1.5.2 点到直线的距离（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高一数学（选修一）第一章 直线与方程 1.5.2 点到直线的距离 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.会用坐标法、面积法推导点到直线的距离公式的运算过程. 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用． 5.学会点点、点线、线线对称问题. 6.会应用对称问题解决最值问题和反射问题． 3.理解两条平行直线间的距离公式的推导. 4.会求两条平行直线间的距离． 情景导入 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ 1、平面内任意两点间的距离公式 已知平面内任意两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 2、两点的中点坐标公式 已知平面内任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，线段P1P2 的中点为 M(x0，y0)，则 复习回顾 3、三角形的重心坐标公式 已知△ABC的三个顶点的坐标分别A(x1，y1)、B(x2，y2) 和C(x3，y3)， 则△ABC的重心G的坐标为 即： l P0(x0，y0) x y o Q 1.点到直线的距离的含义 新知探究 直线l的方程 直线l的斜率 直线P0Q的斜率 点P0的坐标 l⊥P0Q 直线P0Q的方程 直线 l 的方程 交点 点Q的坐标 点P0的坐标 两点间距离公式 点P0、Q之间的距离|P0Q |（ P0到l的距离） 运算量太大 探究一： l P0(x0，y0) x y o Q 探究二： 求出点R的坐标 求出点S的坐标 求出|P0R| 求出|P0S| 利用勾股定理求出|RS| 面积法求出|P0Q| l P0(x0，y0) x o Q S R l P0(x0，y0) x o Q S R l:By+C=0 P0(x0，y0) x y o Q l:Ax+C=0 P0(x0，y0) x y o Q 概念归纳 第二问还有其他解法吗？ 2.点到直线的距离公式的应用 新知探究 l1 l2 典例剖析 典例剖析 反思感悟　求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离． 概念归纳 用待定系数法求直线方程时一定要讨论斜率不存在的情况 典例剖析 x y o B M(-1,2) A 反思感悟　两点到直线的距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法． 概念归纳 l1 l2 Q x o P0(x0，y0) y 3.两条平行线间的距离含义 新知探究 注意点： (1)两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (3)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 概念归纳 x l1 y o l2 P0 Q 线线距 点线距 4.两条平行线间的距离的求法 新知探究 用此公式时，一定要注意将直线方程中x,y前的系数化为对应相同的形式！ l1 l2 Q x o P(x0，y0) y 典例剖析 先将x,y前的系数化为相同的形式，不然公式不可用 概念归纳 典例剖析 反思感悟　对于已知两直线间的距离求参数的问题，一般可列出关于距离的等式，解方程即可． 典例剖析 5.平行直线间的距离的最值问题 概念归纳 反思感悟　应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．   典例剖析 6.几类常见的对称问题 反思感悟　对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y)． (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得． (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题． 概念归纳 典例剖析 7.光的反射问题 反思感悟　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解． 典例剖析 8.利用对称解有关最值问题 反思感悟　利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，应注意两点在已知直线的同侧还是异侧． 概念归纳 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 分层练习-基础 AC 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 B 分层练习-巩固 分层练习-巩固 C 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂小结 例3　求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程． 解　方法一　由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意． 过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为＝，即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意． 故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 方法二　显然所求直线的斜率存在， 设直线方程为y＝kx＋b， 根据条件得 化简得或 所以或 所以所求直线l的方程为 y＝－4x＋6或y＝－x＋， 即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 2.点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A. B．2－ C.－1 D.＋1 答案　C 解析　由点到直线的距离公式得＝＝1，即|a＋1|＝. ∵a>0，∴a＝－1. 反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 例5　已知直线l1：2x＋y＋2＝0；l2：mx＋4y＋n＝0.若l1∥l2，且它们的距离为，求m，n的值． 解　依题意l1∥l2，则2×4＝1×m⇒m＝8， 此时l2：8x＋4y＋n＝0，即2x＋y＋＝0，故≠2，n≠8. 由于两条直线的距离为，所以＝，即＝5， 解得n＝28或n＝－12. 例6　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 解　(1)如图，显然有0<d≤AB. 而AB＝＝3. 故所求的d的变化范围为(0,3]． (2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．而kAB＝＝， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 例7　已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程． 解　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， 即解得 ∴点P′的坐标为(－2,7)． (2)解方程组得 则点在所求直线上． 在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 则 解得 点M′也在所求直线上． 由两点式得直线方程为＝， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程． (3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)， 则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4)． 因为点E′，F′在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为＝， 即3x－y－17＝0. 例8　一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程． 解　设原点O(0,0)关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上，得 解得 ∴点A的坐标为(4,3)． ∵反射光线的反向延长线过A(4,3)， 又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 联立解得 由于反射光线为射线， 故反射光线的方程为y＝3. 由光的性质可知， 光线从O到P的路程即为AP的长度， 由A(4,3)，P(－4,3)知，AP＝4－(－4)＝8， 即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8. 例9　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大； (2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小． 解　(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1， ∴a＋b－4＝0，① ∵BB′的中点在直线l上， ∴－－1＝0，即a－b－6＝0.② 由①②得 ∴点B′的坐标为(5，－1)． 于是AB′所在直线的方程为＝， 即2x＋y－9＝0. 易知PB－PA＝PB′－PA，当且仅当P，B′，A三点共线时，PB′－PA最大． ∴联立直线l与AB′的方程，解得x＝，y＝， 即l与AB′的交点坐标为. 故点P的坐标为. (2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)， ∴AC′所在直线的方程为 x＋3y－7＝0. 易知QA＋QC＝QA＋QC′，当且仅当Q，A，C′三点共线时，QA＋QC′最小． ∴联立直线AC′与l的方程，解得x＝，y＝， 即AC′与l的交点坐标为. 故点Q的坐标为. 1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是(　　) A．(－1，－3) B．(17，－9) C．(－1,3) D．(－17,9) 答案　A 解析　设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)， 则由解得 所以该点的坐标为(－1，－3)． 2．(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于(　　) A．0 B. C．3 D．2 答案　AB 解析　点M到直线l的距离d＝＝3， 所以m＝0或. 3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则MP的最小值是(　　) A. B. C. D．3 答案　B 解析　因为点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为MP的最小值，所以MP的最小值为＝. 4．已知A(1,4)，B(8,3)，点P在x轴上，则使AP＋BP取得最小值的点P的坐标是(　　) A．(4,0) B．(5,0) C．(－5,0) D．(－4,0) 答案　B 解析　因为A(1,4)关于x轴的对称点为A′(1，－4)，所以A′B所在的直线方程为y－3＝(x－8)，即y＝x－5，令y＝0得x＝5，所以P(5,0)． 5．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 6．两条直线y＝x,6x－4y＋13＝0之间的距离为(　　) A. B. C. D．13 答案　B 解析　因为两条直线的方程分别可化为 3x－2y＝0,3x－2y＋＝0，所以两直线平行， 所以两条直线之间的距离d＝＝. 1．(多选)直线l过点B(3,3)，若A(1,2)到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为(　　) A．3x＋4y－21＝0 B．4x＋3y－21＝0 C．x＝3 D．y＝3 答案　AC 解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3满足条件．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－3)，即kx－y＋3－3k＝0.由题意可得＝2，解得k＝－，所以直线l的方程为3x＋4y－21＝0. 综上，可得直线l的方程为 x＝3或3x＋4y－21＝0. 2．已知直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x－y＋5＝0互相垂直，则点(1,2)到直线l1的距离为(　　) A．1 B．2 C. D．2 答案　C 解析　由已知得，＝－a，＝1，∵l1⊥l2， ∴－a×1＝－1，解得a＝1. 此时直线l1的方程为x＋y－1＝0， ∴点(1,2)到直线l1的距离d＝＝. 3．若直线l平行于直线3x＋y－2＝0且原点到直线l的距离为，则直线l的方程是(　　) A．3x＋y±10＝0 B．3x＋y±＝0 C．x－3y±10＝0 D．x－3y±＝0 答案　A 解析　设与直线3x＋y－2＝0平行的直线方程为3x＋y＋m＝0，由原点到直线l的距离为，得＝，则m＝±10，所以直线l的方程是3x＋y±10＝0. 4.两平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于(　　) A．1 B．0 C. D．3 答案　A 解析　l1，l2的距离为d＝＝1. 5.两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是(　　) A. B. C. D. 　答案：C 解析　5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0. 由平行线间的距离公式可得d＝＝. 6.知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A．4 B. C. D. 答案　D 解析　因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行， 所以3∶2＝6∶m，所以m＝4. 直线6x＋4y＋1＝0可以转化为3x＋2y＋＝0， 由两条平行直线间的距离公式可得d＝＝＝. 7已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．4 B. C. D. 答案　D 解析　根据中点坐标公式得解得 所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝. 8.点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(　　) A．(6，－3) B．(3，－6) C．(－6，－3) D．(－6,3) 答案　C 解析　设点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(x，y)， 则解得 故点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(－6，－3)． 9.线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　) A．2x＋3y＋7＝0 B．3x－2y＋2＝0 C．2x＋3y＋8＝0 D．3x－2y－12＝0 答案　C 解析　∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变， ∴设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0， 又点(1，－1)到两直线的距离相等， ∴＝， 化简得|c－1|＝7，解得c＝－6 或c＝8， ∴l′的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或 2x＋3y＋8＝0， 即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0. 1．已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(0，－2) B．(2,4) C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1) 答案　C 解析　直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2,4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)． 2.已知x＋y－3＝0，则的最小值为________． 答案　 解析　设P(x，y)，A(2，－1)， 则点P在直线x＋y－3＝0上， 且＝PA. PA的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝. 3著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为(　　) A．2 B．5 C．4 D．8 答案　B 解析　∵f(x)＝＋ ＝＋， ∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和， 设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′， 则A′(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为求MA＋MB的最小值， 利用对称思想可知MA＋MB≥A′B＝＝5， 即f(x)＝＋的最小值为5. 4唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马“的最短总路程为(　　) A. B. C．2 D．10 答案　C 解析　如图所示， 设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)， 由题意可得 解得即C(7,4)， 在直线x＋y＝3上取点P，由对称性可得PB＝PC，所以PA＋PB＝PA＋PC≥AC ＝＝2， 当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立， 因此，“将军饮马“的最短总路程为2. 5已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，则的最小值为__________． 答案　1 解析　设点A(m，n)，B(a，b)，直线l1：3x＋4y＝6，直线l2：3x＋4y＝1.由题意知点A(m，n)在直线l1：3x＋4y＝6上，点B(a，b)在直线l2：3x＋4y＝1上，AB＝，由l1∥l2，得ABmin＝＝1. 6若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为________． 答案　15°或75° 解析　由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 1.知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0. (1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程； (2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系． 解　(1)当a＝0时，联立 解得 即m与n的交点为(－21，－9)． 当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0； 当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1， 将(－21，－9)代入得b＝－12， 所以直线l的方程为x－y＋12＝0， 故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0. (2)设原点O到直线m的距离为d， 则d＝＝， 解得a＝－或a＝－， 当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0， 此时m∥n； 当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0， 此时m⊥n. 2.直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. (1)试判断由此得到的△ABC的个数； (2)求直线BC的方程． 解　(1)如图，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)，点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3)． 根据光学知识，知点C在直线A′B上，点C又在直线B′A上，且直线A′B的方程为y＝(x－m)． 由得x＝. 又直线AB′的方程为y－2＝(x－1)， 由得x＝. 所以＝， 即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或m＝－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形．综上，符合题意的△ABC只有1个． (2)由(1)得m＝， 则直线A′B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 3.知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是. (1)求a的值； (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由． 解　(1)l2的方程即为2x－y－＝0， ∴l1和l2的距离d＝＝， ∴＝.∵a>0，∴a＝3. (2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上， 且＝×， 即c＝或c＝. ∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得 ＝•， ∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. ∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不符合题意． 联立方程 解得x0＝－3，y0＝，应舍去． 联立 解得x0＝，y0＝. ∴P即为同时满足三个条件的点． $$