精品解析：湖南省娄底市第二中学2023-2024学年八年级下学期期末数学模拟试题（三）

娄底二中八年级下学期期末模拟试卷（三） 八年级数学 时量：120分钟 满分：120分 题次 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一、选择题（每小题3分，共10小题，满分36分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把表示正确答案的字母填入下表中对应的题号下．） 题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，5，7 B. 5，7，8 C. 4，6，7 D. 1，，2 3. 如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“馬”和“車”的坐标分别是和，那么“炮”的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数据：，，，π，，其中无理数出现的频数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（　　） A. B. C. D. 7. 是的角平分线，若，，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 8. 一个菱形的对角线长分别为6和8，则它的面积为（ ） A. 10 B. 24 C. 26 D. 48 9. 我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ） A. 35 B. 44 C. 54 D. 64 10. 如图，在平面直角坐标系中，一点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为___． 12. 如图，为了测量一块不规则绿地两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点，然后测量出的中点，若测量出两点间的距离是，则绿地两点间的距离是__________m． 13. 若函数是正比例函数，则的值为__________． 14. 将直线沿轴向上平移2个单位，得直线的函数解析式为________． 15. 如图，在中，，D是的中点．若，则_____． 16. 如图是屋架设计图的一部分，其中，点D是斜梁的中点，垂直于横梁，若，则的长为______m． 17. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，与交于点为，点、点分别落在点、点位置上，若，则______． 18. “赵爽弦图”通过对图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9；设直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为，则的值是______． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分） 19. 在平面直角坐标系的位置如图．将向左平移4个单位长度得到，分别为A，B，C的对应点． （1）画出； （2）直接写出的坐标． 20. 如图，一块四边形的土地，其中，，，，． （1）试说明； （2）求这块土地的面积． 21. 苏州市某初中学校对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规定每天完成家庭作业时间不超过1.5小时．该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分． 时间(小时) 频数(人数) 频率 0≤t＜0.5 4 0.1 05≤t＜1 a 0.3 1≤t＜1.5 10 0.25 1.5≤t＜2 8 b 2≤t＜2.5 6 0.15 合计 1 (1)a＝ ，b＝ ； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校1 500名初中学生中，约有多少学生在1.5小时以内完成家庭作业． 22. 交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）． 23. 铁棍山药是河南焦作的著名特产之一，其营养价值丰富．近年来，铁棍山药制品越来越受到人们的喜爱．为了满足顾客需求，某电商平台决定购进A种（铁棍山药粉）和B种（铁棍山药饮品）铁棍山药制品．两种铁棍山药制品的进货价和销售价如下表： 类别 价格 A种铁棍山药制品 B种铁棍山药制品 进货价（元/件） 60 50 销售价（元/件） 98 78 （1）第一次，该平台用5400元购进了A，B两种铁棍山药制品共100件，求两种铁棍山药制品各购进了多少件？ （2）第二次，该平台根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两种铁棍山药制品120件（两种铁棍山药制品的进货价不变），但A种铁棍山药制品的进货量不超过B种铁棍山药制品的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 24. 如图，矩形的对角线相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形面积是15，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点A，且点A的横坐标为，直线与坐标轴交于点E、B；直线与坐标轴交于点C、D，且． （1）求出直线的解析式； （2）求面积； （3）坐标轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 26. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形_____（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点． ①过作于点，试证明：； ②若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 娄底二中八年级下学期期末模拟试卷（三） 八年级数学 时量：120分钟 满分：120分 题次 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一、选择题（每小题3分，共10小题，满分36分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把表示正确答案的字母填入下表中对应的题号下．） 题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；即可判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 下列长度的线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，5，7 B. 5，7，8 C. 4，6，7 D. 1，，2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由于，由勾股定理的逆定理可知，3，5，7不能构成直角三角形，不符合题意； B、由于，由勾股定理的逆定理可知，5，7，8不能构成直角三角形，不符合题意； C、由于，由勾股定理的逆定理可知，4，6，7不能构成直角三角形，不符合题意； D、由于，由勾股定理的逆定理可知，1，，2能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3. 如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“馬”和“車”的坐标分别是和，那么“炮”的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查坐标确定位置．根据平面直角坐标系确定坐标原点和、轴的位置，进而解答即可． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示： “炮”的坐标为， 故选：B． 4. 已知数据：，，，π，，其中无理数出现的频数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求频数，无理数的定义，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此求出无理数的个数即可得到答案． 【详解】解：在，，，π，中，无理数有，，π，共3个， ∴无理数的频数为3， 故选：C． 5. 如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了添加一个条件使得三角形全等，根据HL定理的条件进行判断即可； 【详解】解：∵，， ∴当时，． 当时，． 故选D． 6. 如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用三角形全等的判定证明． 【详解】解：从角平分线的作法得出，与的三边全部相等， 则． 故选：D． 7. 是的角平分线，若，，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点D作于E，根据角平分线的性质得到即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵是的角平分线，， ∴， ∴点到距离3， 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，点到直线的距离，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 8. 一个菱形的对角线长分别为6和8，则它的面积为（ ） A. 10 B. 24 C. 26 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线长分别为6和8， ∴它的面积为． 故选：B． 9. 我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ） A. 35 B. 44 C. 54 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为．根据一个n边形的对角线条数为进行求解即可． 【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线…… 一个十边形共有条对角线，故A正确． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标系下点的规律探究．解题的关键是找到点的横纵坐标的数字规律． 先确定点在第三象限，根据第三象限各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可． 【详解】解： ∵，则在第四象限， 由题意，第四象限的点为，，， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标．根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可得结果． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是． 故答案为：． 12. 如图，为了测量一块不规则绿地两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点，然后测量出的中点，若测量出两点间的距离是，则绿地两点间的距离是__________m． 【答案】30 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理即可求出． 【详解】解：中，、分别是、的中点， 为三角形的中位线， ， ， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查的是三角形中位线定理的应用，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半． 13. 若函数是正比例函数，则的值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，掌握“形如的函数是正比例函数”是解题的关键． 详解】解：根据正比例函数定义可得， 解得， 故答案为：． 14. 将直线沿轴向上平移2个单位，得直线的函数解析式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换．根据“上加下减”的平移规律可直接求得答案． 【详解】解：将直线沿轴向上平移2个单位，得直线的函数解析式为，即． 故答案为：． 15. 如图，在中，，D是的中点．若，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形性质，解题的关键是根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出，然后再求出即可． 【详解】解：∵在中，，D是的中点．若， ∴，， ∴． 故答案为：8． 16. 如图是屋架设计图的一部分，其中，点D是斜梁的中点，垂直于横梁，若，则的长为______m． 【答案】 【解析】 【分析】根据所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 详解】解：∵垂直于横梁， ∴， ∵，， ∴， ∵点D是斜梁的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于中点的计算以及含的直角三角形的性质，熟知所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键． 17. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，与交于点为，点、点分别落在点、点的位置上，若，则______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】利用矩形的性质即平行线的性质可得，再利用折叠的性质可得，再利用平行线的性质即可． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 又长方形纸片沿折叠， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形与折叠、平行线的性质，熟练掌握其基本知识是解题的关键． 18. “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9；设直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为，则的值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、完全平方公式等知识点，熟练运用勾股定理以及完全平方公式是解题的关键． 由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据可知大正方形的面积为，然后求得，最后求其算术平方根即可． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， 根据勾股定理可知：大正方形的面积为②， 由①②可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分） 19. 在平面直角坐标系的位置如图．将向左平移4个单位长度得到，分别为A，B，C的对应点． （1）画出； （2）直接写出的坐标． 【答案】（1）作图见详解； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）（2）先利用点的坐标平移规律写出点的坐标，然后描点即可． 【小问1详解】 解：由图可知，三个顶点的坐标分别为 向左平移4个单位后，对应顶点的坐标分别为，描出这三个点，连线，如图，为所作； 【小问2详解】 点的坐标为． 20. 如图，一块四边形的土地，其中，，，，． （1）试说明； （2）求这块土地的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC； （2）根据两个直角三角形的面积即可求解． 【详解】（1）如图，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=4m，AD=3m，由勾股定理得：BD=5m， ∵BC=13m，CD=12m，BD=5m. ∴BD2+DC2=BC2， ∴∠BDC=90°， 即BD⊥DC； （2）如图，四边形ABCD的面积是 S△ABD+S△BDC=×3×4+×5×12=36． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形面积公式等知识，解题的关键是用勾股定理逆定理推出直角三角形，再求三角形面积． 21. 苏州市某初中学校对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规定每天完成家庭作业时间不超过1.5小时．该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分． 时间(小时) 频数(人数) 频率 0≤t＜0.5 4 0.1 0.5≤t＜1 a 0.3 1≤t＜1.5 10 0.25 1.5≤t＜2 8 b 2≤t＜2.5 6 0.15 合计 1 (1)a＝ ，b＝ ； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校1 500名初中学生中，约有多少学生在1.5小时以内完成家庭作业． 【答案】（1）12，0.2；（2）详见解析；（2）975 【解析】 【分析】（1）首先求得总人数，然后根据频率的定义求得a和b的值； （2）根据（1）即可直接补全直方图； （3）利用总人数乘以对应的频率即可求解． 【详解】解：（1）调查的总人数为4÷0.1=40（人） 则a=40×0.3=12（人），b=8÷40=0.2 故答案为12，0.2． （2） （3）1500×(0.1+0.3+0.25)=975（人） 答：该校1 500名初中学生中，约有975人在1.5小时以内完成家庭作业． 【点睛】本题考查频数直方图、频数（率）直方表及用样本估计总体．在读频数直方图和利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 22. 交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）． 【答案】此车超速，理由见解析. 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理与实际问题；根据，米，，可知的长，，在中，可求出的长，从而确定的长度，根据速度等于路程除以时间可以算出汽车的速度，再与此路段限速每小时千米比较，由此即可求解． 【详解】此车超速． 理由：，， 是等腰直角三角形． 米． 在中，， ． 米． 由勾股定理得米， 米． 汽车速度（米/秒）千米/小时千米/小时． 答：此车超速． 23. 铁棍山药是河南焦作的著名特产之一，其营养价值丰富．近年来，铁棍山药制品越来越受到人们的喜爱．为了满足顾客需求，某电商平台决定购进A种（铁棍山药粉）和B种（铁棍山药饮品）铁棍山药制品．两种铁棍山药制品的进货价和销售价如下表： 类别 价格 A种铁棍山药制品 B种铁棍山药制品 进货价（元/件） 60 50 销售价（元/件） 98 78 （1）第一次，该平台用5400元购进了A，B两种铁棍山药制品共100件，求两种铁棍山药制品各购进了多少件？ （2）第二次，该平台根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两种铁棍山药制品120件（两种铁棍山药制品的进货价不变），但A种铁棍山药制品的进货量不超过B种铁棍山药制品的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）购进A种铁棍山药制品40件，购进B种铁棍山药制品60件 （2）当购进A种铁棍山药制品30件，购进B种铁棍山药制品90件时，获得的利润最大，最大为3360元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用： （1）设购进A种铁棍山药制品件，购进B种铁棍山药制品件，根据等量关系列出方程，并解方程即可求解； （2）设第二次购进A种铁棍山药制品件，获得的利润为元，则第二次购进B种铁棍山药制品件，根据不等关系列出不等式，并求得，则，根据一次函数的性质得，当时，有最大值，代入即可求解； 理清题意，根据等量关系列出方程及不等关系列出不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设购进A种铁棍山药制品件，购进B种铁棍山药制品件， 由题意得：， 解得：， 答：购进A种铁棍山药制品40件，购进B种铁棍山药制品60件． 【小问2详解】 设第二次购进A种铁棍山药制品件，获得的利润为元，则第二次购进B种铁棍山药制品件， 依题意得：， 解得：， ， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，最大为：， 此时B种铁棍山药制品有：（件）， 答：当购进A种铁棍山药制品30件，购进B种铁棍山药制品90件时，获得的利润最大，最大为3360元． 24. 如图，矩形的对角线相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形面积是15，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题既考查了菱形的性质，也考查了矩形的性质，是常考题型，难度不大；需要熟练掌握矩形、菱形的边、角、对角线的关系，不能互相混淆． （1）根据对边平行得四边形是平行四边形，由原矩形对角线相等且互相平分得，所以四边形是菱形； （2）连接对角线，根据菱形对角线平分面积得出的面积是菱形面积的一半，设，根据中位线性质求出的长，根据三角形面积公式列方程解出即可． 【小问1详解】 证明：∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 是菱形； 【小问2详解】 解：， ， 连接，交于，则， 设，则， ，， ， ， ， ， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点A，且点A的横坐标为，直线与坐标轴交于点E、B；直线与坐标轴交于点C、D，且． （1）求出直线的解析式； （2）求的面积； （3）坐标轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，坐标系中求三角形面积，已知三角形之间的面积关系求点的坐标，解题的关键是运用分类讨论思想． （1）先求得直线上的三点的坐标，再求得点C的坐标，于是可求得直线的解析式； （2）将的面积分割成x轴上下的两个三角形面积之和即可求解； （3）分点P在x轴与y轴两种情况讨论，并注意点P在每条坐标轴上所有可能的位置，得出点P坐标的四种情形． 【小问1详解】 解：对于直线， 令，得，则； 令，得，则； 令，得，则． ∴，即， ∴．则． 设直线的解析式为：． 将点与点的坐标代入上式得： ，解得：． ∴直线的解析式为：． 【小问2详解】 由与可得：． 又知点A与点B纵坐标分别为， ∴． 即的面积为． 【小问3详解】 存在．分两种情况讨论： ①点P在x轴上时，设点P的横坐标是x． ∵，点 ∴，即， ∴． ∴或． ∴或． ②点P在y轴上时，设点P的纵坐标是y ∵，点 ∴，即， ∴． ∴或． ∴或． 综合①与②可知，或或或． 26. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形_____（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点． ①过作于点，试证明：； ②若，，求的长． 【答案】（1）是 （2）①见解析；②14 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，根据正方形的性质得，可得出，即可得出答案； （2）①首先证明四边形是矩形，则，，再证，根据全等三角形的判定和性质可得，，等量代换即可得； ②设，根据勾股定理求出的值即可，即可求解． 【小问1详解】 将绕点旋转，与重合，点的对应点在的延长线上， ，， 四边形是正方形， ， ， ，即， ， ，， 四边形是“直等补”四边形． 故答案为：是； 【小问2详解】 ①，理由如下： 如图 四边形是“直等补”四边形，，， ，， ， ，， ，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ； ②四边形是矩形， ，， ， ，， ， 设， ，则， 在中，， 解得：， ， ∴． 【点睛】本题是考查，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$