1.2.4～1.2.5 绝对值与有理数大小比较（知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版新教材数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第1章《有理数》】 1.2.4-1.2.5 绝对值与有理数大小比较 （知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练） 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：绝对值的意义 4 考点讲练2：求一个数的绝对值 5 考点讲练3：化简绝对值 6 考点讲练4：绝对值得非负性 7 考点讲练5：绝对值方程 8 考点讲练6：绝对值的其他应用 10 考点讲练7：有理数的大小比较 12 考点讲练8：有理数大小比较的实际应用 13 中等题真题汇编练 15 培优题真题汇编练 18 新知精讲梳理 知识点01：绝对值的定义 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 几何意义：绝对值的几何 意义体现了数与形之间的紧密联系。在数轴上，一个数a的绝对值就是该数所对应的点到原点的距离。 知识点02：绝对值的性质 非负性：任何一个有理数的绝对值都是非负数，即|a| ≥ 0。 具体取值： 当a是正数时，|a| = a（正数的绝对值是它本身）。 当a是负数时，|a| = -a（负数的绝对值是它的相反数）。 当a是0时，|a| = 0（0的绝对值是0）。 相等性：互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a| = |a|。 比较大小：绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。同时，两个负数比较时，绝对值大的反而小。 知识点03：绝对值的求法 直接法：根据绝对值的定义和性质，直接判断并求出数的绝对值。 数轴法：在数轴上找到表示该数的点，然后测量该点到原点的距离，即为该数的绝对值。 知识点04：绝对值的应用 有理数大小比较：利用绝对值可以比较两个有理数的大小，特别是当两个数都是负数时，可以通过比较它们的绝对值来确定它们的大小关系。 知识点05：有理数大小比较的基本概念 有理数包括正数、负数和0。在比较有理数大小时，我们需要明确它们之间的相对关系。 知识点06： 有理数大小比较的方法 有理数大小比较主要有以下几种方法： 数轴比较法： 定义：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 应用：将需要比较的有理数在数轴上表示出来，然后根据它们在数轴上的位置关系判断大小。 示例：比较-3和2的大小，将-3和2在数轴上表示出来，可以看出2在-3的右边，所以2>-3。 直接比较法： 正数与0的比较：正数都大于0。 负数与0的比较：负数都小于0。 正数与负数的比较：正数大于一切负数。 两个正数的比较：绝对值大的数大。 两个负数的比较：绝对值大的数反而小。 高频易错知识点拨 易错知识点01：绝对值的定义理解不透彻 易错点：学生可能将绝对值简单地理解为数轴上的点与原点的距离，但忽视了绝对值总是非负的，以及它对于正数、 负数和0的具体取值规则。 解析：绝对值表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，因此它总是非负的。对于正数，其绝对值等于它本身；对于负数，其绝对值等于它的相反数；对于0，其绝对值仍为0。 易错知识点02：绝对值的性质掌握不牢固 易错点： 混淆绝对值的非负性与数的正负性。例如，认为|-a|一定是负数，或认为|a|一定大于a。 忽视互为相反数的两个数绝对值相等这一性质。 在比较两个负数大小时，容易忘记使用绝对值进行比较，而直接根据数的正负性进行比较。 解析： 绝对值总是非负的，因此|-a|一定是非负数，且当a为正数或0时，|-a|=a；当a为负数时，|-a|=-a（但结果仍为非负数）。 互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，因此它们到原点的距离相等，即绝对值相等。 在比较两个负数大小时，由于数轴上右边的数总比左边的数大，而负数都在0的左边，因此绝对值大的负数反而小。 易错知识点03：绝对值的运算应用不灵活 易错点： 在进行有理数混合运算时，容易忽略绝对值的运算优先级或运算律。 在解决实际问题时，不能准确地将问题转化为绝对值问题进行求解。 解析： 在进行有理数混合运算时，应明确运算的优先级和运算律。绝对值的运算通常作为第一步进行，因为它涉及到数的符号和大小关系的确定。此外，还应注意结合律、交换律等运算律的应用。 在解决实际问题时，应善于观察问题的特点并灵活运用绝对值的性质进行求解。例如，在求解两地间的距离、温度差等问题时都可以转化为绝对值问题进行求解。 易错知识点04：有理数大小比较基本概念理解不清 有理数的定义：学生需要明确有理数包括整数、分数和可以表示为两个整数之比的数。对于分数，学生可能容易忽略其正负性，导致在比较大小时出现错误。 数轴的理解：数轴是表示有理数的重要工具，学生需要理解数轴上的点与原点的距离表示该数的绝对值，而点的位置（左或右）表示数的正负。部分学生可能在这一点上理解不透彻，导致在利用数轴比较有理数大小时出错。 易错知识点05：比较方法掌握不牢 正数与0、负数的比较： 正数大于0，0大于负数：这是最基本的比较原则，但学生可能在复杂情况下忘记这一点。 正数一定大于负数：这个原则看似简单，但在实际问题中，学生可能会因为其他因素的干扰而忽略。 同号有理数的比较： 两个正数比较：绝对值大的数大。 两个负数比较：绝对值大的数反而小。这一点是学生容易出错的地方，他们可能会错误地认为绝对值大的负数也更大。 异号有理数的比较：异号有理数比较时，正数总是大于负数，无需考虑绝对值大小。 易错知识点06：实际应用中的错误 温度、海拔等实际问题的转化：在比较温度、海拔等实际问题时，学生需要正确地将它们转化为有理数，并在数轴上表示出来。部分学生可能会在这一步出错，导致后续比较错误。 复杂表达式的化简与比较：当遇到包含有理数的复杂表达式时，学生需要先进行化简，然后再比较大小。化简过程中可能会出现错误，导致最终比较结果不准确。 考点讲练1：绝对值的意义 【精讲题】（2024七年级上·全国·专题练习）我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段的长度为 ． 【举一反三练1】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．绝对值等于它本身的数是正数 C．1是最小的正整数 D．任何有理数都有相反数 【举一反三练2】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 【举一反三练3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 考点讲练2：求一个数的绝对值 【精讲题】（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接． ，，0，， 【举一反三练1】（2024·四川成都·模拟预测）的倒数是（    ） A． B．－2.5 C． D． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1) ． (2) 【举一反三练3】（23-24七年级上·重庆大渡口·阶段练习）已知一组数：，0，，，． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来：    (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）． 考点讲练3：化简绝对值 【精讲题】（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）有理数 a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示． (1)比较 a 、b 、c 、 、、 的大小，用“ ”连接起来； (2)化简 【举一反三练1】．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）三个有理数，，在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（1）有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简． （2）已知：，，．求当时，式子的值． 【举一反三练3】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 考点讲练4：绝对值得非负性 【精讲题】（24-25七年级上·全国·单元测试）若，则的值是 ； 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果实数满足，那么等于（　　） A． B． C． D．9 【举一反三练2】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）已知数轴上有A，B，C，D四个点，它们表示的数分别为a，b，c，d，且满足，a和c的乘积为24． (1)求a，b，c的值； (2)若点A处有一只蝴蝶以每秒4个单位长度的速度沿着方向飞行，同时在点D处有一只蜻蜓以每秒5个单位长度的速度沿着方向飞行，经过2秒后，蝴蝶和蜻蜓相遇，求d的值． 【举一反三练3】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)若， ①求的长； ②求的长； (2)若，求 的值． 考点讲练5：绝对值方程 【精讲题】（2024七年级上·江苏·专题练习）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【举一反三练2】（21-22七年级上·浙江温州·期末）（1）计算：； （2）； （3）已知关于x的方程，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 【举一反三练3】（23-24七年级上·广西钦州·阶段练习）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观． 同时我们知道，数轴上表示x，y的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：    【概念理解】 （1）表示数x和__________所对应的两点之间的距离： （2）当x逐渐变大时，式子的值如何变化？ 【继续推理】 （3）若，求x的值． 考点讲练6：绝对值的其他应用 【精讲题】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ (2)离开下午出发点最远时是多少千米？ (3)若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？ 【举一反三练1】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的中山路上进行的，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下： ，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李在下午出发地的哪个方向，有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？ (3)如果现在汽油的价格是元/升，那么这天下午小李的汽油费用是多少元？ 【举一反三练2】（23-24七年级上·四川绵阳·期中）某公路检修队乘车从A地出发，在南北走向的公路上修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：． (1)问收工时，检修队在地哪边？距地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油0.3升，则检俢队从地出发到回到地，汽车共耗油多少升？ 【举一反三练3】（23-24七年级上·河南南阳·期末）一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司，一快递小哥骑三轮摩托车从公司P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 －2 ＋7 －9 ＋10 ＋4 －5 －8 (1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P的哪个方向上？距离公司P多少千米？ (2)在第______次记录时快递小哥距公司P地最远； (3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需要用汽油费多少元？（精确到1元） 考点讲练7：有理数的大小比较 【精讲题】（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）太原市某星期一的最高温度是，之后几天的最高温度变化如表所示，最高温度比前一天高记为正数，比前一天低记为负数，则五天中温度最高的是星期 ． 星期 星期二 星期三 星期四 星期五 温度变化（单位：℃） 【举一反三练1】（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 【举一反三练2】（21-22七年级上·广东湛江·期中）把下列各数填入相应的大括号里，并用“”将各数大小连接起来． ，，，，， 整数集：{  　 　　　　　　 } 负整数集：{  　　　　　　　} 正分数集：{  　　　　　　  } 负分数集：{  　　　　　　  }． 【举一反三练3】（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）光明小学要买60个足球，现在甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球的价格都是25元，但各个商店的优惠办法不同． 甲店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送 乙店：打八折出售 丙店：购物每满200元，返还现金30元 为了节约费用，光明小学应该到哪个店购买？为什么？ 考点讲练8：有理数大小比较的实际应用 【精讲题】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ (3)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ 【举一反三练1】（23-24七年级上·四川绵阳·期末）王小明同学计划今年暑假到他家附近某游泳馆锻炼身体，该游泳馆收费方式如下表所示（不足1小时按1小时计算）： 收费方式 ①计时收费 ②普通会员 ③高级会员 收费标准 10元/时 会员费100元 会员费300 0—10小时 免费 0—30小时 免费 超过10小时 6元/时 超过30小时 4元/时 请回答下列问题： (1)当游泳总时间为______小时时，按方式①或方式②收费所付的钱相同． (2)若王小明同学计划每两天游泳一次，每次锻炼2小时（王小明所在学校放暑假时间为7月15日至8月31日），请你帮助他选择一个最省钱的付费方式，并说明理由． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东临沂·期末）在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天． (1)若由甲队先做10天，剩下的工程由甲，乙两队合作完成，甲、乙两队合作多少天能完成剩余工程？ (2)甲队施工一天，需要支付给甲队施工费4万元，乙队施工一天，需要支付给乙队施工费1.5万元．若该工程计划不超过75天完成，在不超过计划天数的前提下，请根据以上信息设计一种完成该项工程施工费最少的方案，并求出支付的最少施工费是多少？ 【举一反三练3】（23-24七年级上·湖北咸宁·期末）按照“双减”政策，为了丰富课后托管服务内容，某学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现：篮球每个定价元，跳绳每条定价元．现有，两家体育用品商店提供了各自的优惠方案： 商店：买一个篮球送一条跳绳； 商店：篮球和跳绳都按定价的销售． 已知学校要购买篮球个，跳绳条（）． (1)若全部在商店购买，学校需付款______元，若全部在商店购买，学校需付款______元；（用含的式子表示） (2)若在两家商店购买的费用一样多，求此时的值； (3)当时，请直接写出学校花费最少的选购方案，并计算需付款多少元？ 中等题真题汇编练 1．（22-23七年级上·山东日照·期中）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）绝对值大于3且小于6的整数有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024·四川巴中·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·广东东莞·期中）比较大小：用“＞”，“＜”，“=”填空： （1）0.7 0         （2） 4             （3） ． 5．（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列比较大小正确的是(    ) A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数． 例如：， ．试探索： ， 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和，则输出的值分别为 ． 8．（23-24七年级下·北京东城·期末）对于整式：、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，． （1）若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数 ； （2）若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则的取值范围是 ． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较下列各对数的大小： (1)和． (2)和． (2) 和． (4)和． 10．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值|等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上内容完成下面的问题： (1)______； (2)______； (3)如果有理数，则______； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：. 11．（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）阅读下列材料，回答提出的问题． 我们知道：一个数a的绝对值可以表示成|a|，它是一个非负数，在数轴上，表示a这个数在数轴上所对应的点到原点的距离（距离，当然不可能是负数），这正是绝对值的几何意义，比如说表示2这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它是2，所以，表示这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它也是2，所以说，严格来说，在数轴上，一个数a在数轴上所对应的点到原点（原点对应的数为0）的距离应该表示为，但平时我们都写成，原因你明白． （1）若给定，要找这样的x，请按照上面材料中的说法，解释它的几何意义并找出对应的x； （2）实际上，对于数轴上任意两个数之间的距离我们也可以表示为，反过来，这个绝对值的几何意义就是：数轴上表示与这两个数的点之间的距离， ①你能结合上面的叙述，解释的几何意义吗？ ②请按你的理解说明：． 拓展应用 （1）设点Р在数轴上对应的数为x，若 ，则_____． （2）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x，若点Р在点M、N之间，则_____． 12．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 培优题真题汇编练 13．（22-23七年级上·山西长治·阶段练习）若a是非零自然数，则下面（   ）算式结果最小 A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）将自然数1，2，3，4，5，6分别标记在6个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱之后一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为，，，，，，记，以下3种说法中：①A最小值为3；②A的值一定是奇数；③A化简之后一共有5种不同的结果．说法正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 15．（23-24七年级上·山东滨州·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，化简．（    ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 17．（23-24七年级上·海南儋州·期中）如图，有理数，，在数轴上的位置如图所示；则代数式化简后的结果为 18．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知互为相反数，为倒数，且，则的值为 ． 19．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，x的取值范围是 ． 20．（24-25七年级上·全国·假期作业）若实数，满足，，则 ． 21．（22-23七年级上·江西宜春·期中）如下图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c．（O为原点） (1) 0， 0， 0（用“＜”或“＞”或“＝”号填空）； (2)化简：． 22．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，数轴上有点三点． (1)用“”将连接起来． (2) 1， 0（填“”“”，“”） (3)求下列各式的最小值： ①的最小值为 ； ②的最小值为 ； ③当 时，的最小值为 ． 23．（23-24七年级上·山东德州·期中）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在欢乐谷门口出发，沿南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)将第几位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远？ (3)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (4)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ 24．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图：已知，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，且a、b、c满足． (1) ， ， ； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和2个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟过后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则 ， ， ；（用含t的代数式表示） (3)在（2）的条件下，若的值不随着t值的变化而变化，试确定t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第1章《有理数》】 1.2.4-1.2.5 绝对值与有理数大小比较 （知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练） 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：绝对值的意义 4 考点讲练2：求一个数的绝对值 7 考点讲练3：化简绝对值 9 考点讲练4：绝对值得非负性 12 考点讲练5：绝对值方程 16 考点讲练6：绝对值的其他应用 22 考点讲练7：有理数的大小比较 26 考点讲练8：有理数大小比较的实际应用 28 中等题真题汇编练 33 培优题真题汇编练 42 新知精讲梳理 知识点01：绝对值的定义 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 几何意义：绝对值的几何 意义体现了数与形之间的紧密联系。在数轴上，一个数a的绝对值就是该数所对应的点到原点的距离。 知识点02：绝对值的性质 非负性：任何一个有理数的绝对值都是非负数，即|a| ≥ 0。 具体取值： 当a是正数时，|a| = a（正数的绝对值是它本身）。 当a是负数时，|a| = -a（负数的绝对值是它的相反数）。 当a是0时，|a| = 0（0的绝对值是0）。 相等性：互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a| = |a|。 比较大小：绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。同时，两个负数比较时，绝对值大的反而小。 知识点03：绝对值的求法 直接法：根据绝对值的定义和性质，直接判断并求出数的绝对值。 数轴法：在数轴上找到表示该数的点，然后测量该点到原点的距离，即为该数的绝对值。 知识点04：绝对值的应用 有理数大小比较：利用绝对值可以比较两个有理数的大小，特别是当两个数都是负数时，可以通过比较它们的绝对值来确定它们的大小关系。 知识点05：有理数大小比较的基本概念 有理数包括正数、负数和0。在比较有理数大小时，我们需要明确它们之间的相对关系。 知识点06： 有理数大小比较的方法 有理数大小比较主要有以下几种方法： 数轴比较法： 定义：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 应用：将需要比较的有理数在数轴上表示出来，然后根据它们在数轴上的位置关系判断大小。 示例：比较-3和2的大小，将-3和2在数轴上表示出来，可以看出2在-3的右边，所以2>-3。 直接比较法： 正数与0的比较：正数都大于0。 负数与0的比较：负数都小于0。 正数与负数的比较：正数大于一切负数。 两个正数的比较：绝对值大的数大。 两个负数的比较：绝对值大的数反而小。 高频易错知识点拨 易错知识点01：绝对值的定义理解不透彻 易错点：学生可能将绝对值简单地理解为数轴上的点与原点的距离，但忽视了绝对值总是非负的，以及它对于正数、 负数和0的具体取值规则。 解析：绝对值表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，因此它总是非负的。对于正数，其绝对值等于它本身；对于负数，其绝对值等于它的相反数；对于0，其绝对值仍为0。 易错知识点02：绝对值的性质掌握不牢固 易错点： 混淆绝对值的非负性与数的正负性。例如，认为|-a|一定是负数，或认为|a|一定大于a。 忽视互为相反数的两个数绝对值相等这一性质。 在比较两个负数大小时，容易忘记使用绝对值进行比较，而直接根据数的正负性进行比较。 解析： 绝对值总是非负的，因此|-a|一定是非负数，且当a为正数或0时，|-a|=a；当a为负数时，|-a|=-a（但结果仍为非负数）。 互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，因此它们到原点的距离相等，即绝对值相等。 在比较两个负数大小时，由于数轴上右边的数总比左边的数大，而负数都在0的左边，因此绝对值大的负数反而小。 易错知识点03：绝对值的运算应用不灵活 易错点： 在进行有理数混合运算时，容易忽略绝对值的运算优先级或运算律。 在解决实际问题时，不能准确地将问题转化为绝对值问题进行求解。 解析： 在进行有理数混合运算时，应明确运算的优先级和运算律。绝对值的运算通常作为第一步进行，因为它涉及到数的符号和大小关系的确定。此外，还应注意结合律、交换律等运算律的应用。 在解决实际问题时，应善于观察问题的特点并灵活运用绝对值的性质进行求解。例如，在求解两地间的距离、温度差等问题时都可以转化为绝对值问题进行求解。 易错知识点04：有理数大小比较基本概念理解不清 有理数的定义：学生需要明确有理数包括整数、分数和可以表示为两个整数之比的数。对于分数，学生可能容易忽略其正负性，导致在比较大小时出现错误。 数轴的理解：数轴是表示有理数的重要工具，学生需要理解数轴上的点与原点的距离表示该数的绝对值，而点的位置（左或右）表示数的正负。部分学生可能在这一点上理解不透彻，导致在利用数轴比较有理数大小时出错。 易错知识点05：比较方法掌握不牢 正数与0、负数的比较： 正数大于0，0大于负数：这是最基本的比较原则，但学生可能在复杂情况下忘记这一点。 正数一定大于负数：这个原则看似简单，但在实际问题中，学生可能会因为其他因素的干扰而忽略。 同号有理数的比较： 两个正数比较：绝对值大的数大。 两个负数比较：绝对值大的数反而小。这一点是学生容易出错的地方，他们可能会错误地认为绝对值大的负数也更大。 异号有理数的比较：异号有理数比较时，正数总是大于负数，无需考虑绝对值大小。 易错知识点06：实际应用中的错误 温度、海拔等实际问题的转化：在比较温度、海拔等实际问题时，学生需要正确地将它们转化为有理数，并在数轴上表示出来。部分学生可能会在这一步出错，导致后续比较错误。 复杂表达式的化简与比较：当遇到包含有理数的复杂表达式时，学生需要先进行化简，然后再比较大小。化简过程中可能会出现错误，导致最终比较结果不准确。 考点讲练1：绝对值的意义 【精讲题】（2024七年级上·全国·专题练习）我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段的长度为 ． 【答案】4.5或0.5 【思路点拨】本题考查了数轴上的点与其距离的关系，将所给绝对值等式化简，数形结合，画草图分析，是解题的关键． 先由，推得点在点A和点B之间，且C与A，C与B之间的距离均为1，D与A之间的距离为2.5，据此画数轴草图，因不知其点的具体位置，故不标原点及数值，据此可解． 【规范解答】解：， 点C在点A和点B之间，， ， ， 不妨设点A在点B左侧， 如图，若点D在点A的左侧， 线段的长为； 如图，若点D在点A的右侧， 线段的长为． 故答案为：4.5或0.5 【举一反三练1】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．绝对值等于它本身的数是正数 C．1是最小的正整数 D．任何有理数都有相反数 【答案】B 【思路点拨】本题考查有理数的分类及定义．根据有理数的分类及定义逐项判断即可． 【规范解答】解：0既不是正数，也不是负数，说法正确，则A不符合题意； 绝对值等于它本身的数是0或正数，原说法不正确，则B符合题意； 1是最小的正整数，说法正确，则C不符合题意； 任何有理数都有相反数，说法正确，则D不符合题意； 故选：B． 【举一反三练2】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，或 (2)存在，最小值是7 【思路点拨】本题主要考查了数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义． （1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可． （2）分三种情况，当时，当时和当时，按照绝对值的意义求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， ∵， ∴， 解得：或者．， 故答案为： （2）存在，最小值是7 理由如下： 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴存在最小值，最小值为7． 【举一反三练3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个；理由见解析 【思路点拨】本题考查了绝对值的意义及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； 判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．据此进行判断即可． 【规范解答】（1）解：四号球，正好等于标准的质量， 五号球，，比标准球轻克， 二号球，，比标准球重克． （2）解：在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个； 理由如下：一号球，，不合格， 二号球，，优等品， 三号球，，合格品， 四号球，，优等品， 五号球，，优等品， 六号球，，合格品． 考点讲练2：求一个数的绝对值 【精讲题】（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接． ，，0，， 【答案】见解析 【思路点拨】先化简计算，后再在数轴上表示，根据数轴上靠近右边的数大于靠近左边的数，计算即可． 本题考查了数轴上表示有理数，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴数轴表示如下： ． 根据数轴表示，得． 【举一反三练1】（2024·四川成都·模拟预测）的倒数是（    ） A． B．－2.5 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了绝对值和倒数，掌握绝对值和倒数的定义成为解题的关键． 先求出，再根据互为倒数的两个数的积为1即可解答． 【规范解答】解：，的倒数是． 故选C． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2)6 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算乘除，后计算加减，有括号的先计算括号内的，据此解答即可．本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． （2）本题考查了有理数的混合运算，先计算乘除，再加减即可，熟知计算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式， ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·重庆大渡口·阶段练习）已知一组数：，0，，，． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来：    (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路点拨】本题主要考查的是有理数与数轴，有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． （1）先化简，再把各数在数轴上表示出来即可； （2）根据各数在数轴上的位置从左到右用“<”连接起来． 【规范解答】（1）解：，，如图所示，      （2）解：由图可知，． 考点讲练3：化简绝对值 【精讲题】（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）有理数 a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示． (1)比较 a 、b 、c 、 、、 的大小，用“ ”连接起来； (2)化简 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查数轴、有理数的大小比较、绝对值的化简， （1）根据数轴可得，，再进行大小比较即可； （2）由（1）可得，再根据绝对值的性质进行化简即可． 【规范解答】（1）解：由数轴可得，，， ∴． （2）解：由（1）可得， ∴，，， ∴ ． 【举一反三练1】．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）三个有理数，，在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【规范解答】由数轴可得，，， ∴ ， ， 故选：． 【举一反三练2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（1）有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简． （2）已知：，，．求当时，式子的值． 【答案】（1）；（2），5 【思路点拨】此题考查了本题考查了数轴和整式的加减-化简求值，掌握整式的加减运算法则是关键． （1）根据题意判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果； （2）原式去括号合并好，将A，B以及C代入即可得到结果． 【规范解答】解：（1）由数轴可得，， ∴， ∴原式 ； （2）∵， ∴原式 ， 当时， 原式 ． 【举一反三练3】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【思路点拨】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 考点讲练4：绝对值得非负性 【精讲题】（24-25七年级上·全国·单元测试）若，则的值是 ； 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了绝对值和平方的非负性质，以及已知字母的值求代数式，利用绝对值和平方的非负性质求出x，y的值，然后代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， 解得， ， ∴． 故答案为． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果实数满足，那么等于（　　） A． B． C． D．9 【答案】D 【思路点拨】本题考查偶次方、绝对值的非负性，根据偶次方、绝对值的非负性得出，，代入计算即可得出答案，掌握偶次方、绝对值的非负性是正确解答的关键． 【规范解答】解：∵，而，， ，即，， ． 故选：D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）已知数轴上有A，B，C，D四个点，它们表示的数分别为a，b，c，d，且满足，a和c的乘积为24． (1)求a，b，c的值； (2)若点A处有一只蝴蝶以每秒4个单位长度的速度沿着方向飞行，同时在点D处有一只蜻蜓以每秒5个单位长度的速度沿着方向飞行，经过2秒后，蝴蝶和蜻蜓相遇，求d的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了绝对值的非负性，有理数的混合运算的实际应用． （1）根据绝对值的非负性，得出，即可求出a和b的值，根据a和c的乘积为24，即可求出c的值； （2）用点A表示的数，加上蝴蝶和蜻蜓的路程和，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵a和c的乘积为24， ∴， 综上：． （2）解：根据题意可得：， ∴． 【举一反三练3】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)若， ①求的长； ②求的长； (2)若，求 的值． 【答案】(1)①，② (2)的值为或2 【思路点拨】题目主要考查线段中点的计算，绝对值的非负性，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出；①利用中点结合图形求解即可；②利用中点结合①中结果求解即可； （2）分两种情况分析：当时，当时，设，结合图形求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得：， ∴， ∴； ①∵D为的中点，E为的中点， ∴， ∴， ②∵F为的中点， ∴， ∴； （2）分两种情况： 当时，如图： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 当时，如图所示： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 综上所述，的值为或2． 考点讲练5：绝对值方程 【精讲题】（2024七年级上·江苏·专题练习）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)6 (2)7或 (3)或或0或1 【思路点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握其基础知识是解题的关键． （1）利用绝对值的意义去绝对值即可求解． （2）利用绝对值是意义去绝对值即可求解． （3）令，得：，令，得：，又，利用数轴上两点之间的距离即可求解． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：6． （2）解：由得： 当时，解得：， 当时，解得：， 故答案为：7或． （3）解：令，得：， 令，得：， 又， 则，表示的是x到1和之间的距离之和， ， 符合条件的整数为：或或0或1． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1) (2)1或 (3)5， 【思路点拨】本题考查数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答； （2）分两种情况，将绝对值方程转化为两个方程求解，即得答案； （3）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答． 【规范解答】（1）数轴上x和两点之间的距离表示为； 故答案为：． （2）   或， 或；   故答案为：1或． （3）式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值5； 当时，有最小值．   故答案为：5；． 【举一反三练2】（21-22七年级上·浙江温州·期末）（1）计算：； （2）； （3）已知关于x的方程，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 【答案】（1）（2）；（3）当时，方程的解为：；当时，方程的解为：；当时，方程无解 【思路点拨】本题考查了解绝对值方程，绝对值的性质以及绝对值的运用，灵活运用分类讨论是解决本题的关键． （1）把进行分类讨论，分为、，，然后分别化简绝对值，进行计算即可； （2）先化简最外面的，得或，再化简里面的绝对值，得或，进行计算即可； （3）把进行分类讨论，分为、，，然后分别化简绝对值，进行计算即可； 【规范解答】解：（1）①当时， ∴ ∴， ∴， 解得； 此时方程的解为：x=1； ②当时， ∴ ∴， 此时方程的解为：； ③当时， ∴ ∴|， ∴， 解得：， 此时方程的解为：； 综上所述：此时方程的解为：； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， 由解得：； 由解得：； 由解得：； 由解得：， 综上所述：方程的解为：； （3）①当时，， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∵， ∴ 解得：， 即当时，方程的解为：； ②当时， ∴， ∴， ∴， 即当时，方程的解为：； ③当时， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 即当时，方程|x-2|+|x-3|=a的解为：； 综上所述：当时，方程的解为：；当时，方程的解为：；当时，方程无解． 【举一反三练3】（23-24七年级上·广西钦州·阶段练习）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观． 同时我们知道，数轴上表示x，y的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：    【概念理解】 （1）表示数x和__________所对应的两点之间的距离： （2）当x逐渐变大时，式子的值如何变化？ 【继续推理】 （3）若，求x的值． 【答案】（1）；（2）先变小，然后不变，最后变大；（3）或3.5 【思路点拨】本题考查绝对值的性质，绝对值的几何意义，绝对值方程．掌握绝对值的性质是解题关键． （1）根据绝对值的几何意义解答即可； （2）分类讨论：当时，当时和当时，根据绝对值的性质化简判断即可； （3）分类讨论：当时和当时，结合（2）求解即可． 【规范解答】解：（1）因为数轴上表示x，y的数对应的两点之间的距离为， 所以表示数x和所对应的两点之间的距离， 故答案为：； （2）当时，， 故当x增大时，的值变小； 当时，， 故当x增大时，的值不变； 当时，， 故当x增大时，的值变大； 所以当x逐渐变大时，式子的值先变小，然后不变，最后变大；    （3）由（2）得①当时，， 解得； ②当时，， 解得， 所以x的值为或3.5． 考点讲练6：绝对值的其他应用 【精讲题】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ (2)离开下午出发点最远时是多少千米？ (3)若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米 (2)离开下午出发点最远时是26千米 (3)这天下午共需支付22.95元油钱 【思路点拨】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和． （1）把所有的行程数据相加即可求出小张离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，反之在西边； （2）分别计算出小张每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可； （3）耗油量每千米的耗油量总路程，总路程为所走路程的绝对值的和，再结合油价求解即可解题． 【规范解答】（1）解：小张离下午出车点的距离 （千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米； （2）解：当行程为千米时离开下午出发点15千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 26最大， 离开下午出发点最远时是26千米， 答：离开下午出发点最远时是26千米； （3）解：∵这天下午小张所走路程 （千米）， 这天下午共需付钱（元）， 答：这天下午共需支付22.95元油钱． 【举一反三练1】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的中山路上进行的，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下： ，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李在下午出发地的哪个方向，有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？ (3)如果现在汽油的价格是元/升，那么这天下午小李的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)小李在下午出发地东6千米 (2)汽车共耗油21.32升 (3)小李的汽油费用是95.94元 【思路点拨】此题主要考查了正负数的意义，有理数混合运算的应用，绝对值的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）把所有行车记录相加，然后根据和的正负情况确定最后的位置； （2）求出所有行车记录的绝对值的和，再乘以0.41即可； （3）将（2）中的结果乘以4.5即可． 【规范解答】（1）解：（千米）， 答：小李在下午出发地东6千米； （2）（千米）， （升）， 答：这天下午汽车共耗油21.32升； （3）（元）， 答：小李的汽油费用是95.94元． 【举一反三练2】（23-24七年级上·四川绵阳·期中）某公路检修队乘车从A地出发，在南北走向的公路上修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：． (1)问收工时，检修队在地哪边？距地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油0.3升，则检俢队从地出发到回到地，汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)收工时，检修队在地南边处 (2)汽车共行驶米 (3)汽车共耗油升 【思路点拨】本题主要考查了有理数加减的应用，有理数四则混合计算的应用； （1）把所给的路程记录相加，如果结果为正，则在A地南边，如果结果为负则在A地北边，如果为0则在A地，据此求解即可； （2）把每次所走的路程相加即可得到答案； （3）根据油耗=每千米油耗×路程进行求解即可 【规范解答】（1）解： （千米）， ∴收工时，检修队在A地南边千米处； （2）解： （千米）， ∴汽车共行驶千米； （3）解：（升）， ∴汽车共耗油升． 【举一反三练3】（23-24七年级上·河南南阳·期末）一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司，一快递小哥骑三轮摩托车从公司P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 －2 ＋7 －9 ＋10 ＋4 －5 －8 (1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P的哪个方向上？距离公司P多少千米？ (2)在第______次记录时快递小哥距公司P地最远； (3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需要用汽油费多少元？（精确到1元） 【答案】(1)在公司的西边，距离公司3千米； (2)五； (3)快递小哥工作一天需要用汽油费26元． 【思路点拨】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减混合运算，关键是熟练掌握有理数相关知识． （1）利用有理数的加减法，求七个数的和，得出的数是正数，表示在公司东，是负数，就在公司西； （2）从第一个数开始，绝对值最大的就是最远距离； （3）首先算出走过的路，即各数的绝对值的和，乘以每千米耗油量，再乘以单价即可． 【规范解答】（1）（千米）， 答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司的西边，距离公司3千米； （2）（千米） （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， 第五次快递小哥距公司最远． 故答案为：五； （3） （千米） （升），≈26（元）， 答：快递小哥工作一天需要用汽油费26元． 考点讲练7：有理数的大小比较 【精讲题】（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）太原市某星期一的最高温度是，之后几天的最高温度变化如表所示，最高温度比前一天高记为正数，比前一天低记为负数，则五天中温度最高的是星期 ． 星期 星期二 星期三 星期四 星期五 温度变化（单位：℃） 【答案】二 【思路点拨】本题考查了有理数加法运算，正负数的应用，有理数大小比较，根据题意算出每天的温度进行比较即可． 【规范解答】解：星期一的最高温度是， 星期二的最高温度是， 星期三的最高温度是， 星期四的最高温度是， 星期五的最高温度是， ∴星期二的最高气温最高． 故答案为：二． 【举一反三练1】（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【规范解答】此题考查的是有理数的比较大小及绝对值的概念，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键； 根据有理数的比较大小，即可找出最小的数. 解：∵，，， 最小的数是. 故选：D. 【举一反三练2】（21-22七年级上·广东湛江·期中）把下列各数填入相应的大括号里，并用“”将各数大小连接起来． ，，，，， 整数集：{  　 　　　　　　 } 负整数集：{  　　　　　　　} 正分数集：{  　　　　　　  } 负分数集：{  　　　　　　  }． 【答案】，，，；；；；用“”将各数大小连接起来为：． 【思路点拨】本题考查了整数、负整数、正分数、负分数的定义和有理数的大小比较，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉整数、负整数、正分数、负分数的定义，熟练掌握有理数的大小比较方法． 【规范解答】整数集：{，，，}， 负整数集{}， 正分数集{ } 负分数集{} 故答案为：，，，；；；， 用“”将各数大小连接起来为：． 【举一反三练3】（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）光明小学要买60个足球，现在甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球的价格都是25元，但各个商店的优惠办法不同． 甲店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送 乙店：打八折出售 丙店：购物每满200元，返还现金30元 为了节约费用，光明小学应该到哪个店购买？为什么？ 【答案】乙店花钱最少，所以应到乙店去买 【思路点拨】本题考查了有理数四则混合运算的应用，有理数大小比较，本题根据所买足球的个数、单价及每个商店的优惠方案分别计算后比较后即可得出到哪个商店最合算即可． 【规范解答】解：在甲店购买： ， （元）； 在乙店购买：（元）； 在丙店购买：（元） （元） （元） ， 答：乙店花钱最少，所以应到乙店去买． 考点讲练8：有理数大小比较的实际应用 【精讲题】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ (3)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ 【答案】(1)位于地正东方向，距离地20千米 (2)9升 (3)25千米 【思路点拨】（1）根据有理数的加法运算法则进行计算，然后根据正数和负数意义进行解答即可； （2）首先计算冲锋舟航行的总路程，结合冲锋舟的耗油量和油箱容量，即可获得答案； （3）分别计算航行路程记录中各点离出发点的距离，比较大小即可获得答案． 【规范解答】（1）解： ， 答：位于地正东方向，距离地20千米； （2） （千米） （升） （升） 答：至少还需9升油； （3）航行路程记录中各点离出发点的距离分别为： ①（千米）， ②（千米）， ③（千米）， ④（千米）， ⑤（千米）， ⑥（千米）， ⑦（千米）， ⑧（千米）， ∵， ∴离最远处有25千米． 【考点评析】本题主要考查了正数和负数的意义、有理数运算的应用、化简绝对值、有理数比较大小等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【举一反三练1】（23-24七年级上·四川绵阳·期末）王小明同学计划今年暑假到他家附近某游泳馆锻炼身体，该游泳馆收费方式如下表所示（不足1小时按1小时计算）： 收费方式 ①计时收费 ②普通会员 ③高级会员 收费标准 10元/时 会员费100元 会员费300 0—10小时 免费 0—30小时 免费 超过10小时 6元/时 超过30小时 4元/时 请回答下列问题： (1)当游泳总时间为______小时时，按方式①或方式②收费所付的钱相同． (2)若王小明同学计划每两天游泳一次，每次锻炼2小时（王小明所在学校放暑假时间为7月15日至8月31日），请你帮助他选择一个最省钱的付费方式，并说明理由． 【答案】(1)10 (2)王小明选择方式②付费最省钱，理由见解析 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用，有理数比较大小，理解题意是解答的关键． （1）设游泳总时间为x小时，根据按方式①或方式②收费所付的钱相同，列出方程，求解即可； （2）分别计算出按三种方式的收费所付的钱，再比较大小即可求解． 【规范解答】（1）解：设游泳总时间为x小时，根据题意，得 ， 解得： ∴当游泳总时间为10小时时，按方式①或方式②收费所付的钱相同， 故答案为：10． （2）解：王小明同学暑假到他家附近某游泳馆锻炼身体的时间为：(小时)， 选择方式①付费为：(元)， 选择方式②付费为：(元)， 选择方式③付费为：(元) ∵ ∴王小明选择方式②付费最省钱． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东临沂·期末）在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天． (1)若由甲队先做10天，剩下的工程由甲，乙两队合作完成，甲、乙两队合作多少天能完成剩余工程？ (2)甲队施工一天，需要支付给甲队施工费4万元，乙队施工一天，需要支付给乙队施工费1.5万元．若该工程计划不超过75天完成，在不超过计划天数的前提下，请根据以上信息设计一种完成该项工程施工费最少的方案，并求出支付的最少施工费是多少？ 【答案】(1)30天 (2)在不超过计划天数的前提下，该项工程施工费最少的方案为乙施工75天，甲施工10天，最少施工费是152.5万元 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用、有理数混合运算以及有理数比较大小的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设甲、乙两队合作天能完成剩余工程，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）分“甲单独完成；乙单独完成；甲、乙合作完成；乙施工75天，剩余部分由甲施工完成”几种情况，分别求得施工费用，比较即可获得答案． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两队合作天能完成剩余工程， 根据题意，可得， 解得． 答：甲、乙两队合作30天能完成剩余工程； （2）解：①甲单独完成需付工程款为（万元）； ②乙单独完成超过计划天数，不符题意； ③设甲、乙合作完成需天，则有， 解得， 所以，甲、乙合作完成需付工程款为（万元）； ④若乙施工75天，剩余部分由甲施工完成，设甲施工天， 则有，解得， 所以，该方案需付工程款为（万元）． 因为， 所以，在不超过计划天数的前提下，该项工程施工费最少的方案为乙施工75天，甲施工10天，最少施工费是152.5万元． 【举一反三练3】（23-24七年级上·湖北咸宁·期末）按照“双减”政策，为了丰富课后托管服务内容，某学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现：篮球每个定价元，跳绳每条定价元．现有，两家体育用品商店提供了各自的优惠方案： 商店：买一个篮球送一条跳绳； 商店：篮球和跳绳都按定价的销售． 已知学校要购买篮球个，跳绳条（）． (1)若全部在商店购买，学校需付款______元，若全部在商店购买，学校需付款______元；（用含的式子表示） (2)若在两家商店购买的费用一样多，求此时的值； (3)当时，请直接写出学校花费最少的选购方案，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)； (2)个 (3)先在商店购买个篮球，获赠得条跳绳，再在商店购买条跳绳，需付款元 【思路点拨】本题考查列代数式并求值，一元一次方程的应用， （1）由题意按商店优惠方案购买可列式：；在按商店优惠方案购买可列式：，然后整理即可； （2）由（1）的结果并根据题意列出方程求解即可； （3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据商店优惠方案是买一个篮球送跳绳，商店优惠方案是篮球和跳绳都按定价的付款，考虑可以按商店优惠方案买个篮球，剩下的条跳绳按商店优惠方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可； 正确理解题意列出代数式和建立方程是解题的关键． 【规范解答】（1）解：商店优惠方案购买可列式：（元）， 商店优惠方案购买可列式：（元）， 故答案为：；； （2）∵在两家商店购买的费用一样多， 由（1）知：， 解得：， ∴若在两家商店购买的费用一样多，求此时的值为个； （3）当时， 按“商店优惠方案”购买需付款：（元）， 按“商店优惠方案”购买需付款：（元）， 按“先在商店购买个篮球，获赠得条跳绳，再在商店购买条跳绳”需付款：（元）， ∵， ∴学校花费最少的购买方案是：先在商店购买个篮球，获赠得条跳绳，再在商店购买条跳绳，需付款元． 中等题真题汇编练 1．（22-23七年级上·山东日照·期中）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查求绝对值，比较有理数的大小关系，比较四个足球上方的数的绝对值的大小，即可得出结论． 【规范解答】解：∵， ∴最接近标准的是：选项C的足球； 故选：C． 2．（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）绝对值大于3且小于6的整数有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路点拨】此题考查了绝对值的相关知识，在数轴上，一个数与原点的距离叫做该数的绝对值，根据绝对值的概念得到绝对值大于3小于6的整数即可 【规范解答】解：绝对值大于3且小于6的整数有，共4个， 故选：A 3．（2024·四川巴中·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查利用数轴比较大小．实数，在数轴上对应点的位置可知，，，由此即可求解． 【规范解答】解：由题意得，，，则， ∴，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 4．（23-24七年级上·广东东莞·期中）比较大小：用“＞”，“＜”，“=”填空： （1）0.7 0         （2） 4             （3） ． 【答案】 ＞ ＜ ＞ 【思路点拨】本题考查了有理数的大小比较，正有理数大于0大于负有理数，负数的绝对值越大的数反而越小，据此作答即可 【规范解答】解：依题意，， ∵ ∴ ∴ 故答案为：＞，＜，＞ 5．（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列比较大小正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．先将各数化简，再根据有理数大小比较法则求解即可． 【规范解答】解：A、，，则，比较大小正确，符合题意； B、，，则，比较大小错误，不符合题意； C、，则，比较大小错误，不符合题意； D、，，则，比较大小错误，不符合题意； 故选：A． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数． 例如：， ．试探索： ， 【答案】 【思路点拨】本题考查了整数、取整函数的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据取整函数的定义分别计算即可． 【规范解答】解：∵表示不超过的最大整数， ∴，， 故答案为：， 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和，则输出的值分别为 ． 【答案】4和5 【思路点拨】本题主要考查有理数的混合运算，绝对值的求解，根据程序顺序代入求值即可，解题的关键是读懂程序框图，并掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【规范解答】解：输入x的值为6时，， 输出的值为； 输入x的值为时，， 输出的值为； 所以输出的值分别为4和5， 故答案为：4和5． 8．（23-24七年级下·北京东城·期末）对于整式：、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，． （1）若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数 ； （2）若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果是解题的关键．（1）根据题意，找出一种“全绝对”操作使操作后化简结果为常数即可求解；（2），凑“全绝对”操作后得到或，去掉绝对值变成的形式求得的取值范围． 【规范解答】解：（1）使操作后化简的结果为常数，即使的系数为， 有， 此常数为， 故答案为：； （2）（为常数）， ， ， 当，时，， 当，时，， 的取值范围是， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较下列各对数的大小： (1)和． (2)和． (3)和． (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了有理数大小比较、相反数以及绝对值，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关键． （1）正数大于负数； （2）根据相反数的定义化简后，再根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小判断即可； （3）根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小判断即可； （4）根据相反数和绝对值的性质化简后，再比较大小即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： ，， （3）解：，， ； （4）解：， 10．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值|等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上内容完成下面的问题： (1)______； (2)______； (3)如果有理数，则______； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：. 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【思路点拨】此题考查了有理数减法，相反数，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键. （1）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （3）判断的正负，利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （4）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值. 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：∵, 即, ∴， 故答案为：； （4）解： ． 11．（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）阅读下列材料，回答提出的问题． 我们知道：一个数a的绝对值可以表示成|a|，它是一个非负数，在数轴上，表示a这个数在数轴上所对应的点到原点的距离（距离，当然不可能是负数），这正是绝对值的几何意义，比如说表示2这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它是2，所以，表示这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它也是2，所以说，严格来说，在数轴上，一个数a在数轴上所对应的点到原点（原点对应的数为0）的距离应该表示为，但平时我们都写成，原因你明白． （1）若给定，要找这样的x，请按照上面材料中的说法，解释它的几何意义并找出对应的x； （2）实际上，对于数轴上任意两个数之间的距离我们也可以表示为，反过来，这个绝对值的几何意义就是：数轴上表示与这两个数的点之间的距离， ①你能结合上面的叙述，解释的几何意义吗？ ②请按你的理解说明：． 拓展应用 （1）设点Р在数轴上对应的数为x，若 ，则_____． （2）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x，若点Р在点M、N之间，则_____． 【答案】（1）或；（2）①表示在数轴上表示5的点到表示2的点的距离，这个距离是3；②表示在数轴上表示5的点到表示的点的距离，这个距离是7；拓展应用：（1）或；（2） 【思路点拨】此题考查数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的几何意义进行求解是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义进行求解即可得出答案； （2）①根据数轴上两点间的距离及绝对值的几何意义进行判定即可得出答案； ②根据数轴上两点间的距离及绝对值的几何意义进行判定即可得出答案； 拓展应用：（1）根据题意可得，，即可即可得出答案； （2）根据的几何意义进行判定即可得出答案 【规范解答】解：（1）表示x这个数在数轴上所对应的点到原点的距离是3， 故或； （2）①表示在数轴上表示5的点到表示2的点的距离，这个距离是3， 所以； ②表示在数轴上表示5的点到表示的点的距离，这个距离是7， 所以； 拓展应用 （1）∵， ∴或， ∴或； （2）∵点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x，点Р在点M、N之间， ∴， 故答案为． 12．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】该题是规律探究类题型，解题的关键是总结出规律，也考查了绝对值和平方的非负性． （1）根据题中所给等式关系，即可分别求解； （2）根据（1）中所给等式关系，即可分别求解； （3）由非负性可得，代入式子中化简即可求解； 【规范解答】（1）解：根据第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据以上规律可得第个算式为：； （2）解： 根据（1）中规律， 则； （3）解：∵， ∴， 则 ． 培优题真题汇编练 13．（22-23七年级上·山西长治·阶段练习）若a是非零自然数，则下面（   ）算式结果最小 A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了有理数乘法、除法的运算方法，有理数大小比较，根据乘法、除法的运算方法，分别判断出每个算式的结果与a的大小关系，即可推得算式中的计算结果最小的是哪个算式． 【规范解答】解：a是非零自然数， ，，，， ， ， 所以算式中的计算结果最小的是：， 故选：A． 14．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）将自然数1，2，3，4，5，6分别标记在6个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱之后一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为，，，，，，记，以下3种说法中：①A最小值为3；②A的值一定是奇数；③A化简之后一共有5种不同的结果．说法正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【思路点拨】本题考查了有理数的减法运算，数的奇偶性，先根据，，，即可判断①，再判断总的奇偶性，两两组合相减，总的奇偶性共两种情况：第一种：奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-偶数=偶数，第二种：奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，即可判断②，根据，可得A的最大值一定为9，故结合①②可判断③，问题得解． 【规范解答】根据题意可知，，，，，，指代自然数1，2，3，4，5，6， ∴，，， ∴，故①正确； ∵1，2，3，4，5，6是包含三个奇数和三个偶数， 则两两组合相减，总的奇偶性共两种情况： 第一种：奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-偶数=偶数， 则最终A的答案为：偶数+奇数+偶数=奇数； 第二种：奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数， 则最终A的答案为：奇数+奇数+奇数=奇数； ∴A的值一定是奇数，故②正确， ∵， ∴A的最大值一定为9， 又∵A最小值为3，且为奇数， ∴A的值只可能是3、5、7、9， ∴A化简之后不可能有5种不同的结果， 故③错误， 正确的有2个， 故选：B． 15．（23-24七年级上·山东滨州·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，化简．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了数轴与绝对值，根据数轴得到，，进而判断出，，，即可去绝对值进行化简，由数轴判断出的符号是解题的关键． 【规范解答】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴原式 ， 故选：． 16．（23-24七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【答案】B 【思路点拨】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【规范解答】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 17．（23-24七年级上·海南儋州·期中）如图，有理数，，在数轴上的位置如图所示；则代数式化简后的结果为 【答案】/ 【思路点拨】此题考查了利用数轴判断数的大小关系，化简绝对值，整式的加减法，正确依据数轴得到是解题的关键． 由数轴知，得到，根据绝对值的性质化简计算即可． 【规范解答】解：由数轴知，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 18．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知互为相反数，为倒数，且，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相反数、倒数的定义，绝对值的性质，代数式求值，利用相反数、倒数的定义和绝对值的性质可求得，，，再代入算式计算即可求解，掌握相反数、倒数的定义和绝对值的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵互为相反数，为倒数， ∴，， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 19．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，x的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，数轴上两点的距离，解题的关键是以和2为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值． 以和2为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可． 【规范解答】解：如图， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是． 故答案为：． 20．（24-25七年级上·全国·假期作业）若实数，满足，，则 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，根据题意得出，根据分类讨论，得出或，进而代入计算即可求解． 【规范解答】解：， ， 当时，，此时不存在； 当时，， 所以或， 即或， 当，时，； 当，时，， 故答案为：或． 21．（22-23七年级上·江西宜春·期中）如下图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c．（O为原点） (1) 0， 0， 0（用“＜”或“＞”或“＝”号填空）； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【思路点拨】本题主要考查了有理数大小比较，绝对值的性质等知识点， （1）直接利用数轴结合的位置进而判断得出答案； （2）利用（1）中的符号，结合绝对值的性质化简得出答案； 正确去掉绝对值是解决此题的关键． 【规范解答】（1）由数轴知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2） ． 22．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，数轴上有点三点． (1)用“”将连接起来． (2) 1， 0（填“”“”，“”） (3)求下列各式的最小值： ①的最小值为 ； ②的最小值为 ； ③当 时，的最小值为 ． 【答案】(1) (2)， (3)①2；②③， 【思路点拨】本题考查了数轴、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离、利用数轴判断式子的正负，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据数轴即可得出答案； （2）由数轴可得，从而即可得出答案； （3）①由的意义即可得出最小值；②由的意义，结合即可得解；③由的意义，结合即可得解． 【规范解答】（1）解：由数轴可得：； （2）解：由数轴可得：， ，， 故答案为：，； （3）解：①的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数的点的距离之和， 故的最小值为， 故答案为：； ②的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数的点的距离之和， ， 故的最小值为， 故答案为：； ③的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数，到表示数的点的距离之和， 故当时，的值最小，为， 故答案为：． 23．（23-24七年级上·山东德州·期中）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在欢乐谷门口出发，沿南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)将第几位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远？ (3)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (4)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在欢乐谷门口的北边2千米处 (2)将第六位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远 (3)这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米 (4)小李这天上午共得车费56.8元 【思路点拨】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解此题的关键． （1）将这些正数和负数全部相加，进行计算即可解答； （2）分别计算出送完每一位乘客时，距欢乐谷的距离，即可解答； （3）将这些正数和负数的绝对值全部相加，进行计算即可解答； （4）八名顾客均有起步价，再求出超出千米的加价，进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意得： （千米）， 将最后一位乘客送到目的地时，小李在欢乐谷门口的北边2千米处； （2）解：由题意得： 第一位乘客：（千米）， 第二位乘客：（千米）， 第三位乘客：（千米）， 第四位乘客：（千米）， 第五位乘客：（千米）， 第六位乘客：（千米）， 第七位乘客：（千米）， 第八位乘客：（千米）， ， 将第六位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远； （3）解：由题意得： （千米）， ， 这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米； （4）解：由题意得： （元）， 小李这天上午共得车费元． 24．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图：已知，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，且a、b、c满足． (1) ， ， ； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和2个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟过后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则 ， ， ；（用含t的代数式表示） (3)在（2）的条件下，若的值不随着t值的变化而变化，试确定t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）用含t的式子表示出t秒钟过后点A、B、C所在位置，再根据两点间距离公式求解； （3）分和两种情况，通过整式的加减运算，判断的值是否为常数即可． 【规范解答】（1）解：， ，，， ，，， 故答案为：； （2）解：由点A、B、C的起始位置、运动方向、运动速度可知，t秒钟过后： 点A所在位置表示的数为：，点B所在位置表示的数为：， 点C所在位置表示的数为：， ，，， 故答案为：； （3）解：当时，，， ， 此时，的值不随着t值的变化而变化； 当时，，， ， 此时，的值随着t值的变化而变化； 因此t的取值范围为． 【考点评析】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间距离公式，整式的加减运算，绝对值等知识点，解题的关键是用含t的式子表示出t秒钟过后点A、B、C所在位置． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$