第二章直线和圆的方程单元自检卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程综合自检卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 一、单选题 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（    ） A． B． C．4 D．2 3．已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 7．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 8．设，已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 二、多选题 9．已知直线，则（    ） A．是直线的法向量 B．直线的倾斜角为 C．直线与直线平行的充要条件是 D．直线在两坐标轴上的截距相等 10．已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知：，则（    ） A．直线与相切 B．过点的直线被截得的最大弦长为4 C．与圆交点所在的直线方程为 D．与圆外切 三、填空题 12．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 13．已知某的直角三角板斜边长,动点P到直角顶点距离始终为,记P到三角板斜边两个端点距离分别为,则范围为 （单位平方厘米）． 14．已知圆，过直线在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为 . 四、解答题 15．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程． 16．已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若圆经过点，且与直线相切，求圆的方程. 17．已知的三个顶点，，． (1)求边上中线所在直线的方程； (2)已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标． 18．已知圆过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点的直线与垂直，且与圆相交于两点，求. 19．为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可得出结果. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率为， 又因为，故. 故选：A. 2．A 【分析】根据题意可得已知圆的圆心和半径，利用直线与圆相交形成的弦心距，半径和半弦长的关系式即可求得. 【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为：，半径为， 由点到直线的距离为， 则该圆截直线所得弦长为. 故选：A. 3．B 【分析】根据直线垂直确定轨迹为圆，再由圆上存在三点到直线距离相等转化为圆心到直线距离为1求解. 【详解】由可得， 即过定点， 由可得， 即过定点， 又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点）， 其中圆心为，半径为， 所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1， 只需圆心到直线的距离等于1，即，解得， 此时 到直线的距离不为1，故符合. 故选：B 4．D 【分析】根据题意不妨取，进而求点的轨迹方程，结合方程分析求解. 【详解】对于曲线，令，即， 可得，不妨取，可知， 设，因为，则， 整理得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以面积的最大值是. 故选：D. 5．D 【分析】将问题转化为圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可． 【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：且， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 6．B 【分析】求出直线定点坐标、圆心坐标、半径，再由点与圆的圆心之间的距离加半径求解 【详解】由，得， 所以直线过定点， 由，知圆心坐标，半径为2， 所以到圆心的距离为，则在圆内， 则的最大值为， 故选：B 7．C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 8．C 【分析】设，可得出，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出，利用圆的几何性质求得的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得的最小值. 【详解】设，则， 由切线长定理可得，，，    ， 圆心的坐标为，则， 由图可得，即，则， 由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增， 所以，当时，取得最小值. 故选：. 【点睛】方法点睛：应用角的三角函数转化数量积，再双勾函数单调性得出平面向量数量积的最值. 9．BD 【分析】根据直线的法向量以及向量共线知识即可判断A，根据斜率与倾斜角的关系即可求解B，根据直线平行以及截距即可求解CD. 【详解】A：直线的一个法向量为，但与向量不共线，A错误； B：直线的斜率为，故倾斜角为，B正确； C：把直线的方程改写为，则直线，平行的充要条件是，即，C错误； D：分别令，得，，则直线在轴上的截距分别是，D正确． 故选：BD． 10．BC 【分析】设圆心，由题意可知，，，求出、的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的方程. 【详解】设圆心，由题意可知，，即，解得， 因为为直角三角形，则为直角三角形，则， 即，解得，则圆的半径为， 圆心为，因此，圆的方程为或， 故选：BC. 11．BCD 【分析】A选项，求出圆心到直线的距离与半径相比，得到答案；B选项，由题意得到最大弦长为直径；C选项，两圆相减得到交点弦方程；D选项，求出圆心距与半径之和相等，D正确. 【详解】的圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离为， 故直线与相交，A错误； B选项，当过点的直线过圆心时，被截得的弦长最大， 最大弦长为直径4，B正确； C选项，与相减得到， 故与圆交点所在的直线方程为，C正确； D选项，圆的圆心为，半径为1， 由于，故与圆外切，D正确. 故选：BCD 12．或 【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可. 【详解】当时，直线方程为，不符合题意， 当时，令时，令时， 依题意有：，解得：或， 综上：或， 故答案为：或. 13． 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，，用表示后利用三角变换公式及正弦函数的性质可求其取值范围. 【详解】 如图，在中， ，建立如图所示的平面直角坐标系，则，， 故，设，， 则 ， 因为，故，故， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：与圆有关的最值问题，可根据圆的方程为得到其参数方程为，从而把最值问题转化为三角函数的最值问题来处理. 14．1 【分析】设，则，，，首先得出切线方程为，同理，从而直线AB的方程为，由此可得，，结合三角形面积公式、基本不等式推论即可求解. 【详解】   设，则， 设，， 当时， ， 所以切线方程为：，而，化简为：， 显然当或时也适合，所以切线方程为， 同理， 将P的坐标代入上述直线方程，则有， 于是直线AB的方程为， 因此，， 的面积为， 当且仅当，即时取等号. 所以面积的最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：关键是表示出直线的方程（含参即用点坐标表示直线方程），由此即可顺利得解. 15．(1)； (2)或. 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，求得圆心和半径，即可求得结果； （2）设直线方程为，利用弦长公式，求解即可. 【详解】（1）设圆C的标准方程为 圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点， ，解方程组得； 所以圆C的标准方程为. （2）设直线的方程为：， 圆心到直线l的距离， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或 16．(1) (2) 【分析】（1）根据垂直得出斜率再根据点斜式得出直线方程； （2）根据点到直线距离得出圆心及半径，再根据圆的标准方程即可求出圆的方程. 【详解】（1）直线的斜率为 又直线的斜率为1 又直线过点直线的方程为 即 （2）设， 圆经过点，化简得① 又圆与直线相切，，化简得② 联立①②得 圆的半径 故圆的方程为 17．(1) (2)或 【分析】（1）首先得中点坐标，进一步求得所在直线的斜率，结合点斜式化简即可求解； （2）首先得，直线的方程为，结合以及点到直线的距离公式得点所在直线方程为或，进一步求得线段的中垂线方程，联立即可得解. 【详解】（1）由题意中点， 所以所在直线的斜率， 所以所在直线的方程为， 即边中线所在直线的方程； （2）因为，，所以， ，所以直线的方程为，即， 设点到直线的距离，则由题意， 所以点到直线的距离， 则点所在直线方程为或， 因为，， 所以，线段中点坐标为， 所以线段的中垂线为，即， 所以联立或， 所以点的坐标为：或. 18．(1) (2) 【分析】 （1）由题意得，，由此即可得解. （2）首先得经过点且与垂直的直线为，由弦长公式即可得解. 【详解】（1）由题意设圆心，又圆过点和， 所以，解得， 所以圆心，半径为， 所以圆的标准方程为. （2）由题意经过点且与垂直的直线为，即， 又圆心到直线的距离为，， 所以. 19．(1) (2) 【分析】（1），有，化简并整理即可求解. （2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2）   ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$