午行车的里程（单位：千米）如下： (1)将小李下午的出发地记为0，他将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午的出发地有多远？在出发地的哪个方向？ (2)如果该出租车的耗油量为升/千米，那么这天下午共耗油多少升？ 【答案】(1)小李距下午的出发地有2千米远，在出发地的西方 (2)这天下午共耗油22升 【思路点拨】本题主要考查正负数的应用，熟练掌握正负数的加减计算是解题的关键． （1）根据正负数的意义列式计算即可； （2）根据正负数的意义列式计算即可． 【规范解答】（1）解：（千米）， ∴小李距下午的出发地有2千米远，在出发地的西方． （2）解：（升）． 答：这天下午共耗油22升． 【举一反三练1】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）番薯枣子是余姚大岚的特产，每年冬季是其盛产期．小徐同学打算从大岚寄10箱番薯枣子到杭州，以每箱千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示： 每箱与标准质量的差值（单位：千克） 箱数 2 1 2 5 小徐同学选择了圆通快递，收费标准如下：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计． (1)求这10箱番薯枣子的总重量． (2)现快递公司提供两种寄件方式：方案一：每箱单独发一个包裹，共寄10件；方案二：10箱打包进一个大箱子，大箱子重2千克，10元一个，共寄1件．请通过计算说明哪种方案更省钱？省多少元？ 【答案】(1)千克 (2)方案二省钱，省48元 【思路点拨】本题考查了有理数四则运算实际应用，正确理解题意并灵活运用相关知识解决问题是关键． （1）求出记录数字之和，确定出总重即可． （2）根据两种寄件方式及快递收费标准分别求出两种方案的费用，再比较即可． 【规范解答】（1）解：（千克）； 答：这10箱番薯枣子的总重量为千克． （2）解：方案一：（元）， 方案二：（元）， （元）， 方案二省钱，省48元． 【举一反三练2】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以分钟跳个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组名同学分钟跳绳个数记录如下： ，，，，，，，，，（单位：个）． (1)求这个小组分钟每人平均跳绳的个数？ (2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准个记“”分，每不足个记“”分，刚好达到标准记“”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合计算是解题的关键； （1）根据平均数的意义，可得答案； （2）根据题意列式计算求出该班的总积分即可． 【规范解答】（1）解：由题意得： 答：这个小组分钟每人平均跳绳的个数个 （2）解：由题意得： 答：这个小组的总积分为分 考点讲练7：程序流程图与有理数计算 【精讲题】（2024七年级下·全国·专题练习）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第次“运算”的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是整数的奇偶性，能根据所给条件得出时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【规范解答】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数）， 需再进行F②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），…， 即第次运算结果为， 第次运算结果为， 第次运算结果为， 第次运算结果为，第次运算结果为，…， 可以发现第次运算结果为，第次运算结果为， 从第次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为，偶数次为，而第次是奇数， 这样循环计算一直到第次“运算”，得到的结果为． 故本题答案为：． 【举一反三练1】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”后的结果是（   ） A．16 B．4 C．1 D．5 【答案】B 【思路点拨】本题考查有理数的新定义运算，程序流程图与有理数计算．根据新定义的运算法则，分别计算出当时，第一到九次运算的结果，发现循环规律即可解答，找到循环规律是解此题的关键． 【规范解答】解：当时，历次运算的结果是： ，，，，，，，，…… 运算结果为 从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1， 第2024次“F运算”后的结果是4， 故选B． 【举一反三练2】（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，若它是奇数，则对它乘3再加1；若它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1，这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．例如：取正整数3，最少经过下面7步运算可得1，即：．若正整数最少经过8步运算可得到1，则的值为 ； 【答案】6或40或256 【思路点拨】本题主要考查有理数的运算，归纳推理的应用，利用变换规则，第8步为1出发，按照规则，逆向计算即可求出的所有可能的取值． 【规范解答】解：正整数最少经过8步运算可得到1， 第7步的运算结果为2， 第6步运算的结果为4， 第5步运算的结果为8， 第4步运算的结果为16， 第3步运算的结果为5或32， 第2步运算的结果为10或64， 第1步运算的结果为3或20或128， 的值为6或40或256， 故答案为：6或40或256． 考点讲练8：算“24”点 【精讲题】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题． （1）所给的数字为：、、5、3； （2）所给的数字为：、、8、12； （3）所给的数字为：、、2、3； 利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可． 【规范解答】（1）（1）答案不唯一，如 ； （2）①答案不唯一，如 ； ②答案不唯一，如 ； （3）答案不唯一，如 ． 【举一反三练1】（17-18七年级上·湖北武汉·期中）小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是______． (3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，(注：每个数字只能用一次，如：)，请另写出一种符合要求的运算式子． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算； （1）找出与，使其乘积最大即可； （2）找出与，使其商最小即可； （3）利用“24点”游戏规则写出一个符合要求的式子即可． 【规范解答】（1）取，2，乘积最大值为， 故答案为： （2）取商的最小值为， 故答案为： （3）． 【举一反三练2】（23-24七年级上·浙江·周测）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） ________________；________________； (2)如果表示正，表示负，请你用（1）中的4张牌表示的数写出运算结果为24的算式（写出2个）：________________；________________； (3)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是________． ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数   ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                  ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【答案】(1)； (2)； (3)① 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算： （1）利用24点游戏规则列出算式即可； （2）利用24点游戏规则列出算式即可； （3）将这四个数字的组成的算式列出来即可得到答案． 【规范解答】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：；； （2）根据题意得：；； 故答案为：；； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的所有整数， 故答案为：①． 考点讲练9：含乘方的有理数混合运算 【精讲题】（22-23七年级上·河南南阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （2）先算乘方，然后利用乘法分配律进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 【举一反三练1】（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】 本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算的运算顺序、运算律计算即可，应注意符号问题． 【规范解答】 A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算错误，不符合题意； D、，故本选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【举一反三练2】（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）计算下列各题 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．是解答此题的关键． （1）先运算乘方和括号内的减法，然根据有理数的除法可以解答本题； （2）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题； （3）运用乘法分配律计算即可； （4）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题； （5）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题； （6）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题； 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 考点讲练10：科学计数法表示绝对值大于1的数 【精讲题】（2024·山东潍坊·中考真题）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．将一个数写成，（其中，为整数），即可得到答案． 【规范解答】解：万， 故选B． 【举一反三练1】（2024·河南漯河·二模）生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（    ） A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是数字的变化规律，科学记数法，根据的能量能够流动到下一个营养级可知：要使获得50千焦的能量，那么需要需要提供千焦的能量，以此类推，设需要需要提供千焦的能量，然后用科学记数法表示即可． 【规范解答】解：根据题意，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量， ∴， 故选：B． 【举一反三练2】（23-24八年级下·河北承德·开学考试）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为5元/本、8元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． (1)用含，的代数式表示； (2)若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了列代数式，科学记数法； （1）根据总价＝单价×数量列代数式即可； （2）根据总价＝单价×数量列式，然后根据科学记数法的表示方法得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意得：； （2）由题意得：． 考点讲练11：求一个数的近似数 【精讲题】（23-24七年级上·河北保定·期末）下列说法正确的是（    ） A．与是同类项 B．单项式的系数是5 C．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，则这个两位数是 D．用四舍五入法把25.395精确到0.01的近似数是25.4 【答案】C 【思路点拨】根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项”判断选项A；根据“单项式中的数字因数，叫做单项式的系数”判断选项B；根据选项描述表示出这个两位数，即可判断选项C；根据相似数的写法即可判断选项D． 【规范解答】解：A. 与不是同类项，该选项说法不正确，不符合题意； B. 单项式的系数是，该选项说法不正确，不符合题意； C. 一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，则这个两位数是，该说法正确，符合题意； D. 用四舍五入法把25.395精确到0.01的近似数是25.40，该选项说法不正确，不符合题意． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了同类项、单项式、列代数式以及近似数的知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 【举一反三练1】（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需，已知无线电波的传播速度为，用四舍五入法把精确到十分位，并用科学记数法表示出地球与月球之间的距离． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了科学记数法-表示较大的数，利用路程=速度×时间，可求出地球与月球之间的距离，再将其用科学记数法表示出来即可． 【规范解答】解：精确到十分位为， 所以，地球与月球之间的距离约是， ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）某天上午，出租车司机小华以自己的家为出发点，在南北走向的公路上运营．如果规定向北为正、向南为负，那么他这天上午行程（单位：千米）．如下：． 回答下列问题： (1)将最后一批乘客送到目的地时，小华在自己家的北方还是南方？ (2)若出租车平均每千米耗油量为升，则这天上午出租车耗油共多少升？（结果精确到0.1） 【答案】(1)将最后一批乘客送到目的地时，小华在自己家的北方 (2)这天上午出租车耗油共8.2升 【思路点拨】此题考查了正数和负数的实际意义，以及有理数四则运算的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）把所有行车记录相加，然后根据和的正负情况确定最后的位置； （2）求出所有行车记录的绝对值的和，再乘以即可． 【规范解答】（1）解：（千米） 规定向北为正， 将最后一批乘客送到目的地时，小华在自己家的北方； （2）解： （升） 答：这天上午出租车耗油共8.2升． 考点讲练12：由近似数推断真值范围 【精讲题】（22-23七年级上·浙江·期中）把精确到十分位的近似数是23.6，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．根据近似数的精确度求解． 【规范解答】解：近似数精确到十分位是23.6，则的取值范围为． 故选：B 【举一反三练1】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）（1）将用科学记数法表示为 ； （2）把精确到十分位的近似数是 ； （3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于 ，而小于 的数． 【答案】 【思路点拨】（1）根据科学记数法表示即可求解； （2）将百分位的9四舍五入即可求解； （3）根据近似数四舍五入法，判断范围即可求解． 【规范解答】（1）解：将用科学记数法表示为 故答案为：． （2）把精确到十分位的近似数是； 故答案为：． （3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于，而小于的数， 故答案为：；． 【考点评析】本题考查了科学记数法，求近似数，掌握以上知识是解题的关键． 【举一反三练2】（23-24六年级下·全国·假期作业）某工厂小张师傅接受了加工两根轴的任务，他很快地完成了任务，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小张不服气地说：“图纸上要求的是，而我做的轴，一根是，另一根是，怎么不合格了？” 请你说一说，是小张师傅做的轴不合格，还是质检员故意刁难？为什么？ 【答案】小张师傅做的轴不合格．理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了近似数的应用，根据题意推出近似数的精确数x应满足，据此可得结论． 【规范解答】解：小张师傅做的轴不合格．理由如下： ∵近似数的精确数x应满足，而小张师傅做的一根轴长，小于， ∴不合格； ∵另一根轴长，大于， ∴也不合格． 中等题真题汇编练 1．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，创造了中国航天员连续在轨飞行时间的最长记录，该乘组共在轨飞行约15800000秒，15800000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【规范解答】解：15800000用科学记数法表示为． 故选：C． 2．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）下列各组中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查乘方运算，熟练掌握乘方的法则是解决本题的关键．先分别计算各选项中的运算，再比较即可； 【规范解答】解：A、，，故不相等，不合题意； B、，，故相等，符合题意； C、，，故不相等，不符合题意； D、，，故不相等，不合题意； 故选：B． 3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【思路点拨】本题考查了有理数的大小比较，乘方运算，根据乘方的意义计算后比较即可． 【规范解答】解：A．，故不符合题意； B．，故符合题意； C．，故不符合题意； D．，故不符合题意； 故选B． 4．（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，利用有理数的相应的法则对各项进行运算即可求解．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【规范解答】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）定义一种新运算“”，规则为：例：，则 ． 【答案】4 【思路点拨】此题主要考查了新定义以及有理数的混合运算，正确利用新定义转化为有理数混合运算是解题关键．根据题中的新定义将所求式子化为有理数混合运算，计算即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ； 故答案为：4． 6．（23-24七年级下·河北承德·期末）经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时50多名党员，发展成为今天已经拥有超过9800万党员的世界第一大政党．9800万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【规范解答】9800万用科学记数法表示为． 故答案为：． 7．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）小明学习了“幂的运算”后做这样一道题：，则整数x的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，根据有理数的乘方，零指数幂分情况讨论：①当底数相同时，；②当底数互为相反数时，；③当指数为0时，；分别进行计算出符合题意的x，即可得；掌握有理数的乘方，零指数幂，分情况讨论是解题的关键． 【规范解答】解：①当底数相同时， ， ， ②当底数互为相反数时， ， ∵x为整数， ∴不符合题意； ③当指数为0时，且底数不等于0， 解得，， 故答案为：或． 8．（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了，有理数的乘法运算，科学记数法，正确理解题意是解题的关键．根据题意列式，利用有理数的乘法运算及科学记数法，即得答案． 【规范解答】解：(元)， 所以该企业一年的国债利息收益为元． 故答案为：． 9．（22-23七年级上·辽宁丹东·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列各式： … (1)猜想_______ (2)根据上面的规律，解答下列问题： ① ②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【答案】(1) (2)①，② 【思路点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （2）①根据材料提示，以及有理数的乘法运算法则即可求解；②有理数的乘法运算法则，材料提示信息进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵ … ∴ 故答案为：； （2）解：① ；                                  ②由题意得， ． 11．（22-23七年级上·辽宁阜新·期中）某领导慰问高速公路养护小组．乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，． (1)求该领导乘车最后到达的地方在服务区何方？距离多远？ (2)若行驶千米耗油升，则这次巡视共耗油多少升？ (3)若领导在这个巡视点发放苹果做为慰问品，以为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，这个巡视点的苹果重量记为，，，，，（单位：），求发放苹果的总重量． 【答案】(1)在服务区的东，距离千米 (2)共耗油升 (3)发放苹果总重量为 【思路点拨】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．也考查了有理数的混合运算． （1）求出这一组数的和，结果是正数则在出发点的东边，是负数则在出发点的西侧； （2）将每次行驶的绝对值相加，再乘以每公里油耗，可得结果； （3）将每个巡视点的苹果所出入的重量相加，再加上总的标准重量即可． 【规范解答】（1）解：（千米） 答：该领导最后到达服务区的东边千米处． （2）解：（升） 答：这次巡视共耗油升． （3）解： 答：发放苹果总重量为． 12．（22-23七年级上·河南新乡·期中）某大型超市上周日购进新鲜的黄瓜1000公斤，每公斤1.5元，受暴发的“毒黄瓜”的影响，销售价格出现较大的波动，表中为一周内黄瓜销售价格的涨跌情况（涨为正，跌为负，其中星期一的销售价格是与进价比较，单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 六 每公斤销售价涨跌（与前一天比较） (1)到星期二时，每公斤的黄瓜售价是多少元？ (2)本周最低售价是每公斤多少元？ (3)已知截止到星期五，已卖出黄瓜700公斤，销售总额为935元．如果超市星期六能将剩下的黄瓜全部卖出．不考虑损耗等其他因素，请算算该超市本周销售黄瓜是盈还是亏？盈亏是多少？ 【答案】(1)2.2元 (2)0.4元 (3)亏了415元 【思路点拨】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是解题的关键. （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法，可得答案； （3）根据单价乘以数量，可得销售额，根据销售额减去成本，可得答案． 【规范解答】（1）元， 到星期二时，每公斤的黄瓜售价是2.2元； （2）元， 本周最低售价是每公斤0.4元； （3）周六的价格是元， 元． 故该超市本周销售黄瓜亏了415元． 培优题真题汇编练 13．（23-24七年级上·陕西西安·期末）是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”． 如：的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则等于 （   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【思路点拨】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，根据“哈利数”的概念，分别求出、、、，发现每4个数按5、、、循环出现，据此即可得到答案． 【规范解答】解：， ，，，， …… 观察可知，每4个数按5、、、循环出现， ， ， 故选：A． 14．（23-24七年级上·山西晋中·期末）根据国家统计局发布的数据，2023年全国粮食总产量亿斤，再创新高，为全而推进乡村振兴，加快建设农业强国奠定了坚实基础．数据亿斤用科学记数法可表示为（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将亿写成其中，n为整数的形式即可． 【规范解答】解：亿． 故选：C． 15．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，…，请你推算的个位数字是（　　） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查数字的变化规律，根据尾数的循环性得出个位数字每四个数循环一次，根据尾数的循环得出结论是解题的关键． 【规范解答】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 16．（22-23七年级上·广东广州·期中）今年“十一”期间，广州部分公园举行游园活动，据统计，天河公园早晨时分有人进入公园，接下来的第一个分钟内有人进去人出来，第二个分钟内有人进去人出来，第三个分钟内有人进去人出来，第四个分钟内有人进去人出来．按照这种规律进行下去，到上午时分公园内的人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查有理数的乘方，掌握题目中人数的进出规律，列出算式是正确解答的关键． 【规范解答】解：从早晨时分，到上午时分共经历了个小时，即个“半小时”，因此进行次人员的进出，由进出人数的规律可得， 上午时分公园内的人数为： ， 故选：B． 17．（22-23七年级上·贵州贵阳·期中）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)6 (2) (3)0 (4) 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算： （1）利用加减法则进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）利用加减法则，进行计算即可； （4）先乘方，再乘除，最后算加减即可． 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式． 18．（23-24七年级上·江西吉安·期中）某登山队5名队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地500m的顶峰攀登．设向上走为正，向下走为负，整个行程记录如下(单位：)，，，，，，，，，，，． (1)此时他们离顶峰还差多少米？ (2)登山时，5名队员在行进中使用了氧气，且每人每米要消耗氧气，他们共使用了氧气多少升？ 【答案】(1)他们离顶峰还差80米 (2)他们共使用了氧气146升 【思路点拨】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中的实际含义． （1）将题目中的数据加在一起与500进行比较即可解答本题； （2）全题目中所有数据的绝对值，把它们加在一起，再乘以5乘以0.04即可解答本题． 【规范解答】（1）解：（米， （米， 所以他们离顶峰还差80米； （2）解：（米， （升 即他们共使用氧气146升． 19．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（）根据式子的规律，可得； （）利用（）的结论递推，得出答案即可； （）把式子乘递推得出答案即可； 本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵；；；；， ∴第个等式为； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ． 20．（23-24七年级上·陕西西安·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机， (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________    (2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________    (3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：    ①若、分别输入1，则输出结果1，记； ②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记； 问：当输入自然数7，输入自然数6时，的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了数字类规律题，有理数的混合运算，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据程序的运算法则计算解题即可； （2）根据题意，分两种情况列方程解应用题即可； （3）根据题目中给的三个性质依次运算解题即可． 【规范解答】（1）解：输入的值为，输出结果为：， 故答案为：； （2）当时，，解得； 当时，，解得，不符合题意，舍去； 故答案为：； （3）当输入自然数，输入自然数，则， 根据性质③： ， 根据性质②： ， 根据性质①；， 综上，的值为． 21．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)4 (4) 【思路点拨】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）先计算乘方，再计算减法即可； （2）利用乘法分配律展开，再进一步计算即可； （3）先计算除法和括号内的，再计算乘法，最后计算减法即可； （4）先计算乘方和绝对值，再计算除法，继而计算乘法，最后计算减法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．（22-23七年级上·四川德阳·期末）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查的知识点是求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算，解题关键是熟练掌握有理数的运算法则． （1）根据绝对值的求法、有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则即可求解； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则即可求解． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 23．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． (3)探究并计算： ①． ②． 【答案】(1) (2)①，② (3)①② 【思路点拨】此题考查了数字类规律探索以及有理数的混合运算，利用规律计算即可解决问题；解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 【规范解答】（1）解：， 故答案为． （2）①， ② 故答案为，． （3）① ② 24．（23-24七年级上·山东济南·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ． （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式： ． （4）利用（3）的结论计算： 【答案】（1）（2）；（3）（4）25 【思路点拨】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给的新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算直接进行求解即可； （2）根据题中所给运算可进行求解； （3）由（1）（2）可求解； （4）根据（3）中结论及有理数的运算可进行求解． 【规范解答】解：（1） ； 故答案为； （2）； ； 故答案为，； （3）； 故答案为； （4） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$