1.1.1 空间向量及其线性运算讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其线性运算 目 录 ☯知识清单☯ 1. 空间向量相关概念 - 1 - 2. 空间向量的线性运算 - 2 - 3. 向量共线定理 - 3 - 4. 空间向量共面定理 - 3 - ☯典型例题☯ 考点1：空间向量及其相关概念的理解 - 4 - 考点2：空间向量的线性运算 - 7 - 母题1：利用空间向量的线性运算进行化简 - 7 - 母题2：空间向量基本定理的应用 - 11 - 考点3：向量共线的判定及应用 - 15 - 母题1：证明向量共线 - 15 - 母题2：证明三点共线 - 18 - 考点4：向量共面的判定及应用 - 20 - 1.1.1 空间向量及其线性运算 ☯知识清单☯ 1. 空间向量相关概念 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量。 （2）长度或模：向量的大小。 （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母…表示；若向量的起点是，终点是，也可记作，其模记为或。 （3）空间向量的有关概念： ①零向量：长度为或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 ②单位向量：长度为的空间向量，即。 ③相等向量：方向相同且模相等的向量。 ④相反向量：方向相反但模相等的向量。 ⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。 ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 2. 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 减法 数乘 当时，；同向 当时，；反向 当时， 运算律 交换律：； 结合律：，； 分配律：，。 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即：； （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； （3）运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则。 （平行六面体法则:在平行六面体中，） 3. 向量共线定理 （1）向量共线的概念： 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。 （2）共线向量定理： 空间任意两个向量、（），存在实数，使。 （3）直线的方向向量： 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，存在实数，使得。与向量平行的非零向量称为直线的方向向量。 （4）证明空间三点共线的思路： 对于空间三点可通过证明下列结论来证明三点共线 ①存在实数，使成立； ②对空间任一点，有； ③对空间任一点，有； ④与共线的单位向量为。 4. 空间向量共面定理 （1）向量共面的定义： 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理 如果两个向量、不共线，与向量、共面的充要条件是存在唯一实数对，使。 （3）向量共面证明： ①判断三个向量共面一般用； ②证明三线共面常用； ③证明四点共面常用（其中）， 也可以用。 ☯典型例题☯ 考点1：空间向量及其相关概念的理解 母题探究 下列说法正确的是（ ） A．零向量没有方向 B．空间向量不可以平行移动 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 复盘总结： 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等。两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反。 应用． 母题演练 1. 在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与。其中互为相反向量的有对，则等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则。其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 3. 如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与相等的向量；（2）与相反的向量；（3）与平行的向量。 4. 下列命题中，假命题是（ ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 5. (多选)下列说法中正确的是（ ） A．若，则的长度相同，方向相同或相反 B．若向量是向量的相反向量，则 C．空间向量的加法满足结合律 D．任一向量与它的相反向量不相等 考点2：空间向量的线性运算 母题1：利用空间向量的线性运算进行化简 母题探究 构造始点、终点都是平行六面体顶点的向量，使它与下列各式所表示的向量分别相等：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 复盘总结： （1）空间向量加法、减法运算的两个技巧 ①巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接（“首尾相接法”）。 ②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果。 （2）利用数乘运算进行向量表示的注意点 ①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量。 ②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题。 （3）一些常见结论： ①在三角形中，点是的中点，则； ②平行六面体法则:在平行六面体中，。 应用． 母题演练 1. 化简所得的结果是（ ） A． B． C． D． 2. 已知在空间四边形中，是的重心，分别为边和的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量：（1）；（2）；（3）。 3. 在空间四边形中，连结。若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为__________。 4. 如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）。 母题2：空间向量基本定理的应用 母题探究 如图所示，在平行六面体中为与的交点， 若，，则　　) A． B． C． D． 复盘总结： 应用． 母题演练 1. 正六棱柱中，设，，，那么等于（ ） A． B． C． D． 2. 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于 .(用，，表示) 3. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c 4. 如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 5. 如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是 . 考点3：向量共线的判定及应用 母题探究 例1：若向量与不共线且，，，则（ ） A．，，共线 B．与共线 C．与共线 D．，，共面 复盘总结： 向量共线的判定及应用 （1）判断或证明两向量、（）共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达。 （2）证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题。 应用． 母题1：证明向量共线 母题演练 1. 如图，四边形、都是平行四边形且不共面，分别是的中点，判断与是否共线？ 2. 如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 3. 如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形． 4. 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN. 母题2：证明三点共线 母题探究 已知向量且，则一定共线的三点为(　　)． A． B． C． D． 复盘总结： 判断或证明空间中的三点（如）共线的方法：是否存在实数，使。 应用． 母题演练 1. 设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则k＝________. 2. 满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( ) A． B． C． D． 3. 如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且，求证：三点共线． 4. 已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝________. 5. 在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 考点4：向量共面的判定及应用 母题探究 例1：下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（ ） A． B． C． D． 例2：若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 复盘总结： 解决向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． 应用． 母题演练 1. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面． 2. 在下列条件中，使与一定共面的是(　　) A． B． C． D． 3. 如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 4. 已知为空间任意一点，若，则四点( ) A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 5. 已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足. (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点是否在平面内. ************************************************************************************************************ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1 空间向量及其线性运算 目 录 ☯知识清单☯ 1. 空间向量相关概念 - 1 - 2. 空间向量的线性运算 - 2 - 3. 向量共线定理 - 3 - 4. 空间向量共面定理 - 3 - ☯典型例题☯ 考点1：空间向量及其相关概念的理解 - 4 - 考点2：空间向量的线性运算 - 7 - 母题1：利用空间向量的线性运算进行化简 - 7 - 母题2：空间向量基本定理的应用 - 11 - 考点3：向量共线的判定及应用 - 15 - 母题1：证明向量共线 - 15 - 母题2：证明三点共线 - 18 - 考点4：向量共面的判定及应用 - 20 - 1.1.1 空间向量及其线性运算 ☯知识清单☯ 1. 空间向量相关概念 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量。 （2）长度或模：向量的大小。 （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母…表示；若向量的起点是，终点是，也可记作，其模记为或。 （3）空间向量的有关概念： ①零向量：长度为或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 ②单位向量：长度为的空间向量，即。 ③相等向量：方向相同且模相等的向量。 ④相反向量：方向相反但模相等的向量。 ⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。 ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 2. 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 减法 数乘 当时，；同向 当时，；反向 当时， 运算律 交换律：； 结合律：，； 分配律：，。 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即：； （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； （3）运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则。 （平行六面体法则:在平行六面体中，） 3. 向量共线定理 （1）向量共线的概念： 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。 （2）共线向量定理： 空间任意两个向量、（），存在实数，使。 （3）直线的方向向量： 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，存在实数，使得。与向量平行的非零向量称为直线的方向向量。 （4）证明空间三点共线的思路： 对于空间三点可通过证明下列结论来证明三点共线 ①存在实数，使成立； ②对空间任一点，有； ③对空间任一点，有； ④与共线的单位向量为。 4. 空间向量共面定理 （1）向量共面的定义： 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理 如果两个向量、不共线，与向量、共面的充要条件是存在唯一实数对，使。 （3）向量共面证明： ①判断三个向量共面一般用； ②证明三线共面常用； ③证明四点共面常用（其中）， 也可以用。 ☯典型例题☯ 考点1：空间向量及其相关概念的理解 母题探究 下列说法正确的是（ ） A．零向量没有方向 B．空间向量不可以平行移动 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】D 【解析】对于A：零向量的方向是任意的，A错误； 对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误； 对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量， 所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误； D符合定义，正确.故选：D. 复盘总结： 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等。两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反。 应用． 母题演练 1. 在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与。其中互为相反向量的有对，则等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①与，长度相等，方向相反，互为相反向量； 对于②与长度相等，但两向量不共线，∴两向量不是相反向量； 对于③与，易知是平行四边形， 则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量； 对于④与，易知是平行四边形，∴这两向量长度相等，方向相同． 故互为相反向量的是①③，共有2对，n＝2．故选：B. 2. 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则。其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等； 但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等， 而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中， 向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确．故选：C. 3. 如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与相等的向量；（2）与相反的向量；（3）与平行的向量。 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等， ∴与相等的向量为； （2）连接，由平行六面体的性质可得， ∴是平行四边形， ∴，与相反的向量为． （3）连接，由平行六面体的性质可得， ∴是平行四边形， ∴，与平行的向量为． 4. 下列命题中，假命题是（ ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题. B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题. C.零向量：模长为0的向量.真命题. D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D. 5. (多选)下列说法中正确的是（ ） A．若，则的长度相同，方向相同或相反 B．若向量是向量的相反向量，则 C．空间向量的加法满足结合律 D．任一向量与它的相反向量不相等 答案　BC 解析　|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；空间向量的加法满足结合律，C正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC. 考点2：空间向量的线性运算 母题1：利用空间向量的线性运算进行化简 母题探究 构造始点、终点都是平行六面体顶点的向量，使它与下列各式所表示的向量分别相等：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【解析】（1）在平行六面体中， 所以 （2）在平行六面体中， 所以 （3）在平行六面体中， 所以 （4）在平行六面体中，， 所以 （5）在平行六面体中， 所以 复盘总结： （1）空间向量加法、减法运算的两个技巧 ①巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接（“首尾相接法”）。 ②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果。 （2）利用数乘运算进行向量表示的注意点 ①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量。 ②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题。 （3）一些常见结论： ①在三角形中，点是的中点，则； ②平行六面体法则:在平行六面体中，。 应用． 母题演练 1. 化简所得的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】故选：D 2. 已知在空间四边形中，是的重心，分别为边和的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量：（1）；（2）；（3）。 解析】(1) ， (2)； (3)， 在三角形中，， 则， 即有，则有． 3. 在空间四边形中，连结。若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为__________。 【答案】 【解析】如图，延长交于点，根据题意知为的中点． 又因为为正三角形的中心，所以，即， 所以． 4. 如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）。 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【解析】(1)． (2)． (3)． (4)． 母题2：空间向量基本定理的应用 母题探究 如图所示，在平行六面体中为与的交点， 若，，则　　) A． B． C． D． 【解析】(与平面向量的方法类似，用“首尾相接法”把向靠拢) ； 故选：． 复盘总结： 应用． 母题演练 1. 正六棱柱中，设，，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正六棱柱中， ，故选：B 2. 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于 .(用，，表示) 【答案】 【解析】在四面体中，点在上，且，为中点， 所以． 3. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c 答案　A 解析　＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c. 4. 如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在三棱锥中 ，E为OA的中点 ，， 所以，故选：A 5. 如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是 . 【答案】 【解析】是的中点， ． 考点3：向量共线的判定及应用 母题探究 例1：若向量与不共线且，，，则（ ） A．，，共线 B．与共线 C．与共线 D．，，共面 【答案】D 【解析】因为，即，即， 又与不共线，所以共面，故D正确A错误； 因为，所以与不共线，与不共线，故BC错误；故选：D 复盘总结： 向量共线的判定及应用 （1）判断或证明两向量、（）共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达。 （2）证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题。 应用． 母题1：证明向量共线 母题演练 1. 如图，四边形、都是平行四边形且不共面，分别是的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【解析】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 2. 如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 【答案】共线 【解析】由已知可得： ． 所以，故与共线． 3. 如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形． 证明　∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴＝，＝， 则＝－＝－＝ ＝(－)＝＝(－)＝， ∴∥且||＝||≠||. 又F不在直线EH上， ∴四边形EFGH是梯形． 4. 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN. 证明　∵M，N分别是AC，BF的中点， 又四边形ABCD，ABEF都是平行四边形， ∴＝＋＋＝＋＋， 又∵＝＋＋＋ ＝－＋－－， ∴＋＋＝－＋－－， ∴＝＋2＋＝2(＋＋)， ∴＝2，∴∥. ∵点C不在MN上，∴CE∥MN. 母题2：证明三点共线 母题探究 已知向量且，则一定共线的三点为(　　)． A． B． C． D． 【答案】 【解析】因为， 所以与共线，即三点共线． 复盘总结： 判断或证明空间中的三点（如）共线的方法：是否存在实数，使。 应用． 母题演练 1. 设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则k＝________. 【答案】(1)－8 【解析】(1) 又A，B，D三点共线，所以，即所以：， 解得.故答案为：－8 2. 满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而， 据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则A、B、C三点共线，选项C正确； ，则线段的长度与线段的长度相等， 不一定有A、B、C三点共线，选项D错误；本题选择C选项. 3. 如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且，求证：三点共线． 【解析】设 ， ，， ，， ， 又由(1)知， ，且有公共点， 所以三点共线． 4. 已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝________. 答案　1 解析　由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)， 所以＝(1－λ)＋λ，所以m＝1－λ，n＝λ， 所以m＋n＝1. 5. 在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 【答案】或 【解析】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 考点4：向量共面的判定及应用 母题探究 例1：下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，，， 所以点与、、三点不共面； 对于B选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于C选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于D选项，，,所以点与、、三点共面. 故选：D. 例2：若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】选项A：，所以，，共面； 选项B：，所以，，共面； 选项C：不能用，表示，所以，，不共面； 选项D：，共线，则，，共面． 故选：C 复盘总结： 解决向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． 应用． 母题演练 1. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面． 证明　因为＝＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋ ＝＋＋＋＝＋， 所以，，共面， 所以A，E，C1，F四点共面． 2. 在下列条件中，使与一定共面的是(　　) A． B． C． D． 【答案】 【解析】在中，由，得，则为共面向量，即四点共面； 对于，由，得，不能得出四点共面； 对于，由，得1，所以四点不共面； 对于，由，得，其系数和不为，所以四点不共面． 故选：． 3. 如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 【证明】设，则， 为的中点，， 又，， ， 为共面向量， 又三向量有相同的起点，四点共面． 4. 已知为空间任意一点，若，则四点( ) A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 【答案】B 【解析】由空间向量共面定理的推论若，满足，则四点共面，，而，故四点共面. 故选：B. 5. 已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足. (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点是否在平面内. 【答案】(1)共面；(2)点在平面内. 【解析】(1)由题意，知：， ∴，即， 故共面得证. (2)由(1)知：共面且过同一点. 所以四点共面，从而点在平面内. ************************************************************************************************************ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $$