第22章 二次函数总复习课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第22章 二次函数总复习 温故知新 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)的函数叫做二次函数。 1、二次函数的定义 复习要点 观察y = x2的图像,你有什么发现呢? 1. y = x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点( 0 ,0 ); 5.图象有最低点. 当x>0时,y随x取值的增大而增大; 当x<0时,y随x取值的增大而减小。 y随x的变化如何变化? 探究新知 复习要点 2、二次函数的图像和性质 向上 向下 (0 ,0) (0 ,0) y轴(直线x=0) y轴(直线x=0) 当x<0时, y随着x的增大而减小; 当x>0时, y随着x的增大而增大。 当x<0时, y随着x的增大而增大; 当x>0时, y随着x的增大而减小。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 图像性质 2. 抛物线 y= x2 和y= -3x2比较,谁的开口更大? 1.函数y=2x2是一条 ,开口向 ,顶点坐标为 , 对称轴为 . 抛物线 上 (0, 0) y轴 返回 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到: 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到. 知识要点 上下平移规律: 平方项不变,常数项上加下减. 成果展示 二次函数y=ax2与 y=ax2+k的图象的关系 一 想一想 1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步? 2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么?怎样决定的?k决定什么?它的对称轴是什么?顶点坐标怎样表示? 第一种方法:平移法,两步即第一步画y=ax2的图象,再向上(或向下)平移︱k ︱单位. 第二种方法:描点法,三步即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小;k决定顶点的纵坐标. 点拨提升 二次函数y=ax2+k的图象和性质 一 a,k的符号 a>0,k>0 a>0,k<0 a<0,k>0 a<0,k<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴(直线x=0) y轴(直线x=0) 顶点坐标 (0,k) (0,k) 增减性 当x<0时,y随x增大而减小;当x>0时,y随x增大而增大. 当x<0时,y随x增大而增大;当x>0时,y随x增大而减小. 最值 x=0时,y最小值=k x=0时,y最大值=k 4 x y O -2 2 2 4 6 -4 8 10 -2 y = 2x2+1 y = 2x2-1 (2) 抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系? 可以发现,把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度,就得到抛物线 ;把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度,就得到抛物线 y=2x2-1. 下 y=2x2+1 上 x y O -2 2 -2 -4 -6 4 -4 二次函数y=ax2 与y=a(x-h)2的关系 可以看作互相左右平移得到. 左右平移规律: 括号内左加右减;x在变. 4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 课堂小结 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (h ,k) 对称轴 直线 x=h 增 减 性 当x<h时,y随着x的增大而减小;当x>h时, y随着x的增大而增大. 当x<h时,y随着x的增大而增大;当x>h时, y随着x的增大而减小. 最值 x=h时, y最小=k x=h时, y最大=k 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 温故知新 探究新知 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质,能否利用这些知识来讨论 的图象和性质? 问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式? (1)“提”:提出二次项系数 (2)“配”:括号内配成完全平方 (3)“化”:化成顶点式 想一想:配方的方法及步骤是什么? 问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗? 答:对称轴是直线x=6,顶点坐标是(6,3) 问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的? 探究新知 我们如何用配方法将一般式 y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k ? 探究新知 一般地,二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式,即 因此,抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标是: 对称轴是:直线 总结归纳 如果a<0, 当x < 时,y随x的增大而增大; 当x > 时,y随x的增大而减小. 如果a>0, 当x < 时,y随x的增大而增小; 当x > 时,y随x的增大而减大. y x y x 探究新知 y = ax2 y = ax2 + k y = a(x+ h )2 y = a( x+ h )2 + k 上下平移 左右平移 复习要点 2、二次函数的图像和性质 平移方式 a>0时,开口向上,函数有最小值; a<0时,开口向下,函数有最大值; 顶点坐标是( , ) 函数在顶点处取得有最大(小)值 ; 或者当 时,y最值= 。 复习要点 2、二次函数的图像和性质 二次函数y=ax2+bx+c 通过配方变形为顶点形式 对称轴是过顶点平行于y轴的直线(或者直线 )。 用待定系数法求二次函数解析式 复习目标: (1)掌握二次函数解析式的三种形式 (2)灵活应用这三种形式,依据条件设出二次函数解 析式的恰当形式,便于求出二次函数解析式。 一般式 顶点式 交点式 知识要点1: 一般式: 用待定系数法求二次函数解析式 已知图象上三点坐标,特别是已知函数图象与y轴的交点坐标(0,c)时,使用一般式很方便. 例1:已知二次函数图象经过三点(-1,-5),(0,4)和(1,1), 求该函数的解析式 抛物线过一般三点,通常设一般式将三点坐标代入求出a,b,c的值。 待定系数法 题型一:已知三点,求二次函数解析式 例1:已知二次函数图象经过三点(-1,-5),(0,4)和(1,1), 求该函数的解析式 解:设函数解析式为 函数解析式为: 用待定系数法求二次函数解析式 一设 二列 三解 四还原 由题意可得: 顶点式: 用待定系数法求二次函数解析式 已知抛物线对称轴x=h,最值是k.或者顶点坐标为(h,k)时,优先选择顶点式 知识要点2: 例2:已知抛物线的顶点坐标为(2,3),且抛物线经过点(3,1), 求抛物线的解析式 题型二:已知顶点,求二次函数解析式 例2:已知抛物线的顶点坐标为(2,3),且抛物线经过点(3,1), 求抛物线的解析式 解:设函数解析式为 抛物线经过点(3,1) 解得 抛物线解析式为 即 注意:要化为一般式 用待定系数法求二次函数解析式 用待定系数法求二次函数解析式 交点式: 知识要点3: 知道抛物线与x轴的两个交点的坐标 ,或一个交点的坐标及对称轴 或者顶点的横坐标时选用交点式比较简便 例、抛物线与x轴交于(-5,0),(2,0) 则对称轴为 题型三:已知图象与x轴的两个交点,求二次函数解析式 例3:二次函数图象经过(-4,0),(2,0)和(0,6),求二次函数解析式 解:设函数解析式为 抛物线经过点(0,6) 解得 抛物线解析式为 即 注意:要化为一般式 用待定系数法求二次函数解析式 用待定系数法求二次函数解析式 小结: 用待定系数法求二次函数解析式 求二次函数解析式时: 图象过一般三点: 知顶点坐标: 知抛物线与X轴的两交点: 常设一般式 常设顶点式 常设交点式 复习要点 4、二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是 当y=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根。 ( x1 ,0) ( x2 ,0) 反之,若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 x y o x1 x2 复习要点 5、符号问题 a b c 2a+b 2a-b b2-4ac a+b+c a-b+c 4a+2b+c 4a-2b+c 开口方向大小 向上a>0 向下a<0 对称轴与y轴比较 左侧ab同号 右侧ab异号 与y轴交点 交于上半轴c>o 下半轴c<0 与x轴交点个数 令x=1,看纵坐标 令x=-1,看纵坐标 令x=2,看纵坐标 令x=-2,看纵坐标 与1比较 与-1比较 探究二:二次函数的图像与x轴的交点个数与一元二次方程的解有关系吗? 结论二: 判别式b2-4ac的符号 方程的根的情况是由什么决定的? 函数与x轴没有交点 方程没有根 函数与x轴有一个交点 方程有两相等的根 函数与x轴有两个交点 方程有两不相等的根 结论三: 对于二次函数y=ax2+bx+c,判别式又能给我们什么样的结论? (3)b2-4ac<0 函数与x轴没有交点 (2)b2-4ac=0 函数与x轴有一个交点 (1)b2-4ac>0 函数与x轴有两个交点 例题精讲 2.不画图像,判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 (1)y=x2-1; (2)y=-2x2+3x-9; (3)y=x2-4x+4; (4)y=-ax2+(a+b)x-b(a、b为常数,a≠0) 解:(1)∵ b2-4ac=02 -4 1 ( -1 ) >0 ∴此函数与x轴有两个交点 有两个相异的实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式 =b2-4ac 有两个交点 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小(大)值? 课堂小结 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处,则要利用函数的增减性来确定 利润问题中的数量关系 一 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,已知商品的进价为每件40元,则每星期销售额是 元,销售利润 元. 18000 6000 数量关系 (1)销售额= 售价 销售量; (2)利润= 销售额-总成本=单件利润 销售量; (3)单件利润=售价-进价. 例1 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 涨价销售 ①每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空: 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 涨价销售 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 建立函数关系式:y=(20+x)(300-10x), 即:y=-10x2+100x+6000. 6000 降价销售 ①每件降价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空: 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 降价销售 20 300 20-x 300+20x y=(20-x)(300+20x) 建立函数关系式:y=(20-x)(300+20x), 即:y=-20x2+100x+6000. 例1 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 6000 知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 (1)建立利润与价格之间的函数关系式: 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润 销售量” (2)结合实际意义,确定自变量的取值范围; (3)在自变量的取值范围内确定最大利润: 可以利用配方法或公式求出最大利润;也可以画出函数的简图,利用简图和性质求出. 课堂小结 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润 销售量 或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价:要保证销售量≥0; 降件:要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 知识要点 解决抛物线型实际问题的一般步骤 (1)根据题意建立适当的直角坐标系(需确定顶点、x轴、y轴三个条件里的两个条件); (2)把已知条件转化为点的坐标; (3)合理设出函数解析式; (4)利用待定系数法求出函数解析式; (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 课堂小结 实际问题 数学模型 转化 回归 (二次函数的图象和性质) 拱桥问题 运动中的抛物线问题 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标; 选择运算简便的方法. (实物中的抛物线形问题) $$