精品解析：广东省广州市2023-2024学年九年级上学期期末模拟数学试题

广州市2023-2024学年九年级（上）期末考试模拟卷 （满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 成语“水中捞月”所描述的事件是（ ）． A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 随机抛掷一枚瓶盖次，经过统计得到“正面朝上”的次数为次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为（ ） A. 0.22 B. 0.42 C. 0.50 D. 0.58 5. 如图，A、B、C是上的三个点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ） A B. C. D. 7. 已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点(﹣1，2) B. y随x增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 若x＞1，则﹣2＜y＜0 8. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④关于x方程有两个不等实根；⑤对任意的实数m，．其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 12. 已知方程的一个根是，则m的值是_______． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右，则袋子里白球可能是_____个． 14. 已知圆锥的母线长为8，底面半径为6，则此圆锥的侧面积是___________ 15. 已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为__． 16. 如图，已知点A是反比例函数的图象上一点，轴交另一个反比例函数的图象于点B，C为x轴上一点，若，则k的值为________． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 解方程： 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出将绕点O顺时针旋转后得到的，并写出的坐标． 19. 一根排水管的截面如图所示．已知水面宽，测得排水管内水的最大深度为，求排水管截面的半径． 20. 临近期末考试，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：.享受美食，.交流谈心，.体育锻炼，.欣赏艺术. （1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是 ． （2）同时采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率. 21. 某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售A产品每次的增长率； （2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？ 22. 已知一次函数的图象与反比例函数图象交于，两点，且点的横坐标，求： （1）反比例函数的解析式． （2）的面积． （3）直接写出满足时的取值范围． 23. 如图，在菱形中，为菱形的一条对角线，以为直径作⊙，交于点，交于点，为边上一点，且． （1）求证：为⊙的切线； （2）若，，求⊙的半径． 24. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是抛物线上一点，当的面积为10时，求点D的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州市2023-2024学年九年级（上）期末考试模拟卷 （满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D.是中心对称图形， 故选：D 【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 2. 成语“水中捞月”所描述的事件是（ ）． A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】水中捞月是不可能事件． 故选C． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据方程两边都加上一次项系数一半的平方进行运算即可得到答案. 【详解】解： ∴ 则， 故选：B 4. 随机抛掷一枚瓶盖次，经过统计得到“正面朝上”的次数为次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为（ ） A. 0.22 B. 0.42 C. 0.50 D. 0.58 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机抛掷一枚瓶盖次， “正面朝上”的次数为次可得“反面朝上”的次数，即可得． 【详解】解：∵随机抛掷一枚瓶盖次， “正面朝上”的次数为次， ∴“反面朝上”的次数为（次）， ∴这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解题意，求出随机抛掷一枚瓶盖次“反面朝上”的次数． 5. 如图，A、B、C是上的三个点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是先根据圆周角定理求出，然后再根据等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：D． 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得 然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得 主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义． 【详解】解：绕点顺时针旋转得到 是等边三角形， 故选：． 7. 已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点(﹣1，2) B. y随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 若x＞1，则﹣2＜y＜0 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，k=＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，反比例函数的图象是中心对称图形解答． 【详解】解： A、把点（-1，2）代入反比例函数y=，得2=2成立，故说法正确，不符合题意； B、∵k=＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，故选项错误，，符合题意； C、∵k=-2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故说法正确，不符合题意； D、当x=1时，y=-2，故当x＞1时，-2＜y＜0说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大． 8. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．分别代入到求出、、的值，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：代入到得，， ， 同理可得：，， ， ． 故选：B． 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程有实数根，则”是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根，则列出不等式，解不等式即可，需要注意． 【详解】解：由题意得， 解得：且， 故选：D． 10. 如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④关于x的方程有两个不等实根；⑤对任意的实数m，．其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质等知识．根据二次函数与x轴交点个数可判断①，根据二次函数的对称轴可判断②，直接观察图象可判断③，根据图象可得与有2个交点，即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， ∴①正确； ∵抛物线与x轴相交于点，， ∴抛物线的对称轴为， ， ， ∴②正确； 观察图象可知当时，， ∴③错误； ④∵抛物线与轴交于点和点， ∴抛物线与有2个交点， 即方程有两个不相等的实数根；故④正确； ⑤∵对称轴为直线，开口向上 ∴当时，取得最小值，为， ∴； 即；故⑤正确． 综上，正确的有4个， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，掌握“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”是解题的关键． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 已知方程的一个根是，则m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入，得， 解得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右，则袋子里白球可能是_____个． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸出白球的概率为，再根据摸出白球的概率白球的个数球的总数进行求解即可． 【详解】解：∵小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右， ∴摸出白球的概率为， ∴袋子里白球可能是个， 故答案为：9． 14. 已知圆锥的母线长为8，底面半径为6，则此圆锥的侧面积是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的底面周长，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为， 则圆锥的侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 15. 已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为__． 【答案】． 【解析】 【分析】设原来的抛物线解析式为：．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点的坐标代入即可． 【详解】设原来的抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得， 故原来的抛物线解析式是：， 设平移后的抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得(舍去)或， 所以平移后抛物线的解析式是：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键． 16. 如图，已知点A是反比例函数的图象上一点，轴交另一个反比例函数的图象于点B，C为x轴上一点，若，则k的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】由点是反比例函数的图象上，可得，根据等底同高的三角形面积相等可得，进而求出，再根据点在反比例函数的图象上，求出，进而求出的值． 【详解】解：延长交轴于点，连接、， 点是反比例函数的图象上，轴， ，， ， 又点在反比例函数的图象上， ， ，（舍去）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解决问题的关键． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解把方程转化为两个一元一次方程，即可得到方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是解题的关键． 详解】解： ∴， ∴或， 解得， 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出将绕点O顺时针旋转后得到，并写出的坐标． 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解， 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形和旋转图形，根据各自的性质作出图形即可，再写出直角坐标系中点的坐标即可． （1）利用中心对称的性质作出即可； （2）利用旋转变换的性质作出，并写出直角坐标系中的坐标． 【小问1详解】 解：如下图1所示： 【小问2详解】 如下图2所示： 19. 一根排水管的截面如图所示．已知水面宽，测得排水管内水的最大深度为，求排水管截面的半径． 【答案】排水管截面的半径为 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理列出方程解出即可． 【详解】解：过点O作的垂线，交于点P，交圆于C点，连结， ， ， 设排水管截面的半径为， 由垂径定理和勾股定理得： ， 解得， 故排水管截面的半径为． 20. 临近期末考试，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：.享受美食，.交流谈心，.体育锻炼，.欣赏艺术. （1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是 ． （2）同时采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）先利用树状图得出所有等可能结果，从中找到至少有一人选择“欣赏艺术”的结果数，再利用概率公式计算可得． 【详解】（1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式有4种等可能结果，他选择“享受美食”的只有1种结果，∴他选择“享受美食”的概率是． 故答案为． （2）画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的结果数为7，∴他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售A产品每次的增长率； （2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？ 【答案】（1） （2）1万元 【解析】 【分析】（1）设该公司销售产品每次的增长率为，根据2月份及4月份该公司产品的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，根据总利润每套的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该公司销售产品每次的增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该公司销售产品每次的增长率为． 【小问2详解】 设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答尽量减少库存， ． 答：每套产品需降价1万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 已知一次函数的图象与反比例函数图象交于，两点，且点的横坐标，求： （1）反比例函数的解析式． （2）的面积． （3）直接写出满足时的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或. 【解析】 【分析】(1)把x=-1代入一次函数的解析式，得到交点（-1,8），即可求反比例函数的解析式； (2)求出点B的坐标，把三角形AOB的面积适当分割，即可求解； (3)利用交点横坐标，数形结合思想，分两个象限写出符合题意的不等式即可. 【详解】解：（1）把分别代入，得 ， ∴， 把代入， 得 ， 解得 ， ∴反比例函数的解析式为， （2）设与轴交点为 ∴， 解， 得或， ∴， ∴ ， （3）根据图像的意义，知当时，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，理解交点的意义，学会数形结合的思想，方程组思想，图形分割思想，不等式思想是解题的关键. 23. 如图，在菱形中，为菱形的一条对角线，以为直径作⊙，交于点，交于点，为边上一点，且． （1）求证：为⊙的切线； （2）若，，求⊙的半径． 【答案】（1）见解析； （2）⊙的半径为． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，切线的判定定理，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． （1）连接，首先根据全等三角形的判定定理及圆周角定理，即可证得，，再根据平行线的性质及切线的判定定理，即可证得结论； （2）连接，首先根据圆周角定理及等腰三角形的性质，即可证得，设⊙的半径为，则，则，再根据，列出方程，据此即可求解． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵是⊙的直径， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是⊙的半径， ∴为⊙的切线； 【小问2详解】 如图：连接， ∵是⊙的直径， ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设⊙的半径为，则，则， ∵， ∴， 解得， 故⊙的半径为． 24. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为： （2）点D的坐标为或 （3）存在满足条件的Q点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）设点D的坐标为，利用的面积为10，列出等式求解即可； （3）分情况讨论，当为四边形的对角线时或当为边时，分别求解即可． 【小问1详解】 将、代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 设点D的坐标为， 、， ， ∴， 即， ∴或（无解舍去）， 解得：，， ∴点D的坐标为或； 【小问3详解】 抛物线的对称轴为：， 假设存在，设，， ， 分两种情况讨论： 当为四边形对角线时，，， ∴， 即， 此时点Q的坐标为； ②当为边时，，， ∴，即， 解得：或， 此时点Q坐标为或． 综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，三角形面积问题，以及二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 25. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【小问1详解】 解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； 【小问3详解】 解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$