精品解析：广东省深圳市龙岗区龙岗街道同乐主力学校2023－2024学年九年级上学期期末模拟预测数学试题

同乐主力学校2023-2024学年第一学期九年级期末模拟测试题 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 2. 如图，点D、E分别是上、边上的中点，为阴影部分．现有一小孩向其投一小石子且已投中，则石子落在阴影部分的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据相似三角形的判定定理和性质定理，得出，即可求解． 【详解】解：∵点D、E分别是、边上的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴石子落在阴影部分的概率是，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．也考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的形状求出． 3. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会逐渐稳定于随机事件发生的概率． 【详解】解：由频率的稳定性可知： 袋子中红球个数最可能是：（个） 故选：C 【点睛】本题考查频率的稳定性．熟知相关概念是解题的关键． 4. 关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点和都在该图像上 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意； B、由于，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意； C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意； D、当时，，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意； 故选：D． 5. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 三个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C. 正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真假命题，涉及了轴对称与中心对称图形，矩形，菱形，正方形的判定定理，熟练掌握有关定理是解题的关键． 根据矩形，菱形，正方形的判定定理以及轴对称与中心对称图形即可作出判断． 【详解】解：A、三个角是直角的四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、正方形是轴对称图形是轴对轴图形，但也是中心对称图形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题正确，是真命题，符合题意． 故选D． 6. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，2023年某款新能源汽车销售量为18万辆，销售量逐年增加，2025年预估销售量为23.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，根据题意找准等量关系是解题关键． 设年平均增长率为x，根据增长率模型，2023年销售量经过2年增长到2025年销售量，列出方程，即可解题． 【详解】解：∵ 初始销售量为18万辆，年增长率为x，经过2年增长后销售量为， ∴ 由题意得：． 故选：D． 7. 如图，在矩形中，过的中点O作交，于点E，F，连接，，若四边形的面积为，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得出，根据矩形的性质得出，再利用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明四边形为菱形，根据菱形的性质得出，再根据勾股定理及含30度角的直角三角形的性质并利用菱形的面积即可 求得，从而得出答案． 【详解】解：为AC的中点， 四边形为矩形 ， 在和中 四边形为菱形 ， 设，则， 四边形的面积为， （负值不符合题意） 四边形的周长为 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质以及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 8. 如图，把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长处离地面的高度为，则石坝的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，可得，即，即可求出结果． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得，即石坝的高度为2.7m， 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 9. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( ) A. （）3 B. （）7 C. （）6 D. （）6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30° ∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°， ∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上， ∴与△AOB位似的三角形为△GOH， 设OA=x， 则OB=， ∴OC=， ∴OD=， … ∴OG=， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键． 10. 如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，，根据已知条件分别证明，，四边形，四边形和四边形为矩形，即可得出，，，根据已知条件可以证明，得出，设点A的坐标为：，即可得出，得出，根据勾股定理，结合正方形的面积，列出，最后将代入求出k的值即可． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ，， ∴， ∴， ， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 同理可得：四边形和四边形为矩形， ，，， 设点A的坐标为：， ，， ， ，即， ∵正方形的面积为12， ， 在中，由勾股定理得，即， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定等等，设出点A的坐标，找出m与k的两个关系式，是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】设a=5k，b=2k，即可求解的值. 【详解】解：设a=5k，b=2k 则 故答案为. 【点睛】本题主要考查了比例的性质，用换元的思想是解答本题的关键. 12. 规定：在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查新定义和解一元二次方程，解题的关键是利用新定义得到方程．求解即可． 【详解】解：由题意得：， ， 或， 解得：，． 故答案为：，． 13. 质地均匀的骰子，6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.同时抛掷这样的两枚骰子，落地后朝上的两个面上的数字之和为4的倍数的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】采用列表法列举所有的可能性，找出数字和为4的倍数的情况数，再根据概率公式求解. 【详解】由题意，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 1+1=2 1+2=3 1+3=4 1+4=5 1+5=6 1+6=7 2 2+1=3 2+2=4 2+3=5 2+4=6 2+5=7 2+6=8 3 3+1=4 3+2=5 3+3=6 3+4=7 3+5=8 3+6=9 4 4+1=5 4+2=6 4+3=7 4+4=8 4+5=9 4+6=10 5 5+1=6 5+2=7 5+3=8 5+4=9 5+5=10 5+6=11 6 6+1=7 6+2=8 6+3=9 6+4=10 6+5=11 6+6=12 总共的可能性由36种，其中和为4的倍数的情况有9种， 所以数字之和为4的倍数的概率P=， 故答案为. 【点睛】本题考查简单概率的计算，熟练掌握列表法求概率是解题的关键. 14. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，直线EF经过点O，交BC于点E，AD于点F，若AB=5cm，AC=13 cm，则阴影部分的面积为_________． 【答案】15cm2 【解析】 【分析】根据矩形的性质易证△FDO≌△EBO，可得S阴影=S△AOD=S矩形ABCD，然后利用勾股定理求出BC即可解决问题. 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，AD∥BC， ∴∠FDO=∠EBO， ∵∠FOD=∠EOB， ∴△FDO≌△EBO(ASA)， ∴S△FDO=S△EBO， ∴S阴影=S△AOD=S矩形ABCD， ∵AB=5cm，AC=13 cm， ∴cm， ∴S阴影=AB·BC=×5×12=15cm2， 故答案为15cm2. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质求出S阴影=S矩形ABCD是解题关键. 15. 如图，在矩形中，点在上，若且，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别以AB、DC为直角边，以A、D为直角顶点作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形DCG构造出一线三等角，此时可以得出，，设AB为x，则，解得，舍去负数的情况，则． 【详解】解：如图所示，分别以AB、DC为直角边，以A、D为直角顶点作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形DCG， ∴, ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设AB长为x，， ， ∴， ∴， 解得，（舍）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构建一线三等角模型． 三、解答题（共7题，共55分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算以及一元二次方程的求解，注意计算的准确性即可. （1）根据负整数次幂、0次幂、绝对值、算术平方根化简即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【详解】解：（1） （2）， ∴ 17. 我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______名；补全条形统计图； （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率． 【答案】（1）；补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图是解题的关键． （1）根据条形统计图和扇形统计图，先用篮球的人数算出总人数再补全即可； （2）根据“排球”人数占总人数的比例求出圆心角度数； （3）通过树状图列出所有可能的组合，从而得到概率． 【小问1详解】 被调查的学生有（名）， 足球人数：（名）， 【小问2详解】 ， 故答案为：． 【小问3详解】 共有种等可能的结果，甲和乙同时被选中的结果有种， 甲和乙同时被选中的概率． 18. 由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． （1）在图1中，______； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找点P，使得； ②如图3，在上找点P，使得． 【答案】（1） （2）①如图中，点P即为所求； ②如图中，点P即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据网格性质可得，进而可得，即得； （2）①仿照（1）的图形构造相似比为的相似三角形即可； ②利用对称，即可图形转化为（1）的形式． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ①略 ②略 19. 如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝EC， ∴四边形AECF是菱形； （2）DG＝． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质判定四边形AECF是平行四边形，根据AF=FC，即可得结论； （2）根据矩形和菱形的性质证明△ADG∽△EAB，对应边成比例即可求出DG的长． 【详解】解：（1） 略 （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD＝BC， 在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3， 根据勾股定理，得 AE＝＝＝5， ∵四边形AECF是菱形， ∴EC＝AE＝5， ∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠AEB， ∵DG⊥AE， ∴∠DGA＝∠B＝90°， ∴△ADG∽△EAB， ∴＝，即＝， ∴DG＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 20. 某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元． （1）商场日销售量增加 　　件，每件商品盈利 　　元（用含x的代数式表示）； （2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）3x，（60﹣x） （2）每件商品应降价30元 【解析】 【分析】（1）根据每件商品降价1元，商场每天就可以多售出3件可得商场日销售量增加的件数，由售价减进价可得每件商品利润； （2）根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：商场日销售量增加3x件，每件商品盈利为280-x-220=（60-x）元， 故答案为：3x，（60-x）； 【小问2详解】 解：根据题意得：（30+3x）（60-x）=3600， 解得=20，=30， ∵要更有利于减少库存， ∴x=30． 答：每件商品应降价30元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 小华同学学习函数知识后，对函数通过列表﹣描点﹣连线，画出了如图所示的图象． 请根据图象解答： （1）【观察发现】 ①完成描点，把图象补充完整； ②表格中： ______， ______； ③写出函数的一条性质：______； ④若函数图象上的两点，满足，则．______（填“对或错”） （2）【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n（）个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接，． ①求当时，直线l的解析式和的面积； ②直接用含n的代数式表示的面积． 【答案】（1） ①根据表格描点连线，如图： ②，； ③函数有最大值为4（答案不唯一）； ④错； （2）①，；②． 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，三角形的面积等知识，利用平行线进行等面积转化是解题的关键． （1）①根据表格描点连线即可；②把x，代入函数解析式分别求得a、b的值；③根据函数图象可得性质；④观察表格，当时，，求得，代入解析式求得，进行验证即可求解； （2）①首先利用待定系数法求出直线的解析式，当时，直线的解析式为设直线与轴交于，利用平行线之间的距离相等，可得的面积的面积，从而得出答案；②设直线与轴交于，同理得的面积的面积，即可解决问题． 【小问1详解】 解：①略 ②把x，代入函数解析得， ∴； 把代入函数解析式得y， ∴； 故答案为：，； ③由图象知：函数有最大值为4，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； 故答案为：函数有最大值为4（答案不唯一）； ④观察表格，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴不成立； 故答案为：错； 【小问2详解】 解：①设直线的表达式为，则， 解得． ∴直线的表达式为， 当时，直线l的表达式为， 设直线与y轴交于，则的面积的面积， ∴， ∴的面积为； ②．设直线与轴交于， ∵， ∴的面积的面积， 由题意知，， ∴ ， ∴． 22. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）3 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同乐主力学校2023-2024学年第一学期九年级期末模拟测试题 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点D、E分别是上、边上的中点，为阴影部分．现有一小孩向其投一小石子且已投中，则石子落在阴影部分的概率是（　　） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 4. 关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点和都在该图像上 D. 当时， 5. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 三个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C. 正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 6. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，2023年某款新能源汽车销售量为18万辆，销售量逐年增加，2025年预估销售量为23.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，过的中点O作交，于点E，F，连接，，若四边形的面积为，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长处离地面的高度为，则石坝的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( ) A. （）3 B. （）7 C. （）6 D. （）6 10. 如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则___________. 12. 规定：在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，方程的根为______． 13. 质地均匀的骰子，6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.同时抛掷这样的两枚骰子，落地后朝上的两个面上的数字之和为4的倍数的概率为__________． 14. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，直线EF经过点O，交BC于点E，AD于点F，若AB=5cm，AC=13 cm，则阴影部分的面积为_________． 15. 如图，在矩形中，点在上，若且，则的长为__________． 三、解答题（共7题，共55分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______名；补全条形统计图； （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率． 18. 由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． （1）在图1中，______； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找点P，使得； ②如图3，在上找点P，使得． 19. 如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 20. 某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元． （1）商场日销售量增加 　　件，每件商品盈利 　　元（用含x的代数式表示）； （2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 21. 小华同学学习函数知识后，对函数通过列表﹣描点﹣连线，画出了如图所示的图象． 请根据图象解答： （1）【观察发现】 ①完成描点，把图象补充完整； ②表格中： ______， ______； ③写出函数的一条性质：______； ④若函数图象上的两点，满足，则．______（填“对或错”） （2）【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n（）个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接，． ①求当时，直线l的解析式和的面积； ②直接用含n的代数式表示的面积． 22. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $