精品解析：重庆市沙坪坝区第一中学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学模拟试题

重庆市第一中学2023-2024学年九年级下学期数学3月月考模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 2. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，点在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 11和12之间 7. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑧个图形中菱形的个数为（　　） A 57 B. 72 C. 73 D. 91 8. 如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点，连接．若平分，，则线段的长是（　　） A. 2 B. C. D. 9. 如图，正方形，分别取和边的中点、，连接、连接相交于点，连接，若，则的度数为（　　） A. α B. C. D. 10. 对多项式（x，y，z，m，n均不为零），任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：，，下列说法： ①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 计算： ______． 12. 如图，中，若图中沿虚线剪去，则________°． 13. 寒假期间，小明、小红二人在《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《熊出没》四部影片中各自随机选择了一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为________． 14. 近年来我市大力发展旅游产业，已知旅游总收入从2015年的150亿元上升到2017年的216亿元，设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，则可列方程_______． 15. 如图，在矩形中，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为______． 16. 在正方形中，，对角线、相交于点，对角线上有一点，连接，过点作，分别交、于点、，连接交于点，将沿翻折得到，此时点的对应点恰好落在线段上，若，则点到的距离为 ____． 17. 若关于x的不等式组有解且至多有2个偶数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 18. 对于一个三位正整数，如果满足：百位数字、十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如：，，是“月圆数”； ，，不是“月圆数”．若，都是“月圆数”， ，，，均为的整数），规定，若是去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，是去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若与的和能被11整除，则的值为________． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19 计算： （1）； （2）． 20. 在学习直角三角形过程中，小明遇到了一个问题：在直角三角形中，，探究是否成比例线段，小明的思路是：首先过点D作的垂线，再通过三角形面积建立等量关系，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空： 尺规作图：过点D作于点E（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）． 证明：∵平分， ∴　 　， ∵， ∴　 　， ∴， 在和中， ， ∴， ∴　 　， 又∵， ∴， ∴　 　， 即， ∴AC，AB，CD，DB成比例线段． 21. 为了引导学生充分认识心理健康对自身发展的重要性，某校开展了以“关爱自我，悦享成长”为主题的心理健康月系列活动．其中该校八、九年级在心理健康月中进行了关于心理健康相关知识的测试，现从八、九年级中各随机抽取名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．）下面给出了部分信息： 八年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，． 九年级名学生的成绩在组中的数据是：，，，． 八、九年级抽取的学生成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级的学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有人、九年级有人参加了此次心理健康测试，请估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于分的总人数． 22. 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍． （1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？ （2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？ 23. 如图，在直角三角形中，，动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，相遇时停止运动．过点作于点，过点作于点．设点的运动时间为秒的长度为． （1）请直接写出与的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）当该函数图象与直线有两个交点时，的取值范围为 24. 如图，五边形是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点在点的正北方935米处，点在点的正东方，点在点的北偏东，且在点的正北方；，米，米．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果精确到米）； （2）小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分速度从点出发沿路线的方向骑行，爸爸以150米/分的速度从点出发沿路线的方向跑步前行．两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达点？请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交与于点，过点作交直线于点，求取得最大值时，点的坐标及此时对应的最大值； （3）在（2）问前提下，将原抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线的对称轴与轴交于点，在直线上是否存在点，连接，过作线段的垂线交轴于，连接，使．若存在，请直接写出点的坐标． 26. 在中，点为线段上一动点，点为射线上一动点，连接，． （1）若，，当点在线段上时，，交于点，点为中点． ①如图1，若，，，求的长度； ②如图2，点为线段上一点，连接并延长交的延长线于点．若点为中点，，，求证：． （2）如图3，若，．当点在线段的延长线上时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，内存在点，使得，当取得最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市第一中学2023-2024学年九年级下学期数学3月月考模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解． 【详解】解：因为-+＝0， 所以-的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键． 2. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图的方法直接得出结论即可． 本题主要考查三视图的知识，熟练掌握三视图的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意知，题中几何体的左视图为： 故选：A． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数定义，将点的坐标逐个代入函数解析式检验即可． 【详解】解：A、当时，，此函数图象不经过，故本选项不符合题意； B、当时，，此函数图象经过，故本选项符合题意； C、当时，，此函数图象不经过，故本选项不符合题意； D、当时，，此函数图象不经过，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，直线，点在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出的度数． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于以原点为位似中心的点的坐标关系，点的坐标就是把点的坐标乘以，据此计算即可． 【详解】解：∵点O为位似中心，的位似图形为，位似比为， 而， ∴，即． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 6. 估计的值应在（ ） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 11和12之间 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二次根式乘法法则计算，进而估算无理数的大小得出答案． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是二次根式乘法运算，估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键． 7. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑧个图形中菱形的个数为（　　） A. 57 B. 72 C. 73 D. 91 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解决问题的关键．根据题意得出得出第个图形中菱形的个数为；由此代入求得第⑧个图形中菱形的个数． 【详解】解：第①个图形中一共有3个菱形，； 第②个图形中共有7个菱形，； 第③个图形中共有13个菱形，； ， 第个图形中菱形的个数为：； 第⑧个图形中菱形的个数． 故选：C 8. 如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点，连接．若平分，，则线段的长是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、平行线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得出，在中由可得出答案． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ． 故选：B 9. 如图，正方形，分别取和边的中点、，连接、连接相交于点，连接，若，则的度数为（　　） A. α B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积进行计算是解决问题的关键．过点作于，先证和全等，得，进而可证，设，则，由勾股定理得，由三角形的面积公式可得，进而可求出，然后证和全等，得，进而得，由此得，据此可得，则，最后根据即可得出答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 四边形为正方形， ，， 点，为，的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， ， ， 即． 故选：D 10. 对多项式（x，y，z，m，n均不为零），任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：，，下列说法： ①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，理解“变括操作”的定义是解题关键．根据“变括操作”的定义，利用整式加减的运算法则逐个判断即可得． 【详解】解：由“变括操作”的定义可知，任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号， 所以不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等；说法①正确； 要使其运算结果与原多项式之和为0， 则只有一种“变括操作”，即，说法②正确； 若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”有以下五种： ， ， ， ， ， 由此可知，若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果．说法③正确； 综上，正确的个数是3个， 故选：D． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 计算： ______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别化简，，，，然后再合并即可得出答案 【详解】解： ， 故答案为：2 12. 如图，中，若图中沿虚线剪去，则________°． 【答案】295 【解析】 【分析】先根据三角形内角和求出的度数，再利用四边形的内角和求出的度数即可． 【详解】∵， ， ， ， 故答案为：295． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和四边形内角和，掌握三角形内角和定理和四边形内角和是解题的关键． 13. 寒假期间，小明、小红二人在《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《熊出没》四部影片中各自随机选择了一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有种等可能的结果，其中小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的结果有种，再由概率公式求解即可. 【详解】把《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《熊出没》四部影片分别记为A、B、C、D，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的结果有种， ∴小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的概率为 故答案为： 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率为所求情况数与总情况数之比. 14. 近年来我市大力发展旅游产业，已知旅游总收入从2015年的150亿元上升到2017年的216亿元，设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，则可列方程_______． 【答案】150（1+x）2＝216． 【解析】 【分析】本题依题意可知2016年的收入=150（1+x），则2017年的收入为：25（1+x）（1+x），列方程150（1+x）（1+x）=216即可得出答案． 【详解】解：设每年的平均增长率为x，依题意得： 150（1+x）2=216． 故答案为150（1+x）2=216．． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用+，减少用-． 15. 如图，在矩形中，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用割补法将阴影部分分成三部分，即，然后分别求每部分的面积即可． 【详解】解：由题意和题图可知，与扇形只有一个交点，则与扇形相切，设这个切点为G， 连接，，则． 过点E作，交于点H． ∵四边形是矩形， ∴，． 由题意可得，， ∴在中，由勾股定理，得． ∴，， ∴， ∴， 即扇形的圆心角为． ∴在和中， ∴， ∴， ∴． ∴， 即扇形的圆心角为． ∴ ． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，要熟练运用扇形的面积公式和三角形的面积公式．解题的关键是能够正确运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差． 16. 在正方形中，，对角线、相交于点，对角线上有一点，连接，过点作，分别交、于点、，连接交于点，将沿翻折得到，此时点的对应点恰好落在线段上，若，则点到的距离为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的补角相等、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．连接交于点，连接，由正方形的性质得，，则，，，可证明，得，，可证明，所以，则，所以，由翻折得，则，再证明，得，则，即可求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点，连接， 四边形是正方形，， ，， ，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 由翻折得，，垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 点到的距离为， 故答案为：． 17. 若关于x的不等式组有解且至多有2个偶数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】7 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各种的解法是解本题的关键； 不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且至多有2个偶数解确定出的范围，再由分式方程解为非负整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， ∵不等式组有解且至多2个偶数解， 解得：， 分式方程去分母得：， 解得：， 且 解得：且， ∵分式方程的解为非负数， 综上，， 则满足题意整数之和为． 故答案为：7． 18. 对于一个三位正整数，如果满足：百位数字、十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如：，，是“月圆数”； ，，不是“月圆数”．若，都是“月圆数”， ，，，均为的整数），规定，若是去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，是去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若与的和能被11整除，则的值为________． 【答案】307 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，根据题目给的新定义去求解，而找到字母之间的关系是解题的关键．根据“月圆数”的定义可得，，根据题意可得，再根据能被11整除的特征可得，依此可求，进一步得到，，从而可求，，再代入即可求出值． 【详解】解：，都是“月圆数”， ，，，均为的整数）， ，， ，， 是去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，是去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数， ，， ， 与的和能被11整除， ， 解得， ， ， ， ， ． 故答案为：307． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、平方差公式和单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 在学习直角三角形的过程中，小明遇到了一个问题：在直角三角形中，，探究是否成比例线段，小明的思路是：首先过点D作的垂线，再通过三角形面积建立等量关系，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空： 尺规作图：过点D作于点E（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）． 证明：∵平分， ∴　 　， ∵， ∴　 　， ∴， 在和中， ， ∴， ∴　 　， 又∵， ∴， ∴　 　， 即， ∴AC，AB，CD，DB成比例线段． 【答案】，，，， 【解析】 【分析】利用基本作图，过点D作，再证明得到，接着根据三角形面积公式得到，然后利用比例性质得，从而可判断为成比例线段． 【详解】证明：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴成比例线段． 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算． 21. 为了引导学生充分认识心理健康对自身发展的重要性，某校开展了以“关爱自我，悦享成长”为主题的心理健康月系列活动．其中该校八、九年级在心理健康月中进行了关于心理健康相关知识的测试，现从八、九年级中各随机抽取名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．）下面给出了部分信息： 八年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，． 九年级名学生的成绩在组中的数据是：，，，． 八、九年级抽取的学生成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级的学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有人、九年级有人参加了此次心理健康测试，请估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于分的总人数． 【答案】（1）；； （2）九年级学生掌握知识较好，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据九年级组有个数据和、组的百分数可得的值，根据中位数和众数的定义可得、的值； （2）可从中位数、众数角度分析求解； （3）用总人数乘以样本中组的百分比即可． 【小问1详解】 解：∵九年级名学生的成绩在组中的数据是：，，，， ∴九年级名学生的成绩在组中所占百分比为：， ∴九年级名学生的成绩在组中所占百分比为：， ∴， ∵九年级名学生的成绩在、两组的人数为：（人）， 九年级名学生的成绩在组的人数为：（人）， ∴第名和第名学生的成绩分别为：分和分， ∴九年级学生成绩的中位数为：， ∵八年级名学生的成绩中得分的人数最多， ∴八年级学生成绩的众数， 故答案为：；；； 【小问2详解】 ∵八年级学生成绩的方差为，九年级学生成绩的方差为，且， ∴九年级学生掌握知识较好；（答案不唯一） 【小问3详解】 由（1）得九年级学生成绩不低于分的人数所占百分比为， 八年级学生成绩不低于分的人数所占百分比为：， ∴（人）， ∴两个年级参加心理健康测试的成绩不低于分的总人数有人． 【点睛】本题考查众数、中位数、平均数，方差等知识点，掌握众数、中位数、平均数，方差定义是解题的关键． 22. 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍． （1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？ （2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？ 【答案】（1）购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元 （2）该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设使用材料生产的吉祥物的单价为元个，则使用材料生产的吉祥物的单价为元个，利用数量=总价单价，结合用3000元购买用材料生产吉祥物的数量是用1500元购买材料生产吉祥物数量的4倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出使用材料生产的吉祥物的单价，再将其代入中，即可求出使用材料生产的吉祥物的单价； （2）设该学校此次购买m个使用材料生产的吉祥物，则购买个使用材料生产的吉祥物，利用总价单价数量，结合总价不超过3000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购买一个A材料的吉祥物需x元，则购买一个B材料的吉祥物需元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元； 【小问2详解】 设该学校此次购买m个B材料的吉祥物，则购买个A材料的吉祥物， 依题意，得：， 解得：． ∴m的最大值为10， 答：该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物． 23. 如图，在直角三角形中，，动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，相遇时停止运动．过点作于点，过点作于点．设点的运动时间为秒的长度为． （1）请直接写出与的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）当该函数图象与直线有两个交点时，的取值范围为 【答案】（1） （2）函数图象见解析，该函数图象y随x的增大而减小（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理求出，根据，，分两种情况讨论，当点P在上运动时，证明与，与相似，利用三角形相似的性质，求出，即可求出，当点P在上运动时，证明与，与相似，利用三角形相似的性质，求出，即可求出； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象即可； （3）根据（2）的函数图象，求出直线过点与过点时，b的值即可． 【小问1详解】 解：， ， 相遇时停止运动， ， 解得：， 如图1，当点P上运动时， ， 此时， 则， ， ， ， ， 同理：， ， ， ； 如图2，当点P在上运动时， 此时，则， ， ， ， ， 同理：， ， ， ； ； 【小问2详解】 解：由（1）知， 如图所示： 通过观察，该函数图象y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由（2）图象得；当直线过点时， 即：，解得：， 此时有一个交点； 当直线过点时， 即：，解得：，直线刚好也过点， 此时有两个交点，； ． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，一次函数交点问题，相似三角形的判定与性质及勾股定理，正确理解动点问题是解题的关键． 24. 如图，五边形是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点在点的正北方935米处，点在点的正东方，点在点的北偏东，且在点的正北方；，米，米．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果精确到米）； （2）小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点出发沿路线的方向骑行，爸爸以150米/分的速度从点出发沿路线的方向跑步前行．两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达点？请说明理由． 【答案】（1）960米 （2）小明先到达点，理由见详解 【解析】 【分析】（1）过点作于点，首先求得米，，再在中利用三角函数解得米，然后证明四边形为矩形，由矩形的性质即可获得答案； （2）首先求得的值，再分别求得小明和爸爸到达点所经过的路程，然后计算两人用时，比较即可获得答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，如下图， 则， 根据题意可知，米，，， ∵，米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴在中，米， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米； 【小问2详解】 小明先到达点，理由如下： 在中，米， 由（1）可知，四边形为矩形，米， ∴米， ∴米， ∴米， 米， ∴小明到达点用时为：分钟， 爸爸到达点用时为：分钟， ∵， ∴小明先到达点． 【点睛】本题主要考查了三角函数的应用、方位角问题、勾股定理、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练运用相关知识，并正确作出辅助线是解题关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交与于点，过点作交直线于点，求取得最大值时，点的坐标及此时对应的最大值； （3）在（2）问前提下，将原抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线的对称轴与轴交于点，在直线上是否存在点，连接，过作线段的垂线交轴于，连接，使．若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）当时，有最大值 （3）存在，G或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，合理构造相似三角形是本题解题的关键． （1）将，，两点的坐标代入抛物线解析式，求解，的值即可； （2）求出直线和的解析式，然后过作轴，根据直线斜率的意义，用表示出，假设点坐标，表示出和，从而可以得到一个二次函数，根据点横坐标取值范围求出其最大值和此时点坐标即可； （3）过点分别作轴和轴的垂线，构造相似三角形，然后根据角两直角边的关系，求出所在的直线，然后与直线联立，即可求出点． 【小问1详解】 将，两点代入抛物线解析式： ， 解得：，， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 令，， ， ， 直线的解析式：，直线的解析式：， 设，其中， ， ， 过作轴，交于，如图： ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 当时，有最大值， 当时，有最大值； 【小问3详解】 由（2）知，， 沿射线方向平移个单位相当于向右平移1个单位，再向上平移两个单位， 新抛物线的对称轴为直线：， ， 过作轴于，过作轴于，如图； ， 又， ， ， ， ， ， 当在一、三象限时，在直线上，当在第二象限时，在直线上 设直线的解析式为：， ，， ，解得：， 直线的解析式为：， 联立两条直线的解析式： ，， 或， 或 26. 在中，点为线段上一动点，点为射线上一动点，连接，． （1）若，，当点在线段上时，，交于点，点为中点． ①如图1，若，，，求的长度； ②如图2，点为线段上一点，连接并延长交的延长线于点．若点为中点，，，求证：． （2）如图3，若，．当点在线段的延长线上时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，内存在点，使得，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②见解析 （2）或． 【解析】 【分析】（1）①过点作于点，通过勾股定理得到的长，证明，利用勾股定理即可求解； ②延长至点，使，连接，连接交于点，证明三角形全等，结合直角三角形的两个锐角互余，三角形内角和等知识即可得证； （2）沿直线翻折后，点的对应点落在直线上，当时，取得最小值，通过含角的直角三角形的特征求出，过点作的垂线，过点作垂线相交于点，点在以为圆心，为半径的圆上，半径，当，，三点共线时，取得最小值，利用勾股定理相似三角形的判定与性质即可得出最后结果． 【小问1详解】 ①解：如图，过点作于点， ，， ，， ， 在中，，，， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ． ②证明：如图，延长至点，使，连接，连接交于点， ， ， 点为的中点， ， 在和中， ， ． ， ， ， 设，． 中，， ， ， ． ，， 即． ． 点为中点． ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 中，， ， ； 【小问2详解】 如图，沿直线翻折后，点的对应点落在直线上， 当时，取得最小值， 由题意可知，，， ， ， ， ， ，， ， ， 过点作的垂线，过点作垂线相交于点， 点在以为圆心，为半径的圆上，半径，当，，三点共线时，取得最小值， 此时， ． 过点作于点， ， ， ，， ， 或． 【点睛】本题考查了几何变换综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识，添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$