2.2 有理数的乘方与除法（知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版新教材数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数的运算》】 2.2 有理数的乘法与除法 （知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：两个有理数的乘法运算 3 考点讲练2：多个有理数的乘法运算 4 考点讲练3：有理数乘法的实际应用 6 考点讲练4：倒数 7 考点讲练5：有理数乘法运算律 8 考点讲练6：有理数除法运算 10 考点讲练7：有理数除法的实际应用 11 考点讲练8：有理数乘除混合运算 13 中等题真题汇编练 15 培优题真题汇编练 17 新知精讲梳理 知识点01：有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则 基本法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 推广法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正。如果有一个因数为0，那么积就等于0。 2. 有理数的乘法运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即a × b = b × a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(a × b) × c = a × (b × c)。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a × (b + c) = a × b + a × c。 知识点02：有理数的除法 1. 倒数的概念 定义：乘积是1的两个数互为倒数。例如，5的倒数是1/5，1/3的倒数是3。 性质：互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数），且倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数。 2. 有理数除法法则 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a ÷ b = a × (1/b)（b ≠ 0）。 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点03：有理数的乘除混合运算 运算顺序：由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算。一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果。 简化运算：在运算过程中，可以运用乘法运算律来简化计算，如交换律、结合律和分配律等。 高频易错知识点拨 有理数的乘法易错点 易错知识点01：符号判断错误 易错描述：学生在进行有理数乘法运算时，容易混淆积的符号。 正确做法：应明确“两数相乘，同号得正，异号得负”，并准确判断各个因数的符号，然后将其绝对值相乘。 易错知识点02：运算顺序错误 易错描述：在含有多个有理数相乘的表达式中，学生可能不遵循从左到右的运算顺序，或者错误地先计算了某些部分。 正确做法：严格按照从左到右的顺序进行乘法运算，并注意使用括号改变运算顺序时，要确保括号内的运算先进行。 易错知识点03：0的乘法特性遗忘 易错描述：学生可能忘记“任何数与0相乘都得0”这一基本性质。 正确做法：在乘法运算中，一旦发现因数中有0，应立即得出积为0的结论，无需再进行其他计算。 易错知识点04：负因数处理不当 易错描述：在处理包含负因数的乘法表达式时，学生可能忘记给负因数加括号，或者错误地处理了负因数的符号。 正确做法：当负因数在表达式中不是第一个时，应使用括号将其括起来，以明确其运算顺序和符号。 有理数的除法易错点 易错知识点01：除以0的错误 易错描述：学生可能忘记“除数不能为0”的基本规则，尝试进行除以0的运算。 正确做法：在除法运算中，应首先检查除数是否为0，如果为0，则运算无法进行。 易错知识点02：除法转化为乘法的错误 易错描述：在将除法转化为乘法时，学生可能错误地求出了除数的倒数，或者没有正确地应用“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的规则。 正确做法：准确求出除数的倒数，并将其与被除数相乘，得到原除法的结果。 易错知识点03：运算顺序错误 易错描述：在包含除法和其他运算（如加、减、乘）的混合表达式中，学生可能不遵循正确的运算顺序（先乘除后加减）。 正确做法：严格按照运算顺序进行计算，先处理乘除运算，再处理加减运算。如果表达式中有括号，则先计算括号内的运算。 易错知识点04：忽略符号和绝对值 易错描述：在进行有理数除法运算时，学生可能忽略了数的符号和绝对值，导致计算结果错误。 正确做法：在进行除法运算前，先确定被除数和除数的符号，并求出它们的绝对值。然后按照“同号得正，异号得负”的规则确定结果的符号，并将绝对值相除得到结果的绝对值。 考点讲练1：两个有理数的乘法运算 【精讲题】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）用简便方法计算： (1) ； (2)． 【举一反三练1】（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（21-22七年级上·浙江台州·期末）若，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是 ；（填序号） （2）若，且a、b为整数，则的最大值为 ； 【拓展】 （3） 数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若，试比较与0的大小． 考点讲练2：多个有理数的乘法运算 【精讲题】（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）有四个互不相等的整数且，那么等于(     ) A． B． C． D．不能确定 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课堂例题）7．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·天津河东·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (2) ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·全国·课后作业）用简便方法运算： (1) ； (2)； (3)． 考点讲练3：有理数乘法的实际应用 【精讲题】（22-23七年级上·贵州贵阳·期中）某校举办了“废纸回收，交废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准，超过的记为“＋”．不足的记为“－”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为4kg． (1)请你计算七年级六班同学收集废纸的质量： 班级 一 二 三 四 五 六 超过（不足）（） 0 (2)若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量： (3)若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，以内的1元/千克．超出的部分2元/千克，求废纸卖出的总价格． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 【举一反三练2】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ (2)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午共需支付多少油钱？ 【举一反三练3】（23-24七年级上·广西崇左·期中）为了有效控制同学们放学乱丢垃圾问题，吴老师在学校旁边的一条东西走向的公路上巡视，如果规定向东为正，向西为负，吴老师从学校出发，所走的路程为：，，，，，，，（单位：米）． (1)此时，校长找吴老师有事，吴老师如何向校长描述他的位置？ (2)吴老师喜欢用微信运动记录他走路步数（2步/米），如果吴老师此时需马上返回学校，到校时微信运动显示他的步数为多少步？ 考点讲练4：倒数 【精讲题】（23-24七年级上·广东中山·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，丽丽用了如下方法：原式的倒数为，所以． (1)请你通过计算验证丽丽的解法的正确性； (2)请你运用丽丽的解法计算：． 【举一反三练1】（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）一个数的倒数是，则这个数是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则___________． (2)计算． (3)根据以上信息可知：______________． 【举一反三练3】（22-23七年级上·重庆秀山·期末）阅读下列文字，并回答： 每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如），这个真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（如），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（如；），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．如：对于假分数，则，，；，所生成的自然数组为，请回答： (1)所生成的自然数组为{ } (2)某个假分数所生成的自然数组为，这个假分数为多少？ 考点讲练5：有理数乘法运算律 【精讲题】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【举一反三练1】（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）（1） （2） 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·假期作业）巧算． (1) (2) 【举一反三练3】（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：； （3） 计算：． 考点讲练6：有理数除法运算 【精讲题】（2024七年级上·全国·专题练习）计算题： (1) ； (2)； (3)； 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) ； (2)； (3)． 【举一反三练2】（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）计算下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (2) (4) 【举一反三练3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) (2) (4) 考点讲练7：有理数除法的实际应用 【精讲题】（23-24七年级上·山东滨州·期末）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 【举一反三练1】（23-24七年级上·广西北海·期末）李老师买了一辆小轿车，他连续7天记录了他家小轿车每天行驶的路程，以50km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下（单位：km）： ，，，0，，+41，+8 (1)请求出李老师家小轿车这七天平均每天行驶的路程； (2)若已知该轿车每行驶100km耗用汽油6L，且汽油价格为每升7.7元，请你根据第（1）题估计李老师家一个月（按30天算）的汽油费用． 【举一反三练2】（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）在东西向的马路上有一个巡岗亭，巡岗员甲从岗亭出发以的速度匀速来回巡逻．如果规定向东为正，向西为负．巡逻情况记录如下：(单位：) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 4 3 已知巡岗员甲第五次巡逻结束时刚好回到岗亭． (1)求第四次结束时，巡岗员甲的位置在岗亭的东边还是西边，相距多远； (2)直接写出表中第五次巡逻应记为多少千米； (3)巡岗员甲从出发到第五次巡逻结束用时多长； (4)巡逻过程中配置无线对讲机，并一直与留守在岗亭的乙通话，若无线对讲机只能在2千米范围内正常使用，直接写出甲巡逻过程中，甲与乙可以正常通话的时间有多少小时． 【举一反三练3】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______； ②一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到．……若按以上规律跳了200次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2023，则这只小球的初始位置点所表示的数是______； (2)翻折变换 ①若折叠数轴，表示的点与表示2的点重合，则表示3的点与表示______的点重合； ②数轴上有A，B，C三点，点A，点B表示的数分别为和2，现按照①的条件将数轴折叠，点A对应的点为；再以点C为折点，将数轴折叠，点对应的点落在数轴上，若、B之间的距离为2，求点C表示的数．    考点讲练8：有理数乘除混合运算 【精讲题】（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【举一反三练1】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)用简便方法计算：； (5) 计算：． 【举一反三练2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： (1) (2) (2) (4)． 【举一反三练3】（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）计算下列各题： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 中等题真题汇编练 1．（22-23七年级上·贵州黔东南·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）已知两个有理数a，b，如果，且，那么（　　） A． B． C．a，b异号 D．a，b异号，且负数的绝对值较大 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）有下列四个算式：①；②；③；④．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）规定，例如，则 ． 6．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）小忆对全班同学最喜爱丹顶鹤的人数运用划记法记录数据进行统计，喜欢的人数记，“正正”，经统计喜欢丹顶鹤的人数有 人，占全班人数的，则全班共有 人． 7．（22-23七年级上·辽宁大连·阶段练习）千米 公顷，时 时 分． 8．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果为 ． 9．（22-23七年级上·浙江金华·阶段练习）粮库3天内进出库的吨数记录如下（“”表示进库，“”表示出库）： ，，，，， (1)经过3天，粮库里的粮食是增多了还是减少了？增多了还是减少了多少？ (2)经过3天，粮库管理员结算时发现粮库里还存480吨粮食，那么3天前粮库里的存量有多少吨？ (3)如果进库出库的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付出多少装卸费？ 10．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）某天上午出租司机小李在东西走向的大街上营运，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行驶里程（单位：）如下：，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为，这天上午接送乘客出租车共耗油多少升？ 11．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）阅读下面的解题过程： 解： ＝ ＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 回答： (1)解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误原因是______；第二处是第______步，错误的原因是____________． (2)正确的结果是__________________． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）脱式计算，能简算的要简算． (1) (2) 培优题真题汇编练 13．（22-23七年级上·山西晋中·期末）计算，运算中运用的运算律为（    ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 14．（22-23七年级上·广东茂名·期中）计算：的结果为（    ） A． B．2 C． D．10 15．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2023·重庆·模拟预测）式子12345中的，，，是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“”“”“”“”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法： ①添加“”“”两个运算符号，得到的算式有10种不同的结果； ②存在一种添加“”“”“”“”四个符号的算式，其结果为； ③只添加“”“”“”三个符号，得到的算式中，结果最大为170． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试）A、B两地之间相距120千米，其中一部分是上坡路，其余全是下坡路，小华骑电动车从A地到B地，再沿原路返回，去时用了小时，返回时用了小时，已知下坡路段小华的骑车速度是每小时30千米，那么上坡路段小华的骑车速度为 ． 18．（22-23七年级上·湖南永州·期末）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，……，依次类推，那么的值是 ． 19．（22-23七年级上·重庆·期中）新学期开始了，班主任安排生活委员小西和小附去采购防疫物资，需要购买的物品有：口罩若干盒，洗手液和消毒液各若干瓶．药店里标注的口罩价格为11元/盒，洗手液价格为17元/瓶，消毒液价格为3元/瓶，小西和小附发现她们买完物资刚好用完100元，并且每样物品都至少买了一个，则本次采购可能有 种不同的买法． 20．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）某数学活动小组的10位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前方第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1；并计算出结果．第1位同学报（），计算结果为2；第2位同学报（），计算结果为；第3位同学报（），计算结果为；…； 观察后，请完成下列问题： （1）第10位同学报的数的计算结果为 （2）按此规律，这样得到的2022个数的积为 21．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 22．（23-24七年级上·广东珠海·期中）阅读下列材料： ， ， ， 读完以上材料，请你完成下列问题： (1)根据以上材料，第四个等式是：_______， 第个等式是：_______； (2)计算：；（用含的式子表示） (3)计算：． 23．（23-24七年级上·广东汕头·期末）【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”． 【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商” (1)【概念理解】直接写出结果：_______________． (2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号） ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ____________________；__________． (4)计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数的运算》】 2.2 有理数的乘法与除法 （知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：两个有理数的乘法运算 3 考点讲练2：多个有理数的乘法运算 7 考点讲练3：有理数乘法的实际应用 10 考点讲练4：倒数 13 考点讲练5：有理数乘法运算律 16 考点讲练6：有理数除法运算 20 考点讲练7：有理数除法的实际应用 24 考点讲练8：有理数乘除混合运算 29 中等题真题汇编练 34 培优题真题汇编练 40 新知精讲梳理 知识点01：有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则 基本法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 推广法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正。如果有一个因数为0，那么积就等于0。 2. 有理数的乘法运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即a × b = b × a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(a × b) × c = a × (b × c)。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a × (b + c) = a × b + a × c。 知识点02：有理数的除法 1. 倒数的概念 定义：乘积是1的两个数互为倒数。例如，5的倒数是1/5，1/3的倒数是3。 性质：互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数），且倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数。 2. 有理数除法法则 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a ÷ b = a × (1/b)（b ≠ 0）。 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点03：有理数的乘除混合运算 运算顺序：由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算。一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果。 简化运算：在运算过程中，可以运用乘法运算律来简化计算，如交换律、结合律和分配律等。 高频易错知识点拨 有理数的乘法易错点 易错知识点01：符号判断错误 易错描述：学生在进行有理数乘法运算时，容易混淆积的符号。 正确做法：应明确“两数相乘，同号得正，异号得负”，并准确判断各个因数的符号，然后将其绝对值相乘。 易错知识点02：运算顺序错误 易错描述：在含有多个有理数相乘的表达式中，学生可能不遵循从左到右的运算顺序，或者错误地先计算了某些部分。 正确做法：严格按照从左到右的顺序进行乘法运算，并注意使用括号改变运算顺序时，要确保括号内的运算先进行。 易错知识点03：0的乘法特性遗忘 易错描述：学生可能忘记“任何数与0相乘都得0”这一基本性质。 正确做法：在乘法运算中，一旦发现因数中有0，应立即得出积为0的结论，无需再进行其他计算。 易错知识点04：负因数处理不当 易错描述：在处理包含负因数的乘法表达式时，学生可能忘记给负因数加括号，或者错误地处理了负因数的符号。 正确做法：当负因数在表达式中不是第一个时，应使用括号将其括起来，以明确其运算顺序和符号。 有理数的除法易错点 易错知识点01：除以0的错误 易错描述：学生可能忘记“除数不能为0”的基本规则，尝试进行除以0的运算。 正确做法：在除法运算中，应首先检查除数是否为0，如果为0，则运算无法进行。 易错知识点02：除法转化为乘法的错误 易错描述：在将除法转化为乘法时，学生可能错误地求出了除数的倒数，或者没有正确地应用“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的规则。 正确做法：准确求出除数的倒数，并将其与被除数相乘，得到原除法的结果。 易错知识点03：运算顺序错误 易错描述：在包含除法和其他运算（如加、减、乘）的混合表达式中，学生可能不遵循正确的运算顺序（先乘除后加减）。 正确做法：严格按照运算顺序进行计算，先处理乘除运算，再处理加减运算。如果表达式中有括号，则先计算括号内的运算。 易错知识点04：忽略符号和绝对值 易错描述：在进行有理数除法运算时，学生可能忽略了数的符号和绝对值，导致计算结果错误。 正确做法：在进行除法运算前，先确定被除数和除数的符号，并求出它们的绝对值。然后按照“同号得正，异号得负”的规则确定结果的符号，并将绝对值相除得到结果的绝对值。 考点讲练1：两个有理数的乘法运算 【精讲题】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值； （2）先将题目中的式子变形，然后根据乘法分配律可以解答本题． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【举一反三练1】（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，有理数的乘法，分数的加减．由数轴可得：，，，再逐项分析即可得到答案． 【规范解答】解：由数轴可得：，， ，，，，，，，， ，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项符合题意； ，故C选项不符合题意； ，故D选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三练2】（21-22七年级上·浙江台州·期末）若，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【思路点拨】本题考查有理数的加法和乘法运算，掌握有理数的加法和乘法运算法则是解题关键．加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时，和为零．绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．一个数同零相加仍得这个数；乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 【规范解答】解：因为， 所以，异号． 因为， 所以负数的绝对值大于等于正数的绝对值，即当时，由，可知；当时，由，可知． 综上可知选项中只有B正确． 故选B． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是 ；（填序号） （2）若，且a、b为整数，则的最大值为 ； 【拓展】 （3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若，试比较与0的大小． 【答案】（1）①② （2）9 （3），时，若，则，若，则，若，则；，时，若，则，若，则，若，则． 【思路点拨】本题考查了有理数加法和乘法法则及分类讨论的应用： （1）根据a、b同号，可能同为正数，也可能同为负数即可得到答案； （2）最大，需a、b同号，而知a、b均为负整数，分类讨论即可得答案； （3）根据a、b异号，分类讨论与0的大小． 【规范解答】（1）解：， a、b同号， a、b同为正数时，； a、b同为负数时，； 故答案为：①②； （2）解：，最大， a、b同号， ， a、b同为负数， a、b为整数， a、b分别为和，此时；或a、b分别为和，此时；或a、b分别为和，此时， 故答案为：9； （3）解：， a、b异号， ①设，则， 若，则， 若，则， 若，则， ②设，则， 若，则， 若，则， 若，则， 综上所述，，时，若，则，若，则，若，则；，时，若，则，若，则，若，则． 考点讲练2：多个有理数的乘法运算 【精讲题】（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）有四个互不相等的整数且，那么等于(     ) A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【思路点拨】本题考查有理数的乘法运算，根据题意得出这四个数的值，即可确定这四个数的和，解题的关键在于根据题意判断出四个数的值． 【规范解答】解：由题意得：这四个整数小于或等于，且互不相等，再由乘积为可得，四个数中必有和， ∴四个数为：，，，， ∴和为， 故选：． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课堂例题）7．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【答案】 72 120 0 【思路点拨】本题考查了有理数的乘法，直接根据有理数的乘法法则解题即可． 【规范解答】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：72； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：120； （5）， 故答案为：0． 【举一反三练2】（23-24七年级上·天津河东·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)5 (3)0 【思路点拨】（1）利用乘法结合律和有理数的乘法法则进行计算即可； （2）先利用乘法分配律计算，再利用有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （3）利用乘法的分配律和结合律进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【举一反三练3】（23-24七年级上·全国·课后作业）用简便方法运算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）根据有理数的乘法运算直接求解即可得到答案． （2）根据有理数的乘法运算直接求解即可得到答案． （3）根据有理数的乘法运算直接求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【考点评析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键． 考点讲练3：有理数乘法的实际应用 【精讲题】（22-23七年级上·贵州贵阳·期中）某校举办了“废纸回收，交废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准，超过的记为“＋”．不足的记为“－”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为4kg． (1)请你计算七年级六班同学收集废纸的质量： 班级 一 二 三 四 五 六 超过（不足）（） 0 (2)若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量： (3)若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，以内的1元/千克．超出的部分2元/千克，求废纸卖出的总价格． 【答案】(1) (2) (3)废纸卖出的总价格为36元 【思路点拨】本题考查正负数的意义，有理数运算的实际应用： （1）根据收集废纸最多和最少的班级的质量差为，列式计算即可； （2）先确定前三的班级，再列式计算即可； （3）求出总质量，根据定价方法，列式计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴六班收集的废纸质量最多为：； （2）由（1）结合表格可知：前三名分别为：班，2班和1班， 收集的总质量为：； （3）所有班级收集的总质量为：， 元； 答：废纸卖出的总价格为36元． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 【答案】(1)六； (2)学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； (3)交通巡逻车所需汽油费为元． 【思路点拨】（）求出每次记录时恒隆的距离，数值最大的为最远的距离： （）把次记录相加，根据和的情况判断学校与恒隆的关系即可； （）求出所有记录的绝对值的和，再乘以计算即可得解； 本题考查了正负数的意义，有理数的加法和乘法的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：，，，，，，， ∵最大， ∴第六次离恒隆最远， 故答案为：六； （2）解：∵， ∴学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； （3）解：小艾和父亲巡逻所走路程： 千米， 巡逻车所需汽油费：元， 答：交通巡逻车所需汽油费为元． 【举一反三练2】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ (2)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午共需支付多少油钱？ 【答案】(1)19千米 (2)元 【思路点拨】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法和有理数乘法的实际应用，熟知正负数的意义是解题的关键． （1）把所给的行程记录相加，所得结果的数值即为小张离下午出车点的距离； （2）先求出这天下午的总路程，进而求出总油耗，再乘以每升油的单价即可得到答案． 【规范解答】（1）解： （千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点19千米，此时在出车点的东边； （2）解： （千米）， ∴这天下午共需付钱（元）， 答：这天下午共需支付元油钱． 【举一反三练3】（23-24七年级上·广西崇左·期中）为了有效控制同学们放学乱丢垃圾问题，吴老师在学校旁边的一条东西走向的公路上巡视，如果规定向东为正，向西为负，吴老师从学校出发，所走的路程为：，，，，，，，（单位：米）． (1)此时，校长找吴老师有事，吴老师如何向校长描述他的位置？ (2)吴老师喜欢用微信运动记录他走路步数（2步/米），如果吴老师此时需马上返回学校，到校时微信运动显示他的步数为多少步？ 【答案】(1)吴老师在离学校往东方向30米处； (2)9080步． 【思路点拨】本题考查正负数的实际应用，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）求出这些数的和，即可得出答案； （2）求出这些数的绝对值的和，再乘以2步/米即可得出答案． 【规范解答】（1）解：（米） 所以吴老师在离学校往东方向30米处； （2）解：（米） （步） 答：到校时微信运动显示他的步数为9080步. 考点讲练4：倒数 【精讲题】（23-24七年级上·广东中山·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，丽丽用了如下方法：原式的倒数为，所以． (1)请你通过计算验证丽丽的解法的正确性； (2)请你运用丽丽的解法计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】(1)根据运算顺序计算验证即可． (2)根据范例解法计算即可． 【规范解答】（1） ， 故丽丽的解法是正确的． （2） ， ． 【考点评析】本题考查了倒数的应用，运算律的解题应用，熟练掌握倒数，运算律是解题的关键． 【举一反三练1】（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）一个数的倒数是，则这个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：一个数的倒数是，所以这个数是， 故选：D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则___________． (2)计算． (3)根据以上信息可知：______________． 【答案】(1) (2)35 (3) 【思路点拨】（1）根据倒数的定义可得出答案； （2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可； （3）再由倒数的定义直接得出答案即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 故答案为； （2）解：原式 （3）解：由（2）得， ∴， ∴， 故答案为． 【考点评析】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，两个数乘积为1，这两个数互为倒数． 【举一反三练3】（22-23七年级上·重庆秀山·期末）阅读下列文字，并回答： 每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如），这个真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（如），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（如；），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．如：对于假分数，则，，；，所生成的自然数组为，请回答： (1)所生成的自然数组为{ } (2)某个假分数所生成的自然数组为，这个假分数为多少？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）根据生成的自然数组的定义即可求解； （2）根据生成的自然数组的定义逆推即可求解． 【规范解答】（1）解：，，，， ∴所生成的自然数组为． 故答案为：． （2）解：∵，，，， ∴假分数所生成的自然数组为． 【考点评析】本题主要考查了有理数的加法，解题的关键是理解题意，熟练掌握生成的自然数组的定义． 考点讲练5：有理数乘法运算律 【精讲题】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【思路点拨】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的乘法运算、有理数的运算律等知识点，灵活运用有理数的相关运算律成为解题的关键． （1）直接运用加法结合律进行简便运算即可； （2）直接运用加法结合律进行简便运算即可； （3）先化简绝对值，再运用加法结合律进行简便运算即可； （4）直接运用乘法分配律进行简便运算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【举一反三练1】（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）（1） （2） 【答案】（1）（2）7 【思路点拨】（1）根据有理数乘法交换律、结合律计算即可． （2）根据分配律计算即可． 本题考查了有理数乘法运算，分配律计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·假期作业）巧算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查有理数的运算以及乘法运算律： （1）采用乘法分配律计算，原式可变形为； （2）采用乘法分配律计算，原式可变形为． 【规范解答】（1） （2） 【举一反三练3】（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）先将化成，再运用乘法分配律计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可． 【规范解答】（1）原式 ； （2）原式 ． 考点讲练6：有理数除法运算 【精讲题】（2024七年级上·全国·专题练习）计算题： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)5； (2)； (3)5 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算： （1）先算乘法，再算加减即可； （2）利用加法运算律进行计算即可； （3）除法变乘法，再利用乘法分配律进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【思路点拨】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： （）， （1）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （2）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （3）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）计算下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算， （1）先计算小括号内的，再进行加法和除法计算即可； （2）先计算小括号内的，再计算中括号内的，最后计算除法； （3）逆向运用乘法分配律计算即可； （4）把写出，再根据乘法分配律计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【举一反三练3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （3）先去括号，然后利用乘法分配律的逆运算法则求解即可； （4）把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点讲练7：有理数除法的实际应用 【精讲题】（23-24七年级上·山东滨州·期末）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 【答案】(1)千克； (2)千克，千克； (3)元． 【思路点拨】（）用差值最大的数减去最小的数即可求解； （）用差值乘以框数，求出它们的和，进行判断即可，进而可求出每筐白菜的平均质量； （）用总质量乘以每千克的售价，进行求解即可． 本题考查了正负数的意义，有理数混合运算的实际应用，读懂题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由表可得，最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：， ∴与标准重量比较，筐白菜总计超过千克， ∴每筐白菜的平均质量千克； （3）解：元， 答：出售这筐白菜可卖元． 【举一反三练1】（23-24七年级上·广西北海·期末）李老师买了一辆小轿车，他连续7天记录了他家小轿车每天行驶的路程，以50km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下（单位：km）： ，，，0，，+41，+8 (1)请求出李老师家小轿车这七天平均每天行驶的路程； (2)若已知该轿车每行驶100km耗用汽油6L，且汽油价格为每升7.7元，请你根据第（1）题估计李老师家一个月（按30天算）的汽油费用． 【答案】(1)小轿车这七天平均每天行驶； (2)李老师家一个月的油费是693元． 【思路点拨】本题主要考查了有理数乘除混合计算的实际应用，有理数加法的实际应用： （1）把所给的行程记录相加，然后除以7，再加上50即可得到答案； （2）先求出一个月的总路程，再根据每行驶100km耗用汽油6L，且汽油价格为每升7.7元列式计算即可． 【规范解答】（1）解： ， 答：小轿车这七天平均每天行驶； （2）解： （元）， 答：李老师家一个月的油费是693元． 【举一反三练2】（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）在东西向的马路上有一个巡岗亭，巡岗员甲从岗亭出发以的速度匀速来回巡逻．如果规定向东为正，向西为负．巡逻情况记录如下：(单位：) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 4 3 已知巡岗员甲第五次巡逻结束时刚好回到岗亭． (1)求第四次结束时，巡岗员甲的位置在岗亭的东边还是西边，相距多远； (2)直接写出表中第五次巡逻应记为多少千米； (3)巡岗员甲从出发到第五次巡逻结束用时多长； (4)巡逻过程中配置无线对讲机，并一直与留守在岗亭的乙通话，若无线对讲机只能在2千米范围内正常使用，直接写出甲巡逻过程中，甲与乙可以正常通话的时间有多少小时． 【答案】(1)巡岗员甲得位置在岗亭的西边处 (2) (3)(小时) (4)小时 【思路点拨】（1）把前面4次记录相加，根据和的情况判断第4次结束时小张的位置即可； （2）根据（1）的结论即可得到结果； （3）①求出所有记录的绝对值的和，再除以20计算即可得解 （4）求出距离的和，再除以20计算即可得解． 【规范解答】（1）解：依题意， ∴巡岗员甲得位置在岗亭的西边处， （2）解：依题意， ∴第五次巡逻应记为； （3）， (小时)； （4）解：依题意，在2千米范围内的路程为， （小时）， 答：他与小李可以正常通话的时间有小时． 【考点评析】本题考查了正数和负数，有理数的加法与除法的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【举一反三练3】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______； ②一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到．……若按以上规律跳了200次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2023，则这只小球的初始位置点所表示的数是______； (2)翻折变换 ①若折叠数轴，表示的点与表示2的点重合，则表示3的点与表示______的点重合； ②数轴上有A，B，C三点，点A，点B表示的数分别为和2，现按照①的条件将数轴折叠，点A对应的点为；再以点C为折点，将数轴折叠，点对应的点落在数轴上，若、B之间的距离为2，求点C表示的数．    【答案】(1)①3，；② (2)①；②C表示的数为：或 【思路点拨】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题； （2）①根据对称中心是，即可解决问题；②先求出，再根据题意求出或，再利用分类的思想求解． 【规范解答】（1）解：①先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为，算式表示以上过程及结果是：； 故答案为：； ②设点为，由题意得：， 解得：； 故答案为：； （2）解：①， 对称中心为， ， 表示3的点与表示的点重合， 故答案为：； ②按照①的条件将数轴折叠，点A对应的点为； 即， 解得：， 再以点C为折点，将数轴折叠，点对应的点落在数轴上， 若、B之间的距离为2，则或； 当时，； 当时，； 点C表示的数为：或 【考点评析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、中心对称等知识，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键． 考点讲练8：有理数乘除混合运算 【精讲题】（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是： （1）利用有理数的加减运算法则计算即可； （2）先化简绝对值并去括号，然后利用有理数的加减运算法则计算即可； （3）利用有理数的乘法分配律计算即可； （4）利用有理数乘除运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【举一反三练1】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)用简便方法计算：； (5)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【思路点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方以及四则运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法交换律和结合律简便运算求解即可； （2）根据有理数的乘除运算求解即可； （3）利用乘法分配律简便计算即可； （4）利用乘法分配律简便计算即可； （5）根据有理数的混合运算，先计算乘法，再计算乘法，最后计算加减求解即可； 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解题的关键，正确掌握混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行，有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． （）根据加法运算律计算即可； （）根据加法运算律计算即可； （）根据乘法运算律逆运算计算即可； （）根据乘除法运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ， ； （4）解： ， ． 【举一反三练3】（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）先去括号，然后计算减法即可得到答案； （3）根据有理数乘除混合计算法则求解即可； （4）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 中等题真题汇编练 1．（22-23七年级上·贵州黔东南·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了有理数加减法，有理数乘法运算， 根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【规范解答】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．原计算错误，故该选项不符合题意； ．原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）已知两个有理数a，b，如果，且，那么（　　） A． B． C．a，b异号 D．a，b异号，且负数的绝对值较大 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了有理数的乘法和加法计算，根据异号相乘得负得到两数异号，再由，得到负数的绝对值大于正数的绝对值，据此可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴两数异号， ∵， ∴说明负数的绝对值大于正数的绝对值． 故选：D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了把有理数乘除混合运算统一为乘法运算，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法法则，即可求解． 【规范解答】解：                       ． 故选：B． 4．（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）有下列四个算式：①；②；③；④．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路点拨】本题考查有理数的运算，根据有理数的运算法则，逐一计算后判断即可． 【规范解答】解：，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确； 正确的有3个， 故选D． 5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）规定，例如，则 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题． 【规范解答】 解：由题意可得： ， ， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）小忆对全班同学最喜爱丹顶鹤的人数运用划记法记录数据进行统计，喜欢的人数记，“正正”，经统计喜欢丹顶鹤的人数有 人，占全班人数的，则全班共有 人． 【答案】 13 52 【思路点拨】 本题考查了有理数运算的应用．由题意一个正代表5个人，已知喜欢的人数记为“正正”，易求喜欢丹顶鹤的人数，再根据喜欢丹顶鹤的人数占全班人数的，从而可以求出全班人数． 【规范解答】 解：由题意，喜欢的人数记为“正正”， ∴喜欢丹顶鹤的人数有人， ∵喜欢丹顶鹤的人数占全班人数的， ∴全班人数为：人． 故答案为：13、52． 7．（22-23七年级上·辽宁大连·阶段练习）千米 公顷，时 时 分． 【答案】 2 12 【思路点拨】本题主要考查了面积单位和时间单位的换算，根据1平方千米等于100公顷，1小时等于60分进行换算即可． 【规范解答】解：千米公顷， 时时分， 故答案为：580；2；12． 8．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【答案】1 【思路点拨】根据有理数乘法运算法则求解即可得到答案． 【规范解答】解： 由于从到有个连续自然数，可知中有负号， 原式， 故答案为：． 【考点评析】本题考查有理数乘法运算，熟记有理数乘法运算法则是解决问题的关键． 9．（22-23七年级上·浙江金华·阶段练习）粮库3天内进出库的吨数记录如下（“”表示进库，“”表示出库）： ，，，，， (1)经过3天，粮库里的粮食是增多了还是减少了？增多了还是减少了多少？ (2)经过3天，粮库管理员结算时发现粮库里还存480吨粮食，那么3天前粮库里的存量有多少吨？ (3)如果进库出库的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付出多少装卸费？ 【答案】(1)经过3天，粮库里的粮食是减少了，减少了45吨 (2)3天前粮库里的存量有525吨 (3)这3天要付出825元装卸费 【思路点拨】本题主要考查有理数的加减混合运算，正负数的实际运用，掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）计算出3天的进出库量，根据有理数的加减运算即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算即可求解； （3）先计算出总的吨数，再根据有理数的混合运算即可求解． 【规范解答】（1）解：（吨）， ∴经过3天，粮库里的粮食是减少了，减少了45吨； （2）解：由（1）可知，经过3天，减少了45吨， ∴3天前的存量为：（吨）， ∴3天前粮库里的存量有吨； （3）解：（吨）， ∴（元）， ∴这3天要付出825元装卸费． 10．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）某天上午出租司机小李在东西走向的大街上营运，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行驶里程（单位：）如下：，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为，这天上午接送乘客出租车共耗油多少升？ 【答案】(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在刚开始向西1公里处； (2)这天上午接送乘客出租车共耗油10.2升． 【思路点拨】本题主要考查了数轴及正数和负数． （1）根据题意，，计算结果为正数，则小李在刚开始向东，若为负数小李在刚开始向西； （2）计算这天上午接送客人总路程，，计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：根据题意可得， ， 所以将最后一位乘客送到目的地时，小李在刚开始向西1公里处； （2）解：根据题意可得， ， ， 这天上午接送乘客出租车共耗油10.2升． 11．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）阅读下面的解题过程： 解： ＝ ＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 回答： (1)解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误原因是______；第二处是第______步，错误的原因是____________． (2)正确的结果是__________________． 【答案】(1)二、运算顺序错误、三、符号错误 (2) 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减，乘除运算，运算法则为先乘除，后加减，进行计算，即可． 【规范解答】（1）解：在解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误原因是运算顺序错误，应该从左往右依次算起；第二处是第三步，错误的原因是符号错误，因为同号得正； 故答案为：二、运算顺序错误、三、符号错误． （2）解： ． 故答案为：． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）脱式计算，能简算的要简算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了有理数的混合运算，根据运算顺序和法则进行计算即可． （1）先算乘法和除法，再算加法； （2）先算小括号里面的加法，再算乘法，最后算除法． 【规范解答】（1）解： （2）解： 培优题真题汇编练 13．（22-23七年级上·山西晋中·期末）计算，运算中运用的运算律为（    ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【思路点拨】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律． 【规范解答】∵运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律， 故选D． 【考点评析】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键． 14．（22-23七年级上·广东茂名·期中）计算：的结果为（    ） A． B．2 C． D．10 【答案】B 【思路点拨】根据乘法分配律计算即可． 【规范解答】解：原式 ， 故选：B． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键在于能够熟练掌握有理数乘法的分配律． 15．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合法则是解题的关键． 根据有理数乘除混合法则逐项计算并判定即可． 【规范解答】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 16．（2023·重庆·模拟预测）式子12345中的，，，是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“”“”“”“”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法： ①添加“”“”两个运算符号，得到的算式有10种不同的结果； ②存在一种添加“”“”“”“”四个符号的算式，其结果为； ③只添加“”“”“”三个符号，得到的算式中，结果最大为170． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握有理数的混合运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解：①中“”的位置有种可能，“”确定位置后，“”的位置有种可能，则添加“”“”两个运算符号，得到的算式有种不同的结果，故①错误； ②结果为， 必须添加“”， 若添加“”， 添加“”， 添加“”，则有，故②正确； ③添加的运算符号中有“”，且同时添加三个运算符号， 要是结果最大，不能添加，必须添加“”，此时添加“”， 添加“”，即可得到最大结果，为，故③错误； 综上所述，正确的有②，个数为， 故选：B． 17．（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试）A、B两地之间相距120千米，其中一部分是上坡路，其余全是下坡路，小华骑电动车从A地到B地，再沿原路返回，去时用了小时，返回时用了小时，已知下坡路段小华的骑车速度是每小时30千米，那么上坡路段小华的骑车速度为 ． 【答案】20千米/小时 【思路点拨】在往返路程中，去时上坡回来变下坡，去时下坡回来变上坡，由此可知往返上坡和下坡一样长，则去时下坡路和返回下坡路之和等于全程，去时上坡路和返回上坡路之和等于全程，再根据下坡的速度，求出下坡所用的时间，进而求得上坡的时间，然后利用路程时间，即可求出上坡速度． 【规范解答】解：往返下坡所用时间（小时）， 往返上坡所用时间为（小时）， 上坡速度（千米/小时）， 故答案为：20千米/小时． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，明确去时下坡路和返回下坡路之和等于全程，去时上坡路和返回上坡路之和等于全程是解此类题的关键． 18．（22-23七年级上·湖南永州·期末）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，……，依次类推，那么的值是 ． 【答案】 【思路点拨】根据差倒数的定义，求出的值，确定数字规律，进而求出的值． 【规范解答】解： 由题意，得：，，， ∴每四个数一循环，， ∵， ∴； 故答案为：． 【考点评析】本题考查数字规律探究，有理数的乘法运算．理解并掌握差倒数，是解题的关键． 19．（22-23七年级上·重庆·期中）新学期开始了，班主任安排生活委员小西和小附去采购防疫物资，需要购买的物品有：口罩若干盒，洗手液和消毒液各若干瓶．药店里标注的口罩价格为11元/盒，洗手液价格为17元/瓶，消毒液价格为3元/瓶，小西和小附发现她们买完物资刚好用完100元，并且每样物品都至少买了一个，则本次采购可能有 种不同的买法． 【答案】6 【思路点拨】根据共用了100元，每样物品都至少买了一个，认真细心分析各种情况，即可得答案． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ， 本次采购可能有6种不同的买法， 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了有理数乘法的应用，解题的关键是分析全面，注意认真细心． 20．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）某数学活动小组的10位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前方第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1；并计算出结果．第1位同学报（），计算结果为2；第2位同学报（），计算结果为；第3位同学报（），计算结果为；…； 观察后，请完成下列问题： （1）第10位同学报的数的计算结果为 （2）按此规律，这样得到的2022个数的积为 【答案】 /1.1/ 【思路点拨】（1）根据游戏规则即可得出结论； （2）表示出各位同学所报的数并用假分数表示，然后相乘计算即可得解． 【规范解答】解：根据题意得：第10位同学报的数为， 前2022个数的积为． 故答案为：，． 【考点评析】本题是对数字变化规律的考查，用假分数表示出各位同学所报的数是解题的关键． 21．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 【答案】一；（1）；（2） 【思路点拨】本题考查了有理数运算的有关知识，含乘方的有理数混合运算，有理数的乘除运算： 没有除法分配律，故解法一错误； （1）先计算乘方和括号里面的内容，再将除法化成乘法进行计算即可； （2）先计算括号里的内容，再将除法化成乘法进行计算即可． 【规范解答】解：没有除法分配律，故解法一错误， 故答案为：一； （1）原式 ； （2）原式 ． 22．（23-24七年级上·广东珠海·期中）阅读下列材料： ， ， ， 读完以上材料，请你完成下列问题： (1)根据以上材料，第四个等式是：_______， 第个等式是：_______； (2)计算：；（用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3)29070 【思路点拨】（1）根据题中规律即可写出； （2）根据（1）中得到规律进行计算即可； （3）根据（1）中规律进行拓展并计算即可 【规范解答】（1）， ； （2）解：原式 （3）解：原式 ， 【考点评析】本题主要考查有理数乘法运算律的应用、数字类规律的应用，正确理解题中规律是解题的关键． 23．（23-24七年级上·广东汕头·期末）【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”． 【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商” (1)【概念理解】直接写出结果：_______________． (2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号） ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ____________________；__________． (4)计算：． 【答案】(1) (2)①④ (3)， (4) 【思路点拨】本题考查了新定义下的实数运算、有理数的混合运算： （1）根据所给的例子进行计算即可； （2）结合除方的定义进行分析即可； （3）根据除方的运算方式进行求解即可； （4）结合除方的运算方式运算即可； 解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【规范解答】（1）解：由题意得， 故答案为：； （2）解：①任何非零数的2次商都等于这两个数相除，所以结果为1，该说法正确， ②对于任何正整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以原说法错误， ③，，则，原说法错误， ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确， 故答案为：①④； （3）解：由题意可得： =， =， 故答案为：，； （4）解： = = = = = =． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$