第10讲 二次函数与幂函数(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版） 第10讲 二次函数与幂函数 目 录 易混易错练 3 常用结论 2 知识梳理 1 考点分类练 4 最新模拟练 5 【知识梳理】 1.二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)为顶点坐标; 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2为二次函数的零点 2.二次函数的图像和性质 函数 y=ax2+bx+c(a≠0) a>0 a<0 图像     3.幂函数 (1)幂函数的定义:一般地,函数　　　　　称为幂函数,其中α为常数.  (2)五种幂函数的图像 y=xα (3)五种幂函数的性质 幂函数　　　 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 定义域 　　  　　   　　  　 　  　 　 　　  值域 　　  　 　  　　  　　   　　 　　  奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性   　 　　　  　　 　  　 　  　 　 　　  公共点 (1,1) R R 单调递增 R [0,+∞) 当x∈[0,+∞)时,单调递增;当x∈(-∞,0)时,单调递减 R R 单调递增 [0,+∞) [0,+∞) 单调递增 {x|x∈R,且x≠0} {y|y∈R,且y≠0} 当x∈(0,+∞)时,单调递减;当x∈(-∞,0)时,单调递减 【常用结论】 1.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像的对称轴为x=m,当a>0时,若|x1-m|>|x2-m|,f(x1)>f(x2);当a<0时,若|x1-m|>|x2-m|,f(x1)<f(x2). 2.幂函数y=xα的图像在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1); (2)当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大 【易混易错练】 易错点1　误判幂函数的奇偶性而致错 解析 B 解析 易错点2　忽视幂函数的图象特点而致错 解析 BD 解析 -3 【考点分类练】 命题点1　二次函数的图象与性质 识别二次函数图象应学会“三看” 一看符号 看二次项系数的符号，它的正负决定二次函数图象的开口方向.若符 号不确定，要分类讨论. 二看对称轴 看对称轴和最值，它们决定二次函数图象的具体位置. 三看特殊点 看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交 点，函数图象的最高点或最低点等. 1. 二次函数的单调性取决于图象的开口方向及对称轴. 2. 二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：①轴定区间定；②轴动区间 定；③轴定区间动.当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 角度1　二次函数的图象及应用 【例1】.[2024江苏省苏州市]一次函数 y ＝ ax － b ( a ≠0)与二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ( a ≠0)在同一坐标系中的大致图象是(　B　) A [解析]　若 a ＞0，则一次函数 y ＝ ax － b ( a ≠0)为增函数，二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的图象开口向上，故可排除A；若 a ＜0，则一次函数 y ＝ ax － b ( a ≠0)为减函数，二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的图象开口向下，故可排除D；对于选项C，由直线可知 a ＜0， b ＞0，从而－ ＞0，即二次函数图象的对称轴应该在 y 轴的右侧，故应排除C. 故选B. 角度2　二次函数的性质及应用 【例2】.[2024江西景德镇统考改编]若函数 f ( x )＝ x 2－3 x －4在区间[ t ， t ＋2]上的最小值为6，则实数 t ＝ ⁠. [解析]　当 t ＋2≤ ，即 t ≤－ 时，函数 f ( x )在区间[ t ， t ＋2]上单调递减，则 f ( x )min＝ f ( t ＋2)＝( t ＋2)2－3( t ＋2)－4＝ t 2＋ t －6＝6，解得 t ＝－4或 t ＝3(舍去)；当 t ≥ 时，函数 f ( x )在区间[ t ， t ＋2]上单调递增，则 f ( x )min＝ f ( t )＝ t 2－3 t －4＝6，解得 t ＝5或 t ＝－2(舍去)；当 t ＜ ＜ t ＋2，即－ ＜ t ＜ 时，函数 f ( x )min＝ f ( )＝－ ≠6. 综上所述， t ＝－4或 t ＝5. －4或5 命题点2　幂函数的图象与性质 1. 对于幂函数的图象识别问题，解题关键是把握幂函数的性质，尤其是单调性、奇偶性、图象经过的定点等. 2. 比较幂值大小的方法 (1)同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较. (2)同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较. (3)既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来判断. 【例3】.[全国卷Ⅲ]已知 a ＝ ， b ＝ ， c ＝2 ，则(　A　) A. b＜a＜c B. a＜b＜c C. b＜c＜a D. c＜a＜b [解析]　因为 a ＝ ＝ ， b ＝ ＝1 ， c ＝ ，且幂函数 y ＝ 在R上单调递增，指数函数 y ＝16 x 在R上单调递增，所以 b ＜ a ＜ c .故选A. A 【最新模拟练】 1.[2024山西太原模拟]不等式 ax 2－ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜－2＜ x ＜1}，则函数 y ＝ ax 2－ bx ＋ c 的图象可能为(　A　) A B C D [解析]　因为 ax 2－ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜－2＜ x ＜1}，所以方程 ax 2－ bx ＋ c ＝0 的两根分别为－2和1，且 a ＜0，则函数 y ＝ ax 2－ bx ＋ c 的图象开口向下，且与 x 轴 的交点坐标为(1，0)和(－2，0)，故A选项的图象符合.故选A. A 2.[2024山东青岛模拟]函数 f ( x )＝ ax 2＋2 x ＋1与 g ( x )＝ xa 在同一直角坐标系中的图 象不可能为(　B　) A B C D B [解析]　对于A，抛物线开口向下，所以 a ＜0，不妨取 a ＝－1，此时 g ( x )＝ ，符 合；对于B，抛物线开口向上，所以 a ＞0，此时 g ( x )＝ xa 在(0，＋∞)上单调递 增，不符合；对于C，抛物线开口向上，所以 a ＞0，不妨取 a ＝ ，此时 g ( x )＝ ，符合；对于D，抛物线开口向上，所以 a ＞0，不妨取 a ＝2，则 g ( x )＝ x 2，符 合.故选B. 3.[2024安徽江淮十校联考]已知幂函数 f ( x )＝( m 2－5 m ＋5) xm －2是R上的偶函数， 且函数 g ( x )＝ f ( x )－(2 a －6) x 在区间[1，3]上单调递增，则实数 a 的取值范围是 (　B　) A. (－∞，4) B. (－∞，4] C. [6，＋∞) D. (－∞，4]∪[6，＋∞) [解析]　因为幂函数 f ( x )＝( m 2－5 m ＋5) xm －2是R上的偶函数，则 m 2－5 m ＋5＝ 1，解得 m ＝1或 m ＝4.当 m ＝1时， f ( x )＝ x －1，该函数是定义域为{ x ｜ x ≠0}的奇 函数，不符合题意；当 m ＝4时， f ( x )＝ x 2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题 意，所以 f ( x )＝ x 2，则 g ( x )＝ x 2－(2 a －6) x ，其图象的对称轴为 x ＝ a －3，因为 g ( x )在区间[1，3]上单调递增，则 a －3≤1，解得 a ≤4.故选B B 4.2024江苏省南通市模拟]已知函数 f ( x )＝－ x 2＋4 x ， x ∈[ m ，4]，若f ( x )的值域是[0，4]，则实数 m 的取值范围是(　C　) A. (－∞，2) B. (0，2] C. [0，2] D. [2，4] [解析]　画出函数 f ( x )＝－ x 2＋4 x 的图象，如图所示，易知 f (0)＝ f (4)＝0， f (2)＝ 4.因为 x ∈[ m ，4]时， f ( x )的值域是[0，4]，所以由图可知 m ∈[0，2].故选C. C 5.[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限 内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为(　A　) A. 2，，－，－2 B. 2，，－2，－ C. －，－2，2， D. －2，－，，2 A [解析]　如图所示，作直线 x ＝2分别与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4相交，因为函数 y ＝2 x 为增函数，所以22＞ ＞ ＞2－2，所以交点由上到下对应的 n 值分别为2， ，－ ，－2，由图可知，曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 值分别为2， ，－ ，－2.故选A. 6.（多选）已知幂函数 f ( x )＝ x α的图象经过点(16，4)，则下列说法正确的有(　BC　) A. f(x)是偶函数 B. f(x)是增函数 C. 当x＞1时，f(x)＞1 D. 当0＜x1＜x2时，＜f() BCD [解析]　因为幂函数 f ( x )＝ x α的图象经过点(16，4)，所以16α＝4，α＝ ，所以 f ( x ) ＝ ＝ ，由其图象可知，A错误，B正确；当 x ＞1时， f ( x )＞ f (1)＝1，故C正 确；由 f ( x )＝ 的图象可知 ＜ f ( )，故D正确.故选BCD. 函数 y=ax2+bx+c(a≠0) a>0 a<0 定义域 x∈R 值域 [,+∞) (-∞,] 单调性 在区间(-∞,-]上单调递减,在区间[-,+∞)上单调递增 在区间(-∞,-]上单调递增,在区间[-,+∞)上单调递减 奇偶性 当b=0时,为偶函数;当b≠0时,既不是奇函数也不是偶函数 图像特点 1 对称轴x=-;②顶点:(-) y= ①f(x)＝x－1只满足值域是{y|y∈R，且y≠0}；③f(x)＝x3只满足在(－∞，0)上单调递增；④f(x)＝xeq \f(1,3)只满足在(－∞，0)上单调递增；②f(x)＝x－2是偶函数，在(－∞，0)上单调递增，但其值域是{y|y>0}．故选B. 1．有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝xeq \f(1,3).某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y| y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随着x的增大而减小． (1)求m的值； (2)若满足(a＋1)2m<(3－2a)2m，求实数a的取值范围． (1)因为函数y＝x3m－9(m∈N*)在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3. 又因为m∈N*，所以m＝1或m＝2. 因为函数y＝x3m－9的图象关于y轴对称，所以函数y＝x3m－9为偶函数， 所以m＝1. (2)由(1)知m＝1，所以(a＋1)2<(3－2a)2，解得a>4或a<eq \f(2,3)，即实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))∪(4，＋∞)． 3．(多选)[湖南永州2021高一期末]下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增且图象关于y轴对称的是(　　) A．f(x)＝x3 　　　　　B．f(x)＝x2 C．f(x)＝x－2 D．f(x)＝|x| A选项，f(x)＝x3的定义域为R，在(0，＋∞)上单调递增，但f(－x)＝－x3≠f(x)， 即f(x)＝x3不是偶函数，其图象不关于y轴对称，排除A； B选项，f(x)＝x2的定义域为R，在(0，＋∞)上单调递增，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以f(x)＝x2是偶函数，其图象关于y轴对称，B符合题意； C选项，f(x)＝x－2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(0，＋∞)上单调递减，排除C； D选项，f(x)＝|x|的定义域为R，在(0，＋∞)上单调递增，且f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，所以f(x)＝|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，D符合题意．故选BD. 4．若函数f(x)＝(m2＋3m＋1)xm2＋m－1是幂函数，且其图象过原点，则m＝________. 因为函数f(x)＝(m2＋3m＋1)xm2＋m－1是幂函数，所以m2＋3m＋1＝1，解得m＝0或m＝－3.当m＝0时，f(x)＝x－1，其图象不过原点，舍去；当m＝－3时，f(x)＝x5，其图象过原点．综上，m＝－3. $$