1.4 空间向量的应用（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1．4空间向量的应用（单元教学设计） 一、【单元目标】 【知识与能力目标】 （1）能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量. （2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系. （3）能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理. （4）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离问题. （5）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（夹角）问题. （6）理解用向量方法解决立体几何问题的程序，并用来解决立体几何问题，体会向量方法的作用. 【过程与方法目标】 （1）通过观察、分析、归纳等数学活动，培养学生抽象思维和逻辑推理能力。 （2）通过小组合作探究，培养学生团队协作和解决问题的能力。 （3）通过实际问题的解决，体会向量方法在立体几何中的应用价值。 【情感态度价值观目标】 （1）激发学生学习数学的兴趣，培养探究精神。 （2）培养学生严谨求实的科学态度，勇于质疑、敢于创新的精神。 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 学生已掌握平面向量基础及立体几何初步知识，为学习空间向量提供了必要铺垫。然而，空间向量的抽象性和运算复杂性可能构成学习难点，部分学生可能在理解向量概念和进行向量运算时感到困惑。因此，在教学中需加强直观教学，帮助学生理解空间向量的概念和运算规则，并注重练习巩固，提升学生的应用能力。同时，要关注学生的学习兴趣和态度，通过展示实际应用实例，激发学生的学习兴趣，引导他们积极探索和解决空间向量问题。 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约4课时 教学重点：用向量方法解决立体几何中的平行、垂直、距离和夹角等问题。 教学难点：（1）如何将复杂的立体几何问题转化为向量问题，并运用向量方法进行求解。（2）如何灵活运用向量方法解决不同类型的立体几何问题。 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 问题1：我们类比用平面向量可以解决平面几何问题，你认为用空间向量解决立体几何问题时，首先要做什么? 【破解方法】学生独立思考，回忆用平面向量解决平面几何问题的过程，通过类比，可以明确用空间向量解决立体几何问题时，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面. 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．点的位置向量 问题2：如何用向量表示空间中的一个点? 【破解方法】学生独立思考、作答，教师帮助总结. 【归纳总结】 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.如图. 2．空间直线的向量表示式 问题3：空间中给定一个点和一个方向就能唯一确定一条直线，你能将空间中确定直线的这组条件转化为向量表示吗? 【破解方法】教师提问，学生回顾、作答，教师帮助补充完善． 【归纳总结】 直线的方向向量 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 3.空间平面的向量表示式 问题4：我们知道，三个不共线的点、两条相交直线或两条平行直线都能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗? 【破解方法】学生独立思考、作答，小组交流后，再派代表作班级发言，教师帮助总结． 【归纳总结】 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 4.平面的法向量 问题5：我们知道，给定空间一点和一个向量，那么过点且以为方向向量的直线是唯一确定的.能否以点和向量确定一个平面呢? 【破解方法】学生独立思考后小组讨论，教师帮助学生总结． 【归纳总结】 平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 问题6：给定一个平面, 该平面的法向量唯一吗? 【破解方法】学生画图后, 容易发现法向量不唯一. 5.空间中直线、平面平行的向量表示 问题7：我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量. 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系? 反过来, 由直线的方向向量、平面的法向量之间的平行关系，可以得到直线、平面的什么关系? 【破解方法】学生独立思考、作答，教师引导． 【归纳总结】 （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 6.用向量方法判定空间的垂直关系 问题8：类比空间中直线、平面平行关系的研究方法，你认为可以按怎样的路径研究空间中直线、平面的垂直关系? 【破解方法】学生独立思考、作答，教师引导． 【归纳总结】 （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 7.用向量方法求空间距离 问题9：给定一条直线和直线外一点，如何用向量的方法求点到直线的距离? 【破解方法】教师引导学生分析, 用向量法解决几何问题． 【归纳总结】 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 问题10：你能类比点到直线的距离公式的推导过程，推导出点到平面的距离公式吗? 【破解方法】学生独立思考，然后分组讨论交流；教师巡视、点拨． 【归纳总结】 求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 8.用向量方法求空间角 问题11：我们怎样利用向量方法求两异面直线所成角？ 【破解方法】学生独立思考，然后分组讨论交流. 【归纳总结】 异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． 问题12：我们如何求直线与平面所成的角? 【破解方法】教师引导学生分析解题思路，如果根据直线与平面所成角的定义求解，把问题转化为求直线的方向向量和平面的法向量所成的角. 【归纳总结】 直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． 问题13：类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何求二面角? 【破解方法】学生思考、回答, 教师与学生共同总结. 【归纳总结】 二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：求直线的方向向量与平面的法向量 【典例1-1】如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，求直线AE，BF的方向向量． 【解析】在△中，，，则， 在△中，，，则， ∵在△中，E是CD的中点， ∴，而，即， ∴在△中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、. 【典例1-2】如图在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的法向量； (2)求平面的法向量． 【解析】（1）因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量． （2）因为，，，M是的中点，所以M，C，的坐标分别为，，．因此，． 设是平面的法向量，则 ，． 所以 所以 取，则，．于是是平面的一个法向量． 【变式1-1】如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量； （2）求平面的一个法向量． 【解析】易知，，，. (1)，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， 所以平面的一个法向量为； (2) ，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， 所以平面的一个法向量为 题型二：利用向量研究平行问题 【典例2-1】证明“平面与平面平行的判定定理”：同一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 已知： ，，，，． 求证：． 【解析】取平面的法向量，直线a，b的方向向量，． 因为，，所以，． 因为，，， 所以对任意点，存在x，，使得． 从而． 所以，向量也是平面的法向量．故． 【典例2-2】如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？ 【解析】以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A，C，的坐标分别为，，，所以 ，． 设是平面的法向量，则，，即 ，所以， 取，则，．所以，是平面的一个法向量． 由，C，的坐标分别为，，，得，．设点P满足，则，所以． 令，得，解得，这样的点P存在． 所以，当，即P为的中点时，平面． 【变式2-1】如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点．在线段上是否存在点Q，使得平面？ 【解析】如图，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设面的法向量,则,即. 令得 因为平面，所以,即. 所以得， ,所以. 因为，，所以存在在三等分点处靠近，使得平面. 题型三：利用向量研究垂直问题 【典例3-1】如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 【解析】设，，，则为空间的一个基底且，，. 因为AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°， 所以，. 在平面BDD1B1上，取、为基向量，则对于面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得. 所以，. 所以是平面BDD1B1的法向量． 所以A1C⊥平面BDD1B1. 【典例3-2】证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 已知：如图，，， 求证：． 【解析】证明：取直线l的方向向量，平面的法向量． 因为，所以是平面的法向量． 因为，而是平面的法向量，所以． 所以． 【变式3-1】如图，在正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且． 求证：（1）； （2）． 【解析】（1）如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，因为，，所以，，所以，，所以，所以 （2）由（1）可知，所以，所以 题型四：异面直线所成的角 【典例4-1】如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别为，的中点，求直线和夹角的余弦值． 【解析】因为四面体为正四面体且棱长为1，所以. 易知，， 设向量与的夹角为，则直线和夹角的余弦值等于． ． 又和均为等边三角形，所以， ． 所以直线和夹角的余弦值为． 【典例4-2】如图，M，N分别是正方体的棱和的中点，求： （1）MN和所成角的大小； （2）MN和AD所成角的大小． 【解析】 构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，若正方体的棱长为2，则，，，，， （1），，又MN和所成角范围为， ∴，故MN和所成角为. （1），又MN和AD所成角范围为， ∴，故MN和AD所成角为. 【变式4-1】如图，在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点．求异面直线AN，CM所成角的余弦值． 【解析】连结，取的中点，连结， 则，是异面直线，所成的角， ，，， 又，， ， 异面直线，所成的角的余弦值为． 题型五：线面角 【典例5-1】如图，在三棱锥中，OA，OB，OC两两垂直，，．求直线OB与平面ABC所成角的正弦值． 【解析】构建以为原点，为x、y、z轴的正方向的空间直角坐标系，如下图示， ∴，，，则，，， 若是平面ABC的一个法向量，则，令，则， ∴，故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为. 【典例5-2】是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一： 如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又平面，则， 有 故． 已知， 故为所求． 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选B． 题型六：二面角 【典例6-1】如图，在直三棱柱中，，，，P为的中点，点Q，R分别在棱，上，，．求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角． 因为平面，所以平面的一个法向量为． 根据所建立的空间直角坐标系，可知，，． 所以，．设， 则，，所以 取，则． 设平面与平面的夹角为，则 ． 即平面与平面的夹角的余弦值为． 【典例6-2】如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F. (1)求证：平面EDB； (2)求证：平面EFD； (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 【解析】（1）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别 为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设. 依题意得，，，. 所以，，. 设平面EDB的一个法向量为， 则有即 取，则， 因为平面EDB，因此平面EDB. （2）依题意得， 因为， 所以. 由已知，且， 所以平面EFD. （3）依题意得，且，. 设平面CPB的一个法向量为， 则即， 取. 易知平面PBD的一个法向量为， 所以. 所以平面CPB与平面PBD的夹角为. 【变式6-1】在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记． （1）求MN的长； （2）a为何值时，MN的长最小？ （3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值． 【解析】如图建立空间直角坐标系， ，， ， ， ，， ． （1）； （2）， 当时，最小，最小值为； （3）由（2）可知，当，为中点时，最短， 则，0，，，，，取的中点，连接，， 则，，， ，，，， 是平面与平面的夹角或其补角． ，， ． 平面与平面夹角的余弦值是． 题型七：距离问题 【典例7-1】在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离． 【解析】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系， 则，，，，，， ∴，，，，，， 取，， ， 则点B到直线AC1的距离为； （2）∵， ∴， 而平面，平面， ∴平面， ∴点到平面的距离即为直线到平面的距离， 设平面的法向量为，则， ∴， ∴，取，则，， ∴， 又， ∴点到平面的距离为. 【典例7-2】如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到直线的距离； （3）求点到平面的距离； （4）求直线到平面的距离． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 （1）因为， 所以. 所以点到直线的距离为. （2）因为所以，即 所以点到直线的距离即为直线到直线的距离. 所以直线到直线的距离为 （3）设平面的一个法向量为， . 由 令，则，即. 设点到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为. （4）因为所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离. ，由（3）得平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 环节四：小结提升，形成结构 问题14：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）用向量方法解决空间直线、平面平行与垂直问题的一般步骤是什么? （2）在推导点到直线、点到平面的距离公式的过程中, 最关键的步骤是什么? （3）我们怎样用向量的方法解决空间的角度问题？ 【破解方法】学生独立思考，交流呈现，相互补充，师生共同归纳概括． 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，所以，， 所以， 故选：A. 2．如图在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点. (1)求点B到直线的距离； (2)求点B到平面的距离. 【解析】（1） 如上图，以点为坐标原点，、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， 取，， 则，， ∴点B到直线的距离为. （2）由（1）知，，， 则，， 设平面的法向量为，则 ∴，即，取，则，， ∴， 又∵， ∴点B到平面的距离为. 3．在长方体中，，，．以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面的一个法向量． 【解析】由题可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则平面的一个法向量为. 4．在平行六面体中，，，，O是与的交点．以为空间的一个基底，求直线OA的一个方向向量． 【解析】因为，，，如图 因为，， 所以 所以直线的一个方向向量为 5．如图，在四面体ABCD中，E是的中点．直线AD上是否存在点F，使得？ 【解析】假设直线AD上存在点F使，设， ，因为E是的中点，所以， ，若，则， 即，所以，即， 所以 ，此时显然不成立，所以不存在点F，使得. 6．如图，在长方体中，，，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面平面． 【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设面的法向量为，则，即，令，则，所以； 设面的法向量为，则，即，令，则，所以； 因为，所以 所以平面平面． 7．如图，和所在平面垂直，且，．求： （1）直线AD与直线BC所成角的大小； （2）直线AD与平面BCD所成角的大小； （3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值． 【解析】设，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标： ，， ， ， （1）， ，所以AD与BC所成角等于90°． （2），显然为平面BCD的一个法向量 ∴直线AD与平面BCD所成角的大小 （3）设平面ABD的法向量为则 所以，即，令，则， 则 设平面ABD和平面BDC的夹角为，则 因此平面ABD和平面BDC的夹角的余弦为． 8．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点． （1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证： （2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：． 【解析】（1）因为，，所以， 即，因为，所以． （2）因为，，， 所以． 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第43页习题1．4第1、3、4、5、6、9、10题． 【设计意图】复习巩固本节所学的内容． 七、【教学反思】 在教学过程中，我主要突出了以下几个方面：首先，我着重强调了运用向量法解决立体几何问题的基本程序，旨在培养学生的数学建模思想和逻辑推理能力，使他们能够更系统地理解和应用向量知识。其次，我通过典例解析的方式，深入剖析了典型问题的解决过程，帮助学生建立起运用空间向量解决立体几何问题的基本思路，使他们能够更好地掌握这一方法。同时，我在教学设计上充分考虑了学生的心理特点和认知规律，注重触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。此外，我还特别注意在探究问题时留给学生充分的时间，鼓励他们主动思考和探索，使数学教学成为数学活动的教学。通过这样的教学方式，我期望能够进一步发展学生的直观想象、逻辑推理和数学建模等核心素养。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$