21.2 二次根式的乘除-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级上册数学（华东师大版）

指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 21.2 二次根式的乘除 (6)(22+/). 第1课时 二次根式的乘法 基础导学 1.二次根式的乘法法则:·= (a0,6三0),即两个二次根式相乘 注:(1)该法则成立条件是 规律与方法;几个二次根式相乘,将系数和 被开方数分别相乘,根号不变,能开方的应开方 (2)该法则适用于多个二次根式相乘,· 后移到根号外. (a>0,6>0.c>0) 【变式训练1】 已知点A(2,v14)在反比 (3)法则中a、可数也可式 例函数y-的图象上,则一 (a>0. 2.积的算术平方根:va6= 2 b>0). 【变式训练2】若a=v2+1,b=v2-1,则 #### 应用:它的作用是把被开方数中开得尽方 的值为 的因数或因式用它们的算术平方根移到根号外 考 点②积的算术平方根成立的条件 作乘.例v20-4×v5-25. 【例2】如果(x-2)=x·x-2,那 ★注意:va十-ā十 么 _ _ A.x>0 典例探究 B.x>2 C.0<x<2 D..为任意实数 考 点① 应用二次根式的乘法法则计算 【例1】计算: (#1#### 规律与方法:此类题要紧扣公式ab一· 成立的条件,列出关于待定字母的不等式(组),解 (2)6×15×10; 之,即得字母的取值范围 (3) 2、×(-3)# 【变式训练3】 等式V1-*=+1· 1一x成立的条件是 _~ (4)5vab·(-4va*b): A.x>1 B.x>-1 (5)·+2r^y+xy(y>0); C.-1<x<1 D.x>1或x<-1 .6. 第21章 二次枫式 考 点③ 利用积的算术平方根把二次根式化简 2.化简 (一2)×8×3的结果是 【例3】化简: A.224 B.-224 C.-46 D.4/6 (1)200;(2) 8ab(ab>0); ### 3.已知m= x(-2v21),则有 ) (3)200ab(a三0,c三0) A.5<m<6 (4)V652-16^{. B.4 m<5 C.-5<n<-4 D.-6 m -5 4.如果实数a,b满足va^{}=-abv,那么点 (a,b)在 C ) A.第一象限 B.第二象限 规律与方法:若题中给出的二次根式的被开 方数中有一些因式(数)的指数不小于2,即含有 C.第二象限或坐标轴上 D.第四象限或坐标轴上 完全平方的因式(数),通常利用vab一ā·( >0,b二0)和Va{一lal,将这个因式(数)“开方” 出来. (2)化简:v②(8-v②)-. 【变式训练4】 已知ab0,则 -a^{}化简 6.把下列各式中根号外面的因式进行适当变形 后为 后移到根号内 考 点④比较二次根式的大小 (1### 【例4】 比较2③和3/②的大小. 7.一个长方形的长和宽分别为10和22,则这 个长方形的面积为 8.计算: 规律与方法:本例采用的方法是比较二次根 (1##一# 式的常用方法,称为外因内移法 课后演练 【基础过关】 (2)(-)×42×v14; 1.(衡阳中考)对于二次根式的乘法运算,一般 地,有ā·v-a.该运算法则成立的条 件是 C - A.>0.60 B.a<0,b0 C.a<0,b<0 D.a>0,b>0 ·7. 指南针·课堂优化·&年级上册·数学(HS) (3)##答人)→) V)0). 10.比较大小; (1)53和35 9.化简: (1)15×45×24 (2)3-6/5和3-5/6. (2)27-13; 【能力提升】 2 值为 ( ) A.2 B.4 C.5 D.7 12.(襄阳中考)先化简,再求值:(a十2)}十(a $)(-2b)+2a(-),其中a=③-②,b -3+/2. (3)50a{(a<0). .8. 第21章 二次概式 13.已知直角三角形的两边分别为3和/5,求这 第2课时 二次根式的除法 个直角三角形的面积 基础导学 1. 二次根式的除法法则: (a二 # 0.60). 注:(1)该法则成立的条件是 (2)法则中a、可以是数也可以是式 2.商的算术平方根,等于 ,即 (a>0,b>0). 此公式作用: 3.最简二次根式:一个二次根式的被开方数不 含。 ,也不含能开得尽方的因数或因式,这 样的二次根式叫做最简二次根式 【创新探究】 注意:化简时,通常要求最终结果中分母 不含有根号,且各个二次根式都是最简二次 14.观察下列各式及其验证过程: 根式. #2+#一#,验#正#2#一 典例探究 ## 考 点①运用二次根式除法法则进行计算 #1,{一 【例1】计算: (2)320# #### (1)12 ##; 针对上述各式反映的规律,写出用a(a为任 意自然数,且a三2)表示的等式,并给出 验证. .9. 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 规律与方法:利用二次根式的除法法则计 【变式训练2】 5-a 算:①被开方数相除时,也可以用“除以一个不为 条件是___: 零的数等于乘这个数的倒数”来约分化简;②如 果根号前有系数,就把系数相除,结果仍作为二 考 点③用商的算术平方根把二次根式化简 次根式前的系数;③被开方数是带分数的二次根 【例3】化简: 式,先将其化为假分数,再相除, 【变式训练1】 计算: (2)5## (1)/27-③ (3)48 (4)#483#/.# ##2} 8R5. 规律与方法:利用商的算术平方根的性质 Vb V 两个二次根式的商的形式,再分别对这两个二次 根式进行化简。 考 点② 商的算术平方根成立的条件 【变式训练3】 化简: (1### (2)/二.# /2x-32x-3 #.# 【例2】若奇数x使等式。/ 4-x (3) 4-x 成立,求x的值 考 点4最简二次根式的识别 【例4】 指出下列各式中的最简二次根式 规律与方法:此题考查商的算术平方根成立 (1)/ 的条件,据该条件可列出不等式(组),通过解不 等式(组)便可使问题获解 ·10. 第21章 二次根式 (7)48x;(8)/2 规律与方法:把二次根式化成最简二次根式 的六字口诀是:一分;二移;三化,“一分”就是利 用分解因式(数)的方法把被开方数(式)的分子、 分母都化成质因数(因式)的寡的形式,“二移”就 是把能开得尽方的因数(因式),用它的算术平方 根代替移到根号外,“三化”是化去被开方数中的 分母. 规律与方法:最简二次根式满足的两个条 课后演练 件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数分解因 式(数)后所有因式(数)的指数都小于2. 【基础过关】 【变式训练4】 1.(桂林中考)下列根式中,是最简二次根式的 是 ( ) A. B.4 C.vVa{} D.va+b 式有 () A.2个 B.3个 成立的x的取值范围在 C.4个 D.5个 →_ 数轴上可表示为 考 点把一个二次根式化成最简二次根式 _~ 【例5】把下列各式化为最简二次根式. C 3.下列计算正确的是 ) =3a B.-23-(-2)x3 C.#### 4.(朝阳中考)计算:v63/7-1-4-_. 5.(随州中考)已知n为正整数,若v189是整 数,则根据v189m=3×3x3x7m=3 ③x7m可知n有最小值3x7-21.设n为正 ·11· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 整数,若/ 300 是大于1的整数,则”的最小值 ” 为___,最大值为 . 6.已知:矩形的面积为36v30cm{},长是4v5cm. 11.已知x是使得x一7有意义的最小偶数,求 则矩形的宽为 (1十x) 的值. 7.计算: (1)/0.21×; /0.04×25 【创新探究】 12.观察下列各式及验证过程 (2)4#一# ###-# #7(#)# ##-)## ## ### 8.把以下二次根式化成最简二次根式 (2)#2#. (1)6v1.5a; (1)按照上述等式及验证过程的基本思路, 猜想、(-)的变形结果并进行验证; (2)针对上述各式反映的规律,写出用n( 1且为自然数)表示的等式,并验证 【能力提升】 9.(随州中考)已知为正整数,若、18m是整数 则根据v189m=3x3×3×7m=33x7m可 知有最小值3×7=21.设n为正整数,若 300 V” 是大于1的整数,则”的最小值为 最大值为__. .12· 第21章 二次根式 第3课时 二次根式的有理化 规律与方法:二次根式的乘除混合运算,先 把除以一个数变为乘以这个数的倒数,将乘除法 基础导学 统一成乘法,再利用乘法交换律、结合律约分 计算。 1.有理化因式:两个含有二次根式的代数 【变式训练1】计算: 式相乘,如果他们的积不含 ,那么 (1)3#23#0( -V)##}# 这两个代数式就互为有理化因式,如:因为 (2-③)×(2+③)=-1,所以(②-③)与 (②+③)互为有理化因式. 2.寻找有理化因式的根据:vāxā二a(a $):(a+b)(a-b)-a②-b} (#2### 3.分母有理化:把 中的根号化去 ③③x③ 点拨:分母有理化就是为分母寻找一个 有理化因式,将分子分母都乘上该有理化因式, 就可将分母的根号化去 典例探究 考 点②利用分母有理化进行二次根式的除法 【例2】计算:(1)-4v2. 2;(2)30 考 点①二次根式乘除混合运算 37 【例1】计算:(1)v12-v27xv18; (3)2 va+# (#2)4## m+n (3)#1#2#1#}# ③+1 3/2-2/3 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 【变式训练3】 先化简,再求值 规律与方法;二次根式的除法就是把它写成 a②-b2 分式形式后,据分式的基本性质先把分子、分母 中“公因式”部分约去,再找准分母的有理化因 +1+b-③|-0. 式,分子、分母都乘以该因式,化简即成,上例(4) 用约分的方法化去分母中的根号值得借鉴 【变式训练2】 化简时,甲的做法是 m-n(\m+n)(m-n) =vm-vn. Vm+Vn m+n 乙的做法是-m-n _(m-n)(m-n) m+n (vm+n)(vm-n) #(m-n)(\mn)m-n,你认为做法正确 m-n 的是 ( ) 课后演练 A. 甲 B.乙 C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都不正确 【基础过关】 考 点③ 求与二次根式有关的代数式的值 。 1.下列等式不成立的是 ) 【例3】 求值:(1)已知x- A.6/②×/③-6/6 B.8-/②-4 +1的值; C._# ## D.8-/2-/② -③-2 (2)已知x-3+2 ,求 323 ③+2 2.已知a-2+1,b-,则a与b的关系是 V2-1' -3xy+y的值. _ ~ A.a-b B.ab=-1 C.a--b D.ab-1 _ D.3③3 4 4.下列各数中,与2一3的积为有理数的是 ( _ A.③ B.2+3 C.2-3 D.-2+③ 规律与方法:求与二次根式有关的代数式的 2 5.比较大小:(1) 值,先化简已知式,再结合求值式配方或因式分 5一③ 解后可轻易求出代数式的值 (2)15-14v14-v13. .14· 第21章 二次概式 2019 ,则m-2m{-2019^{}的值 分母有理化后的值是 11.若m-- 3-1 2020-1 是 12.已知a--1,求+1+-22 8.计算: a?-a a2-a a (1)#-110(-V25), 的值. 【创新探究】 13.阅读下列解题过程 5-4 -4 +4(V5+4)(V5-4) -5-4 5-4 -5-2; 6-5 9.将以下各式的分母有理化: 6-5 6+5 (V6+)-) 6-5 (1)1 #3# 6一5. (1)观察上面的解题过程,请直接写出 的结果为 n+n-1 (2)利用上面所提出的解法化简: 1+2②+33+4 98+99 (2)③ ##③# 99+100 【能力提升】 10.已知实数a,6互为倒数,其中a一2十/5,则 a-b十5的值为 ·15·指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS 指南针·课堂优化·九年级上册·数学同步参考答案 6---1.4 第3课时 二次根茫的有理化 第21章 二次根式 基础导学 81-1 -i 1.D2C3B4-15(1 21.1二次根式 010/v富 (-v③ 1.二次试2分母 第1课时,二次极的会 1n1一 (2-- 1n.B 12. 7.11营-80(2010-13(1-20% 学 .这个证三起的面{ D一 12 8t- 891一一1 过 当--t- 1.D 2B 3B 4A 4.0H 1 431.1113计2注 &3.7 18.2.511.18 611 8.(1--11ns 1.(3+(2?11(-7减13 . 2-1! 第2课时 二次根大的除法 21.3 二次根式的加 学 专题练习1 二次根式的化简求值技巧 (5-(0-- 1。060 第1课时 二次株的加减 【1】1.112.: 基学 8-+1-0 1n-711.0 12-1 【】3题式一+十+-40+2- 把一次流开太数中到3.是二次粮式 耳方数 -. 第2课时 二次根式的性】 2.最简二次限式 同二次则式 导所数 料号 该开 甚导学 化去 ,---页+语 ta△一 :t- 调后 后演选 -x一+} 1.D 2.D 3D 41 5.(10 425 617.4 1D2B 3D4-1537569 1.B2D3C4C526-001 -3 __. 1.(-8(1(27 *(1-(9.C.10 780016.179(007i10 10.- 1- 11. 12r .3 1-n.6 1_ 【5】5.116~ v页---- 2.) 【】708 -十1,--1,-1 21.2 二次根式的乘除 第21章(二次根式)专题复习 证()-V 1.01-:-- 第1课时 二次极式的来法 【】C【】( (-) )”十h角形 【】士 题学 --- 1.a开方数标,指数不 06 7-+--+ 【】【%】(-1v0(20③ V1. 2. 第2课时 二次根式的混合运算 【】3【例】飞礼的高度为32m 淘t 基魏导学 _ 第21章 章末测试 -V+10+1V0 1D2D 3A 4C 5(2 12 1.乘方 乘 加减2.化高 1.B 2.D 3D 4B5A 6A 7C8C $.1 3