奇偶性问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

奇偶性问题 (知识精讲+典例分析+高频真题+答案解析) 【知识点归纳】 主要用到的知识点： 1．奇数±奇数＝偶数；偶数±偶数＝偶数； 奇数±偶数＝奇数；偶数±奇数＝奇数． 2．奇数个奇数的和（或差）为奇数，偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）为偶数． 3．奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数；奇数×偶数＝偶数． 4．若干个数相乘，其中有一个因数是偶数，则积为偶数；如果所有的因数都是奇数，则积为奇数． 5．偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1． 【解题技巧】 1、奇偶性的运算规则 奇数 ± 奇数 = 偶数 偶数 ± 偶数 = 偶数 奇数 ± 偶数 = 奇数 奇数 × 奇数 = 奇数 奇数 × 偶数 = 偶数 偶数 × 偶数 = 偶数 2、解题思路 （1）分析题目中所给的数或运算，判断其奇偶性。 （2）根据奇偶性的运算规则进行推理和计算。 （3）利用奇偶性的特点解决问题，如判断方程是否有整数解、确定数字的排列规律等。 【典例1】某班同学参加数学竞赛，共五十道试题。评分标准：对一题得3分，错一题倒扣1分，不答得1分。请说明：该班同学得分总和一定是奇数还是偶数？ 【答案】偶数。 【分析】由题意得，每一个学生的得分＝答对所得分数+不答所得分数﹣答错扣的分数，据此可得每一个学生的得分都是偶数，从而得出全体学生的得分总和一定是偶数。 【解答】解：我们证明每一个学生的得分都是偶数．设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有（50﹣a﹣b）道题没有答。 于是此人的得分是3a+（50﹣a﹣b）﹣b＝2a﹣2b+50， 这是一个偶数。 所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数。 【点评】此题结合实际问题考查整数的奇偶性问题，解答此题的关键是理清题意，找准代数式，得到每一个学生的得分都是偶数。 【典例2】在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。 【答案】偶数。 【分析】由于每个人都要和其他个人握一次手，设这一时刻共有n个人，则每人需要握（n﹣1）次手，又握手次数是奇数，即（n﹣1）是奇数，则n一定是偶数。 【解答】解：设这一时刻共有n个人，则每人需要握（n﹣1）次手， 又握手次数是奇数，即（n﹣1）是奇数， 则n一定是偶数。 即此时总人数是偶数。 【点评】明确每个人都要和其他个人握一次手是完成本题的关键。 【典例3】一个车间有40个工人分成两组生产机器零件。如果第一小组的人数是奇数，那么第二小组的人数是奇数还是偶数？如果第一小组的人数是偶数，那么第二小组的人数是奇数还是偶数？ 【答案】奇数，偶数。 【分析】奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，偶数+偶数＝偶数，根据以上算式作判断。 【解答】解：第一小组人数+第二小组人数＝40（个） 奇数+奇数＝偶数 答：如果第一小组的人数是奇数，那么第二小组的人数是奇数。 第一小组人数+第二小组人数＝40（个） 偶数+偶数＝偶数 答：如果第一小组的人数是偶数，那么第二小组的人数是偶数。 【点评】明确数的奇偶性是解决本题的关键。 【典例4】傍晚开点灯时，淘气的小明一连拉了7下开关，请问，现在灯是亮了还是没亮？如果拉50下呢？135下呢？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由于原来灯是灭的，则拉1下，灯亮；2下，灯灭；3下，灯亮；4下，灯灭；5下，灯亮；6下，灯灭；…，由此可以发现，当打奇数次的时候，灯亮．拉偶数次的时候，灯又恢复原来的状态，灭了．据此完成． 【解答】解：由于原来灯是灭的，则拉1下，灯亮；2下，灯灭；3下，灯亮；4下，灯灭；5下，灯亮；6下，灯灭；…，由此可以发现，当打奇数次的时候，灯亮．拉偶数次的时候，灯又恢复原来的状态，灭了． 7为奇数，则淘气的小明一连拉了7下开关后，灯亮． 50是偶数，则拉50下后，灯灭． 135是奇数，则拉135次后，灯亮． 【点评】在此类题目中，如拉奇数次，灯的改变原来状态，拉偶数次，恢复原来状态． 【典例5】晚上小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是亮还是暗？如果按了50下呢？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了5下开关，可知第1下是关，第2下是开，1是奇数，2是偶数，可知奇数时关，偶数时开，5是奇数，如果按50下，50是偶数，据此解答即可． 【解答】解：第1下是关，第2下是开，可知奇数时关，偶数时开，5是奇数，所以5下是关， 50是偶数，是开； 答：按5下开关，这时灯是暗的，如果按了50下灯是亮的． 【点评】本题主要理解第1下是关，第2下是开，可知奇数时关，偶数时开． 1．一只小船每天在河的东西两岸运送乘客，从东岸到西岸或从西岸到东岸都算一次。 （1）一天，这只小船从东岸开始运送乘客。第5次从东岸出发还是从西岸出发？第10次、第115次和200次呢？ （2）你发现了什么规律？ 2．阳光小学五（3）班有47名同学，现在派他们到4个社区参加志愿者服务活动，每个社区要求派奇数名同学，你能按要求分配任务吗？说说你的理由。 3．长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 4．教室里有一盏电灯亮着，突然停电了，刘老师拉了一下电灯的开关，又有10名同学，每人都拉了一下开关，最后电灯是开着还是关着？请说明理由。 5．实验小学抽调35名教师分别到甲、乙两个社区参加创城志愿者服务活动。如果抽调到甲社区的人数为奇数，那么抽调到乙社区的教师人数为奇数还是偶数？如果抽调甲社区的教师人数为偶数呢？请分这两种情况，用你喜欢的方式（如文字、算式、列表等）说明理由。 6．一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵树？第90次呢？ 7．小船最初在南岸，先从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。摆渡17次后，船在南岸还是北岸？为什么？摆渡100次后，船在南岸还是北岸？为什么？ 8．傍晚弟弟开灯，一连开了8下。请你说说这时灯亮了还是没亮。13下呢？ 9．一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？ 10．晚上，平平打开灯做作业，淘气的弟弟跑过来，一下子按了27下电灯的开关，请问现在灯是亮了还是不亮？ 11．一只小狗在甲、乙两棵树之间来回跑动．小狗最初从甲树跑向乙树，一共跑了23次（往返算2次），最后小狗停在哪棵树旁？跑了156次呢？ 12．将361枚围棋子分装在甲、乙两个棋盒里．如果甲盒装的棋子为偶数枚，那么乙盒装的棋子是偶数枚还是奇数枚？如果甲盒装的棋子为奇数枚呢？ 13．某班同学参加数学竞赛，共有50道题，评分标准是答对1道题得3分，每道题答错或不答都扣1分。该班同学得分总和是偶数还是奇数？ 14．桌上有一堆石子共1001粒。第一步从中扔去一粒石子，并把余下的石子分成两堆。以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把某一堆分作两堆。问：能否在若干步之后，桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？ 15．有一列数：1、3、4、7、11、18、29……这列数排列的规律是，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。问：在前50个数中（包括第50个数），有多少个奇数？ 16．一个班的同学参加一次数学竞赛，一共要做40道题，评分标准如下：答对一道题得3分，不答或答错一题扣1分，那么这个班同学所得总分是奇数还是偶数？为什么？ 17．将361枚围棋子分装在甲、乙两个盒子里，如果甲盒装的棋子数为偶数枚，那么乙盒装的棋子数是偶数枚还是奇数枚？ 18．今年植树节这天，五（1）班42名学生分成甲、乙两队参加植树． （1）如果甲队人数为奇数，那么乙队人数为奇数还是偶数？请说明理由． （2）如果甲队人数为偶数，那么乙队人数为奇数还是偶数？请说明理由． 19．宁宁参加一个数学竞赛，共有20道题．评分标准是：答对一道题给5分，答错一道题倒扣1分，不答不得分．如果宁宁全部答了，他的总分是奇数还是偶数？ 20．小明晚上开电灯时，淘气的小明一连拉了10下开关，现在电灯是亮了还是没亮？如果小明拉了35下呢？260下呢？ 21．有两堆石子，第一堆有1234枚，第二堆有4321枚，每次允许要么从两堆中拿走相同数目的石子（每次拿的数目可以不同），要么从一堆中拿若干枚放入另一堆．问：能否经过若干次操作把两堆石子同时拿光？为什么？ 22．一只小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返．已知小船最初在南岸，摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？摆渡248次呢？ 23．小芳家卧室的灯最初在关闭状态．现在如果不断地按开关，那么按21次后，灯处于种状态？为什么？如果按300次呢？ 24．小红晚上做作业的时候，本来按1次开关，灯就亮了，但是她一连按了27次开关，这时灯是亮的还是不亮的？ 25．把195本书分给一些同学阅读，如果每人分得奇数本，那么可以分到书的人数是奇数还是偶数？为什么？ 26．一只小狗在甲、乙两地之间来回跑动，最初小狗从甲地跑向乙地，一共跑了51次（往返算2次），最后小狗停在了哪个地方？如果跑了510次呢？ 27．盒子里有黑、白棋子各100颗，每次从中取出2颗，如果取出的是同一种颜色的棋子，就向盒子里放入一颗黑棋子，如果取出的是颜色不同的棋子，就向盒子里放入一颗白棋子，白棋子留的个数为奇数还是偶数？ 28．一只小狗在甲、乙两棵树之间来回跑动．小狗最初从甲树跑向乙树，一共跑了7次（往返算2次）．最后小狗停在哪棵树旁？ 29．一群小鹅渡河．（小鹅从一岸游到另一岸叫渡河一次） （1）如果小鹅最初在河的右岸，来回游若干次后又游回右岸，那么小鹅渡河的次数是奇数还是偶数？ （2）如果小鹅最初在右岸，共渡河11次，请问小鹅最后是在河的左岸还是右岸？ 30．乐乐用48根小棒搭图形。搭一个四边形需要四根小棒，搭一个六边形需要六根小棒……他搭了一些四边形和一些六边形后，说自己剩下了11根小棒。你认为他说得对吗？为什么？ 31．大毛、中毛、小毛三人的年龄正好是三个连续的奇数，他们的年龄总和是39岁。他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 32．小船在两岸间往返运送客人，最初在南岸，第1次从南岸驶向北岸，第2次从北岸驶回南岸，不断往返。这样摆渡11次后，船在南岸还是北岸？为什么？ 33．花园小学五（2）班有45名同学，他们分别到6个社区参加综合实践活动，每个社区只能派奇数名同学，你能按要求分配任务吗？为什么？ 34．红光小学五（1）班有43名同学，现在派他们到4个社区参加志愿者服务活动，每个社区要派奇数名同学，你能够分配一下任务吗？说说你的理由． 35．乐乐家卧室的开关最初在关闭状态，若按1次之后灯是开着的，那么在开和关13次后，灯是开的还是关的呢？如果开和关200次后，灯又是怎么样的？为什么？请简单说明理由． 36．教室里有一盏灯亮着，突然停电了，李老师拉了一下电灯的开关，如果这个班有36名同学，每人都拉一下开关，最后灯是亮着还是关着？请说出你的理由． 37．小船最初在南岸，先从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返．小船摆渡13次后，船在南岸还是北岸？为什么？摆渡100次后，船在南岸还是北岸？为什么？ 38．已知甲、乙、丙都是非零自然数，甲是奇数且满足：甲+乙＝奇数，甲+丙＝偶数。判断甲、乙、丙三个数的和的奇偶性，请写出你的理由。 39．王华的微信钱包中有175元钱，想分成两个红包发给弟弟和妹妹，如果发给弟弟的红包金额是奇数，那么发给妹妹的红包金额是奇数还是偶数？（两红包的金额都是整元数） 40．一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。 （1）摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 41．（1）7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？ （2）有m（ m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m﹣1）只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？ 42．把35个草莓放在3个盘子里，每个盘子里只能放奇数个，你能办得到吗？请说明思考过程？ 43．某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题得3分，答错一题倒扣1分，不答一题得1分，请证明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。 44．150盏亮着的灯，各有一个开关控制着，按照顺序编号1、2、3、…、150，将编号为3的倍数的灯按一次，再将编号为5的倍数的灯按一次，按完后还亮着的灯有多少盏？ 45．五（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。评分标准是：答对一道给3分，不答的题，每道给1分，答错一道扣1分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？ 1．【答案】（1）东岸，西岸，东岸，西岸；（2）奇数次从东岸出发，偶数次从西岸出发。 【分析】小船最初是在东岸，那么摆渡一次是从东岸出发，第二次是从西岸出发，第三次是从东岸出发，…以此类推，奇数次从东岸出发，偶数次从西岸出发，据此即可解答。 【解答】解：（1）5是奇数，所以第5次是从东岸出发； 10是偶数，所以第10次是从西岸出发； 115是奇数，所以第115次是从东岸出发； 200是偶数，所以第200次是从西岸出发。 （2）发现规律：奇数次从东岸出发，偶数次从西岸出发。 【点评】本题主要考查奇偶性问题，找出规律是解答本题的关键。 2．【答案】不能，因为总人数47是一个奇数，而4个奇数的和是偶数。 【分析】根据4个奇数的和的奇偶性即可解答。 【解答】解：两个奇数的和是偶数，再加一奇数，和是奇数，而4个奇数的和又是偶数，因为总人数47是一个奇数，而4个奇数的和是偶数，所以不能按每个社区派奇数数名同学的要求分配任务。 【点评】此题主要考查和的奇偶性，关键在于掌握偶数个奇数的和是偶数，奇数个奇数的和是奇数。 3．【答案】（1）船在南岸；因为奇数次船在北岸，偶数次船在南岸，10是偶数，所以船在南岸；（2）船在北岸；因为奇数次船在北岸，偶数次船在南岸，103是奇数，所以船在北岸。 【分析】（1）根据题意到达北岸为1次，到达南岸为2次，再次到达北岸为3次，依次数下去奇偶数重复出现，奇数次船在北岸，偶数次船在南岸，据此可解。 【解答】解：（1）船在南岸；因为奇数次船在北岸，偶数次船在南岸，10是偶数，所以船在南岸； （2）船在北岸；因为奇数次船在北岸，偶数次船在南岸，103是奇数，所以船在北岸。 【点评】本题考查奇偶数问题，寻找奇偶数的变化规律是解决此类题的关键。 4．【答案】关着；奇数个同学拉后，开关状态总为开启，偶数个同学拉后，开关状态总为关闭。 10为偶数，所以最后灯是关着的。 【分析】原来灯是亮着的，刘老师拉了一下后，此时开关的状态为关闭。如果这个班有10名同学，每人都拉一下开关，则第一位同学拉后：开；第二位，关；第三位，开；第四位，关；......．由此可以发现，奇数个同学拉后，开关状态总为开启，偶数个同学拉后，开关状态总为关闭，10为偶数，所以最后灯是关着的。 【解答】解：刘老师拉了一下后，此时开关的状态为关闭。 此后第一位同学拉后：开； 第二位：关； 第三位：开； 第四位：关； ......， 由此可以发现，奇数个同学拉后，开关状态总为开启，偶数个同学拉后，开关状态总为关闭。 10为偶数，所以最后灯是关着的。 答：最后灯是关着的。 【点评】开关的闭合规律为：拉奇数次，闭合状态改变，偶数次闭合状态不变。因此完成此类题目时一定要注意开关的初始状态是开还是关。 5．【答案】因为奇数+偶数＝奇数，35是奇数，那么甲是奇数，乙为偶数；甲是偶数，乙为奇数。 【分析】根据奇数+偶数＝奇数来判断。35是奇数，那么甲是奇数，乙为偶数；甲是偶数，乙为奇数。 【解答】解：因为奇数+偶数＝奇数，35是奇数，那么甲是奇数，乙为偶数；甲是偶数，乙为奇数。 【点评】明确两个数相加的和的奇偶性是解决本题的关键。 6．【答案】乙树；甲树。 【分析】根据题意，小狗第一次从甲跑到乙，第二次从乙跑到甲；……依次进行，奇数次跑到乙树，偶数次跑到甲树。据此解答。 【解答】解：根题意可知，小狗奇数次跑到乙树，偶数次跑到甲树。 15是奇数，所以最后停在乙树；90是偶数，最后停在甲树。 答：跑了15次最后小狗停在乙树；第90次停在甲树。 【点评】本题主要找到奇数次和偶数次小狗停在哪棵树那里即可。 7．【答案】小船摆渡17次，是8个来回，再多1次，所以船在北岸；小船摆渡100次，是50个来回，所以船在南岸。 【分析】小船最初在南岸，则第一次摆渡后到达北岸，第二次摆渡到达南岸；第三次到达北岸，第四次南岸......，在南北岸之间不断往返。由此可以发现，在摆渡奇数次后，船在北岸，摆渡偶数次后，船在南岸；据此解答。 【解答】解：17÷2＝8......1 小船摆渡17次，是8个来回，再多1次，所以船在北岸； 100÷2＝50 小船摆渡100次，是50个来回，所以船在南岸。 答：小船摆渡17次，是8个来回，再多1次，所以船在北岸；小船摆渡100次，是50个来回，所以船在南岸。 【点评】解答此题的关键是理解往返的意思。 8．【答案】不亮，亮。 【分析】由生活实际可知：拉一次开关，灯亮；拉两次开关，灯灭；拉三次开关，灯亮；拉四次开关，灯灭……从而得到规律：拉奇数次灯亮，拉偶数次灯灭。 【解答】解：拉奇数下灯变亮，偶数下变为不亮； 8下，为偶数次，所以一连开了8下后灯是不亮的； 13下，为奇数次，所以一连开了13下开关后灯是亮着的； 答：一连开了8下灯是不亮的，一连开了13下灯是亮的。 【点评】考查了奇偶性问题，在此类问题中，开关状态改变的规律是：拉奇数次时，开关状态改变，偶数次时状态不变。 9．【答案】333。 【分析】先看这个数列是怎样变化的，问题是要看第1000个数的奇偶性，那就从奇偶性的变化中找到规律，再判断。 【解答】解：这列数是按照奇奇偶的顺序循环重复排列的，即每过3个数循环一次，那么到第1000个数一共循环了333次，到第1000个数时，已做了333次奇奇偶的循环，还余下1个数，也就是说余下的1个数为奇奇偶中的第一字“奇”个数是奇数第1000个数是奇数。 答：共有333个偶数。 【点评】本类型的题目先判断出按什么顺序循环排列的把这样的数看成一组，看所要求的个数有几个这样的一组。 10．【答案】不亮。 【分析】拉第一下开关，灯不亮，再拉一下，灯亮，再拉一下，灯不亮，可见灯是按不亮、亮、不亮、亮的顺序循环出现的，所以拉奇数下灯不亮，偶数下灯亮；所以，拉了27下开关灯是不亮的。 【解答】解：拉奇数下灯变为不亮，偶数下变为亮。 拉27下，为奇数次，所以拉了27下开关后灯是不亮的。 答：一下子按了27下电灯的开关，现在灯是不亮。 【点评】完成本题的关键是明确拉偶数次开关的状态与原来相比不变，拉奇数次状态变化。 11．【答案】见试题解答内容 【分析】第1次，小狗最初从甲树跑向乙树， 第2次，小狗从乙树跑向甲树， 第3次，小狗从甲树跑向乙树， 第4次，小狗从乙树跑向甲树， … 所以，可得规律：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁，据此解答即可． 【解答】解：根据分析可得：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁， 因为23是奇数，所以一共跑了23次（往返算2次），最后小狗停在乙棵树旁； 因为156是偶数，所以一共跑了156次（往返算2次），最后小狗停在甲棵树旁． 【点评】本题考查了奇偶性的实际应用，关键是确定：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】根据偶数与奇数的性质：奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，偶数+偶数＝偶数，由此可得：奇数﹣偶数＝奇数，奇数﹣奇数＝偶数，据此解答即可． 【解答】解：如果甲盒装的棋子为偶数，乙盒装的棋子为奇数； 因为361是奇数，奇数﹣偶数＝奇数； 如果甲盒装的棋子为奇数，乙盒装的棋子为偶数； 因为361是奇数，奇数﹣奇数＝偶数． 答：如果甲盒装的棋子为偶数枚，那么乙盒装的棋子是奇数枚；如果甲盒装的棋子为奇数枚，那么乙盒装的棋子是偶数枚． 【点评】此题考查了数的奇偶性特征，明确数的奇、偶性特征是解答此题的关键． 13．【答案】偶数。 【分析】假设这个班每人50道题都答对，每人应得3×50＝150（分），150是偶数。答错1题或没答要失去3+1＝4（分），也是偶数。这样每个人的得分肯定是偶数，若干个偶数的和和是偶数。 【解答】解：该班同学得分总和一定是偶数。 【点评】本题考查了奇偶性问题。关键是理解若干个偶数的和还是偶数。 14．【答案】不能。 【分析】假设最后桌上剩下n堆石子（n为自然数），每堆3粒，则在此之前一共进行了（n﹣1）次操作，每次操作都扔了一粒石子，一共扔了（n﹣1）粒石子，因此3n+（n﹣1）＝1001，得到4n＝1002，但1002不是4的倍数，说明n不是自然数，与假设互相矛盾，所以不能得到每一堆都有3粒。 【解答】解：假设最后桌上剩下n堆石子（n为自然数）， 3n+（n﹣1）＝1001 3n+n﹣1＝1001 4n﹣1+1＝1001+1 4n÷4＝1002÷4 n＝250.5 250.5不是自然数，与假设互相矛盾， 所以若干步之后，不能得到每一堆都有3粒。 【点评】本题关键是找出操作的次数与石子数的关系，根据操作的次数与石子数的关系推导出操作次数为自然数时，结论成立，操作次数不是自然数时，结论不成立。 15．【答案】34个。 【分析】商是16，余数是2，则有16组且剩余的2个为奇数。 【解答】解：根据“奇数+奇数＝偶数”和“奇数+偶数＝奇数”，可知这列数奇偶排列的规律为：奇、奇、偶、奇、奇、偶……即从第一个数开始， 每3个数为一组，前2个为奇数，后一个为偶数。 50÷3＝16……2，2×16+2＝34 答：前50个数中有34个奇数。 【点评】本题是一道有关数的奇偶性的题目。 16．【答案】偶数；每个同学的得分都是偶数，这个班同学所得总分是偶数。 【分析】由题意可知，答对一题得3分，不答或答错一题扣1分，假设有x道题答对，则有（40﹣x）道题不答或答错，最后得分：3x﹣（40﹣x）＝4x﹣40，根据数的奇偶性可知，每个参赛选手的得分一定为偶数。据此解答即可。 【解答】解：假设有x道题答对，则有（40﹣x）道题不答或答错 3x﹣（40﹣x） ＝4x﹣40 4x是偶数，40也是偶数，它们的差也是偶数。 所以每个同学的得分都是偶数，这个班同学所得总分是偶数。 答：这个班同学所得总分是偶数。 【点评】因每答一题的得分均为奇数，（3，﹣1均为奇数）因此得分的奇偶性与总分的奇偶性有关系，故题的总分是奇数则得奇数分，题的总数为偶数则得偶数分。 17．【答案】见试题解答内容 【分析】根据偶数与奇数的性质：奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，偶数+偶数＝偶数，由此可得：奇数﹣偶数＝奇数，据此解答即可． 【解答】解：因为361是奇数，奇数﹣偶数＝奇数； 所以，如果甲盒装的棋子数为偶数枚，那么乙盒装的棋子数为奇数枚； 答：如果甲盒装的棋子数为偶数枚，那么乙盒装的棋子数是奇数枚． 【点评】此题考查了数的奇偶性特征，明确数的奇、偶性特征是解答此题的关键． 18．【答案】奇数，偶数。 【分析】根据偶数与奇数的性质：偶数+偶数＝偶数，奇数+奇数＝偶数，据此解答即可。 【解答】解：因为42是偶数， （1）如果甲队人数为奇数，那么乙队人数为奇数； 因为：奇数+奇数＝偶数。 （2）如果甲队人数为偶数，那么乙队人数为偶数； 因为：偶数+偶数＝偶数。 答：如果甲队人数为奇数，乙队人数为奇数，如果甲队人数为偶数，乙队人数为偶数。 【点评】此题考查的目的是理解掌握偶数与奇数的性质及应用。 19．【答案】见试题解答内容 【分析】假设宁宁答错了x道题，则他答对了（20﹣x）道，根据题意列式，判断奇偶性即可． 【解答】解：设宁宁答错了x道题，那么他答对了（20﹣x）道， 根据题意，他的总分为： （20﹣x）×5﹣x×1 ＝100﹣5x﹣x ＝100﹣6x 6为偶数，所以6x也为偶数， 100为偶数，所以100﹣6x也为偶数， 答：他的总分为偶数． 【点评】本题主要考查了奇偶性问题，正确的根据题意列式，是本题解题的关键． 20．【答案】见试题解答内容 【分析】由于原来灯是灭的，则拉1下，灯亮；2下，灯灭；3下，灯亮；4下，灯灭；5下，灯亮；6下，灯灭；…，由此可以发现，当拉奇数次的时候，灯亮．拉偶数次的时候，灯又恢复原来的状态，灭了．据此完成． 【解答】解：由于原来灯是灭的，则拉1下，灯亮；2下，灯灭；3下，灯亮；4下，灯灭；5下，灯亮；6下，灯灭；…，由此可以发现，当拉奇数次的时候，灯亮．拉偶数次的时候，灯又恢复原来的状态，灭了． 10是偶数，则淘气的小明一连拉了10下开关后，灯没亮． 35为奇数，则拉35下后，灯亮． 260是偶数，则拉260次后，灯没亮． 【点评】在此类题目中，如拉奇数次，灯的改变原来状态，拉偶数次，恢复原来状态． 21．【答案】见试题解答内容 【分析】第一堆有1234枚，第二堆有4321枚，根据偶数+奇数＝奇数可知两堆石子的和是奇数，从两堆中拿走相同数目，根据偶数+偶数＝偶数，以及奇数+奇数＝偶数，那么每次拿的石子的个数一定是偶数，所以无论怎么拿，都无法把两堆石子同时拿光，由此求解． 【解答】解：石子总数：1234+4321，是偶数+奇数，它们的和是奇数，即两堆石子的和是奇数， 从一堆中拿若干枚放入另一堆，石子的总数是不变的，仍是奇数； 从两堆中拿走相同数目的石子，那么每次减少的石子的数量一定是偶数个； 由于总数是奇数个，拿走的数量是偶数个，所以无论怎么拿，都无法把两堆石子同时拿光． 【点评】解决本题根据数字的奇偶性进行判断，先根据偶数+奇数＝奇数，得出石子的总数量是奇数，而偶数+偶数＝偶数，奇数+奇数＝偶数，每次拿走的都是偶数个，从而得出结论． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】小船最初在南岸，则第一次摆渡后到达北岸，第二次摆渡到达南岸；第三次到达北岸，第四次南岸，…，在南北岸之间不断往返．由此可以发现，在摆渡奇数次后，船在北岸，摆渡偶数次后，船在南岸；据此解答． 【解答】解：在摆渡奇数次后，小船在北岸，摆渡偶数次后，小船在南岸． 15为奇数，所以摆渡15次后，小船在北岸； 248为偶数，所以摆渡248次后，小船在南岸． 答：摆渡15次后，小船在北岸；摆渡248次小船在南岸． 【点评】根据题意所给条件进行操作，发现摆渡次数的奇偶性与小船所在位置的关系是完成本题的关键． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】小芳家卧室的灯最初在关闭状态，则第一次打开，第二次关闭，第三次打开，第四次关闭…，由此可以发现，当按下偶数次时，灯为关闭状态，按下奇数次时为打开状态．据此完成． 【解答】解：由题意可知， 当按下偶数次时，灯为关闭状态，按下奇数次时为打开状态． 21为奇数，则开关21次后，灯为打开状态． 300为偶数，则开关300次时，灯为关闭状态． 【点评】完成此类题目要注意开关的初始状态是怎样的． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】根据分析可得，按单数次开关时，灯亮，按双数次开关时，灯不亮，由此规律即可得出答案． 【解答】解：此题的规律是：按单数次开关，灯亮，按双数次开关，灯不亮， 27为单数，所以灯亮． 答：她一连按了27次开关，这时灯是亮的． 【点评】找出灯亮的规律，即可解决此类问题． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，总本数是奇数，每人分得的又是奇数本，根据奇数×奇数＝奇数进行判断即可． 【解答】解：因为奇数×奇数＝奇数， 195是奇数，即总书本数为奇数， 因此分得奇数本的人手中的书本数就必须是奇数，这样才能加起来是奇数（195本）． 所以分得奇数本的人必然是奇数． 【点评】本题主要考查了学生奇偶性问题的认识，明白奇数×奇数＝奇数是解题关键． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】小狗跑一次到乙地，跑两次又回到甲地．由此可以列个表去找规律 甲地 乙地 小狗跑步次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 偶数 奇数 【解答】解：小狗跑1.3.5.7.9.11…次（奇数次）到乙地，跑2.4.6.8.10…次（偶数次）又回到甲地． 51是奇数，跑51次时小狗在乙地．510是偶数，跑510次时小狗在甲地． 答：一共跑了51次（往返算2次），最后小狗停在了乙地，如果跑了510次小狗在甲地． 【点评】要学会从简单的情况里找到规律，善于找规律的学数学事倍功半． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】由于白色棋子只能在两枚棋子同为白的时候离开盒子，而一黑一白的时候该白棋子会回到盒子中，那么也就是说最终能够离开盒子的白色棋子必为偶数，依此即可求解． 【解答】解：由于白色棋子只能在两枚棋子同为白的时候离开盒子，而一黑一白的时候该白棋子会被放回到盒子中，那么也就是说最终能够离开盒子的白色棋子必为偶数，原来白色棋子有100枚，为偶数，根据“偶数﹣偶数＝偶数”这条规律，可得白棋子留的个数为偶数． 答：白棋子留的个数为偶数． 【点评】根据两种取放方法能够看出每经过一轮，盒子里就会少一个棋子，以及拿出白色棋子的个数只能是偶数个，是本题解答的关键． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】第1次，小狗最初从甲树跑向乙树， 第2次，小狗从乙树跑向甲树， 第3次，小狗从甲树跑向乙树， 第4次，小狗从乙树跑向甲树， … 所以，可得规律：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁，据此解答即可． 【解答】解：根据分析可得：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁， 因为7是奇数，所以一共跑了7次（往返算2次）．最后小狗停在甲棵树旁； 答：最后小狗停在甲棵树旁． 【点评】本题考查了奇偶性的实际应用，关键是确定：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】第一次由右岸到了左岸，第二次由左岸到右岸，第三次由右岸到左岸，第四次由左岸到右岸…奇数次从右岸到左岸，偶数次从左岸回到右岸；由此求解． 【解答】解：（1）奇数次由右岸到左岸，偶数次从左岸回到右岸； 来回游若干次后，它又回到右岸，那么小鸭子渡河的次数是偶数． （2）11是奇数，那么它是由右岸到左岸，11次后小鸭子在左岸． 【点评】在此类问题中，当是奇数次时，原来状态改变，偶数次时，恢复原来状态． 30．【答案】不对。 48﹣11＝37（根） 四边形和六边形的边数都是偶数，所以用了的总根数也是偶数，而37是奇数，与前面相矛盾，所以他说得不对。 【分析】48﹣11＝37（根），37是奇数，四边形和六边形的边数都是偶数，然后根据数的奇偶性推断即可。 【解答】解：48﹣11＝37（根） 四边形和六边形的边数都是偶数，所以用了的总根数也是偶数，而37是奇数，与前面相矛盾，所以他说得不对。 【点评】本题考查了数的奇偶性的灵活运用。 31．【答案】11岁，15岁。 【分析】先用三人的年龄总和除以3，求出中间的奇数；再用中间的奇数分别减2和加2，即可求出最小和最大的年龄。 【解答】解：39÷3＝13（岁） 13﹣2＝11（岁） 13+2＝15（岁） 答：大毛、中毛、小毛三人中最小的11岁，最大的15岁。 【点评】本题主要考查奇数的知识，掌握奇数的定义是解题的关键。 32．【答案】在北岸，因为11为奇数，所以摆渡11次后，小船在北岸。 【分析】小船最初在南岸，则第一次摆渡后到达北岸，第二次摆渡到达南岸；第三次到达北岸，第四次南岸……在南北岸之间不断往返，由此可以发现，在摆渡奇数次后，船在北岸，据此解答。 【解答】解：在北岸，因为11为奇数，所以摆渡11次后，小船在北岸。 【点评】根据题意所给条件进行操作，发现摆渡次数的奇偶性与小船所在位置的关系是完成本题的关键。 33．【答案】见试题解答内容 【分析】每2个奇数社区人数和是偶数，这样三组奇数相加就得到了3个偶数，偶数+偶数＝偶数，这与总人数45奇数矛盾，这个任务是不可能完成．依此解答即可． 【解答】解：2个奇数社区人数和是偶数，这样三组奇数相加就得到了3个偶数， 偶数+偶数＝偶数， 即：奇数+奇数+奇数+奇数+奇数+奇数＝偶数； 这与总人数45奇数矛盾，所以不可能完成． 【点评】考查了奇偶数意义的应用，本题关键是根据奇数+奇数＝偶数，偶数+偶数＝偶数来判断． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】假设能完成 那么2个奇数社区 人数和是偶数 另两个奇数社区人数和也是偶数，偶数+偶数 还是偶数 这与总人数43奇数矛盾，这个任务是不可能完成．依此解答即可． 【解答】解：假设能完成那么2个奇数社区人数和是偶数，另两个奇数社区人数和也是偶数，偶数+偶数还是偶数， 与奇数+奇数+奇数+奇数＝偶数是一致的． 这与总人数43奇数矛盾，所以不可能完成． 【点评】考查了奇偶数意义的应用，本题关键是根据奇数+奇数+奇数+奇数＝偶数来判断． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】灯最初是关闭状态，拉一次，打开，拉两次，灯关闭；三次，打开；四次，关闭…．由此可以发现，拉奇数次时，灯为打开状态，拉偶数次时，灯为关闭状态，由此求解． 【解答】解：根据分析可知：拉奇数次时，灯为打开状态，拉偶数次时，灯为关闭状态． 因为13是奇数，开关13次后，是打开状态； 因为200是偶数，开关200次后，灯处于关闭状态． 【点评】灯的开关状态改变的规律为：拉奇数次，状态改变，拉偶数次，状态不变；所以完成此类题目时，一定要注意开关的初始状态是怎样的． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】原来灯是亮着的，李老师拉了一下后，此时开关的状态为关闭．如果这个班有36名同学，每人都拉一下开关，则第一位同学拉后：开；第二位，关；第三位，开；第四位，关；…．由此可以发现，奇数个同学拉后，开关状态总为开启，偶数个同学拉后，开关状态总为关闭，36为偶数，所以最后灯是关着的． 【解答】解：李老师拉了一下后，此时开关的状态为关闭． 此后第一位同学拉后：开； 第二位：关； 第三位：开； 第四位：关； …， 由此可以发现，奇数个同学拉后，开关状态总为开启，偶数个同学拉后，开关状态总为关闭． 36为偶数，所以最后灯是关着的． 答：最后灯是关着的． 【点评】开关的闭合规律为：拉奇数次，闭合状态改变，偶数次闭合状态不变．因此完成此类题目时一定要注意开关的初始状态是开还是关． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】小船最初在南岸，则第一次摆渡后到达北岸，第二次摆渡到达南岸；第三次到达北岸，第四次南岸，…，在南北岸之间不断往返．由此可以发现，在摆渡奇数次后，船在北岸，摆渡遇数次后，船在南岸；据此解答． 【解答】解：在摆渡奇数次后，小船在北岸，摆渡遇数次后，小船在南岸． 13为奇数，所以摆渡13次后，小船在北岸； 100为偶数，所以摆渡100次后，小船在南岸． 【点评】根据题意所给条件进行操作，发现摆渡次数的奇偶性与小船所在位置的关系是完成本题的关键． 38．【答案】甲、乙、丙三个数的和为偶数。 【分析】根据偶数+偶数＝偶数，奇数+奇数＝偶数，偶数+奇数＝奇数即可解答。 【解答】解：甲+乙＝奇数，甲+丙＝偶数。 甲数为奇数，乙数为偶数，丙数为奇数。 所以甲、乙、丙三个数的和为偶数。 【点评】本题主要考查偶数+偶数＝偶数，奇数+奇数＝偶数，偶数+奇数＝奇数。 39．【答案】偶数。 【分析】根据奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，再根据加法和减法的互逆关系进行解答即可。 【解答】解：175是奇数，根据奇数﹣奇数＝偶数，所以发给妹妹的红包金额是偶数。 答：发给妹妹的红包金额是偶数。 【点评】本题考查奇偶性的判断。 40．【答案】（1）北岸；15是奇数，所以摆渡15次后，小船是在北岸。 （2）不对；因为2016是偶数，摆渡2016次后，小船应该在南岸。 【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，第1次摆渡是从南岸驶向北岸，即第1次摆渡后船在北岸；第2次摆渡是从北岸驶向南岸，即第2次摆渡后船在南岸；第3次摆渡是从南岸驶向北岸，即第3次摆渡后船在北岸；第4次摆渡是从从北岸驶向南岸，即第4次摆渡后船在南岸⋯不断往返，发现规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸；据此解答。 （2）先判断2016的奇偶性，再根据摆渡的规律即可知道淘气的说法是否正确。 【解答】解：根据分析得出规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸。 （1）因为15是奇数，所以摆渡15次后，小船是在北岸。 （2）淘气的说法不对，因为2016是偶数，摆渡2016次后，小船应该在南岸。 【点评】本题主要考查奇数与偶数的认识及应用。 41．【答案】（1）不能；当m是奇数时，无论经过多少次翻转，都不能使杯口全部朝上； （2）当m是偶数时，只需要翻转m次，就能使杯口全部朝上。 【分析】（1）根据奇偶数的性质判断，将一只杯子从杯口朝上翻转到杯口朝下，经过的翻转次数一定是奇数，将7只杯口朝上的杯子全部翻转为杯口朝下，翻转的次数也一定是奇数次；每次翻转2只杯子，无论翻转多少次，总次数一定是偶数，奇数永远不会等于偶数。 （2）当m是奇数时，（m﹣1）是偶数，如果每次翻转偶数只杯子，无论经过多少次翻转，都不能使杯口全部朝上；当m是偶数时，（m﹣1）是奇数，那么每只杯子翻转（m﹣1）次，就可以使全部杯子改变状态，然后分类讨论解答即可。 【解答】解：（1）将一只杯子从杯口朝上翻转到杯口朝下，经过的翻转次数一定是奇数， 将7只杯口朝上的杯子全部翻转为杯口朝下，翻转的次数也一定是奇数次； 每次翻转2只杯子，无论翻转多少次，总次数一定是偶数， 奇数永远不会等于偶数， 答：每次翻转其中的两只杯子，无论翻转多少次，都不能使得7只杯子全部杯口朝下。 （2）当m是奇数时，（m﹣1）是偶数， 如果每次翻转偶数只杯子，无论经过多少次翻转，都不能使杯口全部朝上； 当m是偶数时，（m﹣1）是奇数， 那么每只杯子翻转（m﹣1）次，就可以使全部杯子改变状态， 要做到这些，只需要翻转m次， 共翻转了m（m﹣1）次， 每只杯子翻转：m（m﹣1）÷m＝m﹣1（次）， m﹣1是奇数，符合题意。 答：当m是偶数时，只需要翻转m次，就能使杯口全部朝上。 【点评】本题主要考查学生对奇偶数的掌握并要求学生运用奇数偶数特点解题，关键是要知道：每次翻偶数个，偶数之和差永远是偶数，所以永远也不可能得出奇数。 42．【答案】能办得到，因为奇数+奇数+奇数＝奇数，例如11+9+15＝35。 【分析】奇数+奇数＝偶数；偶数+奇数＝奇数，因此三个奇数相加的和是奇数，可以是35。 【解答】解：能办得到，因为奇数+奇数+奇数＝奇数，例如11+9+15＝35。 【点评】此题主要考查了奇偶性的规律，要熟练掌握。 43．【答案】偶数。 【分析】由题意得，每一个学生的得分是答对所得分数+不答所得分数一答错扣的分数，据此可得每一个学生的得分都是偶数，从而全体学生的得分总和一定是偶数。 【解答】解：证明：我们证明每一个学生的得分都是偶数 设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有（40﹣a﹣b）没有答。 于是此人的得分是3a+（40﹣a﹣b）﹣b＝2a﹣2b+40 这是一个偶数。 所以，不论有多少人参，全体学生的得分总和一定是偶数。 【点评】此题结合实际问题考查了整数的偶性问题，解题的关键是理清关系，准确列出代数式，得到每一个学生的得分都是偶数。 44．【答案】90。 【分析】第一次把编号是3的倍数的灯拉一下，那么拉灭了150÷3＝50盏灯； 第二次把编号是5的倍数的灯拉一下，那么又拉了10÷5＝30盏灯，其中也在第一次中被拉过的有150÷15＝10盏，已经在第一次中被拉过，所以这10盏灯最后是亮着的，另外20盏灯被熄灭，由此解答。 【解答】解：从1到150，3的倍数有：150÷3＝50 5的倍数有：150÷5＝30 第二次拉的30盏灯中，有150÷15＝10盏已经在第一次中被拉过，所以这10盏灯最后是亮着的，另外20盏灯被熄灭，所以最后亮着的灯有：150﹣50+10﹣20＝90（盏） 答：拉完后还亮着的灯数为90盏。 【点评】易错点是，第二次拉的30盖灯中，有10是第一次已经拉灭过的，所以第二次拉这10盏灯时是把它们拉亮。 45．【答案】是偶数。 【分析】要知道这部分学生的得分总和是奇数还是偶数，而我们还不知道一个学生答对、答错以及不答的题的数目，可以分别设答对、答错的题的数目为x、y，那么不答的题的数目为（50﹣x﹣y），接下来计算总分再判断即可。 【解答】解：设答对、答错的题的数目为x、y，不答的题的数目为（50﹣x﹣y）， 那么总分为3x+（50﹣x﹣y）﹣y＝2x﹣2y+50 无论x为何数2x都是偶数，无论y取何数2y都是偶数，而50也是偶数，所以偶数+偶数＝偶数. 答：这部分学生的得分总和是偶数。 【点评】本题主要考查了奇偶性问题，正确的根据题意列式，是本题解题的关键。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$