1.2.2 数轴（知识精讲+易错点拨+六大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版新教材数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第1章《有理数》】 1.2.2 有理数及其大小比较—数轴 （知识精讲+易错点拨+六大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：数轴的三要素及其画法 3 考点讲练2：用数轴上的点表示有理数 4 考点讲练3：利用数轴比较有理数大小 5 考点讲练4：数轴上两点之间的距离 6 考点讲练5：数轴上的动点问题 7 考点讲练6：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 9 中等题真题汇编练 10 培优题真题汇编练 12 新知精讲梳理 知识点01：数轴的定义 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。具体来说： 原点：在数轴上，通常选取某一点作为基准点，称为原点，用0表示。 正方向：在数轴上，一般规定从原点向右的方向为正方向。 单位长度：在数轴上，选取适当的长度作为单位长度，并在数轴上标出刻度。 知识点02：数轴的表示方法 有理数的表示：任何一个有理数都可以在数轴上找到唯一的一个点来表示。正数位于原点的右侧，负数位于原点的左侧，0位于原点处。 分数和小数的表示：分数和小数也可以用数轴上的点来表示。例如，分数1/2可以表示为原点右侧0.5个单位长度的点，小数3.5可以表示为原点右侧3.5个单位长度的点。 知识点03：数轴的应用 有理数的大小比较：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此，可以利用数轴来比较有理数的大小。 知识点04：注意事项 数轴的三要素：原点、正方向和单位长度是数轴不可或缺的三要素，缺一不可。 数轴上的点与有理数的一一对应：数轴上的每一个点都对应着一个有理数，反之亦然。 数轴上的距离：数轴上两点间的距离等于它们所表示数的差的绝对值。 高频易错知识点拨 易错知识点01：数轴定义的理解 易错点：学生可能只记住数轴有原点、正方向和单位长度，但对其具体含义和应用理解不深。 解析： 原点：是数轴的基准点，表示0。学生应明确原点在数轴上的位置及其代表的数值。 正方向：通常规定向右为正方向，但学生需理解这只是约定俗成的，关键在于理解正方向是数轴上数值增加的方向。 单位长度：是数轴上用于表示数值大小的标尺。学生需明确单位长度的具体含义，并能根据需要进行缩放。 易错知识点02：数轴上点的表示 易错点：学生可能认为数轴上的点只能表示有理数，或者不能准确地将有理数对应到数轴上的点。 解析： 数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数。虽然七年级主要学习有理数，但学生应了解数轴与实数集的一一对应关系。 对于任意有理数（包括整数、分数等），学生应能准确地在数轴上找到对应的点，并理解该点与原点的距离即为该数的绝对值。 易错知识点03：有理数的大小比较 易错点：学生可能只通过数轴上的位置关系判断有理数的大小，而忽略了其他比较方法。 解析： 在数轴上，右边的数总比左边的数大。这是判断有理数大小的基本方法，但学生也应掌握利用数的性质（如正数都大于0，负数都小于0）和绝对值进行大小比较的方法。 特别地，对于两个负数的大小比较，学生容易出错。应明确两个负数中绝对值大的数实际上更小。 易错知识点04：其他易错点 相反数的表示：学生可能混淆相反数的概念和表示方法。应明确只有符号不同的两个数互为相反数，且0的相反数还是0。在数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称。 绝对值的计算：学生可能忽视绝对值是非负数的性质，或者在计算绝对值时出错。应明确正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数（即去掉负号后的数），0的绝对值是0。 考点讲练1：数轴的三要素及其画法 【精讲题】（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 【举一反三练1】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 【举一反三练2】（23-24七年级上·云南丽江·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了到达小兵家，继续向东走了到达小颖家，然后向西走了到达小明家，最后回到超市． (1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示，请你画出数轴，并在数轴上分别用点，，表示出小兵家、小颖家和小明家的位置； (2)货车一共行驶了多少千米？ 【举一反三练3】（23-24七年级上·广东肇庆·期中）(1)如图，写出数轴上点，，，表示的数；    (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：，． 考点讲练2：用数轴上的点表示有理数 【精讲题】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【举一反三练1】（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）在数轴上，点A，B 在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若O是中点，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【举一反三练3】（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点在数轴上表示．以点为圆心，为半径作半圆，交数轴右侧于点，则点所表示的数是 ． 考点讲练3：利用数轴比较有理数大小 【精讲题】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数在数轴上表示出来．并用“”把它连接起来． ，，，，， 【举一反三练1】（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）将下列各数对应的点在数轴上表示出来，并比较大小． 【举一反三练3】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）（1）把下面的直线补充成一条数轴，在数轴上表示下列各数，，，，，． （2）用“”将（1）中的每个数连接起来． 考点讲练4：数轴上两点之间的距离 【精讲题】（2024七年级上·浙江·专题练习）一个数在数轴上所对应的点向左移动个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是 ． 【举一反三练1】．（23-24七年级上·江西南昌·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（    ）      A． B． C． D． 【举一反三练3】（22-23七年级上·四川阿坝·期末）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为______． (2)由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只有1岁；等你到我这年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？ 考点讲练5：数轴上的动点问题 【精讲题】（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）在数轴上点表示的数是，点从点出发，先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度依次操作次后，此时点表示的数是(　　) A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【举一反三练1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 【举一反三练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点、均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上的两个动点． (1)直接写成点所对应的数为______． (2)当点到点、的距离之和是6个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点、出发，且均沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度匀速运动．若点先出发5秒时点出发，当、两点相距2个单位长度时，直接写出此时点、分别对应的数． 【举一反三练3】（21-22七年级下·江苏淮安·阶段练习）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 考点讲练6：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 【精讲题】（23-24七年级上·广东汕头·期中）如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 【举一反三练1】（2024·河北唐山·一模）如图，点，对应的数分别为，，对于结论：①；②；③．下列说法正确的是（    ） A．仅①②对 B．仅①③对 C．仅②对 D．①②③都对 【举一反三练2】（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①；②；③；④．其中正确式子的序号是 ． 【举一反三练3】（22-23七年级上·广东广州·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“＞”或“＜”填空：a_____0，_____0，______0． (2)化简：． 中等题真题汇编练 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列各图中，所画出的数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·三模）有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（2024·福建福州·三模）如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2024·浙江杭州·二模）在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 5．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）在下面的直线上标出、、1、这四个数及对应的点，其中离0点最远的是 ． 6．（23-24七年级上·河南平顶山·开学考试）小蚂蚁在点，点用分数表示为______ ，化成小数是______ 它从点向左爬______ 个，就可以到达处，请在数轴上用“”标出的位置． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 8．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如可表示为数轴上和这两点的距离，而即则表示和这两点的距离．式子的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，而，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．根据以上发现，则的最小值为 ． 9．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）请画一条数轴，在数轴上表示数：，，，0，，；并按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 10．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知下列有理数：． (1)这些有理数中，整数有_____________个，非负数有_____________个． (2)画出数轴并在数轴上标出上述有理数，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 11．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离，解答下列问题： (1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和1的两点之间的距离是______．（用含x的式子表示） (3)若，求的值． 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，数轴上有三点A，B，C． (1)将点A向右移动4个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数中最小的数是多少？ (2)点B向左移动2个单位长度，点C向左移动8个单位长度，A，B，C三个点所表示的数中最大的数是多少？ (3)怎样移动A，B，C三点中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？ 培优题真题汇编练 13．（21-22七年级上·河北·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或 D．1或 14．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数的点与圆周上表示数字（    ）的点重合．    A．0 B．1 C．2 D．3 15．（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，在一条不完整的数轴上，点、、分别表示，，，若，则的长为（    ）    A．40 B．30 C．45 D．35 16．（23-24七年级上·广西玉林·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；翻转2次后，点所对应的数为2；翻转3次后，点所对应的数为3；翻转4次后，点所对应的数为，则连续翻转次后，数轴上数所对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 17．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为，则点表示的数是 ． 18．（23-24七年级上·重庆巴南·期末）如图，边长为3的正方形的边在数轴上，数轴上的点表示的数为，将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点、的对应点分别为，点是线段的中点，当面积为9时，点表示的数为 ． 19．（23-24七年级上·北京丰台·期末）如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合），分别到1对应的点的距离相等，点（不与重合），分别到2对应的点的距离相等，点（不与重合），分别到3对应的点的距离相等，……按此规律，点表示的数为 ，点表示的数为 ．    20．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，在数轴上，点表示，现将点沿数轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，对应的数为 ，如果点与原点的距离大于，那么的值至少是 ． 21．（22-23七年级上·云南昆明·期中）在数轴上表示下列各数，并按从大到小的顺序用“＞”连接． ， ，，，0， 22．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，数轴上A、B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A、B分别到达M、N两点，且满足（k为正整数），我们称A、B两点完成了一次“准相向运动”． (1)A、B两点之间的距离为 (2)若A、B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M、N两点表示的数分别为 ， ； ②当k为任意正整数时，求M、N两点表示的数（用含字母k的式子表示）． 23．（23-24七年级上·云南昆明·阶段练习）如图，数轴上依次排列着四个点A、B、C、D，且A、B间的距离与C、D间的距离相等，点A表示的数是x．    (1)【问题提出】如图①，若A、B间的距离为4，且B、C两点到原点的距离相等，则 ①点B表示的数为______（用含x的代数式表示）； ②点C表示的数为______（用含x的代数式表示）；    (2)【类比解决】一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．” ①请在图③的数轴上大致标出现在小明的年龄数对应的点M以及他爷爷的年龄数对应的点N；    ②爷爷现在的年龄是多少岁？ 24．（23-24七年级上·广东湛江·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． ③若点，，与三点同时开始在数轴上运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含的式子表示． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第1章《有理数》】 1.2.2 有理数及其大小比较—数轴 （知识精讲+易错点拨+六大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：数轴的三要素及其画法 3 考点讲练2：用数轴上的点表示有理数 5 考点讲练3：利用数轴比较有理数大小 7 考点讲练4：数轴上两点之间的距离 9 考点讲练5：数轴上的动点问题 11 考点讲练6：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 16 中等题真题汇编练 18 培优题真题汇编练 24 新知精讲梳理 知识点01：数轴的定义 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。具体来说： 原点：在数轴上，通常选取某一点作为基准点，称为原点，用0表示。 正方向：在数轴上，一般规定从原点向右的方向为正方向。 单位长度：在数轴上，选取适当的长度作为单位长度，并在数轴上标出刻度。 知识点02：数轴的表示方法 有理数的表示：任何一个有理数都可以在数轴上找到唯一的一个点来表示。正数位于原点的右侧，负数位于原点的左侧，0位于原点处。 分数和小数的表示：分数和小数也可以用数轴上的点来表示。例如，分数1/2可以表示为原点右侧0.5个单位长度的点，小数3.5可以表示为原点右侧3.5个单位长度的点。 知识点03：数轴的应用 有理数的大小比较：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此，可以利用数轴来比较有理数的大小。 知识点04：注意事项 数轴的三要素：原点、正方向和单位长度是数轴不可或缺的三要素，缺一不可。 数轴上的点与有理数的一一对应：数轴上的每一个点都对应着一个有理数，反之亦然。 数轴上的距离：数轴上两点间的距离等于它们所表示数的差的绝对值。 高频易错知识点拨 易错知识点01：数轴定义的理解 易错点：学生可能只记住数轴有原点、正方向和单位长度，但对其具体含义和应用理解不深。 解析： 原点：是数轴的基准点，表示0。学生应明确原点在数轴上的位置及其代表的数值。 正方向：通常规定向右为正方向，但学生需理解这只是约定俗成的，关键在于理解正方向是数轴上数值增加的方向。 单位长度：是数轴上用于表示数值大小的标尺。学生需明确单位长度的具体含义，并能根据需要进行缩放。 易错知识点02：数轴上点的表示 易错点：学生可能认为数轴上的点只能表示有理数，或者不能准确地将有理数对应到数轴上的点。 解析： 数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数。虽然七年级主要学习有理数，但学生应了解数轴与实数集的一一对应关系。 对于任意有理数（包括整数、分数等），学生应能准确地在数轴上找到对应的点，并理解该点与原点的距离即为该数的绝对值。 易错知识点03：有理数的大小比较 易错点：学生可能只通过数轴上的位置关系判断有理数的大小，而忽略了其他比较方法。 解析： 在数轴上，右边的数总比左边的数大。这是判断有理数大小的基本方法，但学生也应掌握利用数的性质（如正数都大于0，负数都小于0）和绝对值进行大小比较的方法。 特别地，对于两个负数的大小比较，学生容易出错。应明确两个负数中绝对值大的数实际上更小。 易错知识点04：其他易错点 相反数的表示：学生可能混淆相反数的概念和表示方法。应明确只有符号不同的两个数互为相反数，且0的相反数还是0。在数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称。 绝对值的计算：学生可能忽视绝对值是非负数的性质，或者在计算绝对值时出错。应明确正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数（即去掉负号后的数），0的绝对值是0。 考点讲练1：数轴的三要素及其画法 【精讲题】（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【规范解答】解：A、规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故不符合题意； B、数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数，故不符合题意； C、数轴上单位长度必须一致，故不符合题意； D、任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点，故符合题意． 故选：D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了有理数与数轴，根据数轴的定义，先补全数轴，再表示出各个数即可． 【规范解答】解：把各数在数轴上表示出来，如图所示： ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·云南丽江·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了到达小兵家，继续向东走了到达小颖家，然后向西走了到达小明家，最后回到超市． (1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示，请你画出数轴，并在数轴上分别用点，，表示出小兵家、小颖家和小明家的位置； (2)货车一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了数轴、有理数的加法，掌握数轴的定义是解题关键． （1）分别求出小彬家、小颖家、小明家与超市的距离，再在数轴上描点即可得； （2）根据所走的行程，列出式子，计算有理数的加法即可得． 【规范解答】（1）．解：如图所示： （2）货车一共行驶了：． 故货车一共行驶了． 【举一反三练3】（23-24七年级上·广东肇庆·期中）(1)如图，写出数轴上点，，，表示的数；    (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：，． 【答案】(1)，，，表示的数分别是：，，，； (2)见解析． 【思路点拨】（）根据数轴可以直接写出点，，、表示的数； （）画出数轴，在数轴上描出题目中两个数在数轴上对应的点； 此题主要考查了数轴，点在数轴上位置确定，解题的关键是熟练掌握画数轴以及在数轴上表示数，用数轴表示数时要注意画数轴有三个基本要素：原点、正方向、单位长度． 【规范解答】（1）由数轴可得，点，，，表示的数分别是：，，，； （2）先画出数轴，表示如下图所示：    考点讲练2：用数轴上的点表示有理数 【精讲题】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【答案】(1)、1、4 (2)7；10 (3)点B向左移动2个单位 【思路点拨】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键． （1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【规范解答】（1）解：根据图示可知：A、B、C这三个点表示的数各是、1、4， 故答案为：；1；4． （2）解：根据图示知：的距离是；的距离是， 故答案为：7；10； （3）解：∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， ∴应将点B向左移动2个单位，使点B表示的数为，． 【举一反三练1】（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）在数轴上，点A，B 在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若O是中点，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【思路点拨】本题考查用数轴表示有理数，根据中点得到即可． 【规范解答】解：∵点A，B 在原点O的两侧，且O是中点， ∴， 故选B． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【答案】(1)2021或2020个 (2)1011或1010个 【思路点拨】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． （1）以线段的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． （2）先用，得出相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论． 【规范解答】（1）∵数轴的单位长度是1，， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点． ∴线段共盖住了2021个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为2021或2020个． （2）（个单位）， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点． ∴线段共盖住了1011个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为1011或1010个． 【举一反三练3】（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点在数轴上表示．以点为圆心，为半径作半圆，交数轴右侧于点，则点所表示的数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查用数轴上的点表示数，算术平方根，先根据网格求出正方形的面积，确定正方形的边长，继而得出的长，然后利用数轴上的两点间的距离公式即可得解．掌握数轴表示数的方法是解题的关键． 【规范解答】解：∵在的方格放置在数轴上，格点正方形如图所示， ∴正方形的面积为：， ∴边长， ∵以点 为圆心，为半径作半圆，交数轴右侧于点， ∴， ∵顶点在数轴上表示， ∴点所表示的数是． 故答案为：． 考点讲练3：利用数轴比较有理数大小 【精讲题】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数在数轴上表示出来．并用“”把它连接起来． ，，，，， 【答案】数轴见解析， 【思路点拨】本题考查数轴的知识，解题的关键是学会在数轴上表示有理数，根据数轴的性质，进行有理数大小的比较，即可． 【规范解答】解：用数轴表示如下： ∴用“”表示为：． 【举一反三练1】（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了数轴，有理数的比大小．观察数轴可得，再由，可得，即可求解． 【规范解答】解：观察数轴得：， ∵， ∴． 故选：A 【举一反三练2】（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）将下列各数对应的点在数轴上表示出来，并比较大小． 【答案】，数轴见解析 【思路点拨】本题考查了数轴和有理数的大小比较，能在数轴上表示出各个数是解此题的关键． 先在数轴上表示出各个数，再比较即可． 【规范解答】解： ，． 【举一反三练3】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）（1）把下面的直线补充成一条数轴，在数轴上表示下列各数，，，，，． （2）用“”将（1）中的每个数连接起来． 【答案】（1）见解析；（2） 【思路点拨】本题考查了在数轴上表示数，利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握“数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大”是解题的关键． （1）根据数轴的三要素画出数轴，再把数表示在数轴上即可； （2）根据数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由大到小用“”号连接起来即可． 【规范解答】解：（1）如图： ． （2）． 考点讲练4：数轴上两点之间的距离 【精讲题】（2024七年级上·浙江·专题练习）一个数在数轴上所对应的点向左移动个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解相反数的意义和表示数的方法是正确解答的前提．根据移动前后两个点到原点的距离相等，都为，且移动前的点在原点右侧，即可求得这个数． 【规范解答】解：根据题意可得，移动前后两个点到原点的距离相等，都为，且移动前的点在原点右侧，故这个数是． 故答案为：． 【举一反三练1】．（23-24七年级上·江西南昌·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】0或10或20 【思路点拨】本题考查了两点间的距离，解题的关键是要读懂题目的意思，利用分论讨论的思想求解．分，，，进行讨论求解即可． 【规范解答】解：， ①当，则，则点C所表示的数为； ②当，则，则点C所表示的数为； ③当，则，则点C所表示的数为； 综上，点在数轴上表示的数为：0或10或20， 故答案为：0或10或20． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相反数的应用，注意：a的相反数是．设A表示的数是a，根据题意得出方程，求出即可． 【规范解答】解：设A表示的数是a，根据题意得： ， 解得：， 即A点对应的数是． 故选：C． 【举一反三练3】（22-23七年级上·四川阿坝·期末）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为______． (2)由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只有1岁；等你到我这年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？ 【答案】(1)6 (2)小丽现在18岁，马老师现在35岁 【思路点拨】本题考查了数轴，熟练掌握数形相结合是解此题的关键． （1）由数轴观察可得三根木棒长，再列式计算即可得出答案； （2）在数轴上，设小丽的年龄为表示的数，马老师的年龄为表示的数，利用数形相结合的思想求解即可． 【规范解答】（1）解：由数轴观察可得：三根木棒长是， ∴木棒长为； （2）解：如图，设小丽的年龄为表示的数，马老师的年龄为表示的数， ∵马老师像小丽这么大时，小丽只有1岁；等小丽到马老师这年龄的时候，马老师已经52岁了． ∴马老师与小丽的3倍龄差为（岁）， ∴马老师与小丽的差为（岁）， ∴小丽的年龄为（岁）， ∴小丽的年龄为（岁）， ∴小丽现在18岁，马老师现在35岁． 考点讲练5：数轴上的动点问题 【精讲题】（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）在数轴上点表示的数是，点从点出发，先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度依次操作次后，此时点表示的数是(　　) A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【思路点拨】此题考查了数轴，解答此题的关键是发现规律：每移动两次是：向右移动了1个单位． 先根据点的移动规律，每移动两次是：向右移动了个单位，所以操作次后相当于向右移动了个单位，列式计算可得结论． 【规范解答】解：将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，看作移动一次，是向右移动一次；向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，看作移动一次，也是向右移动一次； ， ， 即此时点表示的数是． 故选：D． 【举一反三练1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 【答案】26或 【思路点拨】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离．可分为“当点P运动到点A右侧时”和“当点P运动到点A左侧时”两种情况讨论，根据“点P到点A的距离与点P到点B的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【规范解答】解：∵在点P运动过程中，点P到点A的距离与点P到点B的距离比是， ∴， 当点P运动到点A右侧时，， ∴此时点P表示的数是； 当点P运动到点A左侧时，， ∴此时点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或． 故答案为：26或 【举一反三练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点、均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上的两个动点． (1)直接写成点所对应的数为______． (2)当点到点、的距离之和是6个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点、出发，且均沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度匀速运动．若点先出发5秒时点出发，当、两点相距2个单位长度时，直接写出此时点、分别对应的数． 【答案】(1)1 (2)点所对应的数是或 (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是 【思路点拨】本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． （）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 【规范解答】（1）解：，故点所对应的数是； （2）解：， 点在点的左边， ， 点在点的右边， ， 故点所对应的数是或； （3）解：点在点的左边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 【举一反三练3】（21-22七年级下·江苏淮安·阶段练习）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 (4)或或 【思路点拨】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案； （2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； （3）由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，再构建绝对值方程，再解方程即可； （4）分①当时，O是线段的中点，②当时，P为线段的中点，③当时，Q为线段的中点，④当时，O为线段的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可． 【规范解答】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：16，； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ． 故答案为：，； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距5个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得． ②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间， 当P、Q两点重合时，，即， ∴此时， 由题意得， 解得； ③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时， 由题意得， 解得； ④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得不合题意，舍去， 综上所述：或或． 考点讲练6：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 【精讲题】（23-24七年级上·广东汕头·期中）如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数轴，有理数的运算，由数轴判断出符号和大小，根据有理数的运算法则即可求解，通过数轴判断出符号和大小是解题的关键． 【规范解答】解：由数轴可得，， ∴，， 故答案为：，． 【举一反三练1】（2024·河北唐山·一模）如图，点，对应的数分别为，，对于结论：①；②；③．下列说法正确的是（    ） A．仅①②对 B．仅①③对 C．仅②对 D．①②③都对 【答案】D 【思路点拨】本题考查了数轴，熟悉掌握从数轴上提取信息是解题的关键； 根据数轴得到，，，逐一判断即可． 【规范解答】解：由题意可得：，，， ①，正确； ②，正确； ③，正确； 故选：D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①；②；③；④．其中正确式子的序号是 ． 【答案】①④/④① 【思路点拨】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数的乘法法则． 根据表示数a，b的点在数轴上的位置可确定a，b与1，的大小关系，从而确定，，，的符号，进而根据有理数的乘法法则判断各式子的符号，即可解答． 【规范解答】由数轴可得：，， ∴，，，， ∴，故式子①正确； ，故式子②错误； ，故式子③错误； ，故式子④正确． ∴正确的式子是①④． 故答案为：①④ 【举一反三练3】（22-23七年级上·广东广州·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“＞”或“＜”填空：a_____0，_____0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【思路点拨】本题考查数轴表示数的意义和方法，绝对值、有理数的减法，正确判断各个代数式的符号是正确化简的关键． （1）根据有理数a、b、c在数轴上的位置，进而判断即可； （2）判断，的符号，再化简绝对值即可． 【规范解答】（1）解：由数轴可得：，且， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解： ． 中等题真题汇编练 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列各图中，所画出的数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了数轴的表示方法，根据数轴的表示方法逐项判断即可． 【规范解答】解：A、没有单位长度，故错误； B、没有正方向，故错误； C、有原点，正方向，单位长度，正确； D、没有原点，故错误． 故本题选：C． 2．（2024·河北邯郸·三模）有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数与数轴，根据向左移动为减，向右移动为加可知上述过程为，再根据有理数的加法计算法则求解即可． 【规范解答】解：由题意得，用算式表示上述过程与结果为， 故选：A． 3．（2024·福建福州·三模）如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【思路点拨】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【规范解答】解：点表示的数是，点距离点有4个单位， 点表示的数是， 故选：C． 4．（2024·浙江杭州·二模）在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路点拨】本题考查了数轴上两点的距离；当点与点重合时，取得最大值． 【规范解答】解：若，则当点与点重合时，取得最大值， 故选：D． 5．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）在下面的直线上标出、、1、这四个数及对应的点，其中离0点最远的是 ． 【答案】见解析， 【思路点拨】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，在数轴上正确表示是解题关键．在数轴上表示出各点，再找出离0点最远的点即可． 【规范解答】解：四个数及对应的点如下图： 离0点最远的是， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·河南平顶山·开学考试）小蚂蚁在点，点用分数表示为______ ，化成小数是______ 它从点向左爬______ 个，就可以到达处，请在数轴上用“”标出的位置． 【答案】； ； ，见解析 【思路点拨】根据数轴表示数的方法，由符号和绝对值决定数在数轴上的位置即可． 本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法，理解符号和绝对值决定数在数轴上的位置是解决问题的关键． 【规范解答】解：点所表示的数为，，它从点向左爬个，就可以到达处，在数轴上用“”标出的位置如图所示： 故答案为：，，． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了数轴相关定义，掌握数轴的定义以及在数轴上的点的意义是解题的关键．一条规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 根据数轴的定义，用数轴上的点表示有理数，逐项分析判断即可得到答案． 【规范解答】解：①数轴上的点能表示整数，也能表示分数，故①不正确； ②数轴是一条直线，故②不正确； ③数轴上的一个点只能表示一个数，故③正确； ④数轴上能找到既不表示正数，又不表示负数的点即原点，它表示0，故④不正确； ⑤数轴上的点所表示的数不一定都是有理数，故⑤不正确． 故正确的有③，共1个 故答案为：1 8．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如可表示为数轴上和这两点的距离，而即则表示和这两点的距离．式子的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，而，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．根据以上发现，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数轴上两点间的距离，由题意可知表示的是一个数到和的距离的和，而和间的距离为，据此即可求解，理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值是解题的关键． 【规范解答】解：∵表示的是一个数到和的距离的和，而和间的距离为， ∴的最小值为， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）请画一条数轴，在数轴上表示数：，，，0，，；并按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 【答案】画图见解析， 【思路点拨】本题考查的是乘方运算的含义，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，根据原点左边表示负数，原点右边表示正数，先表示各数，再比较大小即可. 【规范解答】解：， 在数轴上表示各数如下： ∴； 10．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知下列有理数：． (1)这些有理数中，整数有_____________个，非负数有_____________个． (2)画出数轴并在数轴上标出上述有理数，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 【答案】(1)3，3 (2)图见解析， 【思路点拨】本题考查有理数的分类，在数轴上表示数并比较大小： （1）根据有理数的分类作答即可； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上右边的数比左边的数大，比较大小即可． 【规范解答】（1）解：在中，整数有，共3个，非负数有，共3个； 故答案为：3，3； （2）数轴表示如图： 由图可知：． 11．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离，解答下列问题： (1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和1的两点之间的距离是______．（用含x的式子表示） (3)若，求的值． 【答案】(1)4，3 (2) (3)2 【思路点拨】本题考查了数轴，绝对值的性质，代数式求值，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据两点间距离的分别列式计算即可得解； （2）根据两点间距离的分别列式计算即可得解； （3）将代入求解即可． 【规范解答】（1）， ∴数轴上表示3和7的两点之间的距离是4， ∴数轴上表示2和的两点之间的距离是3； （2）数轴上表示x和1的两点之间的距离是； （3）当时，． 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，数轴上有三点A，B，C． (1)将点A向右移动4个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数中最小的数是多少？ (2)点B向左移动2个单位长度，点C向左移动8个单位长度，A，B，C三个点所表示的数中最大的数是多少？ (3)怎样移动A，B，C三点中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？ 【答案】(1) (2) (3)见解析，三种 【思路点拨】本题考查了数轴，牢记数轴上点的移动规律：向左移动减，向右移动加是解题关键． （1）根据向右移动加，求出点A表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向左移动减，求出点B、C表示的数，然后作出判断即可； （3）根据要使三个点表示的数相同，由向左移动减，向右移动加，在三个点中任取两点，使得三点中的两个点到另外一点，由此写出所有移动的方法即可． 【规范解答】（1）点A向右移动4个单位长度后，表示的数是0， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最小，是； （2）点B向左移动2个单位长度后，表示的数是，C点向左移动8个单位后，表示的数是， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最大，是； （3）有三种移动方法： ①点A向右移动6个单位长度，点B向右移动3个单位长度； ②点A向右移动3个单位长度，点C向左移动3个单位长度； ③点B向左移动3个单位长度，点C向左移动6个单位长度． 培优题真题汇编练 13．（21-22七年级上·河北·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【思路点拨】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数． 【规范解答】设是点的对应点，由题意可知点是和的中点 当点在的右侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 当点在的左侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 故选：C． 14．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数的点与圆周上表示数字（    ）的点重合．    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的特点和围绕圆周对应的数之间的关系的相互关系是解题的关键．根据题意发现规律，即可解得答案． 【规范解答】解：依题意，次为一个周期，依次为， ， 故数轴上表示数的点与圆周上表示数字1的点重合． 故选B． 15．（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，在一条不完整的数轴上，点、、分别表示，，，若，则的长为（    ）    A．40 B．30 C．45 D．35 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查两点间距离以及整式的加减，根据题意可求得，再求即可． 【规范解答】解：由题意得， ， ． 故选：B． 16．（23-24七年级上·广西玉林·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；翻转2次后，点所对应的数为2；翻转3次后，点所对应的数为3；翻转4次后，点所对应的数为，则连续翻转次后，数轴上数所对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【思路点拨】由题意可知，翻转四次后，、、、分别对应点1、2、3、4可知其四次一循环，由此即可确定数轴上数所对应的点． 【规范解答】当正方形转翻转四次后，、、、分别对应点1、2、3、4， 当正方形再翻转四次后，、、、分别对应点5、6、7、8， ， ∴四次一循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点B． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查实数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 17．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为，则点表示的数是 ． 【答案】或1 【思路点拨】本题主要考查的数轴，折叠的性质，掌握数轴的特点，折叠的性质是解题的关键． 根据折叠分类讨论，当落在4对应的点时；当落在对应的点时；结合数轴的特点即可求解． 【规范解答】解：，， 当落在4对应的点时，表示的数为：； 当落在对应的点时，表示的数为：； 综上，表示的数为或1， 故答案为：或1． 18．（23-24七年级上·重庆巴南·期末）如图，边长为3的正方形的边在数轴上，数轴上的点表示的数为，将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点、的对应点分别为，点是线段的中点，当面积为9时，点表示的数为 ． 【答案】14或 【思路点拨】本题考查了数轴上的动点问题，三角形的面积，解题的关键是根据正方形平移后正确地表示出各线段的长度． 分两种情况讨论：①当正方形沿数轴向右移动时，②当正方形沿数轴向左移动时根据面积为9，正方形的边长为3，求出的长再求出的长，再根据是的中点求出的长，然后由点表示的数为，从而得出结论． 【规范解答】解：∵正方形的边长为3，点表示的数为， ①当正方形沿数轴向右移动时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为； ②当正方形沿数轴向左移动时，如图， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为． 综上，数轴上点表示的数是14或； 故答案为：14或． 19．（23-24七年级上·北京丰台·期末）如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合），分别到1对应的点的距离相等，点（不与重合），分别到2对应的点的距离相等，点（不与重合），分别到3对应的点的距离相等，……按此规律，点表示的数为 ，点表示的数为 ．    【答案】 8 2022 【思路点拨】本题考查数字变化的规律，能依次求出点(为正整数)所表示的数并发现规律是解题的关键； 依次求出点(为正整数)所表示的数，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 因为数轴上点表示的数为，且(不与重合)，分别到1对应的点的距离相等， 所以， 即点表示的数为4； 依次类推，点表示的数为0，点表示的数为6，点表示的数为2，点表示的数为8，点表示的数为，所以点(为正整数)表示的数为：，点表示的数为：． 当时，， 即点表示的数为8； 当时， ， 即点表示的数为2022． 故答案为：8，2022． 20．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，在数轴上，点表示，现将点沿数轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，对应的数为 ，如果点与原点的距离大于，那么的值至少是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数字的变化规律探究，根据点的移动规律，通过计算，由所表示的数找到规律，把代入即可解答；根据点与原点的距离大于，分是奇数和偶数两种情况列出对应的不等式，解之即可求解；通过计算探究出移动后的点表示的数字的变化规律是解题的关键． 【规范解答】解：由题可得：表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是，， 第次移动表示的数为，当是奇数时，表示的数是；当是偶数时，表示的数是； ∴时，， 故答案为：； 当时，解得，此时的最小值 为； 当时，解得，此时的最小值 为； ∴的最小值 为， 故答案为：． 21．（22-23七年级上·云南昆明·期中）在数轴上表示下列各数，并按从大到小的顺序用“＞”连接． ， ，，，0， 【答案】作图见解析， 【思路点拨】本题主要考查了在数轴上表示有理数、有理数的大小比较等知识点，在数轴上表示出各数是解题的关键． 先根据乘方、相反数的定义化简，然后在数轴上表示各数，最后沿数轴从右到左排列，并用“＞”接即可． 【规范解答】解：由， 则在数轴上表示如下： ． 22．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，数轴上A、B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A、B分别到达M、N两点，且满足（k为正整数），我们称A、B两点完成了一次“准相向运动”． (1)A、B两点之间的距离为 (2)若A、B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M、N两点表示的数分别为 ， ； ②当k为任意正整数时，求M、N两点表示的数（用含字母k的式子表示）． 【答案】(1)4； (2)①5，；②，． 【思路点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上的点表示有理数，根据题意得出是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）①由题意可知，，再根据两点间距离公式，得出，即可得出答案； ②同①理可得，，进而得出，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：A、B两点表示的数分别是和3， 之间的距离为， 故答案为：4； （2）解：① 当时，， 两点在数轴上以相同的速度同时相向运动， ， ，， ， ， 表示的数为，N表示的数为， 故答案为：5；； ②同①理可得，， ， ， M点表示的数为，N点表示的数为． 23．（23-24七年级上·云南昆明·阶段练习）如图，数轴上依次排列着四个点A、B、C、D，且A、B间的距离与C、D间的距离相等，点A表示的数是x．    (1)【问题提出】如图①，若A、B间的距离为4，且B、C两点到原点的距离相等，则 ①点B表示的数为______（用含x的代数式表示）； ②点C表示的数为______（用含x的代数式表示）；    (2)【类比解决】一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．” ①请在图③的数轴上大致标出现在小明的年龄数对应的点M以及他爷爷的年龄数对应的点N；    ②爷爷现在的年龄是多少岁？ 【答案】(1)①；② (2)①见解析；②爷爷现在65岁 【思路点拨】本题考查了数轴上两点时间的距离，相反数，列代数式．熟练掌握两点之间短距离的表示方法是解题的关键． （1）①根据A、B间的距离为4，点A表示的数是x，即可得出点B表示的数；②根据B、C两点到原点的距离相等，得出点B表示的数和点C表示的数互为相反数，即可解答； （2）①根据题意得出，则点M和点N为数轴上和120之间的三等分点，即可解答；②先求出小明和爷爷的年龄差，即可解答． 【规范解答】（1）解：①∵A、B间的距离为4，点A表示的数是x， ∴点B表示的数为， 故答案为∶ ； ②∵B、C两点到原点的距离相等， ∴点B表示的数和点C表示的数互为相反数， ∵点B表示的数为时， ∴点C表示的数为， 故答案为：； （2）解：①爷爷现在的年龄和小明现在年龄差为， 当爷爷像小明这么大时，小明年龄为，则年龄差为， 当小明像爷爷这么大时，爷爷120岁，则年龄差为， ∵小明和爷爷年龄差不变， ∴， 即点M到点N的距离等于点M到的距离等于点N到120的距离， ∴点M和点N为数轴上和120之间的三等分点， 点M和点N的位置如图所示：    ②有①可知，小明和爷爷的年龄差为（岁）， ∴爷爷现在的年龄为（岁）． 24．（23-24七年级上·广东湛江·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． ③若点，，与三点同时开始在数轴上运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含的式子表示． 【答案】(1)，3 (2)①；；②不变，16；③或． 【思路点拨】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3，得到，得到，3即可． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，根据公式计算解答即可． ②根据题意，得，，代入，化简计算说明即可． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为0，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可． 本题考查了最大的负整数，单项式的次数，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，代数式的无关问题，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． 【规范解答】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3， 得，， 故答案为：，3． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；． ②根据题意，得，， ∴． 故的值不变，这个常数是16． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为0，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可． 当在的右侧时，根据题意，得，， ∴． 当在的左侧时，根据题意，得，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$