22.1 一元二次方程-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级上册数学（华东师大版）

第22章一花二次方程 第22章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 (6)(x-2)(x-3)=5. 基 导学 1. ,并且未知数的最 高次数为2的 方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式为 规律与方法：判断一个方程是否为一元二次 ,其中 是二次 方程时，先观察其是否属于整式方程，再看其合 项系数， 为一次项系数，常数项是 并同类项后是否符合“只含有一个未知数，并且 ★注意： 未知数的最高次数是2” (1)一元二次方程的一毅形式有两个特征： ①等式左边是二次三项式，右边是零；②a≠0. 【变式训练1】下列方程中，属于一元二次 () (2)要确定一元二次方程的各项系数，必须 方程的是 先将一元二次方程化为一般形式，特别注意各 A2+2x=2-1B3+-2=0 项系数必须包括前面的符号. C.ax2+bx+c=0 D.(3x-1)2=2(x-1) (3)一元二次方程的一般形式不是唯一的， 考点②一元二次方程的意义 但习惯上都把二次项的系数化成正整数 【例2】a为何值时，方程(a-3)x“1十 典 例探究 (a+3)x+4=0是一元二次方程， 考点① 一元二次方程的识别 【例1】下列关于x的方程哪些是一元二 次方程？指出它们的序号 (1)x2-1=0: 2②r+2 (3)x2+y+1=0;(4)x3-x2-x+1=0: 规律与方法：若某方程为一元二次方程，则其 (5)2x(3x-5)=6.x2+4; 未知数的最高次数为2，且二次项的系数不能为0. ·27· 指而针·课堂线化·元年纸上屏·数学(HS】 【变式训练2】(1)当k 时，关于 考点⑤列一元二次方程 x的方程(k2-1).x2一(k一1)x+1=0是一元二 【例5】用22cm长的铁丝，折成一个面积 次方程；(2)当k 时，上述方程是一元 为30cm的矩形，求这个矩形的长和宽各是多 一次方程. 少？（长、宽都为整数） 考点③一元二次方程的一般形式 【例3】把方程2(x-1)2=3x+3化成 般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和 常数项. 规律与方法：求一元二次方程的各项系数和 常数项，必须先把方程化为一般形式，特别注意 各项系数必须包括前面的符号， 【变式训练3】把方程(2y+1)(3y-2) y十2化成一元二次方程的一般形式后为 考点④根据方程的根求待定字母的值 【例4】关于x的一元二次方程x2十m.x十 3=0的一个根是x=1,求m的值. 规律与方法：对于实际问题的近似解，应先 规律与方法：方程的根一定满足原方程，将 根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体 根代入原方程即可得到关于待定字母的等式，从 计算进行两边“夹逼”逐步获得其近似解， 而求出待定字母的值，此方法叫根的定义法 【变式训练5】（哈尔滨中考）某种商品原 【变式训练4】若关于x的方程x2+(m+ 来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该 种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百 1)x+2=0的一个实数根的倒数恰是它本身， 分率为x,根据题意，所列方程正确的是() 则m的值是 ( A.150(1-x2)=96 A号 B.2 B.150(1-x)=96 C.150(1-x)2=96 D.1 D.150(1-2x)=96 ·28· 第22章一元二次方祖 方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的 课后演练 长方体盒子，根据题意列方程，化简成一般形 式可得 【基础过关】 8.方程(m-2)xm-2+(m+1)x+3m-1=0. 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m ( 的值，并指出二次项系数、一次项系数及常 A+宁-0 数项： (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m B.ax2+bx+c=0 的值. C.(x-1)(x+2)=1 D.3.x2-2.xy-5y2=0 2.(重庆中考)学校连续三年组织学生参加义务 植树，第一年共植树400棵，第三年共植树 625棵.设该校植树棵数的年平均增长率为 x,根据题意，下列方程正确的是 () A.625(1-x)2=400B.400(1+x)2=625 C.625.x2=400 D.400.x2=625 3.(绵阳中考)若x=3是关于x的一元二次方 程x2-5 ax一a=0(a>0)的一个根，下面对 a的值估计正确的是 ( 9.请你应用一元二次方程根的定义解决下列 A.a<l Blcac 问题 一个三角形的两边长分别是3cm和6cm,第 c是<a2 D.2<a< 三边长是整数acm,且a满足一元二次方程 x2一8.x+12=0,求这个三角形的周长， 4.(遂宁中考)已知m为方程x2+3.x-2022=0 的根，那么m3+2m2-2025m+2022的值为 ( A.-2022 B.0 C.2022 D.4044 5.将一元二次方程（红-2）=5化为二次项系数 为“1”的一般形式是 ,其中， 一次项系数是 常数项是 6.(资阳中考)若a是一元二次方程x2+2.x 3=0的一个根，则2a十4a的值是 7.现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将 它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正 ·29· 指而针·课堂线化·元年纸上屏·数学(HS) 【能力提升】 【创新探究】 10.已知a是方程x2+x一1=0的一个根，则 13.若a是方程x2-2018x+1=0的一个根，求 名十的值为 代数式。-2019e+写品的值 11.已知方程a.x2+bx十c=0,满足a-b+c=0, 则方程必然有一个根是 12.请阅读下列材料： 问题：已知方程x2十x一1=0，求一个一元二 次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x一之 把x=代入已知方程，得()+名-1=0 化简，得y2+2y一4=0. 故所求方程为y+2y-4=0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我 们称为“换根法” 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要 求：把所求方程化为一般形式)， (1)已知方程x2十x-2=0,求一个一元二 次方程，使它的根分别是已知方程根的相 反数，则所求方程为： (2)已知关于x的一元二次方程a.x2十bx十c =0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一 个一元二次方程，使它的根分别是已知方程 根的倒数. ·30·指南针·课堂优化·无年级上数·数学(HS 直项数化为1(3)开平方取正负,求得立航的望 6.87. 晚 711..v 13-148+2 观后演 后演排 -题②- 1.A 2.A 3B 4B 51 11- 1②-7+ 14 (- #. 1.C 2.D 3D 4+7 sa 3--n-2-1 61.-n-1 面3-面 6.1 7.等题三形(等三形) &(-(2-1 81、1且一1时,方有两个不等的实数 -+2--2时, 1-2(2-1-(3 大 ()打阻不可有两个等的实数姐 n-----1 武2 --1-17 (1>1时,方程没有实数程 - g(n2 4--段+-11 2的1n.B1a-t ---式-1 11--11--1- n1=-3 11-晚4 12.(1)AB[C是三年 123△AC是三形 1--. 170 10 12--1 (n-0.--1 (2+1. 第2课时 因文分解达 第4课 会法 13(11()->1 第22章 一元二次方程 选学 基础学 1二0 1.因式分册 副个一元一次方 (3在民一直生标中分别画出,一(少与” 22.1 一元二次方程 2.降次 至少一个数为0 ō >的,所象。时, 基隐学 3.(2)回分解 (3)两个一元一次方程(1原方程的 2.七 第课时 与数的关系 1.日含有一个知数 数式 演 3.(1)比一般式(0找出数a的 基题导字 2.++为 1.D 2D 3A 4A5.7.1--- (2算-a 8-_一 1、2-) 4)一r20时班公式出交程的 1C283848 课后演 ----) 3.在个不且 $--1 -- 1D 213.D4Cs.是 清 167-m+8-0 (-6--1 1D231415181641.1 8.(1一4,方程的二次项系数为一次项系数为5.数 .期式一一1一1一一时,原式-1 ,-1.--2-1 811(789-15-:1.2 1n11 11-B 8.-1-1 (-二 (2a--? 12一- 1-1叶-7+11-- 第3课时 此专法 9.1m 1n.1 11.-1 .(---(-11 13.(1=--612$2 12.(1y--0 (3=1=-士 (程v+v+-00r0 1.配方 直接开平 士0斗-&士和接开 (3正数的小确是; .:1-_-1(22:或3 丰 日一1 专题练习2 与一元一次方程 1降次 十一元一次方程 22.2 一光二次方程的解法 有关的阅读理解题 第1课时 直接素止 3方两同除1以二次项系将二次项系数化为1看数.-一5+37-- 理右程 方程两也题加上一次项系数一的方,将原式 1 基础导学 累5课时 根的料料试 程化为十△”一:的形式 开平直求析 1.求非数(改可为数)的平方程 甚导挚 1(---- 津应演t : 2--+- 1.一r--ar (t o.mo 1C111314C 2.(1)高个卖数损 现个不相等的实数析 无题: 3.(1)把厚分程左化为完全方,右过为数(2再?2是寻一是(一1 两个相等的文数祖(②无实校 2.(10AC( 1 3