1.1 正数和负数（知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版新教材数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第1章《有理数》】 1.1 正数和负数 （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：正负数的意义 3 考点讲练2：相反意义的量 4 考点讲练3：正负数的实际应用—商品合格问题 4 考点讲练4：正负数的实际应用—温度问题 5 考点讲练5：正负数的实际应用—收入支出问题 6 考点讲练6：正负数的实际应用—水位升降问题 6 考点讲练7：正负数的实际应用—成绩达标问题 7 考点讲练8：正负数的实际应用—行程问题 8 考点讲练9：正负数的实际应用—其他问题 10 中等题真题汇编练 11 培优题真题汇编练 14 新知精讲梳理 知识点01：正数和负数的概念 正数：比0大的数称为正数。例如，1、+2、3.5等都是正数。正数前面通常可以带有“+”号，但通常省略不写。 负数：比0小的数称为负数。例如，-1、-3、-4.2等都是负数。负数前面带有“-”号。 0的特殊性：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。 知识点02：正数和负数的表示方法 正数的表示：正数可以直接用数字表示，如3、5.6等，前面可以省略“+”号。当需要强调其为正数时，也可以加上“+”号，如+3、+5.6。 负数的表示：负数在数字前面加上“-”号来表示，如-1、-2.7等。 知识点03：正数和负数的应用 表示相反意义的量：正数和负数在生活中常用来表示具有相反意义的量。例如，收入与支出、上升与下降、增加与减少等。 温度表示：在表示温度时，0℃以上用正数表示，0℃以下用负数表示。例如，+5℃表示零上5度，-3℃表示零下3度。 海拔高度：在表示海拔高度时，海平面以上用正数表示，海平面以下用负数表示。例如，某山峰海拔+8848.86米，某盆地海拔-154米。 知识点04：整数和分数的分类 整数：正整数、负整数和0统称为整数。例如，1、-2、0都是整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。分数是表示非整数的有理数，如1/2、-3/4等。 知识点05：注意事项 正负号的读法：“+”读作“正”，“-”读作“负”。但在实际书写中，正数前面的“+”号通常省略不写。 0的特殊性：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。在表示某些量时，0具有特定的含义，如表示温度时的0℃、表示海拔时的0米等。 正负数的运算：正负数的加减乘除运算需要遵循特定的规则，如“同号相加取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：正数和负数的概念混淆 易错点：误认为所有带“+”号的数都是正数，带“-”号的数都是负数。 忽视0的特殊性，将0误认为是正数或负数。 解析：在数学中，正数确实通常带有“+”号，但这个“+”号有时可以省略。同样，负数前面带有“-”号，且“-”号不能省略。然而，重要的是要理解正数和负数的本质定义，而不是仅仅依据符号来判断。例如，单独的一个数（如5）没有带“+”号，但它仍然是正数。 0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。这是一个需要特别记忆和理解的概念。 易错知识点02：相反意义的量理解不透彻 易错点：在实际问题中，难以准确判断哪些量是具有相反意义的。 解析：正数和负数在生活中常用来表示具有相反意义的量。例如，收入与支出、上升与下降、增加与减少等。学生需要理解这些相反意义的量在实际问题中的具体表现，并能够准确判断哪些量是需要用正数或负数来表示的。 易错知识点03：整数和分数的分类不清 易错点：将整数和分数混为一谈，或者忽视整数也是分数的一种特殊情况（整数可以看作分母为1的分数）。 解析：整数和分数都是有理数的子集。整数包括正整数、负整数和0，而分数则包括正分数和负分数。学生需要明确整数和分数的定义及分类，并理解它们之间的关系。 考点讲练1：正负数的意义 【精讲题】（21-22七年级上·广东江门·阶段练习）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作步，那么向南走7步记作（   ） A．步 B．步 C．步 D．步 【举一反三练1】（21-22七年级上·河南周口·阶段练习）在有理数中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练2】（2021·云南·一模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温零上记作，若气温零下，则记作 ． 【举一反三练3】（20-21七年级上·山东青岛·单元测试）图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． （4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？ 考点讲练2：相反意义的量 【精讲题】（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示 ． 【举一反三练1】（22-23七年级下·黑龙江绥化·期中）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 【举一反三练2】（22-23七年级上·山东济南·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为 米； 【举一反三练3】（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 考点讲练3：正负数的实际应用—商品合格问题 【精讲题】（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）合格羽毛球的质量是克．下面是4个羽毛球的质量，（    ）是合格的． A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023·吉林长春·模拟预测）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A．   B．   C．   D．   【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练3】（24-25七年级上·全国·假期作业）某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“（）”字样，请问“（）”是什么含义？质检局对该产品抽查瓶，容量分别为，，，，，问抽查产品的容量是否合格？ 考点讲练4：正负数的实际应用—温度问题 【精讲题】（22-23七年级上·湖南湘西·期末）2022年12月8日上午7时，龙山县城区气温为零上，记作，大安乡大灵山海拔最高点（青岩堡）的气温为零下，可记作 ． 【举一反三练1】（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）如果零上表示为，则零下表示为（   ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）若气温为零上记作，则零下应记作 ． 【举一反三练3】（2024·河南驻马店·一模）生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该食品保存的温度： ． 考点讲练5：正负数的实际应用—收入支出问题 【精讲题】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）哈市某电子公司去年1到3月平均每月亏损2.5万元，4到7月平均每月盈利1.6万元，8到10月平均每月盈利2.1万元，11到12月平均每月亏损1.2万元．这个公司去年总的盈亏情况如何？ 【举一反三练1】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）读作 ，零下记作 ，如果支出80元记作“”元，那么“”元表示 ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·广东东莞·期末）如果收入300元记作元，那么支出50元记作 元． 【举一反三练3】（22-23七年级上·浙江金华·期末）某工厂为满足市场需求计划每天生产600件防护服，如表是某一周的生产情况（超产部分记为正，减产部分记为负，单位：件）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +15 ﹣12 +10 ﹣15 ﹣8 +15 +20 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　件； (2)该工厂实行计件工资制，每生产一件支付工资20元，本周该工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 考点讲练6：正负数的实际应用—水位升降问题 【精讲题】（21-22七年级上·安徽安庆·期末）若海平面以上，记作，则海平面以下，记作（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（22-23七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，一名跳水运动员参加跳台的跳水比赛（跳台是指跳台离水面的高度为），这名运动员举高手臂时身长为，跳水池池深为（规定向上为正）． (1)若以水面为基准，则这名运动员指尖的高度及池底的深度分别如何表示？ (2)若以跳台为基准，则池底的深度与水面的高度分别如何表示？ 【举一反三练3】（23-24七年级上·全国·课后作业）某防洪大堤所标的警戒水位是37m，规定在记录每天的水位时，高于警戒水位的部分记为正数，低于警戒水位的部分记为负数． (1)若夏季某一天的水位为，则应记为多少？若冬季某一天的水位为32m，则应记为多少？ (2)若夏季某一天的水位记为，则实际水位是多少？若冬季某一天的水位记为，则实际水位是多少？ (3)若冬季某一天的水位记为，第二天一场雨后水位上升，此时水位应记为多少？实际水位又是多少？ 考点讲练7：正负数的实际应用—成绩达标问题 【精讲题】（23-24六年级下·黑龙江绥化·开学考试）体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．八位同学的成绩分别记录为：，．这八位同学中达标的有（    ）人． A．4 B．5 C．6 D．8 【举一反三练1】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）七年一班期末数学考试的平均成绩是分，小欢得了分，记作分，小乐的成绩记作分，则小乐得了（    ） A．83分 B．85分 C．91分 D．92分 【举一反三练2】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）若全班某次数学测试的平均成绩为90分，某位同学考了95分，记作分，那么得分88分应记作 分． 【举一反三练3】（21-22七年级上·北京·期中）厂家检测四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是（    ） A． B． C． D． 考点讲练8：正负数的实际应用—行程问题 【精讲题】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【举一反三练1】（23-24七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【举一反三练2】（23-24七年级上·江西南昌·期中）今年高考期间，某出租车驾驶员参加爱心送考活动，他从位于昆明北京路的家出发，在南北向的北京路上连续免费接送位高考考生，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位）； 第位 第位 第位 第位 第位 (1)接送完第位考生后，该驾驶员在家什么方向，距离家多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升．那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费元，超过的部分按每千米加元收费，在这过程中该驾驶员为位考生共节省了多少元车费？ 【举一反三练3】（23-24七年级上·广东深圳·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负（单位：千米）． (1)李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)这时间段李师傅开车的平均速度是多少千米每小时？ 考点讲练9：正负数的实际应用—其他问题 【精讲题】（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过册的部分记为正，少于册的部分记为负． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？ 【举一反三练1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 8 2 3 2 4 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，一只甲虫在的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：；从C到D记为：其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向]． (1)填空：（___，____）；（___，____）； (2)若甲虫的行走路线为：，请计算甲虫走过的路程． (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为：，请依次在图2上标出点M、N、Q的位置． 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级上·云南德宏·期末）史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用到生产和生活中．在农业生产中，如果增产记为，那么减产记作（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·模拟预测）中国是最早采用正负数表示相反意义，并进行负数运算的国家．若粮库把运进20吨粮食记为“”，则“”表示（    ） A．卖掉20吨粮食 B．运出20吨粮食 C．吃掉20吨粮食 D．亏损20吨粮食 3．（2024·云南楚雄·一模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成书于公元一世纪左右．书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温为（    ） A．零下 B．零下 C．零上 D．零上 4．（2024·广东深圳·模拟预测）深圳的最高峰是梧桐山，海拔943.7米，被誉为“鹏城第一峰”如果把海平面以上943.7米记为米，那么“深中通道”海下沉管位于海平面以下40米，应记为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）唐朝是一个诗人辈出的时代，李白、杜甫、白居易等为我们留下了不朽的篇章，杜甫出生于公元712年，白居易出生于公元772年记作年，那么李白出生于 记作年． 6．（23-24七年级上·山东青岛·期末）中国历史上刘徽首先给出了正负数的定义，“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们．如果收入5000元记作元，那么支出2000元记作 元． 7．（23-24七年级上·重庆南岸·阶段练习）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果某水果的销售量比前一天增加记作，那么销售量比前一天减少，应记作 ． 8．（23-24七年级上·云南保山·期末）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入60元记作元，那么支出50元可表示为 ． 9．（22-23七年级上·湖南永州·阶段练习）小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米） ，问： (1)小虫是否回到原点0？ (2)爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 10．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）中秋节前，月饼销量大幅度增加，某月饼加工厂为了满足市场需求，计划每天生产2000盒月饼，由于各种原因，实际每天的产量与原计划相比有出入，下表是某一周的生产情况（超过计划产量的部分记作正数，不足计划产量的部分记作负数，单位：盒）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知星期四实际生产______盒月饼，星期______生产了2200盒月饼； (2)求该月饼加工厂这一周实际生产月饼多少盒？ (3)已知该月饼加工厂实行计件工资制，每生产一盒月饼可获得5元．若按天计算，超额完成任务，超出部分每盒再加3元；若未完成任务，不足部分每盒扣2元，那么该月饼加工厂这一周的工资总额是多少元？ 11．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向. (1)图中{______，______}， {______，______}： (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的最短路程； (3)若图中另有两个格点M、N，且，，则应记为什么？直接写出你的答案． 培优题真题汇编练 12．（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示（　　） A．水面低于标准水位 B．水面低于标准水位 C．水面高于标准水位 D．水面水深为 14．（22-23七年级上·贵州遵义·阶段练习）如果规定收入为正，支出为负，收入375元记作元，那么支出235元应记作（    ） A．-375元 B．-235元 C．235元 D．375元 15．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 16．（21-22七年级上·全国·单元测试）测量1张纸大约有多厚，出现了以下四种观点， A．直接用三角尺测量1张纸的厚度； B．先用三角尺测量同类型的2张纸的厚度； C．先用三角尺测量同类型的50张纸的厚度； D．先用三角尺测量同类型的100000张纸的厚度 你认为最合理且可行的观点是 ． 17．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 18．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米） (1)收工时该检修小组在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 19．（18-19七年级上·湖北恩施·期末）出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运全是在南北走向的城区市心路上进行的，如果规定向南行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出发地有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，油价每升元，那么从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为多少元？ 20．（23-24七年级上·天津静海·阶段练习）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的苹果放到网上销售，计划每天销售千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周苹果的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 苹果销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周实际销售苹果超过或不足多少千克？实际销售苹果的总量是多少千克？ (2)若小王按元千克进行苹果销售，成本为元千克，且平均运费为1元千克，则小王第一周销售苹果的利润一共多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第1章《有理数》】 1.1 正数和负数 （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：正负数的意义 3 考点讲练2：相反意义的量 6 考点讲练3：正负数的实际应用—商品合格问题 7 考点讲练4：正负数的实际应用—温度问题 9 考点讲练5：正负数的实际应用—收入支出问题 10 考点讲练6：正负数的实际应用—水位升降问题 12 考点讲练7：正负数的实际应用—成绩达标问题 14 考点讲练8：正负数的实际应用—行程问题 15 考点讲练9：正负数的实际应用—其他问题 18 中等题真题汇编练 21 培优题真题汇编练 26 新知精讲梳理 知识点01：正数和负数的概念 正数：比0大的数称为正数。例如，1、+2、3.5等都是正数。正数前面通常可以带有“+”号，但通常省略不写。 负数：比0小的数称为负数。例如，-1、-3、-4.2等都是负数。负数前面带有“-”号。 0的特殊性：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。 知识点02：正数和负数的表示方法 正数的表示：正数可以直接用数字表示，如3、5.6等，前面可以省略“+”号。当需要强调其为正数时，也可以加上“+”号，如+3、+5.6。 负数的表示：负数在数字前面加上“-”号来表示，如-1、-2.7等。 知识点03：正数和负数的应用 表示相反意义的量：正数和负数在生活中常用来表示具有相反意义的量。例如，收入与支出、上升与下降、增加与减少等。 温度表示：在表示温度时，0℃以上用正数表示，0℃以下用负数表示。例如，+5℃表示零上5度，-3℃表示零下3度。 海拔高度：在表示海拔高度时，海平面以上用正数表示，海平面以下用负数表示。例如，某山峰海拔+8848.86米，某盆地海拔-154米。 知识点04：整数和分数的分类 整数：正整数、负整数和0统称为整数。例如，1、-2、0都是整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。分数是表示非整数的有理数，如1/2、-3/4等。 知识点05：注意事项 正负号的读法：“+”读作“正”，“-”读作“负”。但在实际书写中，正数前面的“+”号通常省略不写。 0的特殊性：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。在表示某些量时，0具有特定的含义，如表示温度时的0℃、表示海拔时的0米等。 正负数的运算：正负数的加减乘除运算需要遵循特定的规则，如“同号相加取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：正数和负数的概念混淆 易错点：误认为所有带“+”号的数都是正数，带“-”号的数都是负数。 忽视0的特殊性，将0误认为是正数或负数。 解析：在数学中，正数确实通常带有“+”号，但这个“+”号有时可以省略。同样，负数前面带有“-”号，且“-”号不能省略。然而，重要的是要理解正数和负数的本质定义，而不是仅仅依据符号来判断。例如，单独的一个数（如5）没有带“+”号，但它仍然是正数。 0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。这是一个需要特别记忆和理解的概念。 易错知识点02：相反意义的量理解不透彻 易错点：在实际问题中，难以准确判断哪些量是具有相反意义的。 解析：正数和负数在生活中常用来表示具有相反意义的量。例如，收入与支出、上升与下降、增加与减少等。学生需要理解这些相反意义的量在实际问题中的具体表现，并能够准确判断哪些量是需要用正数或负数来表示的。 易错知识点03：整数和分数的分类不清 易错点：将整数和分数混为一谈，或者忽视整数也是分数的一种特殊情况（整数可以看作分母为1的分数）。 解析：整数和分数都是有理数的子集。整数包括正整数、负整数和0，而分数则包括正分数和负分数。学生需要明确整数和分数的定义及分类，并理解它们之间的关系。 考点讲练1：正负数的意义 【精讲题】（21-22七年级上·广东江门·阶段练习）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作步，那么向南走7步记作（   ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【规范解答】解：向北走5步记作步， 向南走7步记作步． 故选：A． 【举一反三练1】（21-22七年级上·河南周口·阶段练习）在有理数中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】根据小于零的数是负数，可得答案． 【规范解答】解：在有理数中，是负数的是-2，，-0.7， 故选：C． 【考点评析】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握小于零的数是负数． 【举一反三练2】（2021·云南·一模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温零上记作，若气温零下，则记作 ． 【答案】-3 【思路点拨】根据零上为正，则零下为负，若气温零上记做，若气温零下，记作-． 【规范解答】解：∵气温零上记做， ∴气温是零下记作-3℃． 故答案为． 【考点评析】本题考查正了数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题中表示的含义． 【举一反三练3】（20-21七年级上·山东青岛·单元测试）图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． （4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？ 【答案】（1）（+3，+4），（+2，0），D；（2）见解析；（3）10；（4）（﹣2，﹣2） 【思路点拨】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负分别写出各点的坐标即可； （2）根据题意：A→M→N→Q→P，如图1； （3）分别根据各点的坐标计算总长即可； （4）令M→A与M→N对应的横纵坐标相减即可得出． 【规范解答】：（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，-2）； 故答案为：（+3，+4），（+2，0），D； （2）解：P点位置如图1所示； （3）解：如图2， 根据已知条件可知： A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）； 则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10； （4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2）， 所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2， 所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N， 所以，N→A应记为（﹣2，﹣2） 【考点评析】本题考查了正数和负数表示的意义，认真理解“向上向右走均为正，向下向左走均为负；第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向”这几句话是关键，明确每一个坐标代表的含义，从而找到对应的点． 考点讲练2：相反意义的量 【精讲题】（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示 ． 【答案】水面低于标准水位高度为 【思路点拨】根据正数和负数表示相反意义的量即可解答． 【规范解答】解：某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位高度为． 故答案为：水面低于标准水位高度为． 【考点评析】本题主要考查了正数和负数，理解相反意义的量用正数和负数表示是解答本题的关键． 【举一反三练1】（22-23七年级下·黑龙江绥化·期中）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查相反意义的量，根据相反意义的量的概念，逐一判断选项，即可得到答案，熟练掌握相反意义的量的概念，是解题的关键． 【规范解答】解：A、向东走3千米与向北走3千米，不是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、收入100元与支出200元，具有相反意义的量，故B符合题意； C、气温上升与上升，不是具有相反意义的量，故C不符合题意； D、5个老人与5个小孩，不是具有相反意义的量，故D不符合题意， 故选：． 【举一反三练2】（22-23七年级上·山东济南·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为 米； 【答案】 【思路点拨】根据向东走记为“+”，得到向西走则记为“－”． 【规范解答】∵向东走5米记为米， ∴向西走3米可记为米， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了正数和负数，解答本题的关键是熟练掌握用正数和负数表示相反意义的量． 【举一反三练3】（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 【答案】C 【思路点拨】本题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．根据相反意义的量的概念，逐项判断分析即可解题． 【规范解答】解：A.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； B.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； C.是一对具有相反意义的量，符合题意； D.不是一对具有相反意义的量，不符合题意． 故本题选：C． 考点讲练3：正负数的实际应用—商品合格问题 【精讲题】（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）合格羽毛球的质量是克．下面是4个羽毛球的质量，（    ）是合格的． A． B． C． D． 【答案】BD 【思路点拨】本题主要考查了正负数的实际应用，根据题意克可出质量在克和克之间的羽毛球都是合格的，据此可得答案． 【规范解答】解：因为合格羽毛球的质量是克， 所以质量在克和克之间的羽毛球都是合格的， 所以四个选项中只有B、D是合格的， 故选：BD． 【举一反三练1】（2023·吉林长春·模拟预测）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【思路点拨】本题考查了正负数的应用，熟悉掌握其中的含义是解题的关键． 比较绝对值的大小即可解答． 【规范解答】解：∵，， ∴ ∴最接近的为g 故选：D． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查正数和负数，根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可得合格尺寸的范围为，不在尺寸范围内， 故选：D． 【举一反三练3】（24-25七年级上·全国·假期作业）某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“（）”字样，请问“（）”是什么含义？质检局对该产品抽查瓶，容量分别为，，，，，问抽查产品的容量是否合格？ 【答案】合格，过程见详解 【思路点拨】本题考查用正负数表示变化的量，在用正负数表示变化的量时，先规定其中的一个为正（或负），则其相反意义的量就用负（或正）表示． 理解（）的意义，根据题意进行判断即可． 【规范解答】解：“（）”是为标准容量，（）是合格范围， 故，，，，，抽查产品的容量是合格的． 考点讲练4：正负数的实际应用—温度问题 【精讲题】（22-23七年级上·湖南湘西·期末）2022年12月8日上午7时，龙山县城区气温为零上，记作，大安乡大灵山海拔最高点（青岩堡）的气温为零下，可记作 ． 【答案】 【思路点拨】根据正负数来表示具有意义相反的两种量：零上气温就记为正，则气温零下记为负，直接得出结论即可．本题考查正负数的意义，解题的关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 【规范解答】由题意得：零下，可记作 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）如果零上表示为，则零下表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了正负数的实际应用，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，若零上用“”表示，则零下用“”表示，据此可得答案． 【规范解答】解：如果零上表示为，则零下表示为， 故选：B． 【举一反三练2】（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）若气温为零上记作，则零下应记作 ． 【答案】 【思路点拨】根据正负数的意义求解即可． 【规范解答】解：由题意可得，零下应记作， 故答案为：． 【考点评析】本题考查正负数的实际应用，理解正数和负数是一对具有相反意义的量，规定零上为正，则零下记为负是解题的关键． 【举一反三练3】（2024·河南驻马店·一模）生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该食品保存的温度： ． 【答案】25（答案不唯一）． 【思路点拨】本题考查了正负数的意义，根据给出的范围写出符合题的温度即可． 【规范解答】因为某种食品的说明书上标明保存温度是， 所以适合该食品保存的温度可以是， 故答案为：25（答案不唯一）． 考点讲练5：正负数的实际应用—收入支出问题 【精讲题】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）哈市某电子公司去年1到3月平均每月亏损2.5万元，4到7月平均每月盈利1.6万元，8到10月平均每月盈利2.1万元，11到12月平均每月亏损1.2万元．这个公司去年总的盈亏情况如何？ 【答案】盈利2.8万元 【思路点拨】规定亏损的为负数，盈利的为正数，列式计算即可． 【规范解答】．解： （万元） 答：盈利2.8万元． 【考点评析】本题主要考查了正负数在实际生活中的意义以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【举一反三练1】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）读作 ，零下记作 ，如果支出80元记作“”元，那么“”元表示 ． 【答案】 负9 收入200元 【思路点拨】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【规范解答】解：读作负9，零下记作，支出80元记作“”元，那么“”元表示收入200元， 故答案为：负9；；收入200元． 【举一反三练2】（23-24七年级上·广东东莞·期末）如果收入300元记作元，那么支出50元记作 元． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正负数的应用，清楚零上为正，零下为负是解题的关键． 【规范解答】∵收入300元记作元， 则支出50元记作元， 故答案为：． 【举一反三练3】（22-23七年级上·浙江金华·期末）某工厂为满足市场需求计划每天生产600件防护服，如表是某一周的生产情况（超产部分记为正，减产部分记为负，单位：件）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +15 ﹣12 +10 ﹣15 ﹣8 +15 +20 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　件； (2)该工厂实行计件工资制，每生产一件支付工资20元，本周该工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1)35 (2)84500元 【思路点拨】（1）根据正负数的意义确定星期日的产量最多，星期四的产量最少，然后用星期日的产量减去星期四的产量即可； （2）求出一周产量的和，然后根据工资总额的计算方法，列式计算即可． 【规范解答】（1）（件）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产35件， 故答案为：35． （2） （件）， （元）， ∴本周该工厂应支付工人的工资总额是84500元． 【考点评析】本题考查了正数和负数，理解“用正数和负数表示具有相反意义的量”是解决本题的关键． 考点讲练6：正负数的实际应用—水位升降问题 【精讲题】（21-22七年级上·安徽安庆·期末）若海平面以上，记作，则海平面以下，记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查正负数的意义，正确理解正负数的意义是解题的关键．根据题意及正负数的意义直接进行求解即可． 【规范解答】解：若海平面以上，记作，则海平面以下，记作 故选：D 【举一反三练1】（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查正负数的意义．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【规范解答】解：如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作， 故选：D． 【举一反三练2】（22-23七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，一名跳水运动员参加跳台的跳水比赛（跳台是指跳台离水面的高度为），这名运动员举高手臂时身长为，跳水池池深为（规定向上为正）． (1)若以水面为基准，则这名运动员指尖的高度及池底的深度分别如何表示？ (2)若以跳台为基准，则池底的深度与水面的高度分别如何表示？ 【答案】(1)这名运动员指尖的高度为，池底的深度为； (2)池底的深度为，水面的高度为． 【思路点拨】（1）利用正数和负数的意义来表示； （2）利用正数和负数的意义来表示． 【规范解答】（1）解：（米） ∴以水面为基准，这名运动员指尖的高度为，池底的深度为； （2）解：（米） ∴以跳台为基准，池底的深度为，水面的高度为． 【考点评析】本题考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【举一反三练3】（23-24七年级上·全国·课后作业）某防洪大堤所标的警戒水位是37m，规定在记录每天的水位时，高于警戒水位的部分记为正数，低于警戒水位的部分记为负数． (1)若夏季某一天的水位为，则应记为多少？若冬季某一天的水位为32m，则应记为多少？ (2)若夏季某一天的水位记为，则实际水位是多少？若冬季某一天的水位记为，则实际水位是多少？ (3)若冬季某一天的水位记为，第二天一场雨后水位上升，此时水位应记为多少？实际水位又是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)， 【思路点拨】（1）利用正负数的原理进行计算即可； （2）根据零点及数值进行计算即可； （3）结合正负数的意义进行计算即可． 【规范解答】（1），故水位为，应记为； ，水位为，应记为； （2），实际水位是； ，实际水位是； （3），实际水位是． 【考点评析】本题考查实际情况中正负数符号的意义，需要结合零点，正方向，负方向的实际意义进行分析． 考点讲练7：正负数的实际应用—成绩达标问题 【精讲题】（23-24六年级下·黑龙江绥化·开学考试）体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．八位同学的成绩分别记录为：，．这八位同学中达标的有（    ）人． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查正负数的意义，用正负数表示意义相反的两种量：高于标准的个数记作正，则低于标准的个数就记作负，由此求解即可． 【规范解答】解：达到标准的有，0，共个， 故选：B． 【举一反三练1】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）七年一班期末数学考试的平均成绩是分，小欢得了分，记作分，小乐的成绩记作分，则小乐得了（    ） A．83分 B．85分 C．91分 D．92分 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义，用，即可求解． 【规范解答】解：依题意，小乐得了分， 故选：B． 【举一反三练2】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）若全班某次数学测试的平均成绩为90分，某位同学考了95分，记作分，那么得分88分应记作 分． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查正负数的实际应用. 【规范解答】解：若全班某次数学测试的平均成绩为90分，某位同学考了95分，记作分， 那么得分88分应记作， 故答案为：. 【举一反三练3】（21-22七年级上·北京·期中）厂家检测四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据正负数的意义进行判断即可． 【规范解答】解：+1.5、+0.7分别表示超过标准质量1.5克、0.7克，－3.5、－0.6分别表示低于标准质量3.5克、0.6克， ∵， ∴最接近标准质量的足球是－0.6． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了正数和负数的含义，明确标准质量的意义是解题的关键． 考点讲练8：正负数的实际应用—行程问题 【精讲题】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米 (2)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省110.1元 【思路点拨】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算， （1）计算出表格中的和再加上7天每天求出总路程即可； （2）利用（1）中的总路程计算总费用即可． 【规范解答】（1）解：（千米）， 答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米． （2）解：（元）， （元）， （元）， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 【举一反三练1】（23-24七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)小李在九洲体育馆门口西边处； (2)立方米； (3)元． 【思路点拨】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算； （）求出这几个数的和，根据符号、绝对值判断位置； （）求出所有数的绝对值的和，即行驶的总路程，进而求出用气量； （）八名顾客均有起步价，再求出超出的加价即可求出总车费． 【规范解答】（1）由， ∴小李在九洲体育馆门口西边处； （2）由， ∴共消耗天然气（立方米）， 答：共消耗天然气立方米； （3） ， ， （元）， 答：小李这天上午共得车费元． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江西南昌·期中）今年高考期间，某出租车驾驶员参加爱心送考活动，他从位于昆明北京路的家出发，在南北向的北京路上连续免费接送位高考考生，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位）； 第位 第位 第位 第位 第位 (1)接送完第位考生后，该驾驶员在家什么方向，距离家多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升．那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费元，超过的部分按每千米加元收费，在这过程中该驾驶员为位考生共节省了多少元车费？ 【答案】(1)南边千米处； (2)升； (3)元． 【思路点拨】（）根据有理数加法即可求出答案； （）根据题意列出算式即可求出答案； （）根据题意列出算式即可求出答案； 此题考查了正负数计算的应用能力，关键是能准确理解并运用正负数的定义进行列式求解． 【规范解答】（1）（）， 答：接送完第位考生后，该驾驶员在家的南边千米处； （2）（升）， 答：在这个过程中共耗油升； （3）， ， （元）， 答：在这过程中该驾驶员为位考生共节省了元． 【举一反三练3】（23-24七年级上·广东深圳·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负（单位：千米）． (1)李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)这时间段李师傅开车的平均速度是多少千米每小时？ 【答案】(1)在出发地东方，距离6千米 (2)平均速度为千米/小时 【思路点拨】此题考查了正负数的应用，（1）把记录的数字相加即可得到结果；（2）根据路程÷速度=时间即可求解． 【规范解答】（1）解：（千米）， 答：李师傅位于第一批乘客出发地的东方，距离6千米； （2）解：（千米/小时）， 答：平均速度为千米/小时． 考点讲练9：正负数的实际应用—其他问题 【精讲题】（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过册的部分记为正，少于册的部分记为负． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？ 【答案】上周星期一至星期五该班一共借书册； 【思路点拨】本题考查正负数意义的应用，用乘以天数加上各天的正负数即可得到答案． 【规范解答】解：由题意可得， ， 答：上周星期一至星期五该班一共借书册． 【举一反三练1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为 【答案】 【思路点拨】根据正负数的意义可得达标的有人，然后计算即可． 【规范解答】解：由题意得：：，，，，，，，中，小于等于0的有6个，即达标的有6人， 则这个小组的达标率是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义得出达标的人数是解题的关键． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 8 2 3 2 4 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)5.5千克 (2)不足10千克 (3)1470元 【思路点拨】（1）将最大的正数与最小负数相减即可； （2）将每个正数，负数与对应的数量相乘，并相加可得到总重量与标准总重量的差值； （3）先计算出总重量，再乘以单价即可． 【规范解答】（1）解：最重的一筐比标准重2.5千克，最轻的一筐比标准轻3克， 故最重的一筐比最轻的一筐重：（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克． （2）解：， 答：20筐白菜总计不足10千克， （3）解：（元）， 答：出售这20筐白菜可卖1470元． 【考点评析】本题考查正负数的应用，能够熟练掌握正负数的实际意义是解决本题的关键． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，一只甲虫在的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：；从C到D记为：其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向]． (1)填空：（___，____）；（___，____）； (2)若甲虫的行走路线为：，请计算甲虫走过的路程． (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为：，请依次在图2上标出点M、N、Q的位置． 【答案】(1) (2)16 (3)见解析 【思路点拨】（1）根据规定结合图形写出即可； （2）根据甲虫的运动路线列式计算即可得解； （3）根据运动路线标注解答即可； 【规范解答】（1）根据题意得出：； 故答案为：． （2）∵甲虫的行走路线为：， ∴甲虫走过的路程为：； （3）如图2所示： 【考点评析】本题考查了正数和负数，读懂题目信息，理解正负数的意义以及写法的规定是解题的关键． 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级上·云南德宏·期末）史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用到生产和生活中．在农业生产中，如果增产记为，那么减产记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【规范解答】解：增产记为，那么减产记作， 故选：C． 2．（2024·云南·模拟预测）中国是最早采用正负数表示相反意义，并进行负数运算的国家．若粮库把运进20吨粮食记为“”，则“”表示（    ） A．卖掉20吨粮食 B．运出20吨粮食 C．吃掉20吨粮食 D．亏损20吨粮食 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正数和负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可解答． 【规范解答】粮库把运进20吨粮食记为“”， “”表示为运出20吨粮食， 故选：B． 3．（2024·云南楚雄·一模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成书于公元一世纪左右．书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温为（    ） A．零下 B．零下 C．零上 D．零上 【答案】A 【思路点拨】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量，零上和零下相对，如果零上为正，那么零下就为负即可求解，正确理解正、负数的意义是解题的关键． 【规范解答】∵若气温为零上记作， ∴表示气温为零下， 故选：． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）深圳的最高峰是梧桐山，海拔943.7米，被誉为“鹏城第一峰”如果把海平面以上943.7米记为米，那么“深中通道”海下沉管位于海平面以下40米，应记为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【思路点拨】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【规范解答】解：如果把海平面以上943.7米记为米，那么“鹏城第一峰”海下沉管位于海平面以下40米，应记为米， 故选：D． 5．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）唐朝是一个诗人辈出的时代，李白、杜甫、白居易等为我们留下了不朽的篇章，杜甫出生于公元712年，白居易出生于公元772年记作年，那么李白出生于 记作年． 【答案】公元701年 【思路点拨】本题主要考查了正数和负数，具有相反意义的量都是互相依存的两个量，理解具有相反意义的量是解题的关键． 依据正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求出答案． 【规范解答】解：杜甫出生于公元712年，白居易出生于公元772年记作年， 故李白出生于公元701年记作年， 故答案为：公元701年． 6．（23-24七年级上·山东青岛·期末）中国历史上刘徽首先给出了正负数的定义，“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们．如果收入5000元记作元，那么支出2000元记作 元． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相反意义的量，根据题意收入记作正，则支出记作负，即可得出答案． 【规范解答】解：收入5000元记作元，那么支出2000元记作， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·重庆南岸·阶段练习）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果某水果的销售量比前一天增加记作，那么销售量比前一天减少，应记作 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正负数表示相反意义的量，根据某水果的销售量比前一天增加记作得出销售量比前一天减少，应记作，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解此题的关键． 【规范解答】解：某水果的销售量比前一天增加记作， 销售量比前一天减少，应记作， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·云南保山·期末）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入60元记作元，那么支出50元可表示为 ． 【答案】元 【思路点拨】本题考查了正数和负数，能用正数和负数表示题目中的数是解此题的关键．根据题意得出：收入记作为正，支出记作为负，表示出来即可． 【规范解答】解：如果收入元记作元，那么支出元可表示为记作元， 故答案为：元． 9．（22-23七年级上·湖南永州·阶段练习）小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米） ，问： (1)小虫是否回到原点0？ (2)爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫没有回到原点 (2)小虫可得到315粒芝麻 【思路点拨】本题考查了正负数的应用： （1）利用有理数的加法，即可求解； （2）利用加法先求出总距离，再乘以每爬行1厘米奖励5粒芝麻即可求解； 熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ， 答：小虫没有回到原点． （2） ， （粒）， 答：小虫可得到315粒芝麻． 10．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）中秋节前，月饼销量大幅度增加，某月饼加工厂为了满足市场需求，计划每天生产2000盒月饼，由于各种原因，实际每天的产量与原计划相比有出入，下表是某一周的生产情况（超过计划产量的部分记作正数，不足计划产量的部分记作负数，单位：盒）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知星期四实际生产______盒月饼，星期______生产了2200盒月饼； (2)求该月饼加工厂这一周实际生产月饼多少盒？ (3)已知该月饼加工厂实行计件工资制，每生产一盒月饼可获得5元．若按天计算，超额完成任务，超出部分每盒再加3元；若未完成任务，不足部分每盒扣2元，那么该月饼加工厂这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)1900；五． (2)该月饼加工厂这一周实际生产月饼14400盒 (3)该月饼加工厂这一周的工资总额是73550元 【思路点拨】本题考查了正负数的实际应用： （1）根据利用计划每天生产月饼量加上增减量可得星期四的生产量，利用生产了2200盒月饼减去计划生产的量与表格中的增减量对比即可求解； （2）先在一个周的增减量计算出来，再加上七天计划生产总量即可； （3）先将总工资计算出来，再减去被扣的即可求解； 熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：，故星期四实际生产1900盒月饼． ，故星期五生产了2200盒月饼， 故答案为：1900；五． （2）（盒）， （盒）， 答：该月饼加工厂这一周实际生产月饼14400盒． （3）（元）， （元）， （元）， 答：该月饼加工厂这一周的工资总额是73550元． 11．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向. (1)图中{______，______}， {______，______}： (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的最短路程； (3)若图中另有两个格点M、N，且，，则应记为什么？直接写出你的答案． 【答案】(1)3，4；，0 (2)10 (3) 【思路点拨】本题考查了正负数在网格线中的运动路线问题，数形结合，明确运动规则，是解题的关键． （1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负，分别写出各点的坐标即可； （2）分别根据各点的坐标计算总长即可； （3）将，对应的横纵坐标相减即可得出答案． 【规范解答】（1）解：图中， 故答案为：3，4；，0． （2）解：由已知可得：表示为，记为，记为， 则该甲虫走过的路程为：． （3）解：由，， 可知：，， ∴点A向右走4个格点，向上走3个格点到点N， ∴应记为． 培优题真题汇编练 12．（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是，据此计算即可． 【规范解答】解：根据题意可知，净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是， 故选：． 【考点评析】此题考查了运用正负数概念解决问题的能力，能准确理解正数和负数是表示一对意义相反的量，明确表示的净含量范围是解答本题的关键． 13．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示（　　） A．水面低于标准水位 B．水面低于标准水位 C．水面高于标准水位 D．水面水深为 【答案】B 【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，根据正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位． 本题主要考查了正数和负数，解题关键是熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【规范解答】∵用正数表示水面高于标准水位的高度， ∴表示水面低于标准水位． 故选：B． 14．（22-23七年级上·贵州遵义·阶段练习）如果规定收入为正，支出为负，收入375元记作元，那么支出235元应记作（    ） A．-375元 B．-235元 C．235元 D．375元 【答案】B 【思路点拨】根据收入为正，支出为负，收入375元记作元，可直接得到支出235元记作． 【规范解答】解：∵收入375元记作 元， ∴支出235元应记元， 故选：B． 【考点评析】此题考查正数和负数，解题关键在于明确题中“正”和“负”所表示的意义． 15．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 【答案】 【思路点拨】根据正负数的意义，结合表格数据，即可求解． 【规范解答】解：∵东京与北京的时差是 则如果现在的东京时间时，那么北京时间是 ∵伦敦与北京的时差是， ∴伦敦的时间是前一天的 ∵纽约与北京的时差是 ∴纽约的时间是前一天的 【考点评析】本题考查了正负数在实际生活中的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 16．（21-22七年级上·全国·单元测试）测量1张纸大约有多厚，出现了以下四种观点， A．直接用三角尺测量1张纸的厚度； B．先用三角尺测量同类型的2张纸的厚度； C．先用三角尺测量同类型的50张纸的厚度； D．先用三角尺测量同类型的100000张纸的厚度 你认为最合理且可行的观点是 ． 【答案】C 【思路点拨】根据生活经验，结合本题实际情况，得出结果． 【规范解答】A、一张纸的厚度不易测出，错误； B、2张纸的厚度不易测出，错误； C、正确； D、100 000张数据太大，错误． 故答案为C 【考点评析】本题考核知识点：累积估计. 解题关键点：选取的样本的数量应适中． 17．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 【答案】(1)102个 (2)192分 【思路点拨】本题主要考查有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； （1）根据表格可直接进行求解； （2）先求出该班的总积分，然后问题可求解； 【规范解答】（1）由题意得：因为， 所以平均每人跳绳个， 答：这个班42人一分钟内平均每人跳绳102个． （2）（分） 答：这个班跳绳总共获得192分． 18．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米） (1)收工时该检修小组在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的西方，距离A地3千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为45千米 【思路点拨】（1）将所记录的数据求和，和为正数则在A地的东方，如果为负数则在西方，其绝对值是距A的距离； （2）求出所记录数据的绝对值的和即为所行的所有的路程． 【规范解答】（1）解：（千米）， ， 答：收工时该检修小组在A地的西方，距离A地3千米， （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为45千米． 【考点评析】此题考查正数和负数的应用，解题的关键在于结合实际运用相关定义． 19．（18-19七年级上·湖北恩施·期末）出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运全是在南北走向的城区市心路上进行的，如果规定向南行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出发地有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，油价每升元，那么从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为多少元？ 【答案】(1)小李距下午出发地有6千米； (2)从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为元； 【思路点拨】（1）把所有行车记录相加，然后根据和的正负情况确定最后的位置； （2）求出所有行车记录的绝对值的和，再乘以，再根据总价=单价×数量即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得：（千米）， ∴小李距下午出发地有6千米； （2）解： （元） ∴从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为元； 【考点评析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 20．（23-24七年级上·天津静海·阶段练习）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的苹果放到网上销售，计划每天销售千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周苹果的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 苹果销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周实际销售苹果超过或不足多少千克？实际销售苹果的总量是多少千克？ (2)若小王按元千克进行苹果销售，成本为元千克，且平均运费为1元千克，则小王第一周销售苹果的利润一共多少元？ 【答案】(1)超过千克，实际销售苹果的总量为千克； (2)利润一共为元． 【思路点拨】（）先计算出第一周实际销售的量比第一周计划销售的量是多多少，再加上第一周计划的销售量即可求得实际销售的总量； （）求出每千克苹果的利润，则可求得第一周销售苹果的总利润． 【规范解答】（1）由题意有：（千克）， ∴小王第一周实际销售苹果超过千克， ∴小王第一周实际销售苹果的总量为：（千克）， 答：小王第一周实际销售苹果超过千克，实际销售苹果的总量为千克． （2）由题意有： 每千克苹果的利润为：（元）， ∴小王第一周销售苹果的利润一共为：（元）， 答：小王第一周销售苹果的利润一共为元． 【考点评析】此题考查了正数和负数，有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，列式计算并掌握相关运算法则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$