21.1 二次根式-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级上册数学（华东师大版）

第21章二次根式 第21章 二次根式 21.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念 规律与方法：应从两方面判断一个式子是不 是二次根式：一是看是否含有“√厂”，二是看被 基导学 开方数是否是非负数. 【变式训练1】下列代数式中，一定是二次 1.二次根式的概念：形如va(a≥0)的式子 根式的是 () 叫做二次根式，其中a叫做被开方数. A.√a+3 B.-6 2.二次根式√a的双重非负性：对二次根式 Va,有：(1)≥0：(2) ≥0. C.4 D.√3-π ★点拨：(1)二次根式的根指数为2，不能含 考点②二次根式有意义的条件 有“厂”等符号： 【例2】求x取什么数时，下列各式在实数 (2)在二次根式中，被开方数a可以是一个 范围内有意义. 数，也可以是含字母的式子： (1)√-2x+6:(2)x-1-√4-x; (3)在二次根式中，被开方数a必须满足a ≥0，当a<0时，二次根式无意义. 典例探究 (3) 8x:(4)√-x2-1. 考点①二次根式的识别 √5x-3 【例1】下列式子中，哪些是二次根式？哪 些不是二次根式？ (1)W2:(2)a:(39:(4)53: (5)95:(6)√(-2)2： 规律与方法：要使二次根式有意义，则被开 (7)+1:(8)-5x:(9)√-. 方数必为非负数，含有零指数和负整数指数的， 底数不为0：出现分母的，分母的值不为0. 1 挡南针·课堂线化·化年纸上屏·数学(HS 【变式训练2】（无锡中考）若二次根式2.（雅安中考）使√x一2有意义的x的取值范围 √1一2x有意义，则x的取值范围为 () 在数轴上表示为 () A &r<号 A0 B01 Cx≥ D.:5t D.0 考点③二次根式的非负性 广州中考》代数式行有意义时x应满足 【例3】已知实数y满足y-4+4-之 x-2 的条件为 () 一2x,求x的值. A.x≠-1 B.x>-1 C.x<-1 D.x≤-1 4.已知y=√2x-5+√5-2x-3,则2xy的值 为 () 规律与方法：对含两个未知数的方程，常从 A.-15 B.15 c.号 n号 题中挖掘隐含条件为解题的关键，二次根式中被 开方数为非负数 5若等式√后-2 =1成立，则x的取值范围 【变式训练3】已知点P(x,y)在函数y 是 京+√x的图象上，那么点P在第 6.(广元中考)若式子1 有意义，则实数x的 x-3 象限. 取值范围是 【例4】已知实数a、b满足√a-2+(b 7.若a,b,c为三角形的三边，且a,b满足 5)2=0,则a十b= √a2-9+(b-2)2=0,则第三边c的取值范 围是 8.当x为何值时，下列各式有意义？ 规律与方法：儿个非负数的和为0，则每个非 (10入2 (2)√1-x-√x+1: 负数都为0. 【变式训练4】已知|x-3|十√y-6=0, (3)√-2x2: (4)V1-4x √2x+1 那么以x,y为两边长的等腰三角形的周长 是 课 演 练 【基础过关】 1.已知下列各式：√a+1,√x-3w7,√(x-1), √()，其中二次根式的个数是 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ·2· 第21章二次根式 9.若实数a、b满足(a+b-2)2+√b-2a+3=0, 第2课时二次根式的性质 求2b-a+1的值. 基础导学 二次根式的性质 (1)(a)2 (a≥0)： (a≥0) (2)a= (a<0) 典例探究 【能力提升】 考点①利用(wa)2=a(a≥0)计算 【例1】计算： 10.已知x、y为实数，且满足√1+x一(y一1) 12 √1-y=0,那么.x221-y221 (1) 3 (2)(-2V7)2: 11.已知a,b,c是三角形的三边长，化简 (3)(23)2-(32)2. √(a-b-c)-|b-a+c的结果是 【创新探究】 规律与方法：利用（√a)2=a(a≥0）的性质 12.若a满足关系式√3.x+5y-a-2 十 可计算形如(m石)的式子，而逆用性质可把一个 V2.x+3y-a=√x+y-89·√89-x-y, 非负数变成一个数的平方， 试求a的值. 【变式训练1】当x 时，（√x3)2= x-3(3)= 考点②公式√a=a的应用 【例2】计算：1，厂：210， (3)√(3.14-)：(4)√9x(x≤0)： (5)√(a-3)2(a≥3)： 4.x2 (6,W1-2x+z0<x<1. ·3· 指而针·课堂线化·无年纸上屏·数学(HS 规律与方法：用v√：=a计算，先把被开方数 化简+|a+bl+√(c-a)严-b-cl. 变成平方的形式，再把原式变为底数的绝对值，由底 数的符号化筒绝对值 【变式训练2】 (1)当x 时， √(x-3)2=3-x. (2)W√(-2)2 (3)若a<0,化简|a-3引-va2= 【变式训练3】 先化简，再求值： 规律与方法：若题目中没有给出字母的取值 范围，应利用数轴确定字母的符号，再根据二次 Va+-2,其中a=号 根式的性质进行解答 【变式训练5】实数a,b在数轴上对应点 的位置如图所示，化简a+√(a一b)的结果是 () 0方* A.-2a+b B.2a-b 考点3√=a与(Wa)2=a(a≥0)的合用 C.-b D.b 【例3】化简：(V2x-1)2-√1-4x十4z, 课 后演练 【基础过关】 1.如果√(3a-2)2=2-3a,那么 () 规律与方法：利用√a=|a化简但又未给 Aa<号 Ba<号 Ca>号 D.a≥2 3 判断条件的问题，常从题目本身的结构上去挖掘 2.若a<1,化简√(a-1)-1等于 ( 隐含条件。 A.a-2 B.2-a C.a D.-a 【变式训练4】化简√16x+92-(2x-1) 3.下列等式成立的是 ( 得 ( A.3=3 B.√(-3)2=-3 A.-5.x B.2-5x C.(3)2=3 D.(-3)2=-3 C.x D.-x 4.下面是小明的作业，他判断正确的个数是() 考点④√2=|a与数轴的综合运用 I.(-2)严=-2(/)Ⅱ.-5=-5(/) 【例4】 数a.b,c在数轴上的位置如图 所示： Ⅲ.3)2=1(x)N.v5=36() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4· 第21章二次根式 5.(遂宁中考)实数a,b在数轴上的位置如图所示，12.设△ABC的三边长为a,b,c,试化简 化简la+1-√6-1乎+√(a-b= (a+b+c)2 +√(a-b-c √b-a-c)-√(c-b-a). 6.计算：-(-0.01)2= √(3-)= 7.计算： (-10W3)2= _,(-a2)2= / 8.计算：(-23)2+(-3×V-2-39 【创新探究】 9.计算： (1)√-(-2√3)2+√（-3)7+√(-5)严： 13.阅读材料：把根式√x士2√y进行化简，若能 找到两个数m,,使m2十n2=x且n √y,则把x±2y变成m+n2±2mm=(m士 n)开方，从而使得√x±2y化简. (2)W(W3+2)2+√（√5-2）2+(-6). 例如：化简V3十2√2. 解：.3+22=1+2+22=12+(2)2+2 ×1X√2=(1+√2)2， .w3+22=√(1+2)2=1+2. 请你仿照上面的方法，化简下列各式： 10.先化简，再求值：a-1+@2中，其中a a-1 (1)W7+43: =2-√3. (2)W5-26. 【能力提升】 1.当-1<a<0时，则√a+-4 a-a+4= ·5指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS 指南针·课堂优化·九年级上册·数学同步参考答案 6---1.4 第3课时 二次根茫的有理化 第21章 二次根式 基础导学 81-1 -i 1.D2C3B4-15(1 21.1二次根式 010/v富 (-v③ 1.二次试2分母 第1课时,二次极的会 1n1一 (2-- 1n.B 12. 7.11营-80(2010-13(1-20% 学 .这个证三起的面{ D一 12 8t- 891一一1 过 当--t- 1.D 2B 3B 4A 4.0H 1 431.1113计2注 &3.7 18.2.511.18 611 8.(1--11ns 1.(3+(2?11(-7减13 . 2-1! 第2课时 二次根大的除法 21.3 二次根式的加 学 专题练习1 二次根式的化简求值技巧 (5-(0-- 1。060 第1课时 二次株的加减 【1】1.112.: 基学 8-+1-0 1n-711.0 12-1 【】3题式一+十+-40+2- 把一次流开太数中到3.是二次粮式 耳方数 -. 第2课时 二次根式的性】 2.最简二次限式 同二次则式 导所数 料号 该开 甚导学 化去 ,---页+语 ta△一 :t- 调后 后演选 -x一+} 1.D 2.D 3D 41 5.(10 425 617.4 1D2B 3D4-1537569 1.B2D3C4C526-001 -3 __. 1.(-8(1(27 *(1-(9.C.10 780016.179(007i10 10.- 1- 11. 12r .3 1-n.6 1_ 【5】5.116~ v页---- 2.) 【】708 -十1,--1,-1 21.2 二次根式的乘除 第21章(二次根式)专题复习 证()-V 1.01-:-- 第1课时 二次极式的来法 【】C【】( (-) )”十h角形 【】士 题学 --- 1.a开方数标,指数不 06 7-+--+ 【】【%】(-1v0(20③ V1. 2. 第2课时 二次根式的混合运算 【】3【例】飞礼的高度为32m 淘t 基魏导学 _ 第21章 章末测试 -V+10+1V0 1D2D 3A 4C 5(2 12 1.乘方 乘 加减2.化高 1.B 2.D 3D 4B5A 6A 7C8C $.1 3