2024年九年级中考数学 二次函数专题复习课件—— 二次函数的存在性问题

二次函数专题复习 二次函数的存在性问题 二次函数专题复习 平行四边形的存在性问题 ——对点法 情景引入 情景引入 平行四边形的存在性问题 对点法 平面内，线段AB平移得到线段A'B'， 得到： A B A' B' O x y 复习引入 ①AB∥A'B'，AB＝A'B'； ②AA'∥BB'，AA'＝BB'. 问题：如图，线段AB平移得到线段A'B'，已知点A(－2，2)， B(－3，－1)，B'(3，1)， 则点A'的坐标是 . (4，4) A B A' B' O x y (－2，2) (－3，－1) (3，1) M N 设A'(a，b) 【分析】 根据题意得： G 探索新知 H 中点坐标公式 B A O x y (x1,y1) (x2,y2) E 复习引入 如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、 C(x3,y3)、D(x4,y4)，这些点的坐标有什么关系呢？ C D A B O x y (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) (x4,y4) 探索新知 E 如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点坐标分别为A(x1,y1)、 B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，则这4个顶点坐标之间的关系是什么？ 平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等． 对点法 探索新知 O x y A B C 例1 平面直角坐标中，已知点A(－1，0)，B(1，－2)，C(3，1)，点D 是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 则点D的坐标是 . (－3，－3)或(1，3)或(5，－1) 三定一动 典例精析 【分析】 ①A与B对点： 设D(a，b) ②A与C对点： ③A与D对点： D1 D2 D3 归纳总结 平行四边形的存在性问题——对点法步骤 一、把平行四边形四个顶点的坐标表示出来； 二、选定其中一个点A,和其他点成对点； ①A与B对点： ②A与C对点： ③A与D对点： 三、运用平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和 也相等，列出方程组． 四、解方程组，得出顶点坐标. 二定二动 例2 如图，平面直角坐标系中，y＝－0.25x2＋x与x轴相交于点B，点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，且以点O、B、Q、P为顶点的四边形为平行四边形，写出相应的点P的坐标. O x y B 典例精析 解：当y＝0时，得:－0.25x2＋x＝0 解得：x1＝0，x2＝4 则O(0，0)，B(4，0) 设Q(2,a)，P(m,－0.25m2＋m) ∴对称轴为x＝2 典例精析 ①O与B对点： ②O与Q对点： ③O与P对点： 则O(0，0),B(4，0)，Q(2,a)，P(m,－0.25m2＋m) 综上：P1(2,1)或P2(－2,－3)或P3(6,－3). 二定二动 如图，平面直角坐标系中，y＝0.5x2＋x－4与y轴相交于点B，点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，写出相应的点Q的坐标. 成果展示 解：当x＝0时，得:y＝－4， 则B(0，－4) 设P(m,0.5m2＋m－4),Q(a,－a) 则P(m,0.5m2＋m－4),Q(a,－a)， B(0，－4)，O(0，0) ①P与Q对点： (舍去) 练一练 ②P与B对点： ③P与O对点： 则P(m,0.5m2＋m－4),Q(a,－a)，B(0，－4)，O(0，0) (舍去) 四动 例3 已知抛物线y＝x2－2x＋a(a＜0)与y轴相交于点A，顶点为M，直线y＝0.5x－a与y轴相交于点C，并且与直线AM相交于点N，若点P是抛物线上的动点，求出使得P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形时点P的坐标. 典例精析 解：当y＝0时，得:y＝a(a＜0)， 则A(0，a) ∵直线y＝0.5x－a与y轴相交于点C ∴C(0，－a) ∵点N是直线y＝0.5x－a与直线y＝－x＋a的交点 ∵抛物线y＝x2－2x＋a(a＜0)顶点M(1,a－1) ∴直线AM的解析式为 y＝－x＋a 典例精析 设P(m,m2－2m＋a) ①P与A对点： (舍去) ②P与C对点： ③P与N对点： 典例精析 (舍去) (舍去) (舍去) 课堂小结 二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题 对点法 ①把平行四边形四个顶点的坐标表示出来； ②选定其中一个点,和其他点成对点； ③运用平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和 也相等，列出方程组． ④解方程组，得出顶点坐标. 步骤 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于 A(－4，0)，B(2，0)两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)抛物线上是否存在点Q，且满足AB平分 ∠CAQ，若存在，求出Q点坐标；若不 存在，说明理由； (3)点N为x轴上一动点，在抛物线上是否 存在点M，使以B，C，M，N为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，直接写 出点M的坐标；若不存在，说明理由． 课后作业 三角形面积与点的存在性问题 二次函数专题复习 新课引入 A B C A1 y X X y O O B1 思考：如何求出下列两个三角形的面积？ 找出三角形的底和高 再代入三角形的面积公式计算 先算出长方形的面积，再减去剩余三角形的面积 例题讲解 A B C 1.如图，二次函数 的图像与X轴交于点A（0,0），B（5,0)。抛物线的顶点坐标为C，求图中 的面积？ （1）求出顶点C的坐标 （2）代入三角形面积公式算出三角形的面积 （3） 例题讲解 2.如图，二次函数 的图像与x轴交于点B（5,0）与Y轴交于点C（0,5）M为抛物线的顶点，其中M（2，9）求 的面积？（讨论一下，你有多少种算面积的办法？） M C B 试一试 1.如图抛物线解析式为 ,与x轴交于点o，A（-2,0）,在抛物线上是否存在一点P，使 的面积为3。若存在求出点P的坐标？ A 归纳解题步骤： （1）设出P点坐标，构图 （2）找出三角形的底和高，（一般点P的横，纵坐标就是三角形的底或高） （3）代入三角形面积公式列出方程 （4）求出方程的解（一般，解就是P的横坐标） P 试一试 2.如图抛物线 与X轴交于点B（2,0）与Y轴交于点C（0，-4）若P是抛物线上且在直线BC下方的点，求 面积的最大值？ A B C P 备注：当P（1，-4）时三角形的面积最大为3 试一试 P C B 3.如图抛物线的解析式为 与x轴交于点B（2,0）与Y轴交于点C（0,4） 在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形COBP的面积最大，若存在求出点P的坐标？和四边形面积的最大值。 （1）P（1，4） （2）四边形COBP面积的最大值为6. 小结 在二次函数中求三角形面积的方法; （1）代入三角形面积公式 （2）可仿照在网格图中，求三角形面积的方法，用长方形的面积减去剩余三角形的面积即可。 （3）可以通过画辅助线，把三角形的面积，分割成几个易计算面积的三角形，再将各部分面积相加；（辅助线的画法通常是过点P画x轴的平行线，或过点P画Y轴的平行线。) 相似三角形存在性问题 二次函数专题复习 知识必备 判定1：三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）； 相似三角形的判定定理 判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似(SAS)； 判定3：两角对应相等的两个三角形相似(AA). 必备知识： 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1=k1x+b1，y2=k2x+b2 （1）两点间的距离公式： （2）中点坐标公式： （3）两直线垂直时k的关系： k1×k2=-1 （4）直线的斜率公式： 知识必备 解决相似三角形存在性问题的思路： 在相似三角形存在性问题中，常用“SAS”与“AA”判定两个三角形相似. 思路1：利用“SAS”解题时，一般分三步： （1）寻找一组等角；（2）分情况列比例式（利用“自己比自己”即：夹等角的两边成比例）；（3）解方程并检验. 思路2：利用“AA”解题时，先找一组等角，在分两种情况讨论另外两组对角相等. 典例精析 如图1，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，-3）．点Q是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标． y=x²-2x-3 典例精析 典例精析 归纳小结 解决“三角形的存在性问题”只需要三步： （1）算已知： 先确定三角形的边长和角度； （2）找等角： 讨论可能相等的角； （3）列比例： 根据角的两边比例关系分类讨论列比例求坐标. 注意： （1）若题目中已知△ABC与△DEF相似且没有用明确对应边时，此时应分六种情况讨论： 1）△ABC∽△DEF 2）△ABC∽△DFE 3）△ABC∽△EDF 4）△ABC∽△EDF 5）△ABC∽△DFE 6）△ABC∽△FED （2）若题目中已知△ABC与△DEF相似且有一组角相等（如∠A=∠D）时，此时只有两种分类讨论： 1）△ABC∽△DEF 2）△ABC∽△DFE 注意固定一个三角形，另一个顶点轮换位置. 如图，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 针对性练习 答案：P(2,1)或(-3,-14)(5,-2)或(0,-2) 当堂练习 1.如图，以D为顶点的抛物线y=-x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=-x+3． （1）求抛物线的表达式； （2）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：Q(9,0)或(0,0) 当堂练习 2.如图，抛物线经过原点O（0,0），点A（1,1），点B（ ，0）. （1）求抛物线的解析式； （2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C,连接OC，求△AOC的面积； （3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N，问：是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 答案： 作业布置 如图，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A（8,4），与x轴交于点B,且对称轴是直线x=3. （1）求该二次函数的解析式； （2）P是x轴的一个动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，是否存在点P，使得以O、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 答案：P(8,0)或(-2,0)(14,0)或(4,0) $$