22.2 一元二次方程的解法-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级上册数学（华东师大版）

第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 【变式训练1】 下列方程中,不能用直接开 第1课时 直接开平方法 ( 平方法解的是 ~ A.2-9-0$ B.*-2x 基础导学 C.(2-3)-4=0D.(+3)=9(2-1 1.直接开平方法:如果c^}三a(a三0),那么 考 点②用直接开平方法解一元二次方程 x=士ā,这种方法叫做直接开平方法,其原理 【例2】 用直接开平方法解下列方程 为 (1)r2-16-0; 2.直接开平方法解一元二次方程的类型 (2)3r-27-0. 有: 3.运用直接开平方法解一元二次方程的 步骤: 规律与方法:(1)用直接开平方法解方程时, (1) 要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式, 右边是非负数的形式,再根据平方根的定义求 (2) 解,(2)根据平方根的定义开平方时,不要丢掉负 (3) 的平方根. 注:r2-a中a-0,得x=x=0. 【例3】用直接开平方法解方程: (1)(x-2)?-9; 典例探究 (2)(2y-3)②-16; (3)4(x-2)?-36-0; 考 点1直接开平方的条件 (4)4(3x-1)*-9(3*+1)-0 【例1】下列方程中,不能用直接开平方法 求解的是 ( _~ A.-3-0 B.(x-1)-4-0 C.+2x-0 D.(x-1)-(2x+1)2 规律与方法:直接开平方法的实质是求非负 数的平方根,一个一元二次方程不能化成左边为 一个含未知数的式子的平方,右边是非负数,就 不能用直接开平方法求解 . 31· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 4.若x-2是关于x的方程x2}-x-a{}+5-0的 规律与方法:如果一元二次方程的一边是未 知数的平方,另一边是一个非负常数,那么可以 一个根,则a的值为 用直接开平方法求解;如果一元二次方程的一边 5.已知关于x的方程(x-1)*=m一3有实数 是含未知数的代数式的平方,另一边也是一个含 根,则的取值范围是 同一未知数的代数式的平方,同样可以用直接开 6.若(r*++1){}-81,则x^+y的值是. 平方法求解。 7.对于两个不相等的实数a、6,我们规定符号 【变式训练2】 用直接开平方法解下列 mina,b表示a、b中的较小值,如;min2 方程: 一3=一3,按照这个规定,方程minx,x-1 -2-3的解为 (2)4(1-x)②-9-0; 8.解下列方程: (1(x-v②)(x+v②)-14; ()( ②-2)2-6;(4)(2x-1)=(1+2 (2)9(y-1)-4(y+3); 课后演练 【基础过关】 (3)(2-1)--4x-4-0 ( 1.方程c*-4-0的解是 ) A.x-2 B.x--2 C.-士2 D.x-士4 C ) 1 Bx-2,x。=-2 (4)(2x-5)+6(5-2x)+9-0 C.x-x2=- 3.一元二次方程ax2-c-0的两根是 B. ac n C.4ac D. 不一定有实数解 .32· 第22章 一元二次方程 9.已知x}-16=0,=49,且x>y,求x+y 第2课时 因式分解法 的值. 基础导学 1.当一元二次方程的一边为0,而另一边易于 时,可将原方程降次为 ,从而求出原方程根的方法,叫做因式分 解法 2.因式分解法的基本思想是通过因式分解 达到 的目的;其数学原理是:两数之积 为0,则 ,反之也成立. 3.因式分解法解一元二次方程的步骤 【能力提升】 (1)整理方程使其右边化为0; (2)将方程左边 10.已知关于x的方程a(x+n)}+b=0(a,b,m (3)由(2)中的每个因式分别等于0,得 为常数,a≠0)的解是xi-2,x。=-1,那么 方程a(x+m+2)*}+6-0的解 (4)解(3)中两方程得 11.对于实数a,b,定义运算“。”如下:a{b=( 典例探究 +b){}-(a-b)},若(n+2)(m-3)-24, 则m 考 点1解形如x2-a^{}=0的一元二次方程 【例1】解方程x^*-16=0. 【创新探究】 12.已知方程3(x-2){}=12的解也是方程x^ 2r=a-3的解,求代数式a^{}-2a-3的值 规律与方法:这里不能将“或”写成“且”,因 为x一4一0和x十4-0并非同时成立,而是只 要其中之一成立就能够保证(x一4)(x十4)-0 成立。 【变式训练1】 解方程(3x-2)(3x+2)-12 .33· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 考 点② 解形如x2+bx=0的一元二次 规律与方法:用十字相乘法因式分解时,常 方程 数项分解成的两因数必须保证其和为一次项系 【例2】 解方程: 数,两根的符号与常数项分解的两因数的符号正 (1)r2-5x-0; (2)(x-2)*-2-x. 好相反. 【变式训练3】 (凉山州中考)解方程:r^{②}一 2x-3-0. 规律与方法:解一元二次方程时,如果能提 公因式,首先提公因式,特别要注意整体思想的 运用,如本例中的(x一2). 【变式训练2】 解方程3x(x-1)-2-2x; 课后演练 【基础过关】 考 点③解形如2-(a+6)x+ab=0的方程 1.(天津中考)方程r^{}十4x十3=0的两个根为 【例3】用因式分解法解下列方程: ( ) A.x=1,x=3 (1)-2+2019x-2020-0; B$x=-1,x-3 C.x-1.x。--3 (2)-2019x-2020-0; D.x=-1,x--3 (3)-(2+③)x+6-0; 2.若一元二次方程式x*-8x-3×11-0的两 根为a、b,且a>b,则a-2b之值为何?( (4)(2x+1)*+3(2x+1)+2-0 ) A.-25 B.-19 C.5 D.17 3.一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)至少有 一个根是零的条件是 ( ) A.c-0 B.6-0 C.b-0且c-0 D.b70且c-0 4.一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二 次方程x^-8x十15-0的一根,则此三角形 的周长是 ( - A.16 B.12 C.14 D.12或16 . 34· 第22章 一元二次方程 5.(临沂中考)方程x^*-2x-24-0的根是 【能力提升】 ( ) B$.-6,t--4 A.x-6.x。-4 10.一个三角形的两边长为3和5,第三边长为 C.x=-6,x-4 D.x.--6.x--4 方程x②-5x+6=0的根,则这个三角形的 6.(2+y{)(r^2+y}-4)=5,则x^2+y②=__. 周长为__. 7.(梧州中考)一元二次方程(x一2)(x十7)=0 11.定义符号maxa,b的含义为:当a三b时 的根是 max{a,b =a;当a<b时,maxa,b}=b,如$ 8.用因式分解法解下列方程: max3,1=3,max-3,2 -2,则方程max (1)2(x-3)=3x(x-3); (x.-x)-x2-6的解是 【创新探究】 12.阅读下面例题的解答过程,体会、理解其方 法,并借鉴该例题的解法解方程 (2)2(5x-1)=3(1-5x) 例:解方程x2-x-1-1=0 解:(1)当x-1>0即x>1时,x-1-x-1 原方程化为-(x -1-1=0,即x-=0$$ 解得x-0,x-1. (3)r2-5x-6-0 .x1,..x=0舍去,..x=1是原方程 的解。 (2)当x-1<0即x<1时,x-1l=-(x-1), 原方程化为r^{}+(x-1)-1=0,即x^*}+x 2-0. 9.先化简,再求值:(x-1)(2-1).其中x 解得x1-1,x2=-2. 为方程x^②}+3x+2-0的根 .x<1,.x=1舍去,.x=-2是原方程 的解. 综上所述,原方程的解为x-1,x。--2. 解方程;x+2x+2-4-0 .35· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 第3课时 配方法 规律与方法:通过配方使一个式子成为完全 平方式的关键是当二次项系数为1,在方程两边 基础导学 都加上一次项系数一半的平方。 【变式训练1】 (1)(雅安中考)若关于x的 1.通过 使方程的左边是一个含未知 一元二次方程x2+6x十c=0配方后得到方程 数的式子的平方,右边为一个非负数,再利用 (x+3)②-2c,则c的值为 ) 求得一元二次方程的解的方法,叫 A.-3 C.3 B.0 D.9 做配方法,其依据是 (2)若x*+ax+25是完全平方式,则a 2.配方的目的是为了 ,把一元二 (3)如果方程^{+4x十=0可以配方成( 来解。 次方程转化为 +m)2-3,那么(n-m)2020-__. 3.用配方法解一元二次方程ar*}十bx十c 考 点②用配方法解一元二次方程 o(a0)的步骤:一化, 【例2】用配方法解方程: ;二移: ($ ) +6$-16=0;(2)2-3x+1=$ ;三配. ;四解. 注意:二次三项式的配方与用配方法解一 元二次方程略有不同. 典例探究 考 点① 配方使二次三项式成为完全平方式 【例1】在以下空格中填上适当式子使等 式成立. (1)r*+10x+( )-(r十)2; 一(r一 )2; -9(r+ (3)92+12x+ #-(3r+ 规律与方法:(1)“配方”即配一次项系数一 )2; 半的平方,对一次项系数为偶数的情况尤其适 -(r十 )2. (4)r②十mx十 合;(2)完全平方式中常数项的符号与原一次项 .36. 第22章 一元二次方程 【变式训练2】 用配方法解方程; 【变式训练3】求证:无论x为何值,代数 (1)r2-2x-4; 式2x2-4x+3的值恒大于0 (2)4?-4y+1-25; 课后演练 【基础过关】 1.(雅安中考)若关于x的一元二次方程x^{}+6x +c=0配方后得到方程(x+3)?=2c,则c的 值为 () (3)3r-2x-8-0. B.0 C.3 A.-3 D.9 2.若方程4^}-(m-2)x+1-0的左边是一个 . 完全平方式,则n等于 - A.-2 B.-2或6 C.-2或-6 D.2或-6 3.已知方程x-6x+q=0可以配成(x-)^{}=$$ 考 点③ 用配方法判断代数式值的符号 ( 7的形式,,9的值为 ~ 【例3】试说明不论n为何值时,关于 A.-3.q--2 B -3.q-2 的方程(m -8m+17)x*+2mx+1-0都是一 C. --3,q-2 D. -9.q-6 4.二次三项式x*-4x+5的值 _ 元二次方程 A. 可以等于0 B.大于1 C.不小于1 D. 既可以大于0,也可以小于0 5.填空: (1)^*-4x+=(x- )2; -(r十 (2)r2+3x+ )2; -[十( 规律与方法:对二次项系数为1的二次三项 )]2; 式配方时,在加上一次项系数一半的平方时,还 )2( (4)3*+2x-2-3(x+ 必须减去一次项系数一半的平方, ). ·37· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) -0.则a-4v6的 9.用配方法求一元二次方程(2x+3)(x一6) 16的实数根 值为 7.若分式-6x+ 1对一切实数x分式均有意 义,则a的取值范围是 8.用配方法解方程; (1)2-10x-2-0; (2)y(y-4)-8y-4; 【能力提升】 10.(1)当x=,代数式3-(x+2){②}有最 大值,这个最大值是 (2)当x二 ,代数式c*+2x-4有最 小值,这个最小值是 (3)r*+4x-2-0 (3)通过对(1)、(2)的解析,请你再举一些类 似的例子,我们可以归纳出一个一般结论:在 代数式ar②+bx+c(a、b、c为常数,a关0)中. 当a>0时,该代数式必定存在最 值;当 a<0时,该代数式必定存在最 值. (4)(2x-1)=x(3x+2)-7. +1-0的解. .38· 第22章 一元二次方程 12.已知实数满足x*+1+2(x+)-0,求 第4课时 公式法 基础导学 1.一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的求根 公式是 ,用此 公式求一元二次方程根的方法称为 2.在用求根公式解一元二次方程ax^{}+bx +c=0(a≠0)时,若计算出-4ac<0,则 一4ac无意义,此时我们说原方程 【创新探究】 3.用公式法解一元二次方程的步骤是; (1) 13.我们可以利用配方法解决一些多项式的 最值: 如+2x+3-(+2+1)+2-(+1)+2 当x=-1时,x2+2x+3有最小值为2; 再如:-+2x-2=-(--2x+1)-1 ★注意: -(-1)2-1. (1)任何一个一元二次方程只要一4ac>0 当x-1时,-x2+2x-2有最大值为-1. 都可用公式法求解 (1)代数式x{}+6x+n有最小值为1,则m= (2)运用公式法须先把一元二次方程化成一 般形式, (2)代数式一-+4x+n有最大值为2,则 典例探究 (3)代数式x+(m+2)x+4m-7有最小值 考 点1使用求根公式的条件 为0,求的值 【例1】 以下方程能用公式法求其根的是 ( ~ A.16r^2+8x--3 B.3(c+1)-5x-0 C.②x-③x+②=0 D.2mr2}+2(m+n)x+n=0(m、n都为非0 实数) .39· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 规律与方法:这类题求解关键是把原方程化 (2)(x-2)(3x-5)=1. 成一般形式,由一4ac的值的符号决定,当一 4ac0时不能用公式法求解 考 点② 用公式法解一元二次方程 【例2】用公式法解下列方程. (1)r-23x+3-0; (2)-3r”+5x+2-0; -0; 考 点③用适当的方法解一元二次方程 (4)3r+x+1-0. 【例3】用适当的方法解以下各方程: (1)r2-3x+1-0; (2)(x-1)②-3; (3)9(x+2)?-2x(x+2); (4)r2-2x-168. 规律与方法:解一元二次方程的关键是方法 规律与方法:用公式法解一元二次方程,需 的选择,当一个方程左边是完全平方式,右边是 满足-4ac0,熟记ax+bx十c-0(a:0)的 非负数,则运用直接开平方法:当一个方程的二 次项系数为1,一次项系数为偶数时则适合用配 2 方法:当方程的两边有公因式或易于写成左边是 意应用该公式时首先要将原方程化成一般形式 两个因式的积,右边是0的形式时,就可利用因式 以便确定a,b,c的值,当方程有两个相等的解要 分解法来解,在上述三种方法都很难求解的情况 写成x:一x。一k的形式 下可考虑利用公式法求解,注意用公式法求解 【变式训练1】 在方程2c+8-9x中,a= 时,应先将方程化成一般形式ar*十br十c-0. ;用求 ,一 ,b-4ac- 再确定a、、c的值,同时还应明确其使用的前提 .C三 是一4ac二0,解法的选择是: 根公式可得x三 ,- 直接开平方法→因式分解法→配方法 【变式训练2】 用公式法解下列方程: 公式法 (12x2-4x-1-0; .40.智南什4深堂化化·九年规上督·数争（伦） a,一71.寸2须级子k8+2 方项条数化为！3)开早方重正且，求得方程的解 6.27g>p 泵日滨修 潭后演棒 5,1t-4可2-1+23s, 3(r=5+-5-35四n=g-84=-经1A玉A354书510w<2达-6 1.01DAD4±开表刚23 山成=兴 u-一t士属1n-g-司 在17.等程三身毛（律等道三角形） 6月1，=2行m一1 +面3画 风)当1且阳≠一1时，方程有有个不相等约实数制 作4=行+2后-2时眼成号 &Dh=d=一4==一号 ()方醒不可使有再个暂等的实数相： 瓶1)一28(0一1一5)小大 )售牌>小时，方程没有实数根 国惊太一一4纸士一因 mn-一子场-34h-- .n十正 南=正 臭4+=一3议十y=一1 只6号2u的值为号a1之-t “十合=一，的=，原式==12 1推三，新=一311，一3减4 24-1+a,+--0 12(0C是等罪三角息2山△1仪是直角三角形 线1m石4=24=1， 126豫g 341)01-令日1w=4发m✉B 30n=0.n=一1 《2i+15图 第2课时博式分解法 第4承最时会民法 (1超明骑y-w>0 第22章一元二次方程 落陆得学 基超导学 1,图式分解得个一元一次方程 在一-食角坐拆系中什别质出)一>0与一 221一元二次方程 玉降次至少一个数为0 L一士匹w-ar0公式证 (蜂0)的明象，由据象可用：当n1国，52% 基密醉学 表2山博式分解有个一元一汽方根41架方程的解 2.无实附 第6课时候海承的美原 L具含有一个老知数单式 课暗演罐 3(1》化减量后式（找出系数a6r的直 基使导学 24P十r=其e≠na,,c为滑数)年Ar 1.D2b3A45,5657.m=￥m=-7 3计草形一岭销 慢后害性 L≥-2是女 kn--音 (4》当N一时用会式术出原疗容的限 LC 2B 3 B 4.8 A有再个不等w士n且上≠且△。 课后满临 5了-2z-B-中-3-日 =青w=一品 玉后素峰 LD3n1D4C号 A67.=mu+5=0 D=6=-1 LD2ca4445旺16号五w>号 双.(1m=,寿程的二款项系数为2，一代明系数为5，言数又式一1一1当一一2时，夏式一1 4成}76一一- 发号5男一B俄-卡山☒ 项11 1组1111,2成-3 (21m=3成n=2 12-,为=一2 《1=1+要=1-晋四所%= 2士+-减+片-+1现女+大-一厅 9.15m10.111,-1 第3球时能冷法 am=-5=82号减2 12(1Dy-y-多-0 器德学 (3正整数：的量小值是3 (2)所求方程为：y十y十4=0C(≠) 1.配方直接开平本集士0十春一a士了相直接开 8=1a=号 专题练习2与一元一次方程 日一1 手办迪 地运号-日山-或 22.2一元二次方程的解法 玉降次两十一元一次方程 有关的阅读理解题 易1课时真棒开平为法 人方程药边时降二衣现条省将二皮师系数化名1雪数，。=一5十卫6一5二型 增右移方程传边都加上一虎项至营一学的平方，将原方 类是1 基他导学 第5果时根的料料武 程化为r十和信■的形式开平方求解 L1n=2=一2h4,=一 L求丰鱼数（成可化为非负数）的平方侧 基圈导学 漂后演塔 2了-a0)T✉-制20)e十w=a I,f一rs=一r e9或57a61s 1c1I104C 0.wn.0 2.(1两个实数板为个不用等的实数用 美型 3把源方程左边化为宽金方：右边发容数再把平长D4子2号号甲流一高片一t号 两个相等的大数围（粉天文根 名1C2)路 36