以圆为背景的定点问题讲义-2025届高三数学一轮复习

以圆为背景的定点问题 以圆为背景的定点问题 定点问题--解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线(中的参数)如何变化，直线和曲线都经过某一个定点 定点问题的两种解法:一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明.二是把直线或曲线方程中的变量、当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于、的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算 ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 2.直线过定点问题 思路一：设所求直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点. 思路二：设与所求直线相关的直线方程，翻译题目条件，整理出所求直线上两点的坐标，用两点式方程整理出直线方程，则该直线过定点. 思路三：过圆外一点作的两条切线，切点为、，求直线所过定点，求出以为圆心，为半径的的方程，再根据线段为和的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，令直线方程中参数项的自变量为得解. 3.圆过定点问题 圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为. 考向一 设所求直线方程为，翻译条件得与的关系，进而得定点. 1．（23-24高二上·北京·期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）（1）设，， 由中点坐标公式得 因为点的轨迹方程是， 所以， 整理得曲线的方程为． （2）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，， 所以 ， 所以，且即， 即， 所以直线的方程为，即直线过定点． 2．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆C的方程； (2)若、在圆上，直线，的斜率之积为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1） 设， 直线：即， 由圆与直线相切于， 则，即，可得 又圆过点，所以，即， 解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为； （2）当直线斜率存在时，设，，， 联立直线与圆，得， 则，即， ，，，， 又，， 所以， 即， 则， 解得或，都满足 所以方程为或， 即或， 当直线方程为时，恒过点，不成立， 当直线方程为时，恒过； 当直线斜率不存在时，设直线，则，， 则，， 所以， 解得：（舍）或， 即方程为，仍过， 综上所述，直线恒过定点. 考向二 求所求直线上两点坐标，整理出直线方程，进而得定点. 1．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上. (1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程； (2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为圆心在曲线上， 所以设圆心为，又圆M过坐标原点O，则半径为：， 设圆的方程为， 又直线l：与圆M交于C，D两点，且, 所以，则，解得， 当时，圆的方程为， 此时，圆心到直线的距离，符合题意； 当时，圆的方程为：， 此时，圆心到直线的距离，不符合题意； （2）如图所示：    由题意设，又， 则，则，设， 则直线PE的方程为，代入圆的方程消去y得： ， ， 由韦达定理得，即， 设直线PF的方程为：，代入圆的方程消去y得： ， ， 由韦达定理得，即， 所以，， 消去m得， 设直线GH的方程为：， 代入圆的方程消去y得：， ， 由韦达定理得，， 则，即， 解得或， 当时，，直线GH的方程为，过定点； 当时，，解得， 直线GH的方程为，过定点，此时G，H在直线EF同侧，不符合题意， 故直线GH过定点. 2．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是圆O：上的两个动点，P是弦AB的中点，且； (1)求点P的轨迹方程； (2)点P轨迹记为曲线τ，若C，D是曲线τ与x轴的交点，E为直线l：上的动点，直线CE，DE与曲线τ的另一个交点分别为M，N，判断直线MN是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点． 【详解】（1）设点为曲线上任意一点，P是弦AB的中点，且， 圆O：的半径，则， 故点P的轨迹方程为：． （2）不妨取，，设， 则直线CE的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，即，， 所以． 联立，得， 则，即，， 所以． ①当时，直线MN的斜率， 则直线MN的方程为，即， 直线过定点，所以； ②当时，直线MN垂直于x轴，方程为，也过定点． 综上所述：直线MN恒过定点． 考向三 求公共弦所在直线方程，进而得定点. 1．（23-24高二上·江苏·期末）已知点M是直线l: 上一动点，过点M作圆O:切线，切点分别为P，Q. (1)当OM的值最小时，求切线方程; (2)试问:直线PQ是否过定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由. 【答案】(1)和 (2)过定点 【详解】（1） 当时，OM的长最小，根据两直线垂直斜率之积等于，可得直线的斜率为2； 此时可得直线OM的方程为， 联立，得交点， 当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为，则有，解得， 所以切线方程为， 综上所述，切线方程为和. （2） 设，则， 因此，以M为圆心，MP为半径的圆的方程为M：， 此时圆M与圆O的公共弦为PQ， 两圆方程相减，得到圆M与圆O的公共弦为PQ的方程为， 即，由，得， 因此直线PQ过定点. 2．（23-24高二上·湖南·期中）如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，.    (1)证明直线过定点，并求出定点的坐标； (2)求线段中点的轨迹方程； (3)若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析，定点； (2) (3) 【详解】（1）由题，圆的圆心坐标，半径为1， 所以，，， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 显然线段为圆和圆的公共弦， 则直线的方程为， 即，所以， 所以直线过定点； （2）由（1）知，直线过定点，的中点为直线与直线的交点， 设的中点为，直线过的定点为， 易知始终垂直于，所以点的轨迹是以为直径的圆， ，， ∴点的轨迹方程为；    （3）设过点P的圆M的切线方程为，即， 故到直线的距离，即， 设，的斜率分别为，，则，， 把代入，得， 则， 故当时，取得最小值为. 考向四 圆过定点问题 1．（23-24高二上·贵州黔西·期中）已知曲线上任意一点到点的距离与到点的距离之比为. (1)求曲线的轨迹方程； (2)过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，圆过，，三点，证明：圆恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设曲线上一点坐标为，由已知得， 化简可得， 即曲线的轨迹方程为.. （2）如图所示： 由（1）知曲线是以为圆心，半径为的圆， 过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，， 则，，所以四点共圆， 即圆为的外接圆，圆心为的中点，半径为． 设，则，的中点为，， 所以圆的方程为， 即． 将变形，得， 所以，解得或， 所以圆恒过定点和． 2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知圆，直线. (1)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为，求证：过点的圆过定点，并求出所有定点的坐标； (2)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为,求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)证明见解析；和 (2)证明见解析； 【详解】（1）是圆O的切线切点为 所以. 所以点在以为直径的圆上， 点P在直线l上运动，所以设点， 则以为直径的圆方程为：， 即：， 令，解得或 所以圆过定点和 （2）由（1）知，过的圆方程为：， 同时点在圆上， 所以直线AB即两个圆的公共弦方程所在的直线方程， 两个圆的方程相减得：，即两个圆的公共弦方程所在的直线方程； 令，解得. 故直线过定点      2 学科网（北京）股份有限公司 $$以圆为背景的定点问题 以圆为背景的定点问题 定点问题--解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线(中的参数)如何变化，直线和曲线都经过某一个定点 定点问题的两种解法:一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明.二是把直线或曲线方程中的变量、当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于、的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算 ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 2.直线过定点问题 思路一：设所求直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点. 思路二：设与所求直线相关的直线方程，翻译题目条件，整理出所求直线上两点的坐标，用两点式方程整理出直线方程，则该直线过定点. 思路三：过圆外一点作的两条切线，切点为、，求直线所过定点，求出以为圆心，为半径的的方程，再根据线段为和的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，令直线方程中参数项的自变量为得解. 3.圆过定点问题 圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为. 考向一 设所求直线方程为，翻译条件得与的关系，进而得定点. 1．（23-24高二上·北京·期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且证明：直线恒过定点． 2．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆C的方程； (2)若、在圆上，直线，的斜率之积为，证明：直线过定点． 考向二 求所求直线上两点坐标，整理出直线方程，进而得定点. 1．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上. (1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程； (2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标. 2．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是圆O：上的两个动点，P是弦AB的中点，且； (1)求点P的轨迹方程； (2)点P轨迹记为曲线τ，若C，D是曲线τ与x轴的交点，E为直线l：上的动点，直线CE，DE与曲线τ的另一个交点分别为M，N，判断直线MN是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 考向三 求公共弦所在直线方程，进而得定点. 1．（23-24高二上·江苏·期末）已知点M是直线l: 上一动点，过点M作圆O:切线，切点分别为P，Q. (1)当OM的值最小时，求切线方程; (2)试问:直线PQ是否过定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由. 2．（23-24高二上·湖南·期中）如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，. (1)证明直线过定点，并求出定点的坐标； (2)求线段中点的轨迹方程； (3)若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值. 考向四 圆过定点问题 1．（23-24高二上·贵州黔西·期中）已知曲线上任意一点到点的距离与到点的距离之比为. (1)求曲线的轨迹方程； (2)过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，圆过，，三点，证明：圆恒过定点. 2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知圆，直线. (1)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为，求证：过点的圆过定点，并求出所有定点的坐标； (2)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为,求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$