2.1 有理数的加法与减法（知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版新教材数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数的运算》】 2.1 有理数的加法与减法 （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：有理数的加法运算 4 考点讲练2：有理数的加法中的符号问题 6 考点讲练3：有理数加法在生活中的应用 9 考点讲练4：有理数加法运算律 12 考点讲练5：有理数减法运算 15 考点讲练6：有理数减法的实际应用 18 考点讲练7：有理数加减的混合运算 22 考点讲练8：有理数加减法的简便运算 25 考点讲练9：有理数加减混合运算的应用 29 中等题真题汇编练 33 培优题真题汇编练 39 新知精讲梳理 知识点01：有理数的加法 1. 定义:有理数的加法是指把两个有理数合成一个有理数的运算。 2. 法则 有理数的加法法则主要包括以下几点： 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。例如，(+3) + (+4) = +7，(-2) + (-5) = -7。 异号两数相加：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如，(+3) + (-2) = +1，(-5) + (+3) = -2。特别地，互为相反数的两个数相加得0。 一个数同0相加：仍得这个数。例如，(+5) + 0 = +5，(-3) + 0 = -3。 3. 运算律 有理数的加法满足交换律和结合律： 交换律：a + b = b + a 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 知识点02：有理数的减法 1. 定义：有理数的减法是指已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。减法是加法的逆运算。 2. 法则：有理数的减法法则可以转化为加法来运算，即“减去一个数等于加上这个数的相反数”。例如，a - b = a + (-b)。 知识点03：有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算可以统一为加法运算，即把减法转化为加法，然后按照有理数的加法法则进行计算。在运算过程中，可以运用加法的交换律和结合律来简化计算。 知识点04：应用实例 有理数的加法与减法在实际生活中有广泛的应用，如温度的变化、海拔高度的计算、财务的收支等。以下是一些应用实例： 温度变化：如果某地早晨的气温是-5°C，中午上升了3°C，那么中午的气温就是-5°C + 3°C = -2°C。 海拔高度：某山峰的海拔是2000米，从山顶下降到山脚下降了1500米，那么山脚的海拔就是2000米 - 1500米 = 500米（也可以表示为2000米 + (-1500米) = 500米）。 财务收支：某人在一周内收入了500元，支出了300元和200元，那么他的净收入就是500元 - 300元 - 200元 = 0元（也可以表示为500元 + (-300元) + (-200元) = 0元）。 知识点05：注意事项 在进行有理数的加减运算时，要注意符号的处理，特别是异号两数相加和有理数减法的转化。 运算过程中要遵循运算顺序和运算律，以简化计算过程和提高计算准确性。 实际应用中要根据具体问题的背景和要求选择合适的计算方法和单位。 高频易错知识点拨 有理数加法的易错点 易错知识点01：同号数相加时符号判断错误 易错情况：学生可能忘记在同号数相加时取相同的符号。 解决方法：强调“同号相加，符号不变”的法则，并通过实例练习加深记忆。 易错知识点02：异号数相加时绝对值处理不当 易错情况：学生在处理异号数相加时，可能不清楚如何用较大的绝对值减去较小的绝对值，或者忘记取绝对值较大的数的符号。 解决方法：明确“异号相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”的法则，并通过大量练习掌握这一技巧。 易错知识点03：忽视0在加法中的作用 易错情况：学生可能忘记任何数与0相加都等于它本身这一简单规则。 解决方法：通过实例强调0在加法中的特殊作用，确保学生熟练掌握。 易错知识点04：运算顺序错误 易错情况：在多个有理数相加时，学生可能不遵循从左到右的顺序，或者错误地应用加法交换律和结合律。 解决方法：明确加法运算的顺序规则，并强调在复杂运算中合理使用加法交换律和结合律来简化计算。 有理数减法的易错点 易错知识点01：减法转化为加法时符号处理不当： 易错情况：学生在将减法转化为加法时，可能忘记改变减数的符号，或者将原式中的符号处理错误。 解决方法：强调“减去一个数等于加上这个数的相反数”的转化规则，并通过实例练习让学生掌握这一技巧。 易错知识点02：忽视减法的运算顺序： 易错情况：在有理数的加减混合运算中，学生可能不遵循先乘除后加减的运算顺序，或者错误地将减法与乘法、除法等运算混淆。 解决方法：明确有理数混合运算的运算顺序规则，并通过实例练习让学生掌握这一技巧。 易错知识点03：忽视数轴和绝对值在减法中的应用： 易错情况：学生可能不善于利用数轴和绝对值来比较有理数的大小和进行有理数的减法运算。 解决方法：强调数轴和绝对值在有理数减法中的应用，并通过实例练习让学生掌握这一技巧。例如，可以利用数轴上的点来表示有理数，并通过点的移动来模拟减法运算；同时，可以利用绝对值的性质来判断两个有理数的大小和进行减法运算。 考点讲练1：有理数的加法运算 【精讲题】（2024七年级上·全国·专题练习）用适当方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可； （2）首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【举一反三练1】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，，，则的值为（   ） A． B． C．1或5 D．或 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，首先根据：，，可得：，；然后根据，求出、的值是多少，再根据有理数的加法的运算方法，求出的值为多少即可．熟练掌握绝对值的定义是关键． 【规范解答】解：，， ，； ， ，， 或． 的值为或． 故选：． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）将式子写成省略括号和加号的形式是 ． 【答案】 【思路点拨】根据去括号的法则：同号得正，异号得负，计算即可得到答案． 【规范解答】解：， 将式子写成省略括号和加号的形式是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了有理数的加减—去括号，熟练掌握去括号的法则：同号得正，异号得负，是解此题的关键． 【举一反三练3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用适当的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则． （1）利用结合律简便计算法计算； （2）利用结合律简便计算法计算． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 考点讲练2：有理数的加法中的符号问题 【精讲题】（23-24七年级上·山东潍坊·期中）将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 【规范解答】解：原式 故选：A． 【举一反三练1】（2023七年级上·浙江·专题练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【思路点拨】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【规范解答】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【考点评析】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了有理数的加法，掌握运算法则，利用加法的交换律与结合律进行计算是解题关键． （1）去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． （2）去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【规范解答】（1） ； （2） ． 【举一反三练3】（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“>”或“<”填空： ， ， ． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【思路点拨】本题考查了有理数比较大小，绝对值化简； （1）由数轴得，，，由有理数加减法则判断结果符号，即可求解； （2）根据（1）的结果，去绝对值，即可求解； 理解有理数加减法则和绝对值的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由数轴得 ，，， ， ， ， 故答案：，，； （2）解：原式 ． 考点讲练3：有理数加法在生活中的应用 【精讲题】（22-23七年级上·广西河池·阶段练习）某检修小组乘汽车沿一条东西走向的公路检修线路，记录员规定向东行驶为正，向西行驶为负．以下是某天记录员记录的自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，． (1)收工时在A地那个方向，距A地多远? (2)若每千米耗油升，问从A地出发到收工时共耗油多少升? 【答案】(1)收工时在A地东边，距A地41千米； (2)升． 【思路点拨】此题考查了有理数的混合运算以及正数与负数，正确列出算式并掌握有理数的相关运算法则是解本题的关键． （1）依题意列式求出和即可； （2）要求耗油量，需求他共走了多少路程，然后用总路程，计算即可，与方向无关． 【规范解答】（1）解：(千米)； 答：收工时在A地东边，距A地41千米； （2）解：(千米)， (升)． 答：从A地出发到收工时共耗油升． 【举一反三练1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，（    ）一定不是小丽在纸片上写的数． A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【思路点拨】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解．设这四个数字分别为：，，，且，故，，然后分类讨论，得到这4个数有可能的结果，从而判断出答案． 【规范解答】解：设这四个数字分别为：，，，且， 故，； 当时，得， 且 此时所以 当时，得，那么，当时，，此时这4个数分别是2，4，4，5，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此符合题意； 当时，，那么，当时，，此时这4个数分别是3，3，3，6，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此不符合题意； 当时，，那么，当时，，此时这4个数分别是3，3，4，5，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此符合题意； 综上所述，四个数只能是2，4，4，5或3，3，4，5； 故选为：A． 【举一反三练2】（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可容许两个人一起过桥，由于天色很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为：哥哥1分钟；爸爸2分钟；妈妈5分钟；爷爷10分钟．若两人同行则以较慢者的速度为准，请问一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟？ 请写出你设计的方案： 第一步：______与______过桥，______回来； 第二步：______与______过桥，______回来； 第三步：______与______过桥，共耗时______分钟． 【答案】哥哥，爸爸，哥哥，妈妈，爷爷，爸爸，哥哥，爸爸，17 【思路点拨】结合实际发现用时最少的两个人先过桥，这样他们往返送灯会节约时间是解决本题的关键，根据要求一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟，可以首先让用时最少的两个人先过桥，这样他们往返送灯会节约时间，进而分别分析即可解答问题． 【规范解答】解：让哥哥、爸爸搭配，妈妈、爷搭配比较节省时间．他们只有一个手电筒，每次又只能过两个人，所以每次过桥后，还得有一个人返回送手电筒． 为了节省时间，肯定是尽可能让速度快的人承担往返送手电筒的任务． 那么就应该让哥哥、爸爸先过桥，用时2分钟，再由哥哥返回送手电筒，需要1分钟， 然后妈妈、爷爷一起过桥，用时10分钟，接下来爸爸返回送手电筒，用时2分钟，再和哥哥一起过桥，又用时2分钟∶ 所以花费的总时间为∶ (分钟)． 设计的方案∶ 第一步∶哥哥与爸爸过桥，哥哥回来； 第二步∶妈妈与爷爷过桥，爸爸回来； 第三步∶哥哥与爸爸过桥，共耗时17分钟． 故答案为：哥哥，爸爸，哥哥，妈妈，爷爷，爸爸，哥哥，爸爸，17． 【举一反三练3】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）现有10袋小麦，以每袋90千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下（单位：千克）：，，，，，，，，，． (1)这10袋小麦中，重量在90千克以下的有 袋． (2)这10袋小麦的总重量是多少千克？ 【答案】(1)3 (2)925 【思路点拨】本题考查正数和负数的实际应用，涉及有理数加减和乘法运算，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义． （1）利用正数，负数计算，负数是低于标准重量的，计算即可． （2）利用数据计算出10袋小麦的总重量为，计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，负数有，，三个， 故重量在90千克以下的有3袋， 故答案为：3． （2）解：（千克）， 答：这10袋小麦的总重量是925千克． 考点讲练4：有理数加法运算律 【精讲题】（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 【答案】 【思路点拨】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解： ． 【举一反三练1】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】（）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【思路点拨】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 【举一反三练3】（23-24七年级上·湖北·周测）简便计算 (1)． (2)； 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】（1）根据有理数加法的交换律和结合律将和结合，和结合，再进行计算即可． （2）根据有理数加法的交换律和结合律将和结合，和结合，再进行计算即可． 【规范解答】（1） ； （2） ． 【考点评析】本题主要考查了加法的交换律和结合律，根据各数的特点进行适当的结合是解题的关键． 考点讲练5：有理数减法运算 【精讲题】（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）若，，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．2或6 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的加减、绝对值，利用绝对值的定义确定、的取值，再计算的值． 【规范解答】，， ，， ， ， ，， 或6， 故选：D． 【举一反三练1】（2024·河北邯郸·二模）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度． （1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ； （2）数轴上点所对应的数为，则 ． 【答案】 / 【思路点拨】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的减法运算： （1）先求出在数轴上点A和点C的距离为，再由刻度尺上点A与点C的距离除以数轴上点A和点C的距离即可得到答案； （2）用刻度尺上点A与点B的距离除以得到数轴上点A和点B的距离即可得到答案． 【规范解答】解：（1）∵数轴上点A和点C表示的数分别为，3， ∴在数轴上点A和点C的距离为， ∵在刻度尺上数字0对齐数轴上的点A，点C对应刻度， ∴该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 故答案为：； （2）∵在刻度尺上点B对应刻度， ∴在数轴上点A和点B的距离为， ∴数轴上点B所对应的数b为， 则 故答案为：． 【举一反三练2】．（23-24七年级上·福建三明·期末）如图1，点A，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点对应刻度，点对应刻度.则数轴上点所对应的数为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了数轴，结合图1和图2求出1个单位长度，再求出求出之间在数轴上的距离，即可求解；利用数形结合思想解决问题是本题的关键． 【规范解答】解：由图1可得，由图2可得， ∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为， ∵， ∴（单位长度）， ∴在数轴上点B所对应的数； 故选：C． 【举一反三练3】（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）点，，在数轴上的位置如图所示． (1)折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则点与表示数_____的点重合． (2)有理数，在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如与在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若，两点之间的距离为（点在点的左侧），将数轴折叠，使得对应的点与对应的点重合，此时，两点也重合，求，两点分别表示的数． 【答案】(1) (2)①最小值为；②点表示的数为，点表示的数为． 【思路点拨】本题考查数轴，绝对值的知识，解题的关键是掌握点在数轴上的运用，绝对值的意义． （1）根据题意，数轴上的点和点重合，可得到点重合的数，即可; （2）根据题意，则表示数轴上对应的点分别到对应的点和对应的点的距离之和，即可；根据对应的点与对应的点重合，则数轴从对应的点处折叠，即可求出，． 【规范解答】（1）由数轴折叠可知，数轴上的点和点重合， 所以折叠的点表示的数是2， ∴点与表示数的点重合． 故答案为：． （2）∵表示数轴上对应的点分别到对应的点和对应的点的距离之和 ∴当的值最小时，所对应的点的位置应该在对应的点和对应的点之间 ∴的最小值为； ∵对应的点与对应的点重合， ∴数轴从对应的点处折叠， ∵，两点之间的距离为（点在点的左侧）, ∴点与对应的点之间的距离为，点与对应的点之间的距离为， ∴点表示的数为，点表示的数为． 考点讲练6：有理数减法的实际应用 【精讲题】（19-20七年级上·山东枣庄·阶段练习）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)该厂工人这一周的工资是元 【思路点拨】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运算法则是关键． （1）三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可； （2）求出超产的最多数与减产的最少数的差即可； （3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解． 【规范解答】（1）解：前三天生产的辆数是辆． 答案是：； （2）解：辆， 故答案是， 故答案为：； （3）解：这一周多生产的总辆数是辆． 元． 答：该厂工人这一周的工资是元． 【举一反三练1】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）据统计，某学校图书馆平均每天借出图书50册左右．管理员张老师采用如下的方法记录每天借出的图书数量：如果某天借出54册，则记作；如果某天借出47册，就记作．以下是某星期周一至周五图书馆借出的图书统计表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 张老师不小心把茶水滴在星期四的数据上了，数据看不清楚了． (1)星期三借出图书 册； (2)若星期五比星期四多借出图书19册，则表中星期四的数据应为多少？ (3)在（2）的情况下，请你计算，这周总共借出图书多少册？ 【答案】(1)42 (2) (3)这周共借出图书258册书 【思路点拨】本题考查了正数和负数的意义及有理数加减法的运算，熟练掌握有理数加减法法则是解题关键． （1）由记录可知星期三借出图书比平均每天的借书数少8，即可得答案； （2）由上星期五记录为，上星期五比上星期四多借出图书19册，利用有理数减法即可得答案； （3）根据记录可求出实际借书数与平均借书数的差，加上平均一周的借书数即可得实际上星期共借出图书数． 【规范解答】（1）解：由题意得：（册）， 故答案为：42； （2）解：由题意得：（册） 故，星期四记录的数据是； （3）， 答：这周共借出图书258册书． 【举一反三练2】（22-23七年级上·湖北荆门·期末）银行的储蓄员小张在办理业务时，约定存入为正，取出为负，某天上午8点他领取备用金40000元开始工作，接下来的两个小时，他先后办理了七笔存取业务：元，元，元，元，元，元，元 (1)请判断在这七笔业务中，小张在第笔业务办理后，手中的现金最多，第笔务办理后，手中的现金最少 (2)若每办一笔业务，银行发给业务员存取业务金额的作为奖励，则办理这笔业务小张应得奖金多少元? 【答案】(1)第五笔业务办理后，手里的现金最多，第六笔业务后，手里的现金最少 (2)元 【思路点拨】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，有理数加减法的实际应用： （1）求出每一笔业务后，小张手中的现金，再进行判断即可； （2）将所有数据的绝对值相加，再乘以，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：第一笔业务后小张手上的现金为：元； 第二笔业务后小张手上的现金为：元； 第三笔业务后小张手上的现金为：元； 第四笔业务后小张手上的现金为：元； 第五笔业务后小张手上的现金为：元； 第六笔业务后小张手上的现金为：元； 第七笔业务后小张手上的现金为：元； ∴第五笔业务办理后，手里的现金最多，第六笔业务后，手里的现金最少； （2）解： 元， 答：办理这笔业务小张应得奖金元。 【举一反三练3】（23-24七年级上·河南南阳·期中）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元） (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． (2)购买一件原价在900元以下的健身器材时，设一件这种健身器材的原价为a元，请用含a的代数式分别表示活动一、活动二的付款金额． 【答案】(1)活动一更合算，理由见解析 (2)活动一所需付款为：元；活动二当时，所需付款为：元，当时，所需付款为：元，当时，所需付款为：元 【思路点拨】本题考查了有理数和列代数式的应用， （1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可； （2）活动二分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别列出代数式即可． 【规范解答】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时， 活动一需付款：元， 活动二需付款：元， ∴活动一更合算 （2）解：这种健身器材的原价为a元， 活动一所需付款为：元， 活动二：当时，所需付款为：元，当时，所需付款为：元，当时，所需付款为：元 考点讲练7：有理数加减的混合运算 【精讲题】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2 【思路点拨】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可． （2）利用有理数的加减法则计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ＝ ． 【举一反三练1】（23-24七年级上·河南三门峡·期末）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) 【思路点拨】本题主要考查有理数的混合运算，整式的加减； （1）根据加减运算法则计算可得； （2）先算乘方，再算乘法，最后算减法即可； （3）去括号后合并同类项即可； （4）去括号后合并同类项即可． 【规范解答】（1）原式 ； （2）原式 ； （3） ． （4） ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算， （1）原式先同分母分数相加减，再通分计算加减运算即可求出值； （2）原式利用乘法分配律计算即可求值； （3）原式先计算乘方和括号内运算，再计算除法运算，最后算加减运算即可求出值； （4）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值； 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【规范解答】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【规范解答】解： ． 考点讲练8：有理数加减法的简便运算 【精讲题】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)-7 (2)-1 【思路点拨】（1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的加减法则计算即可． 【规范解答】（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点评析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． 【举一反三练1】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【规范解答】（1）解： （2） 【考点评析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】（1）去括号，进行加减运算，即可求解； （2）去括号，用加法交换律和结合律进行加减运算，即可求解； （3）去括号，用加法交换律和结合律进行加减运算，即可求解； （4）去括号，用加法交换律和结合律进行加减运算，即可求解． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律，掌握运算法则及运算律是解题的关键． 【举一反三练3】．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）利用加法交换律和加法结合律进行简便计算； （2）将整数部分和小数部分分开计算，然后利用加法交换律和加法结合律进行简便计算； 【规范解答】（1） ． （2） ． 【考点评析】该题主要考查了有理数的加减法运算，解题的关键是熟悉加减法运算法则以及简便运算． 考点讲练9：有理数加减混合运算的应用 【精讲题】（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）“国庆”期间，某超市购进一批价格为每斤6元的苹果，原计划每天卖50斤，但实际每天的销量与计划销量有出入，如表是某周的销售情况（记超额为正，不足为负，单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出苹果 斤； (2)根据记录的数据，求销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少斤？ (3)若每斤按10元出售，那么该超市这周的利润一共有多少元？ 【答案】(1) (2)15.5 (3)1440元 【思路点拨】本题考查了正负数的意义，有理数运算的应用等知识． （1）根据正负数的意义列出算式，进行计算即可求解； （2）根据题意得到销售量最多的是星期六，最少的是星期五，根据有理数的减法运算列式计算即可求解； （3）利用销售量乘以每斤利润列式计算即可求解． 【规范解答】（1）解：（斤）． 故答案为：； （2）解：由题意得销售量最多的是星期六，最少的是星期五， （斤）． 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售15.5斤； （3）解： （元）． 答：该超市这周的利润一共有1440元． 【举一反三练1】（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，． (1)B地在A地何处？ (2)救灾过程中，最远处离出发点A地有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱中原有油量为升，则途中还需补充多少升油？ 【答案】(1)B在A正东方向，离A有5千米． (2)； (3)升 【思路点拨】本题主要考查正负数在实际生活中的应用、有理数的加减法的应用、绝对值等知识，准确计算是解题的关键． （1）要求B地在A地何位置，把他们的记录结果相加，结果是正数方向为东，结果是负数方向为西； （2）分别计算各段记录的数据，进而即可得到结论； （3）先求他们走了多少千米，再计算一共需要多少升油，最后减去油箱容量即可． 【规范解答】（1）∵， ∴B在A正东方向，离A有5千米． （2）， ， ∴救灾过程中，最远处离出发点A地； （3）∵（千米）， ∴（升）． ∴途中还需补充升油． 【举一反三练2】（23-24七年级上·广东江门·期中）某公司一周内货品进出仓库10次，其质量如下：，，，，，，，，，．（“”表示进库，“”表示出库，单位：吨） (1)经过这一周，仓库里的货品质量增加了还是减少了？增加或减少了多少？ (2)如果货品选出仓库的装卸费都是8元/吨，那么这一周货品进出仓库需要支付的装卸费是多少？ 【答案】(1)仓库里的货品增加了22吨 (2)3264元 【思路点拨】本题考查了正负数和绝对值的应用，搞清楚吨数变化和装卸吨数两个概念是解题的关键． （1）将每次的进出库的吨数记录相加即可得8天的总进出库的吨数． （2）因为进出库的装卸费都是8元/吨，故将每天进出库的吨数记录的绝对值相加可得十次装卸的总吨数，所得装卸总吨数再乘以装卸费即为总装卸费． 【规范解答】（1）解：（吨）， ∵， ∴仓库里的货品增加了22吨． （2）（吨）， （元） 【举一反三练3】．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）某辆出租车一天下午以公园为出发地在东西方向行驶，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里），依先后次序记录如下：、、、、、、、、、、． (1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公园的什么方向？离公园多远？ (2)若出租车每公里耗油量为0.1升，则这辆出租车这天下午耗油多少升？ (3)规定出租车的收费标准是4公里内付15元，超过4公里的部分每公里加付1.5元（不足1公里按1公里算），那么该出租车司机在前四位客人中共收了多少钱？ 【答案】(1)东边，公里 (2)升 (3)72元 【思路点拨】本题主要考查了有理数加减混合运算的实际应用，绝对值在实际中的应用，理解绝对值的实际意义是解题的关键． （1）将各个数加起来求和，根据结果的正负判断，即可求解； （2）求每个数的绝对值的和，即可求解； （3）将每位客人的费油计算出来就和，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得 因为， 所以出租车在公园东边，离公园公里． （2）解：由题意得 （公里）， （升）； 答：这辆出租车这天下午耗油升． （3）第一位客人收费：（元）， 第二位客人收费：15（元）， 第三位客人收费：（元）， 第四位客人收费：（元）， 所以（元）． 答：该出租车司机在前四位客人中共收了72元． 中等题真题汇编练 1．（22-23七年级上·吉林·阶段练习）比大7的数是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了有理数的加减运算，根据有理数的加减运算法则即可得，掌握有理数加减运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：比大7的数是：， 故选：B． 2．（22-23七年级上·贵州贵阳·期中）某市客运管理部门对“五一”黄金周假期五天的客流变化最做了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示下降数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 变化/万人 20 9 3 与4月30日比，5月3日的客流量变化了多少（    ） A．下降了5万人 B．上升了13万人 C．上升了21万人 D．下降了7万人 【答案】B 【思路点拨】本题考查有理数加法的实际应用，正负数的意义，将表格中前3天的数据求和后，进行判断即可． 【规范解答】解：， ∴与4月30日比，5月3日的客流量上升了13万人； 故选B． 3．（22-23七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）人体正常体温平均为 ，如果某温度高于 ，那么高出的部分记为正；如果温度低于，那么低于的部分记为负．某同学在家测的体温为应记为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【思路点拨】本题考查有理数的减法，明确“正”和“负”所表示的意义是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可得高于， 高出部分为， 故选：B． 4．（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）将写成省略正号和括号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查有理数的加减法，掌握有理数的加法法则和减法法则是解题的关键．据此解答即可． 【规范解答】解：． 故选：A． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查化简绝对值，有理数的加法．在本题中应先化简，再计算．先根据绝对值的性质化简，再从第二项开始依次相加即可得出结果． 【规范解答】解：原式 ， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·重庆九龙坡·开学考试）有六个数排成—行，它们的平均数是65，前四个数的平均数是55，后三个数的平均数是80，第四个数是( )． 【答案】 【思路点拨】此题考查了有理数运算的应用．根据题意列出算式求解即可． 【规范解答】． ∴第四个数是． 故答案为：． 7．（22-23七年级上·山西长治·阶段练习）把红、黄、蓝三种颜色的球各十个放在一个袋子里，至少取出 个球，才能保证取到两个颜色相同的球． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了抽屉原理的计算及应用，有理数加法的应用，由题意可知，袋中共有红、黄、蓝三种颜色的球，最坏的情况是，取出三个球后，每种颜色的球各有一个，此时只要再任意拿出一个球，就能保证取到的球中有两个颜色相同的球．即至少要取个． 【规范解答】解：（个）， 至少取4个球，就可以保证取到两个颜色相同的球． 故答案为：4． 8．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）大于并且小于的所有整数的和 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的加法，先得出大于并且小于的所有整数为：，，，，，，直接相加即可得出答案． 【规范解答】解：大于并且小于的所有整数为：，，，，，， 它们的和为， 故答案为：． 9．（22-23七年级上·辽宁大连·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的加法计算： （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据有理数加减计算法则求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 10．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）某校图书馆平均每天借出图书50册，如果某天借出52册，就记作；如果某天借出40册，就记作．上星期图书馆借出图书记录如下： 星期 一 二 三 四 五 增减/册 (1)借出最多的一天比借出最少的一天多借出多少册？ (2)上星期平均每天借出图书多少册？ 【答案】(1)8本 (2)上星期平均每天借出图书52册 【思路点拨】本题考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义，解题的关键是理解题意． （1）从表格中可知周五是，借出最多，周三是，借出最少，再列式计算即可； （2）根据正负数的意义和平均数的含义可列式，进行计算即可得． 【规范解答】（1）解：借出最多的一天比借出最少的一天多借出（册）； （2）上星期平均每天借出图书 （册）． 11．（21-22七年级上·福建福州·阶段练习）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况（超 产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 (1)根据记录的数据求出小明妈妈星期三生产玩具的个数； (2)根据记录的数据求小明妈妈本周实际生产玩具多少个； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)小明妈妈星期三生产玩具的个数为个； (2)小明妈妈本周实际生产玩具为个； (3)小明妈妈这一周的工资总额是元． 【思路点拨】此题考查了正负数的应用能力，有理数的加减混合运算，关键是能准确问题间的数量关系和该知识， 并能正确列式、计算． （1）用星期三的生产情况记录结果—4加上平均每天生产量20进行求解； （2）用厂里规定的每个工人每周的生产量加上实际每天生产量与计划量相比有出入之和即可； （3）用这周每生产一个玩具可得工资数加上超额完成量的奖励即可． 【规范解答】（1）解：小明妈妈星期三生产玩具的个数为： (个)， （2）解：小明妈妈本周实际生产玩具为： (个)． （3）解： (元)， ∴小明妈妈这一周的工资总额是元． 12．（22-23七年级上·广西南宁·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：． (1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)若出租车的收费标准为：起步价元（不超过千米），超过千米，超过部分每千米元，求李师傅在这期间一共收入多少元？ 【答案】(1)李师傅位于第一批乘客出发地的东边，距离千米； (2)元． 【思路点拨】（）把记录的数相加即可求解； （）根据收费标准列式计算即可求解； 本题考查了正负数的实际应用，有理数的四则运算的应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， 答：李师傅位于第一批乘客出发地的东边，距离千米； （2）解：由里程数记录可知，第一批、第二批、第五批乘客里程超过了千米，其他批乘客没有，由收费标准可得，， 答：李师傅在这期间一共收入元． 培优题真题汇编练 13．（23-24七年级上·云南昆明·期中）现有以下结论：①正有理数、负有理数和0统称为有理数；②若两个数的差是正数，则这两个数都是正数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若，则；⑤几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数；⑥数轴上到原点的距离为 3 的点表示的数是 3 或－3．其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了有理数的相关概念和有关计算； ①根据有理数的分类进行判断； ②举出反例，进行判断即可； ③根据每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，进行判断； ④根据绝对值的性质进行判断即可； ⑤根据多个数相乘法则进行判断； ⑥根据到原点距离相等的点分别位于原点两侧，进行解答即可． 【规范解答】①正有理数、负有理数和0可以统称为有理数， ①说法正确； ②若两个数的差是正数，则这两个数不一定都是正数，比如：， ②的说法错误； ③每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示， ③的说法正确； ④若，则或， ④的说法错误； ⑤多个数相乘法则：几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数， ⑤的说法正确； ⑥数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或， ⑥的说法正确， 综上可知：说法正确的有4个， 故选：C． 14．（23-24七年级上·广东深圳·期中）再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据简便算法求出的值，再用1减去该值即得出答案． 【规范解答】解： ． ， 故再加上后，结果就是． 故选C． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，并利用简便算法计算是解题关键． 15．（2024七年级上·江苏·专题练习）北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间，同一时刻的柏林时间是，小丽和小红分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的运算，解此题的关键是根据题意写出算式，即把实际问题转化成数学问题．根据柏林时间推出北京时间，找两人重合的时间部分，即可解题． 【规范解答】解：由题意可得：柏林时间为时，北京时间为， 小丽和小红可以选择的北京时间为， 小丽和小红可以选择的时刻可以是北京时间． 故选：D． 16．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）下面是小亮同学做的4道题，①；②；③；④；其中答对的有（    ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】B 【思路点拨】根据有理数加法运算法则进行解答即可． 【规范解答】解：①，故原算式计算错误； ②，计算正确； ③，故原算式计算错误； ④计算正确． 所以，答对的有2道． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 17．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）一个大于2的整数可分解成若干个1或2的和，也可有1又有2出现，现做如下变换：1可能异变成2，2也可能异变成1，例如：，可能异变成：；，共计七种形式（不考虑加数的顺序），那么9可以分解异变成 个形式． 【答案】40 【思路点拨】首先理解题意，再根据探索出的异变数据的规律，得到异变的形式的个数，即可得到答案． 【规范解答】解：由题意，得 ， ， ， ， ； 第1个等式可以异变成6种形式； 第2个等式可以异变成7种形式； 第3个等式可以异变成8种形式； 第4个等式可以异变成9种形式； 第5个等式可以异变成10种形式． 共计个形式． 故答案为：40． 【考点评析】本题考查有理数的加法，理解能力、规律发现能力等． 18．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 【答案】 7 【思路点拨】先把有理数加减混合运算统一转化成加法运算，再利用有理数加法运算律进行计算． 【规范解答】解：计算时， 先把减法转化为加法可得， 观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为． 故答案为：①，②，③，④7，⑤． 【考点评析】本题主要考查了有理数加法运算以及加法运算律的知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． 19．（22-23七年级上·河南平顶山·开学考试）设表示不超过的最大整数，如，．计算 ．计算的结果是 ．绝对值不大于的所有整数和是 ． 【答案】 【思路点拨】根据的定义绝对值及有理数的加减解答即可．本题考查有理数的加减混合运算，掌握的意义是解题的关键，综合性较强． 【规范解答】解：； ； 绝对值不大于的所有整数有、、． ∴绝对值不大于的所有整数和是 故答案为：；；． 20．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．    【答案】3或6 【思路点拨】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是． 由于八个数的和是4，所以需满足内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是．列等式可得结论． 【规范解答】解：设小圈上的数为，大圈上的数为，， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是， 则，得， ，得， ， ∵当时，，则， 当时，，则， ∴的值为3或6． 故答案为：3或6． 21．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在1，2，3，，2022前面任意添加正号和负号，规定这 2022 个数的和要非负，则这2022个数的非负和最小值为 【答案】1 【思路点拨】若n是正整数，则．由于1，2，3，，2022共有2022个数，应用上述结论，每连续4个数的和为0，剩余2个数．可将和2两个数剩下，前面分别添加“-”和“+”，则可得这2022个数的非负和的最小值． 【规范解答】若n是正整数，则，由此可得 因此这2022个数的非负和的最小值为1．     故答案为：1 【考点评析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算，及这个结论是解题的关键． 22．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题主要考查了有理数的加减混合计算： （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （4）根据有理数的加减混合计算法则求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 23．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）为体现社会对教师的尊重，2023年9月10日“教师节”这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？ (3)若出租车的收费标准是：5千米内（含5千米）只收取起步价8元；超过5千米，则每超过1千米加收元．请你通过计算说明出租车司机小王当天免费教师多少钱？ 【答案】(1)小王在出车地点西边，距出车地点的距离是25千米 (2)升 (3)124元 【思路点拨】本题主要考查了正数和负数的实际应用，有理数的加减法的应用，有理数混合运算的应用： （1）把所给的行程记录相加即可得到答案； （2）先求出总路程，再根据单位耗油量乘以行驶路程等于总耗油量进行求解即可； （3）用总的起步价加上每次加收的费用列式计算即可． 【规范解答】（1）解；（千米）， ∴最后一名老师送到目的地时，小王在出车地点西边，距出车地点的距离是25千米 （2）解： （升）， ∴这天下午汽车共耗油升； （3）解： （元）， ∴出租车司机小王当天免费教师124元． 24．（23-24七年级上·广东佛山·期中）综合探究 2023年“十一黄金周”假期，恰逢中秋国庆双节，文化和旅游行业的消费恢复势头强劲．某风景区在黄金周8天假期内，每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 变化/万人 a (1)9月29日至10月3日这五天中，到该风景区的旅客人数最多的是哪一天？最少的是哪一天？它们相差多少万人？（直接写出答案） (2)若9月28日的旅客人数为2万人，10月6日到该风景区的旅客人数与9月28日的旅客人数持平． ①________； ②此风景区一方面给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面拉动了内需，促进了消费．若在此风景区每人平均消费200元，请求出“十一黄金周”8天假期所有游客的总消费是多少万元？ 【答案】(1)人数最多的是10月3日，最少的是9月30日，它们相差1万人 (2)①；②“十一黄金周”8天假期所有游客的总消费是5360万元 【思路点拨】（1）设9月28日的旅客人数为b万人，且，再表示出每一天的游客人数，问题随之得解； （2）①根据（1）中的代数式，结合若9月28日的旅客人数为2万人，10月6日到该风景区的旅客人数与9月28日的旅客人数持平，可得，问题得解；②根据，，可得出每一天的旅游人数，问题随之得解． 【规范解答】（1）解：设9月28日的旅客人数为b万人，且， 则9月29日的旅客人数为：人， 9月30日的旅客人数为：万人， 10月1日的旅客人数为：万人， 10月2日的旅客人数为：万人， 10月3日的旅客人数为：万人， 10月4日的旅客人数为：万人， 10月5日的旅客人数为：万人， 10月6日的旅客人数为：万人， ∵，（万人）， ∴人数最多的是10月3日，最少的是9月30日，它们相差1万人； （2）解：①在（1）中有：设9月28日的旅客人数为b万人，10月6日的旅客人数为：人， ∵若9月28日的旅客人数为2万人，10月6日到该风景区的旅客人数与9月28日的旅客人数持平， ∴， ∴， ②∵，， ∴则9月29日的旅客人数为：人，9月30日的旅客人数为：万人，10月1日的旅客人数为：万人，10月2日的旅客人数为：万人，10月3日的旅客人数为：万人，10月4日的旅客人数为：万人，10月5日的旅客人数为：万人，10月6日的旅客人数为：万人， ∴八天总的游客人数为：（万人）， 即总消费为：（万元）， 答：8天假期所有游客的总消费是5360万元． 【考点评析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 25．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、3，请回答：    (1)若C、B两点的距离与A、B两点距离相等，则需将点C向左移动______个单位； (2)若移动A、B、C三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有______种，其中移动所走的距离之和最小的是______个单位； (3)若在B处有一小青蛙，一步跳一个单位长，小青蛙第一次先向左跳一步，第2次向右跳3步，第3次向再向左跳5步，第4次再向右跳7步……，按此规律继续下去，那么跳第100次时落脚点表示的数是______． 【答案】(1)3或7 (2)3，7 (3)98 【思路点拨】（1）根据数轴上点A、B、C的位置可解答，注意两种情况； （2）分移动B、C；移动A、C；移动A、B三种情况，分别求解即可； （3）先根据前几次跳的步数和方向探究出规律，再根据有理数的运算求和即可； 【规范解答】（1）解：由数轴可知，当将点C向左移动3或7个单位时，C、B两点的距离与A、B两点距离相等， 故答案为：3或7； （2）解：当移动B、C时，把点B向左移动2个单位，把C向左移动7个单位，则移动所走的距离之和为个单位； 当移动A、C时，把点A向右移动2个单位，把C向左移动5个单位，则移动所走的距离之和为个单位； 当移动A、B时，把点A向右移动7个单位，把B向右移动5个单位，则移动所走的距离之和为个单位， 综上，移动所走的距离之和最小的是7个单位， 故答案为：3，7； （3）解：∵第一次先向左跳1步，第2次向右跳3步，第3次向再向左跳5步，第4次再向右跳7步……， ∴按此规律继续下去，第n次跳步，其中，n为奇数时，向左；n为偶数时，向右； ∴第100次向右跳步， 此时，落脚点所表示的数为 ， 故答案为：98； 【考点评析】本题考查有理数加减法的应用、数轴、绝对值方程、数字类规律探究等知识，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数的运算》】 2.1 有理数的加法与减法 （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：有理数的加法运算 4 考点讲练2：有理数的加法中的符号问题 4 考点讲练3：有理数加法在生活中的应用 5 考点讲练4：有理数加法运算律 6 考点讲练5：有理数减法运算 8 考点讲练6：有理数减法的实际应用 9 考点讲练7：有理数加减的混合运算 11 考点讲练8：有理数加减法的简便运算 13 考点讲练9：有理数加减混合运算的应用 14 中等题真题汇编练 16 培优题真题汇编练 18 新知精讲梳理 知识点01：有理数的加法 1. 定义:有理数的加法是指把两个有理数合成一个有理数的运算。 2. 法则 有理数的加法法则主要包括以下几点： 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。例如，(+3) + (+4) = +7，(-2) + (-5) = -7。 异号两数相加：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如，(+3) + (-2) = +1，(-5) + (+3) = -2。特别地，互为相反数的两个数相加得0。 一个数同0相加：仍得这个数。例如，(+5) + 0 = +5，(-3) + 0 = -3。 3. 运算律 有理数的加法满足交换律和结合律： 交换律：a + b = b + a 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 知识点02：有理数的减法 1. 定义：有理数的减法是指已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。减法是加法的逆运算。 2. 法则：有理数的减法法则可以转化为加法来运算，即“减去一个数等于加上这个数的相反数”。例如，a - b = a + (-b)。 知识点03：有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算可以统一为加法运算，即把减法转化为加法，然后按照有理数的加法法则进行计算。在运算过程中，可以运用加法的交换律和结合律来简化计算。 知识点04：应用实例 有理数的加法与减法在实际生活中有广泛的应用，如温度的变化、海拔高度的计算、财务的收支等。以下是一些应用实例： 温度变化：如果某地早晨的气温是-5°C，中午上升了3°C，那么中午的气温就是-5°C + 3°C = -2°C。 海拔高度：某山峰的海拔是2000米，从山顶下降到山脚下降了1500米，那么山脚的海拔就是2000米 - 1500米 = 500米（也可以表示为2000米 + (-1500米) = 500米）。 财务收支：某人在一周内收入了500元，支出了300元和200元，那么他的净收入就是500元 - 300元 - 200元 = 0元（也可以表示为500元 + (-300元) + (-200元) = 0元）。 知识点05：注意事项 在进行有理数的加减运算时，要注意符号的处理，特别是异号两数相加和有理数减法的转化。 运算过程中要遵循运算顺序和运算律，以简化计算过程和提高计算准确性。 实际应用中要根据具体问题的背景和要求选择合适的计算方法和单位。 高频易错知识点拨 有理数加法的易错点 易错知识点01：同号数相加时符号判断错误 易错情况：学生可能忘记在同号数相加时取相同的符号。 解决方法：强调“同号相加，符号不变”的法则，并通过实例练习加深记忆。 易错知识点02：异号数相加时绝对值处理不当 易错情况：学生在处理异号数相加时，可能不清楚如何用较大的绝对值减去较小的绝对值，或者忘记取绝对值较大的数的符号。 解决方法：明确“异号相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”的法则，并通过大量练习掌握这一技巧。 易错知识点03：忽视0在加法中的作用 易错情况：学生可能忘记任何数与0相加都等于它本身这一简单规则。 解决方法：通过实例强调0在加法中的特殊作用，确保学生熟练掌握。 易错知识点04：运算顺序错误 易错情况：在多个有理数相加时，学生可能不遵循从左到右的顺序，或者错误地应用加法交换律和结合律。 解决方法：明确加法运算的顺序规则，并强调在复杂运算中合理使用加法交换律和结合律来简化计算。 有理数减法的易错点 易错知识点01：减法转化为加法时符号处理不当： 易错情况：学生在将减法转化为加法时，可能忘记改变减数的符号，或者将原式中的符号处理错误。 解决方法：强调“减去一个数等于加上这个数的相反数”的转化规则，并通过实例练习让学生掌握这一技巧。 易错知识点02：忽视减法的运算顺序： 易错情况：在有理数的加减混合运算中，学生可能不遵循先乘除后加减的运算顺序，或者错误地将减法与乘法、除法等运算混淆。 解决方法：明确有理数混合运算的运算顺序规则，并通过实例练习让学生掌握这一技巧。 易错知识点03：忽视数轴和绝对值在减法中的应用： 易错情况：学生可能不善于利用数轴和绝对值来比较有理数的大小和进行有理数的减法运算。 解决方法：强调数轴和绝对值在有理数减法中的应用，并通过实例练习让学生掌握这一技巧。例如，可以利用数轴上的点来表示有理数，并通过点的移动来模拟减法运算；同时，可以利用绝对值的性质来判断两个有理数的大小和进行减法运算。 考点讲练1：有理数的加法运算 【精讲题】（2024七年级上·全国·专题练习）用适当方法计算： (1) (2) 【举一反三练1】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，，，则的值为（   ） A． B． C．1或5 D．或 【举一反三练2】（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）将式子写成省略括号和加号的形式是 ． 【举一反三练3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用适当的方法计算： (1) ； (2)． 考点讲练2：有理数的加法中的符号问题 【精讲题】（23-24七年级上·山东潍坊·期中）将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023七年级上·浙江·专题练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) ； (2)． 【举一反三练3】（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“>”或“<”填空： ， ， ． (2) 化简：． 考点讲练3：有理数加法在生活中的应用 【精讲题】（22-23七年级上·广西河池·阶段练习）某检修小组乘汽车沿一条东西走向的公路检修线路，记录员规定向东行驶为正，向西行驶为负．以下是某天记录员记录的自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，． (1)收工时在A地那个方向，距A地多远? (2)若每千米耗油升，问从A地出发到收工时共耗油多少升? 【举一反三练1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，（    ）一定不是小丽在纸片上写的数． A．1 B．2 C．4 D．5 【举一反三练2】（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可容许两个人一起过桥，由于天色很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为：哥哥1分钟；爸爸2分钟；妈妈5分钟；爷爷10分钟．若两人同行则以较慢者的速度为准，请问一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟？ 请写出你设计的方案： 第一步：______与______过桥，______回来； 第二步：______与______过桥，______回来； 第三步：______与______过桥，共耗时______分钟． 【举一反三练3】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）现有10袋小麦，以每袋90千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下（单位：千克）：，，，，，，，，，． (1)这10袋小麦中，重量在90千克以下的有 袋． (2)这10袋小麦的总重量是多少千克？ 考点讲练4：有理数加法运算律 【精讲题】（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 【举一反三练1】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【举一反三练2】（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【举一反三练3】（23-24七年级上·湖北·周测）简便计算 (1) ． (2)； 考点讲练5：有理数减法运算 【精讲题】（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）若，，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．2或6 【举一反三练1】（2024·河北邯郸·二模）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度． （1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ； （2）数轴上点所对应的数为，则 ． 【举一反三练2】．（23-24七年级上·福建三明·期末）如图1，点A，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点对应刻度，点对应刻度.则数轴上点所对应的数为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【举一反三练3】（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）点，，在数轴上的位置如图所示． (1)折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则点与表示数_____的点重合． (2)有理数，在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如与在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若，两点之间的距离为（点在点的左侧），将数轴折叠，使得对应的点与对应的点重合，此时，两点也重合，求，两点分别表示的数． 考点讲练6：有理数减法的实际应用 【精讲题】（19-20七年级上·山东枣庄·阶段练习）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【举一反三练1】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）据统计，某学校图书馆平均每天借出图书50册左右．管理员张老师采用如下的方法记录每天借出的图书数量：如果某天借出54册，则记作；如果某天借出47册，就记作．以下是某星期周一至周五图书馆借出的图书统计表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 张老师不小心把茶水滴在星期四的数据上了，数据看不清楚了． (1)星期三借出图书 册； (2)若星期五比星期四多借出图书19册，则表中星期四的数据应为多少？ (3)在（2）的情况下，请你计算，这周总共借出图书多少册？ 【举一反三练2】（22-23七年级上·湖北荆门·期末）银行的储蓄员小张在办理业务时，约定存入为正，取出为负，某天上午8点他领取备用金40000元开始工作，接下来的两个小时，他先后办理了七笔存取业务：元，元，元，元，元，元，元 (1)请判断在这七笔业务中，小张在第笔业务办理后，手中的现金最多，第笔务办理后，手中的现金最少 (2)若每办一笔业务，银行发给业务员存取业务金额的作为奖励，则办理这笔业务小张应得奖金多少元? 【举一反三练3】（23-24七年级上·河南南阳·期中）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元） (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． (2)购买一件原价在900元以下的健身器材时，设一件这种健身器材的原价为a元，请用含a的代数式分别表示活动一、活动二的付款金额． 考点讲练7：有理数加减的混合运算 【精讲题】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) ． (2)． 【举一反三练1】（23-24七年级上·河南三门峡·期末）计算： (1) ； (2)． (2) ； (4)． 【举一反三练2】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【举一反三练3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 考点讲练8：有理数加减法的简便运算 【精讲题】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）计算： (1) ． (2)． 【举一反三练1】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1) ． (2)． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算题 (1) (2) (2) (4) 【举一反三练3】．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）计算： (1) (2) 考点讲练9：有理数加减混合运算的应用 【精讲题】（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）“国庆”期间，某超市购进一批价格为每斤6元的苹果，原计划每天卖50斤，但实际每天的销量与计划销量有出入，如表是某周的销售情况（记超额为正，不足为负，单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出苹果 斤； (2)根据记录的数据，求销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少斤？ (3)若每斤按10元出售，那么该超市这周的利润一共有多少元？ 【举一反三练1】（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，． (1)B地在A地何处？ (2)救灾过程中，最远处离出发点A地有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱中原有油量为升，则途中还需补充多少升油？ 【举一反三练2】（23-24七年级上·广东江门·期中）某公司一周内货品进出仓库10次，其质量如下：，，，，，，，，，．（“”表示进库，“”表示出库，单位：吨） (1)经过这一周，仓库里的货品质量增加了还是减少了？增加或减少了多少？ (2)如果货品选出仓库的装卸费都是8元/吨，那么这一周货品进出仓库需要支付的装卸费是多少？ 【举一反三练3】．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）某辆出租车一天下午以公园为出发地在东西方向行驶，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里），依先后次序记录如下：、、、、、、、、、、． (1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公园的什么方向？离公园多远？ (2)若出租车每公里耗油量为0.1升，则这辆出租车这天下午耗油多少升？ (3)规定出租车的收费标准是4公里内付15元，超过4公里的部分每公里加付1.5元（不足1公里按1公里算），那么该出租车司机在前四位客人中共收了多少钱？ 中等题真题汇编练 1．（22-23七年级上·吉林·阶段练习）比大7的数是（    ） A． B．4 C． D． 2．（22-23七年级上·贵州贵阳·期中）某市客运管理部门对“五一”黄金周假期五天的客流变化最做了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示下降数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 变化/万人 20 9 3 与4月30日比，5月3日的客流量变化了多少（    ） A．下降了5万人 B．上升了13万人 C．上升了21万人 D．下降了7万人 3．（22-23七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）人体正常体温平均为 ，如果某温度高于 ，那么高出的部分记为正；如果温度低于，那么低于的部分记为负．某同学在家测的体温为应记为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 4．（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）将写成省略正号和括号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ． 6．（23-24七年级上·重庆九龙坡·开学考试）有六个数排成—行，它们的平均数是65，前四个数的平均数是55，后三个数的平均数是80，第四个数是( )． 7．（22-23七年级上·山西长治·阶段练习）把红、黄、蓝三种颜色的球各十个放在一个袋子里，至少取出 个球，才能保证取到两个颜色相同的球． 8．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）大于并且小于的所有整数的和 ． 9．（22-23七年级上·辽宁大连·阶段练习）计算 (1) (2) 10．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）某校图书馆平均每天借出图书50册，如果某天借出52册，就记作；如果某天借出40册，就记作．上星期图书馆借出图书记录如下： 星期 一 二 三 四 五 增减/册 (1)借出最多的一天比借出最少的一天多借出多少册？ (2)上星期平均每天借出图书多少册？ 11．（21-22七年级上·福建福州·阶段练习）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况（超 产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 (1)根据记录的数据求出小明妈妈星期三生产玩具的个数； (2)根据记录的数据求小明妈妈本周实际生产玩具多少个； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ 12．（22-23七年级上·广西南宁·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：． (1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)若出租车的收费标准为：起步价元（不超过千米），超过千米，超过部分每千米元，求李师傅在这期间一共收入多少元？ 培优题真题汇编练 13．（23-24七年级上·云南昆明·期中）现有以下结论：①正有理数、负有理数和0统称为有理数；②若两个数的差是正数，则这两个数都是正数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若，则；⑤几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数；⑥数轴上到原点的距离为 3 的点表示的数是 3 或－3．其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．（23-24七年级上·广东深圳·期中）再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 15．（2024七年级上·江苏·专题练习）北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间，同一时刻的柏林时间是，小丽和小红分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）下面是小亮同学做的4道题，①；②；③；④；其中答对的有（    ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 17．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）一个大于2的整数可分解成若干个1或2的和，也可有1又有2出现，现做如下变换：1可能异变成2，2也可能异变成1，例如：，可能异变成：；，共计七种形式（不考虑加数的顺序），那么9可以分解异变成 个形式． 18．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 19．（22-23七年级上·河南平顶山·开学考试）设表示不超过的最大整数，如，．计算 ．计算的结果是 ．绝对值不大于的所有整数和是 ． 20．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．    21．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在1，2，3，，2022前面任意添加正号和负号，规定这 2022 个数的和要非负，则这2022个数的非负和最小值为 22．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算 (1)； (2)； (2) ； (4) 23．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）为体现社会对教师的尊重，2023年9月10日“教师节”这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？ (3)若出租车的收费标准是：5千米内（含5千米）只收取起步价8元；超过5千米，则每超过1千米加收元．请你通过计算说明出租车司机小王当天免费教师多少钱？ 24．（23-24七年级上·广东佛山·期中）综合探究 2023年“十一黄金周”假期，恰逢中秋国庆双节，文化和旅游行业的消费恢复势头强劲．某风景区在黄金周8天假期内，每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 变化/万人 a (1)9月29日至10月3日这五天中，到该风景区的旅客人数最多的是哪一天？最少的是哪一天？它们相差多少万人？（直接写出答案） (2)若9月28日的旅客人数为2万人，10月6日到该风景区的旅客人数与9月28日的旅客人数持平． ①________； ②此风景区一方面给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面拉动了内需，促进了消费．若在此风景区每人平均消费200元，请求出“十一黄金周”8天假期所有游客的总消费是多少万元？ 25．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、3，请回答：    (1)若C、B两点的距离与A、B两点距离相等，则需将点C向左移动______个单位； (2)若移动A、B、C三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有______种，其中移动所走的距离之和最小的是______个单位； (3)若在B处有一小青蛙，一步跳一个单位长，小青蛙第一次先向左跳一步，第2次向右跳3步，第3次向再向左跳5步，第4次再向右跳7步……，按此规律继续下去，那么跳第100次时落脚点表示的数是______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$