23.3 相似三角形-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级上册数学（华东师大版）

指南针·课堂线化·无年纸上屏·数学(HS 23.3 相似三角形 【变式训练1】如图，D,E分别在△ABC 第1课时 相似三角形 的边AB、AC上，△ADE∽△ABC,且AD 3cm,BD=2cm,则△ADE与△ABC的相似比 基 础 导学 为 ,△ABC与△ADE的相似比为 ,DE BC= 1.相似三角形是指对应角 ,对应边 考 点②相似三角形对应边、对应角的识别 的两个三角形，用符号“”表示，把对应 【例2】 如图所示，△ABC∽△ADE, 边的比叫 当相似比为1时，两个三角 ∠ADE=∠B,则下列比例式正确的是() 形为 三角形 A.能DC AE AD 2.平行于三角形一边的直线所截得的三角 形和原三角形 B福是 典例探 究 AD_DE 考点① 相似三角形的定义 品 D. 【例1】如图所示，已知△ABC∽△ADE, AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,/BAC= 45°，∠ACB=40°. 求：(1)∠AED和∠ADE 规律与方法：找对应角、对应边的方法：对应 的度数； 角所对的边是对应边：最大角对的边是对应边： (2)DE的长 两对应角所夹的边是对应边；大边对应大边，小 边对应小边。 【变式训练2】（东营中考）如图，点D为 △ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点 E,连接BE、CD相交于点F,则下列等式中不成 立的是 ( A. ADAE DB EC B. DE DF BC FC c 规律与方法：相似三角形的定义既是相似三 EF 角形的特征，又是三角形相似的识别方法. 74· 第23章用形的相似 考点3相似三角形的判定方法（平行法） 课 后 演 练 【例3】如图，在□ABCD中，点E在边 BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE, EF与CD交于点G. 【基础过关】 (1)求证：BD∥EF: 1.如图，已知△ADEc∽△ABC,且DE:BC=2:3, (2若瓷-号5E-4 若AB=6cm,则AD的长为 () 求EC的长 A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm 2.△ABC的三边长为2，√10,2，△A'B'C'的最 短边是1，最长边是√5，如果△ABC∽△A'B C',那么△A'BC'的第三边长应为 () A号 B.2 C.2 D.22 规律与方法：当题目中出现平行线，尤其是 3.如图，点P是ABCD边AB上的一点，射线 出现这样的基本图形时，我们要首先考虑利用平 CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三 行线来证两个三角形相似， 角形有 () 【变式训练3】如图，在△ABC中，AB 8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平 分线，BD交AC于点E,求AE的长， A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 4.已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为2：3， △AB,C1△A2B2C2,相似比为3：4，则 △ABC和△AB2C2的相似比为 5.如图是边长为1的小正方形组成的网格，△ABC 与△ABC1都是格点三角形（顶点在网格交点 处)，并且△ABC∽△ABC1,则△ABC与△A BC的相似比是 第5题图 第6题困 6.如图，在△AB℃中，AB=9,AC=6,D为AB边 上一点，且△ABC∽△ACD,则AD=: ·75· 指而针·课堂线化·元年纸上屏·数学(HS】 7.如图，△ABC∽△CBD,BC=5,DB=1,∠A 的“和谐分割线”.如图，线段CD是△ABC =30°，∠B=45. 的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形， (1)求AB的长： △BCD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB (2)求∠BCD和∠BDC的度数. 的度数为 11.如图所示，□ABCD中，AC与BD相交于点 O,E为OD的中点，连结AE并延长交DC 于点F,求DF:FC的值. 8.如图，△ADE△ABC,∠A=70°，∠B=45°， AE=3cm,EB=4cm,AD=4cm,求∠ADE 的度数及AC的长 【创新探究】 12.已知△ABC的三边长分别为20cm,50cm, 【能力提升】 60cm,现要利用长度分别为30cm和60cm 9.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠， 的旧木条各一根，做一个三角形木架与 使点B落在边AC上，记为点B,折痕为EF △ABC相似，要求以其中一根为边，将另一 已知AB=AC=3,BC=4,若以点B',F,C为 根截成两段（允许有余料）作为另两边，求另 顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长 外两边的长度. 度是 第9题图 第10避图 10.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的 线段把三角形分成两个小三角形，如果其中 一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三 角形相似，那么把这条线段定义为原三角形 ·76· 第23章明形的相以 (2)如图，在△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥1 第2课时相似三角形的判定（一） AB于点D,则图中相似三角形共有 () 基导 学 如果一个三角形的两个角分别与另一个三 角形的两个角 ,那么这两个三角形 A.1对B.2对C.3对 D.4对 相似. 考点②相似三角形判定（一）与性质的综合应用 【例2】如图，在菱形ABCD中，G是BD 典例 探究 上一点，连结CG并延长交BA的延长线于点 F,交AD于点E. 考点①相似三角形的判定（一） (1)求证：AG=CG: 【例1】如图所示，点B、D和点C、E分别 (2)求证：AG=GE·GF. 在∠A的两边上，BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别 为点E、D,BE和CD相交于点F,问图中有哪 几对相似三角形？请一一说明理由。 规律与方法：利用两角对应相等判定两个三 角形相似，要特别注意图形中隐含的相等的角， 如对顶角、公共角等，如两个三角形是直角三角 形，则只需再找一组角即可。 【变式训练1】(1)在△ABC和△A'B'C 中，∠B=∠B=90°，∠A=30°，以下条件，不能 证明△ABC和△A'B'C'相似的是 () 规律与方法：证明等积式通常证明两三角形 A.∠A'=30 B.∠C'=60 相似，三条线段在同一条直线上，不能构成三角 C.∠C=60 D.∠A=2∠C 形，要利用线段相等转移。 ·77· 指南针·课堂线化·元年纸上屏·数学(HS】 【变式训练2】如图，在△ABC中，AB=3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC AC,∠A=36°，BD是∠ABC的平分线，求证： 上，DE∥BC,∠ACD=∠B,那么图中一定相 BC2=AC·CD. 似的三角形共有 () A.2对 B.3对C.4对 D.6对 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D,若 AC=6,AD=4,则斜边AB的长为 5.如图，∠1=∠2，∠B=30°，∠D=80°，当∠E为 时，△ADE与△ACB相似. 第5题图 第6题图 6.(北京中考)如图，在矩形ABCD中，若AB=3, AC=5能-则AE的长为 课后演练 7.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,沿直 线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC 【基础过关】 于点O. 1.在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点， (1)求证：△COM△CBA: 连结BE,交AC于点F,则AF:CF=() (2)求线段OM的长度. A.1:2B.1:3C.2:3 D.2:5 第1题图 第2题图 2.(2022·凉山州)如图，在△ABC中，点D、E分 别在边AB,AC上，若DE∥BC,品-号，DE =6cm,则BC的长为 () A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm ·78· 第23章明形的相以 8.如图所示，在△ABC中，AB=AC,BC的延长11.如图，在正方形ABCD中，点O是对角线 线上有一点D,CD=BC,CE⊥BD于点C,交 AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分 AD于点E,BE交AC于点F. 别交BC、CD于点E、F,且∠EOF=90°， 求证：(1)△BCFc∽△DBA:(2)AF=CF OC、EF交于点G.给出下列结论： ①△COE≌△DOF;②△OGE∽△FGC;③ 四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积 的：④DFP+BE=OG·OC.其中正确的 是 【能力提升】 12.如图，在△ABC中，AB=AC,点P、D分别 9.如图，AC⊥AB,BE⊥AB,AB=10,AC=2.用 是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B. 一个三角尺进行如下操作：将直角顶点P在 (1)求证：AC·CD=CP·BP: 线段AB上滑动，一直角边始终经过点C,另 (2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时，求 一直角边与BE相交于点D,若BD=8,则 BP的长 AP的长为 第9题图 第10题图 10.如图所示，若△ABC内一点P满足∠PAC =∠PBA=∠PCB,则点P为△ABC的布 洛卡点.三角形的布洛卡点(Brocardpoint) 是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L. Crelle1780-1855)于1816年首次发现，但他 的发现并未被当时的人们所注意，1875年， 布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛 卡(Brocard1845-1922)重新发现，并用他的 名字命名.问题：已知在等腰直角三角形 DEF中，∠EDF=9O°，若点Q为△DEF的布 洛卡点，DQ=1,则EQ+FQ= ·79· 挡南针·课堂线化·无年纸上册·数学(HS】 【创新探究】 第3课时 相似三角形的判定（二） 13.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm,BC=8cm,动点P从点B出发，在BA 基劭导学 边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动， 如果一个三角形的两条边与另一个三角形 同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒 的两条边对应 ,并且 相等， 4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t 那么这两个三角形相似， 秒(0<t<2),连结PQ. (1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值： 典 例 探究 (2)连结AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值. 考点① 三角形相似的判定（二） 【例1】已知：如图所示，在正方形ABCD 中，P是BC上的点，且BP=3PC,Q是CD的 中点，求证：△ADQ∽△QCP. 规律与方法：识别两三角形相似，要根据题 目条件，从不同角度选择恰当方法，一般思路是： 先找两对角对应相等，若只有一角对应相等，再 找夹这个角的两边的比是否相等，若出现平行 线，可直接考虑基本图形 ·80· 第23章咽形的推以 【变式训练1】(1)如图，已知△ABC,则下 组比即可)并证明你的猜想， 列4个三角形中，与△ABC相似的是 ( L30 75° 0 (2)下列四组图形中一定相似的是 A.各有一个内角为40的两个等腰三角形 B.有两边之比2：3的两个三角形 C.两直角边之比为3：4的两个直角三 角形 D.各有一个外角为100的等腰三角形 (3)能判定△ABC与△A'B'C'相似的条 件是 ( A带怨 B光怒且∠A=∠C C0瓷且∠B-∠B n常-怨且∠B=∠B 考点②相似三角形判定与性质的综合运用 【例2】如图所示，点E是四边形ABCD 的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC =∠DAE. 规律与方法：本题主要考查通过证明两三角 形相似得出比例线段的方法，关键在于熟练掌握相 似三角形的判定方法和性质，这类猜想比例线段间 题，要把给出的线段放回三角形中去观察探索， 【变式训练2】如图，网格中的每个小正方 (1)求证：BE·AD=CD·AE 形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格 点，△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的 (2)根据图形特点，猜想可能等于哪两 延长线交AB于点F. 条线段的比？（注：只需写出图中已有线段的一 (1)求证：△ACB∽△DCE: ·81· 指南针·课堂线化·无年纸上屏·数学(HS (2)求证：EF⊥AB. 4.如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、 AB上，且把-3AE-BE,则有 () A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD 5.在△ABC中，AB=8,AC=6,在△DEF中， DE=4,DF=3,要使△ABC与△DEF相似， 则需添加的一个条件是 (写出 课后演练 种情况即可). 6如图，点D在△ABC的AB边上，当把 【基础过关】 时，△ACD与△ABC相似. 1.根据下列条件，不能判定△ABC和△DEF相 似的是 () A.∠A=40°，∠B=∠E=58,∠D=82 R∠A=∠D=40能E 第6题图 第7题图 c∠c-∠F-40品0 7.如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中 点，P是BC上一点，要使△ABP与△ECP相 n∠A=∠D=4器0 似，还需具备一个条件是 2.如图1，图2，根据图中所标注的数据，能够推 得三角形①与②相似的是 ( 8.△ABC中，∠A=60°，BE,CD为高，DE=4, 求BC的长 5 15y 709 8 图1 图2 A.都相似 B.都不相似 C.只有图1相似 D.只有图2相似 3.△ABC中，∠A=30°，BD是AC边上的高，若 肥品则∠AC的度数为 ( A.30° B.60° C.90° D.30°或90° ·82· 第23章用形的相似 【能力提升】 【创新探究】 9.如图，AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4, 12.如图，甲、乙两人分别从A(1,√3)，B(6,0)两 BD=14.点P在BD上移动，当以P,C,D为 点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方 顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长 向，乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，t 为 h后，甲到达M点，乙到达N点. (1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与 AB不可能平行： (2)当t为何值时，△OMN∽△OBA. 10.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB, MN=1,线段MN的两端点在CB,CD上滑 动，当CM 时，△AED与以 M,V,C为顶点的三角形相似， 11.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边BC上 移动（点E不与点B,C重合），满足∠DEF ∠B,且点D,F分别在边AB,AC上 (1)求证：△BDE∽△CEF: (2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE 平分∠DFC. ·83·晋南针·果堂化化·九年级上箭·数学(s) 日)可用函数观么认视二元一赏方程经的事（答案不形一， 【4+e- ,因迪无★D是平行国进形 黄壶5 份雀为攻-士业止-物m 【9g=号=寸= 0-王温-器 a号一青②-号m士而 以.e=Eand=mc=2B线 41H论： 23.2相似图形 2.3实跋与探究 c1当u+h+(≠0时-器生2- 蒸码得学 【9w】5 第青保时教宇，面：闪指 4tkFe L,等成比例之.相口民 【别12一1 基正导华 明一次网数为y=士十2，与上输交干A一，0，与，轴深后清练 1审道等量关系数？问题 【0网1E,4--+D7-4X4k-号)-w 交TB0,9 1A1DA4多是#1招8 银后演流 一出十9=（一3，“无论电刺值，（学一3护改，期友 5w“号×1×2= 6而t4无27m系5m夜20m L41H3.A4C5-3减l9 程总有窝数根.（△A的调长为+A十=( 2考a6+-0时，-士-三--1 9=6,y=1B,x=6,∠e=11,∠3=01nLE 7.108.24am及1长40n宽20m(210mf 【时】每周定限定参观岭人数是0人门票便精是》无 10,这个再化数为241l.152山1.6减4.8 第22章章末剥试 圆y=一一1，与x轴交(《一140， 山运中上是黄金距形 2分明在0,5的明-再只每取与0，点最的兰角形1.C上A1D+B5BC1.非系B 与y轴于D(0,一1 23.3相似三角形 的面积是》， 》不5a容一1一2-冬 m-}×1x1- 第】保时相叙三角彩 第上课时增天平问周 幕上果时平什战分线具成比例 感碑得学 基鞋导学 A1从}小号 基碧导学 1等昆比闭图氧比全零之，相 基数变对后整增长或释其的百分市 需后需降 1核n-8+而--万2-弩-g 3平行 表后演体 1.B3C人D414754164 1A去DAB4C多2 8n-一者州 混后浅陈 直0+1++01+r产=00天.2写 上A2DaB4是系51点5的7.0m 下.1AB=子2∠D=3,∠C■105 是该故贵样物《料的城古丹伦销作址的月华约地长事压月，一生正 2 利=5，行准一4 8=1,GK=4F=0象D=21n号 R∠Ae-5a-= 为5方： 1?.4月价海生第的产量为30吨 象号或：ng发证h1=:2 (空线款吉年物W价为动见时：开阶传利貿话84心元 力件的值为为情清月每香吨厚生任的利国是9制元 红是2明骑 12另两边的长为12m,剑m减和m,当m 线13y=一1n+100910力无/白1取30% 18D1秒22秒〔3》不徐 B.正明，)格电U展D,D:A山单D 界1深时相祖之简利的料定【一) 1L.(1M=0.1 第23章图形的相似 ∠DmL. 返建得学 (2w一支第二之年用乙本多斯瑞理伯工「数量为侧家 23.1成比例线段 AD-AD 相等 (设第一年用甲方案整理厚氏的Q值为， 在△WD和△DA中∠D=,∠(m1 漾后滨炼 革保时表比阿线限 第二年Q值乙方案的透开蛋了=×0】=到 AB-CD 1.A3.C104p50k1 基码朝学 (一x1十丝=凤54=4r=初一a=粒左 ,△a△2ws4,∠AD=∠AM1p 区(1)南确减1月民卖出送辆食行车 1减比州段工k芳=行1史号4岩 又送用暗包（一号是证湖时头2接 H∠TE=∠AD∠ACD=∠T悲， (2卤含究连人A型车1内，出司车因辆 课后演运 CDE.ADCE. m2+ELo0B1MW路r-要 第22章《一元二次方攀》专题复习 1,用2C3B40g51的2受4 ,同边期D是学行肉边形： 1且11d当△9n△i1C时 【i】A 【制】刚=石时，象方程为一元二次方翼 1,不-m或口-mK2发5项5 a0/是-品 【)C 象I阀条线登e,,d成比棋2W=am 沙器-最 器- 37 38 智南什4深堂化化·九年规上督·数争（伦） 色当△Q△度1形， 课后演落 专题练习3相似三角形的基本模型 L(1经明路《2)当∠A=时，1FH 惯-阁号一 1C1A3D4B5防am4号 爽型 1正(1是酬：连楼D,表D出的中力H.连接EH,FH 1.D1 :不，H分刚是DD的中点. 1-1该邪，A9么A度相 1.生雨略（矩形的则长为记阳 过P传L联于么M,设A.P变干点X,州有 米An注彩路空E-号 类型2 ÷HA,EN-宁A8,∠E-∠HF 3C4.0 :P.程分明是C,D的中点， PB=i.P=2.=B-. 1111∠AF= 类型 ∠NC+∠A=W,∠+∠NA-w, (2蛋明：声口得：k1D, FHCD,F=∠CNE=∠HFE, 5. “∠C-∠3M且∠Q-∠PR-, ∠MD=∠E=, 4(1证请，四山形AD为菱形 AB-CD.HE-FH. .△Q△， EF LAD. “∠AD=∠g, H∠HE于F=∠HFE∠E=∠CNE 战器尝得专 ÷∠APE=r, ”∠D=∠AE F= 第3深时相红三角对的料定（二） ∠E=∠E .∠A=∠A0, 23.5位似图形 基配导学 Y∠EG=∠AHF "∠HC-∠EAB. 基话导学 成比何夹角 ∠G=∠H, △A△AB, L朝交于一点仪自中心屋如比 健后蜜生 .△.EkA△AED (29ME= 王位敏中心做由各对虫点 LD2DAD4B多∠A-∠D 门1置明：当如：△A△A, 肉的 藻后素塔 3,0案A 4告无∠APE时成御=2 滑能册 1.D2C元D4点行5.1￥4k4t97.图扇 肉5 装1点A的学标为（一1，一： 米仪一名第民4或2度2地号安乎儿誓明暗 TADAE 9.B 14.B 2D图略，△LAC的面肌一12 12.1略23年r=2时，△Nn△混4 譜品 南6 11点D的标州一2，一2，（一4,29.(2,2 1.C 第4承时相组三角形的料定（三） ,∠日D=,段=x 1.1用.∠模工一∠AD 见A组一家一3凌数，里用鸭2子 基能导学 ==D, :∠E+∠A=∠AD+∠CE. 23.6图形与坐标 L三边三迪 蒂急鼎 即∠A=∠A 第】闲时用堂标精定住重 2.1有再个角对皮相等，两个三角形附虹2)再边对皮或 又：∠A-∠D 比例且走角相等的丙个三角彩朝目)层也对位晚比树 部部 器秘导学 △AG△D买 的两个一角形用做 上干面直角坐标品坐标 第春课时相很三角形的点周 2)℃骑长为5. 便后有体 家后清塔 惹位用学 234中位线 LA2B1E4∠C=∠mF是=吉等 1B1A3,04(2厚，一2)5 玉时边对只角对应商院中线对皮角早卧道 葱型牌华 6)意的北偏东的距O也1km处 多(1，)4一1)6135”大蓝明母装略 周长商积 ,中民线名平行第边的-半 7.1A4,.144(7s,12).B,1402E14.14 头，加减号1.矩形的卡是奖是名江要明腾 &比闲 1重重化士 装(1码头在推场的庄西自，距餐场3个单位长度，精所在易 课后清练 第多深时解红三角形的性质 绿后满蓝 头的系建方内上肥两具4但个单位卡度： 1.A2B3C4415,么5mk侧f高口米 基绿学 L2B及4粉5雪6子无华明略 230场0,0，雪透(3，，箱所1，，号头4一3，，营房 工，00义五4出象.小军得商约为L5米 上对应角时应边2对度商村应中线应角的平分线 0,一21.代房4一1， 3相制比4，相比的平方 nm2是唱t 8亚引略天号线4区 g5,0》101,4或(2，魔8.4011,3.5 40