[暑假衔接讲义]角的度量(讲义)-2024-2025学年四年级上册数学人教版

角的度量 (知识梳理+典例分析+高频真题+答案解析) 知识点一．直线、线段和射线的认识 1．概念： 直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 2．直线、射线、线段区别： 直线没有端点，两边可无限延长； 射线有一端有端点，另一端可无限延长； 线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度． 知识点二．角的概念和表示 1、定义：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 2、注意事项： （1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 3、角的表示方法： （1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A 知识点三．角的度量 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制． 3．度量方法： 量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． 量角器的0刻度线和角的一条边对齐． 做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． 看刻度要分清内外圈． 知识点四．角的分类（锐角直角钝角） 根据角的度数，可以把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角。 （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.规定平角为180° （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.规定周角为360° （3）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。 知识点五．画指定度数的角 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角． 【典例1】如图，∠1＝90°，∠2＝60°，求∠3和∠4的度数。    【答案】∠3＝30°；∠4＝150° 【分析】根据平角＝180°，结合题意∠1＝90°，∠2＝60°，可知∠3＝180°－90°－60°＝30°，∠4＝180°－∠3＝180°－30°＝150°，据此解答即可。 【详解】因为∠1＝90°，∠2＝60° 所以∠3＝180°－90°－60° ＝90°－60° ＝30° ∠4＝180°－∠3＝180°－30°＝150° 答：∠3的度数为30°，∠4的度数为150°。 【点评】本题考查了线与角的综合知识，结合题意解答即可。 【典例2】乐乐将一张长方形白纸按如图所示的方式折叠，通过测量得出，∠1＝∠2，∠3＝120°。算一算：∠1和∠4各是多少度？ 【答案】60°；120° 【分析】根据图示，∠2＋∠3＋90°＋90°＝360°，∠3已知，据此可以求出∠2，又因为∠1＝∠2，据此可知∠1； 如图，∠5＋∠6＋90°＋90°＝360°，∠1和∠2已知，用180°－∠1－∠2，即可求出∠5，据此求出∠6，又因为∠3＋∠4＋∠6是360°，据此可以求出∠4。 【详解】如图： 因为∠2＋∠3＋90°＋90°＝360°，∠3＝120°，据此可以求出∠2＝360－90－90－120＝60（度），又因为∠1＝∠2，据此可知∠1＝60°； 因为∠1＝∠2＝60°，所以∠5＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－60°＝60° 因为∠5＋∠6＋90°＋90°＝360°，所以∠6＝360－90－90－60＝120（度） 又因为∠3＋∠4＋∠6是360°，所以∠4＝360－120－120＝120（度） 答：∠1等于60°；∠4等于120°。 【点评】本题考查了简单的折叠知识及多边形内角和及平角、周角知识，结合题意解答即可。 【典例3】下面有四个点，经过其中两点一共能画出几条直线？画一画。 【答案】6条 画图见详解 【分析】过两点可以画一条直线，每个点都可以和其余3个点中的1个点组合在一起，画一条直线，一共可以画3条直线。一共有4个点，可以画（4×3）个点。因为过两点只能画一条直线，一共能画（4×3÷2）条直线。 【详解】 4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝6（条） 答：一共能画出6条直线。 【点评】本题考查搭配问题和直线的特征，计算时注意去掉重复计算的直线数量。 【典例4】如图，下面线段表示0°到360°。 （1）点A表示（    ）角，你判断的依据是（    ）；点B表示（    ）角。 （2）请你在线段上用点C标出直角、用点D标出平角的相应位置。 【答案】（1）锐；大于0°小于90°；钝； （2）见详解 【分析】根据线段图可知，把360°的线段平均分成4份，每一段表示90°，据此根据角的度数判断角的种类，锐角大于0°小于90°，直角等于90°，钝角大于90°小于180°，平角等于180°，周角等于360°，据此解答。 【详解】（1）360°÷4＝90° 点A大于0°小于90°，所以表示锐角；点B大于90°小于180°，所以表示钝角。 （2）如图 【点评】本题考查了锐角、直角、钝平角及周角的特征。 【典例5】依依和苹苹两人进行放风筝比赛，两人所用的风筝线一样长。如图所示，在她们都把风筝线用完了。 （1）量一量。 依依的风筝线与地面的夹角是（    ），苹苹的风筝线与地面的夹角是（    ）。 （2）画一画。 淘淘也来参加比赛，用完了与她们同样长的风筝线后，他的风筝线与地面的夹角是30°，请将淘淘的风筝线在图上画出来。 【答案】1）50°；45° （2）见详解 【分析】先用量角器量出角的大小，把量角器的中心与角的顶点重合，0度刻度线与角的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数； 再用量器画出一个30°的角，把量角器的中心与淘淘的顶点重合，0度刻度线与射线重合，过量角器上30°刻度画与原来射线是公共顶点的射线，据此解答即可。 【详解】（1）依依的风筝线与地面的夹角是50°，苹苹的风筝线与地面的夹角是45°。 （2）淘淘也来参加比赛，用完了与她们同样长的风筝线后，他的风筝线与地面的夹角是30°，淘淘的风筝线在图上画出来如下： 【点评】用量角器画角、量角，量角器的正确、熟练使用是关键。 1．小明想将下图衣帽钩固定在墙上，至少需要几个钉子？请用学过的知识进行解释。 2．如图，把一个长方形纸折叠后，∠2＝75°，∠1是多少度？（在图中标出你需要的数据） 3．请量出下图中角的度数，并在右边的虚线框内画出度数是它2倍的角。 4．如图是一个三角形纸片折叠后的平面图形，折痕为DE，已知：∠B＝74°，∠A＝70°，∠CEB＝20°，那么∠ADC等于多少度？ 5．两张同样的长方形纸如图摆放，小雨认为。 （1）你同意小雨的说法吗？（    ）。（填同意或不同意） （2）请说说你的理由。 6．把一个半圆对折两次后展开（如图），你能在图上找到哪些度数的角？ 7．李老师在黑板上画了一个图形，如下图所示，∠1＝∠2＝∠3，且图中所有角的度数和是150°，求∠AOB是多少度。 8．下图是由同一个长方形转动而成，∠1和∠2相等吗？请在下面方框内说明理由。 9．红星小学位于劳动路与南山大道的交叉口，下图是红星小学的位置示意图。 （1）用量角器量出∠1＝（    ）°。 （2）张师傅要给红星小学送纯净水，请你为张师傅设计一条最近的路。 10．在下图中按要求画图，并解决问题。 （1）画出直线AB。 （2）画出射线BC。 （3）画好的图形中有（    ）种角。在图中指出并写出角的名称。 11．张叔叔是个台球迷，他发现当台球撞击桌边时就会向另一个方向弹走，如图所示： （1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，请你量一量，∠2＝（    ），∠4＝（    ）。 （2）如上图，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，你发现（    ）。 （3）请运用你发现的规律在上面图3中画出台球向另一个方向弹走的角度和路线。 12．如图：已知∠1＝50°，求∠2的度数。 13．按要求画图，再回答问题。    （1）画出直线。 （2）画出射线。 （3）量出的度数，标在图上。 （4）画好的图形中有哪几种角？ 14．思思用一副三角尺拼出一个钝角。先想一想思思是怎么拼的，再填一填，画一画。 思思可以把（    ）°角和（    ）°角拼在一起，在上面量角器上把拼出的这个钝角画出来。 15．按要求画一画、量一量。 （1）画出线段AC，射线CB。 （2）∠ACB＝（    ）°。 （3）以点B为顶点，BC为一边，画一个72°的角。 16．按要求画，再回答问题。 （1）画出直线AB。       （2）画出射线BC。 （3）画好的图形中有（    ）种角，∠ABC是（    ）角，量出∠ABC＝（    ）° 17．量一量，画一画。 （1）量出下图中的度数，（    ） （2）以O为顶点，射线OA为一条边，画出，使 18．如图，已知∠1＝48°，求∠2和∠5的度数。 19．已知∠3＝60°，∠5＝30°。求∠1、∠2、∠4的度数。 20．已知∠1＝25°，求∠2、∠3、∠5各等于多少度。 21．测量∠1的度数，并通过计算求出∠2的度数（要求有计算过程，写出算式）。 ∠1＝（    ）°、∠2＝（    ）。 22．按要求画一画。 （1）过点A画直线。 （2）过点B画射线。 （3）过A、B两点画直线。 （4）我发现经过一点可以画（    ）条直线，可以画（    ）条射线；经过两点只能画（    ）条直线。 23．量出如图中∠1的度数，并以0为顶点，射线OA为一条边，画出∠2，使∠2的度数是125°。 24．量出线段的长度，再以A为顶点，以射线为一条边画一个锐角，以C为顶点，以射线为一条边画一个钝角。 （    ）厘米 25．如下图所示，一张画有一个角的纸片损坏了，请你想办法画出这个角，并量出它的度数。这个角是（    ）度，是（    ）角。 26．如图，，求和的度数。 27．两个正方形相交如图，已知∠1＝32°，求∠2、∠3各是多少度。 28．量出下面角的度数，并说说它们各是什么角。 29．有三个点A、B、C。 （1）按要求画一画。 画出射线；画出直线。 （2）量一量（    ）°。 30．方框中有A、B两个点，按要求画一画。 （1）以A为端点画射线AB； （2）以A为顶点、射线AB为一边，在方框内画一个大小为50°的角； （3）以射线AB的端点A为起点，在角的另外一边上截取一条长2厘米的线段，线段的另一个端点为C； （4）画出直线BC； （5）作出的图中共有（    ）条线段，共有（    ）条射线。 31．画出直线AB、射线BC、线段AC，画出的图形中有（    ）个锐角，（    ）个钝角。 32．如下图所示，将一张正方形纸沿AB折叠，如果∠2＝40°，那么∠1是多少度？ 33．先按要求画，再填一填。 （1）在下图中有A、B、C三个点，请画出直线AB、射线AC、线段BC。 （2）在上面画好的图形中锐角有（    ）个，钝角有（    ）个。 34．按要求画图，再回答问题。 （1）画出直线AB。 （2）画出射线CB。 （3）画出线段AC。 画好的图形中有哪几种角？ 35．动手操作。 （1）画出线段AC。 （2）画出射线AB。 （3）画出射线BC。 （4）∠ACB的度数是（    ）。 （5）以B为顶点，BC为一边，画一个96°的角，并标出角的度数。 36．如图是把一张长方形纸折起来以后形成的图形，∠1＝35°，求∠2的度数。 37．乐乐把两张硬纸条订在一起，组成了一个37°的角，同桌欢欢在乐乐摆的基础上旋转其中一条边，所形成的角的度数比乐乐的4倍还大12°，这个角是多少度？是什么角？ 38．下图中∠1和∠2是否相等，请说明理由。 39．按要求作图： （1）画出直线AB。 （2）画出射线BC。 （3）画出线段AC。 （4）测量∠ACB＝（    ）。 40．如图，把一张长方形纸折起来后，已知∠1＝20°，求∠2是多少度？ 41．如图，欢欢要从家出发去奇奇家玩。最短的路线是几号？为什么？ 42．下面是一张长方形纸片，它的四个角都是（    ）角，四个角的和是（    ）°。当将其一边向上折后（如下图所示），量得∠1＝40°，你能算出∠2的度数吗？ 43．如图，已知∠1＝25°，分别求出∠2、∠3、∠4的度数。 44．按要求画线，并回答。 （1）画出直线AB。 （2）画出射线CB。 （3）画出线段AC。 （4）画好的图形中有几个锐角？几个钝角？ 45．量一量，画一画。 ①量出上图中∠1＝（    ）° ②以O为顶点，以射线OB为一条边，画出∠2，使∠2＝125°。 46．请画出中国阅兵踢正步时两腿之间75°的夹角，并写出画角时的注意要点。    要点总结： 47．体育课上，老师的口号“向后转”就是让同学旋转180°。你知道体育课上还有哪些有趣的角，并说说它们都属于什么角？ 48．按要求画图，再回答问题。 （1）画出直线AC。 （2）画出射线CB。画好的图形中有哪几种角？ 49．画图。 （1）过一点O，能画直线吗？能画几条？ （2）经过两点A、B，能不能画直线？能画几条？ 50．量出下面两个角的度数，并比较它们的大小。    你发现了什么？ 51．画一画。 （1）画直线AC （2）画射线CB （3）画线段AB （4）画好的图形中有哪几种角？ 52．刘亮同学课余时间喜欢打台球，他发现一个有趣的现象，就是当台球撞向桌边的时候就会向另一个方向弹走（如图）： （1）请你分别量出∠1、∠2、∠3、∠4的度数。 （2）通过上面的度量，你发现台球撞向桌边后弹走有什么规律？ 53．如图，在长方形ABCD中已知∠1＝80°，∠5＝40°。分别求出∠2、∠3和∠6的度数。 54．如图，已知，求、、的度数。 55．按要求量一量、画一画。 （1）量一量，这条线段长（    ）毫米。 （2）画一条线段，比已知线段短2厘米。 （3）画一条线段，使它的长度是已知线段的2倍。 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．2个；两点确定一条直线 【分析】经过两个点可以画一条直线，并且只能画一条直线，即两点确定一条直线，据此解答。 【详解】根据分析可知，想将衣帽钩固定在墙上，至少需要2个钉子，因为两点确定一条直线。 2．图见详解；30° 【分析】如下图所示，∠2是∠3折叠上去的角，那么∠3＝∠2＝75°，∠1、∠2和∠3组成了一个平角，1平角＝180°，那么∠1＝180°－∠2－∠3，据此代入数据解答即可。 【详解】数据标注如下图所示： ∠3＝∠2＝75° 180°－75°－75° ＝105°－75° ＝30° 答：∠1是30°。 3．45°；直；图见详解 【分析】根据量角器量角的方法，把角的顶点和量角器的中心点重合，角的一条边与0°刻度线重合，看角的另一条边所指的刻度，就是角的度数； 根据画角的方法，先画一条射线，再把射线的端点与量角器的中心点重合，把射线与0°刻度线重合，在相应度数的刻度上取一点，连接射线的端点和这一点作一条射线，即画出所需的角。 【详解】根据测量，角的度数为45°； 45°×2＝90°，这是一个直角。 作图如下： 4．92° 【分析】首先，画出叠前的三角形ABF，如下图，根据三角形内角和是180°，可以用180°减去∠B和∠A的度数，求出∠F的度数；折叠前后，角度数不变，所以∠C的角度等于∠F的度数；根据三角形内角和是180°，用180°减去∠C和∠CEB的度数，求出∠CKE的度数；根据∠CKE加上∠CKB是一个平角，所以用180°减去∠CKE的度数，就是∠CKB的度数；根据∠BKD加上∠CKB是一个平角，所以用180°减去∠CKB的度数，就是∠BKD的度数；最后根据四边形的内角和是360°，用360°减去∠B、∠A和∠BKD，得到的就是∠ADC的度数。 【详解】如下图，做出折叠前的三角形ABF： 因为三角形的内角和是180°，所以 因为，所以； 因为三角形的内角和是180°，所以 因为平角等于180°，所以； 因为平角等于180°，所以； 因为四边形的内角和是360°，所以 答：∠ADC等于92°。 5．（1）同意   （2）见详解 【分析】图示是两个长方形摆放在一起，根据长方形的特征，这四个角都是直角。通过添加字母的形式，结合三角形内角和来进行推理判断即可。 【详解】（1）同意。 （2）理由如下： 如图所示，添上字母A、B、C，则三角形ABC是直角三角形。有∠1＋∠C＋∠BAC＝180°，又∠C＝90°，故∠1＋∠BAC＝90°，又∠2＋∠BAC＝90°，故∠1＝∠2 6．45°；90°；135°；180° 【分析】一个半圆可以看作是一个平角，是180°；对折一次后，得到的角是平角的一半，即180°÷2＝90°；再对折一次，得到的角是90°的一半，即90°÷2＝45°；这时展开，得到的图形中有4个45°的角组合在一起，所以在图上形成的角是45°角的1倍、2倍、3倍、4倍。据此解答。 【详解】45°×1＝45° 45°×2＝90° 45°×3＝135° 45°×4＝180° 所以，在图上找到的角的度数有：45°、90°、135°、180°。 7．45° 【分析】根据题意，因为∠1＝∠2＝∠3，所以把三个角各看作1份，图中所有角中，包含1份组成的角有3个，即∠1、∠2、∠3共有（1×3）份，2份组成的角有2个，即∠1＋∠2、∠2＋∠3共有（2×2）份，3份组成的角有1个，即∠1＋∠2＋∠3共有（3×1）份，则所有角一共有（1×3＋2×2＋3×1）份，再用所有角的度数和150°除以总份数，即得到每份的度数；因∠AOB一共有3份，用每份的度数乘3即得到∠AOB的度数。 【详解】150°÷（1×3＋2×2＋3×1） ＝150°÷（3＋4＋3） ＝150°÷10 ＝15° 15°×3＝45° 所以，∠AOB是45°。 8．相等，理由是：∠1与∠3组成一个直角，∠2与∠3组成一个直角，所以∠1＝∠2。 【分析】根据题意和题图可知，拼在一起的是长方形上的直角，则∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，因此∠1＝∠2；据此解答。 【详解】∠1＋∠3＝90° ∠2＋∠3＝90° 所以∠1＝∠2 答：∠1和∠2相等，理由是： 9．（1）130 （2）见详解 【分析】（1）量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；用量角器量出∠1的度数即可解答。 （2）两点之间线段最短，沿纯净水站到红星小学的线段走最近，据此画出即可解答。 【详解】（1）经测量，∠1＝130°。 （2） 10．（1）见详解 （2）见详解 （3）3；见详解 【分析】（1）过点A、点B画一条直的线即可； （2）以点B为端点，过点C画一条直的线即可； （3）两条边在一条直线上的角是平角，小于90°的角是锐角，大于90°小于180°的角是钝角；根据（1）和（2）画出的图可以看出，以A点为顶点的角是平角，∠CBA为锐角，与∠CBA有公共边BC，且与∠CBA组成平角的角是钝角，所以图形中有3种角，据此即可解答。 【详解】（1）（2）见下图： （3）画好的图形中有3种角。图见（1）（2）。 11．（1）45°；50° （2）这两个角相等 （3）见详解 【分析】（1）量角器可以分别量出∠2、∠4的度数（把量角器的中心与角的顶点重合，刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数）。 （2）根据量出的各角度数，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线也与桌边形成了一个角，两个角度数相同，据此解答。 （3）根据以上发现，即可完成如图的台球运动线路图。 【详解】（1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，经测量∠2＝45°，∠4＝50°。 台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，发现这两个角相等。 （3）如图： 12．80° 【分析】将长方形纸折起一部分，则折起后的∠1与折起前的角的度数是相同的，都是50°，又这三个角组成了一个平角，据此即可求出∠2的度数。 【详解】结合分析可知，由于∠2与另外两个角组成了一个平角，平角的度数是180°，故∠2＝180°－50°－50°＝80°。 13．（1）、（2）、（3）见详解；（4）锐角、钝角和平角 【分析】（1）根据直线没有端点，无限延长，画直线AC； （2）根据射线只有一个端点，无限延长，画射线CB，那么端点是C点； （3）用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0度刻度线与角的一边重合，角的另一边所经过的量角器上（与0度刻度线同一圈）所显示的刻度就是被量角的度数； （4）大于0度小于90度的叫做锐角，等于90度的叫做直角，大于90度但是小于180度的叫做钝角，等于180度的角叫做平角，据此解答即可。 【详解】（1）、（2）、（3）画图如下：    （4）直线AC和射线CB相交于C点，一共构成了3个角，有锐角、钝角和平角。 答：画好的图形中有锐角、钝角和平角。 14．30；90；图见详解 【分析】一副三角尺上的角的度数有30°、45°、60°、90°，30°加90°等于120°，是钝角，可以把30°角和90°角拼在一起，从量角器的中心，沿0刻度线画一条射线，再从量角器的中心沿120°刻度线再画一条射线即可。 【详解】思思可以把30°角和90°角拼在一起，在上面量角器上把拼出的这个钝角画出来。 15．（1）（3）见详解 （2）120 【分析】（1）线段有两个端点，不能向两端延伸，可以量出长度，据此连接AC即可得到线段AC； 射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度，据此连接CB并向B点一端延长，即可画出射线CB； （2）用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数； （3）使量角器的中心点和点B重合，0刻度线和BC边重合，在量角器上找到72°的地方点一个点，以BC边的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，组成的图形就是72°的角，在角内标上角的符号和度数。 【详解】（1）画出线段AC，射线CB。作图如下： （2）∠ACB＝120°。 （3）以点B为顶点，BC为一边，画一个72°的角。作图如下： 16．（1）见详解；（2）见详解；（3）2；钝；120 【分析】（1）连接点A与点B，并向点A的左下方延长，向点B的右上方延长，即可得到直线AB。 （2）射线BC，即这条射线的端点是点B，连接点B与点C，并向点C的右下方延长即可得到射线BC。 （3）图中的角是以点B为顶点的角，这里有2个角，一个角比直角小这个角是锐角，另一个角比直角大比180°小，这个角是钝角，即一个是钝角另一个是锐角，测量角∠ABC的度数，将量角器的中心点与点B重合，角的一边AB与量角器的零刻度线重合，角的另一边BC所对应的量角器上的角度即为这个角的度数。 【详解】（1）（2） （3）画好的图形中有2种角，∠ABC是钝角，量出∠ABC＝120° 17．（1）30     （2）图见详解 【分析】（1）用量角器量角的方法：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此量出∠1的度数。 （2）用量角器画角的方法：将量角器的中心与顶点o重合，0刻度线与射线OA重合，根据所画角的度数在135°刻度线处点一个点，以O点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角。据此画出∠2。 【详解】（1）量出图中的度数是：30° （2）画出的∠2如下图所示： 18．∠2是42°，∠5是132° 【分析】观察发现∠1＋∠2＝90°，那么∠2＝90°－∠1；∠1＋∠5＝180°，那么∠5＝180°－∠1；据此解答。 【详解】∠2＝90°－48°＝42° ∠5＝180°－48°＝132° 答：∠2的度数是42°，∠5的度数是132°。 19．60°；120°；90° 【分析】用平角的度数减去∠3和∠5的度数，即可求出∠4的度数，再用平角的度数减去∠3的度数，即可求出∠2的度数，用平角的度数减去∠2的度数，即可求出∠1的度数，代入数据计算。 【详解】∠2＝180°－60°＝120° ∠1＝180°－120°＝60° ∠4＝180°－60°－30°＝90° 答：∠1的度数是60°，∠2的度数是120°，∠4的度数是90°。 20．155°；25°；65° 【分析】∠1和∠2合起来是平角，即为180°，已知∠1＝25°，利用减法即可求得∠2的度数；∠3和∠2合起来是平角，即为180°，利用求得的∠2的度数，即可求得∠3的度数；∠1和∠5合起来是个直角，即为90°，根据∠1＝25°即可求得∠5的度数。 【详解】∠1＝25° ∠1＋∠2＝180° ∠2＝180°－25°＝155° ∠3＋∠2＝180° ∠3＝180°－155°＝25° ∠1＋∠5＝90° ∠5＝90°－25°＝65° 答：∠2＝155°，∠3＝25°∠5＝65°。 21．70；80° 计算过程见详解 【分析】量角器的使用方法。两合一看，两合是指中心点与角的顶点重合；0刻度线与角的一边重合。一看就是要看角的另一边所对的量角器的刻度。看角的度数时要注意是看外刻度还是内刻度。角的开口向左看外刻度线，角的开口向右看内刻度线。 根据角的度量方法，测量∠1的度数，然后根据∠1＋∠2＋30°＝180°，∠2＝180°－30°－∠1，解答即可。 【详解】测量可知∠1＝70°。 ∠2＝180°－30°－70° ＝150°－70° ＝80° 即∠1＝70°、∠2＝80°。 22．（1）（2）（3）见详解 （4）无数；无数；一 【分析】（1）直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度，据此过A点向两端延长，即可画出直线； （2）射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度，据此向B点的一端延长，即可画出射线； （3）直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度，据此连接AB并向两端延长，即可画出直线； （4）经过一点可以画无数条直线；从一点出发可以画无数条射线；经过两点只能画一条直线；据此解答即可。 【详解】（1）过点A画直线。作图如下： （2）过点B画射线。作图如下： （3）过A、B两点画直线。作图如下： （4）我发现经过一点可以画无数条直线，可以画无数条射线；经过两点只能画一条直线。 23．∠1＝30° 画图见详解 【分析】量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此量出∠1的度数。 使量角器的中心和O点重合，0°刻度线和射线OA重合。在量角器125°刻度线的地方点一个点。以O点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出125°的角。 【详解】∠1＝30° 24．2cm；见详解图 【分析】用直尺的“0”刻度线和线段的一个端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是该线段的长度，据此测量出线段AB的长度即可。 锐角是大于0°小于90°的角。用量角器画角：首先使量角器的中心位置和射线AB的端点A重合，然后使射线AB和零刻度线重合（两个重合很重要），要画锐角，画一个60°的角就在量角器的刻度相应位置点一下标上M点，然后连接顶点A和点M即可画出60°的锐角。 钝角是大于90°小于180°的角。用量角器画角：首先使量角器的中心位置和射线CB的端点C重合，然后使射线CB和零刻度线重合（两个重合很重要），要画钝角，画一个110°的角就在量角器的刻度相应位置点一下标上N点，然后连接顶点C和点N即可画出110°的钝角。 【详解】线段的长度是2cm； 根据分析画图如下： 25．见详解 【分析】根据角的意义，具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，或者说，一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．也就是说，角的两边是以角的顶点为公共端点的两条射线，反方向延长这两条射线会相交于一点，这点就是角的顶点，然后用量角器量出这个角的度数，再根据度数确定是什么角即可。 【详解】 钝角大于90°，小于180°，所以这个角是钝角。 一张画有一个角的纸片损坏了，请你想办法画出这个角，并量出它的度数。这个角是110度，是钝角。 26． ∠2＝54°；∠4＝126° 【分析】由图可知，∠1、∠2和∠5组成一个平角，∠5是直角，用180°－∠1－∠5即可求出∠2的度数；∠4和∠2组成一个平角，则∠4＝180°－∠2，依此列式计算即可。 【详解】∠2的度数： 180°－∠1－∠5 ＝180°－36°－90° ＝144°－90° ＝54° ∠4的度数：180°－54°＝126° 即∠2＝54°，∠4＝126°。 27．∠2是58°；∠3是32° 【分析】根据给出的图示可知，∠1和∠2组成的是直角，直角是90°的角，∠1的度数已知，用90°减去∠1的度数就是∠2的度数；∠3和∠2组成的是直角，直角是90°的角，∠2的度数已求出，用90°减去∠2的度数就是∠3的度数，据此解答。 【详解】 答：∠2是58°，∠3是32°。 28．见详解 【分析】先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；再利用角的分类：大于0°小于90°的角叫做锐角，等于90°的角叫做直角，大于90°小于180°的角叫做钝角，进行解答问题即可。 【详解】 29．（1）见详解 （2）67 【分析】（1）射线只有一个端点，因此以点B为端点过C点画一条直的线，即可得到射线BC；直线没有端点，是无限长的，因此过点A和点B用直尺画一条直的线，即可得到直线AB；依此画图。 （2）量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量即可。 【详解】（1）画图如下： （2）经过测量可知，67°。 30．（1）（2）（3）（4）见下图 （5）3；8 【分析】（1）（2）（3）（4）作图分析：以A点为端点，过B点画一条直的线即为射线AB；画角的步骤：先使量角器的中心和射线的端点A重合，0刻度线和射线AB重合；在量角器上对准要画角度50°的刻度线，并点上一个点；然后以画出射线的端点A为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是所要画的角度，并且作完角后要标出角度；再用刻度尺在角的另一边上从A点开始量取2厘米的线段，标记出点C；再过点B、点C用直尺画出直线BC即可。 （5）线段有两个端点，所以两个点确定一条线段；射线有一个端点，另一端可以无限延伸，所以由一个点为端点确定射线。 【详解】（1）（2）（3）（4）见下图 （5）图中线段有线段AB、线段AC、线段BC，共有3条线段；从A点发出共有2条射线，从B点发出共有3条射线，从C点发出共有3条射线，所以共有8条射线。 31．图见详解过程；3；3 【分析】直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度，据此连接AB并向两端延长，即可画出直线AB； 射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度，据此连接BC并向C点的一端延长，即可画出射线BC； 线段有两个端点，不能向两端延伸，可以量出长度，据此连接AC即可得到线段AC； 大于0°小于90°的角，叫做锐角，大于90°小于180°的角，叫做钝角；据此解答即可。 【详解】直线AB、射线BC、线段AC。如图所示： 画出的图形中有3个锐角，3个钝角。 32．10° 【分析】由题意和题图可知：将正方形纸沿着线段AB折叠，则折叠线AB左侧（∠2）与右侧（∠3）的角度数相等。观察图形可知，∠1、∠2、∠3合起来组成直角。据此解答。 【详解】由分析可得： ∠2＝∠3 ∠1＋∠3＋∠2＝90° 则∠1＝90°－∠2－∠3 ＝90°－40°－40° ＝50°－40° ＝10° 答：∠1是10°。 33．（1）见详解 （2）3；3； 【分析】（1）直线没有端点，是无限长的，因此过点A和点B用直尺画一条直的线，即可得到直线AB；射线只有一个端点，因此以点A为端点过C点画一条直的线，即可得到射线AC；线段有两个端点，因此用直尺将点B和点C连接起来，即可得到线段BC，依此画图。 （2）小于90°的角是锐角，大于90°小于180°的角是钝角，则锐角有：∠6、∠5、∠4、；钝角有：∠1、∠2、∠3；依此填空。 【详解】（1）画图如下： （2）在上面画好的图形中锐角有3个，钝角有3个。 34．图见详解；锐角、钝角、直角 【分析】（1）依据直线向两方无限延伸，无端点；（2）射线向一方无限延伸，只有一个端点，射线CB，那么端点是点C；（3）线段AC有两个端点，据此即可画出；小于90度大于0度的叫做锐角，等于90度的叫做直角，大于90度但是小于180度的叫做钝角，等于180度的角叫做平角，据此解答即可。 【详解】画图如下： 根据测量，画好的图形中有直角和锐角、钝角。 答：画好的图形中有锐角和直角、钝角。 【点评】本题主要考查的是直线的认识以及角的分类，解题关键在于熟记概念。 35．（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 （4）100° （5）见详解 【分析】（1）线段是直的，有2个端点，有限长。据此画出线段AC。 （2）射线是直的，有1个端点，无限长，可以向一端无限延长。据此画出剩下AB。 （3）射线是直的，有1个端点，无限长，可以向一端无限延长。据此画出剩下BC。 （4）量角时先把量角器的中心与角的顶点C重合，0刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （5）使量角器的中心点和点B重合，0刻度线和射线BC重合，在量角器上找到96°度数的地方点一个点，以射线BC的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，组成的图形就是96°的角，在角内标上角的符号和度数。 【详解】（1）、（2）、（3）、（5）如图 36．20° 【分析】根据上图可知，把这张纸展开后，以∠1、∠2的顶点为顶点的角是长方形的一个角，是直角，等于90°，由于∠1盖住了一个和它相等的角，所以∠2＋2∠1＝90°，又知∠1＝35°，据此可求出∠2的度数。 【详解】∠2＝90°－2∠1 ＝90°－35°×2 ＝90°－70° ＝20° 答：∠2等于20°。 37．160°；钝角 【分析】根据题意可知，用乐乐组成角的度数乘4后，再加12°，即可得到欢欢组成角的度数，依此计算并根据角的分类标准解答即可。 【详解】37°×4＋12° ＝148°＋12° ＝160° 160°是一个钝角。 答：这个角是160°，是钝角。 38．相等；∠1和∠2都与∠3构成一个平角； 【分析】平角是180°，根据图示可知，∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，依此即可判断。 【详解】根据分析可知，∠1和∠2相等，因为∠1和∠2都与∠3构成一个平角。 39．（1）（2）（3）图见详解 （4）105° 【分析】根据直线、射线、线段的特征，直线没有端点，能够向两端无限延长，不能度量长度；射线：只有一个端点，可以向一端无限延长，不能度量长度；线段：有两个端点，不能向两端延长，可以度量长度；把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对应的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 【详解】根据要求作图如下： （1）（2）（3） （4）测量∠ACB＝105° 40．∠2＝140° 【分析】把长方形纸折起来的部分展开，可以发现2个∠1加1个∠2等于平角，平角等于180°，已知∠1＝20°，所以∠2＝180°－20°－20°＝140°；据此解答即可。 【详解】据分析可知： 因为2∠1＋∠2＝180°， 所以∠2＝180°－20°－20° ＝160°－20° ＝140° 答：∠2＝140°。 41．③；两点之间的所有连线中，线段最短。 【分析】根据线段的定义及特征可知，两点之间的所有连线中，线段最短，据此解答即可。 【详解】欢欢要从家出发去奇奇家玩的五条路中，只有③是线段，而两点之间，线段最短。即可得出答案。 42．直；360；70° 【分析】长方形的四个角都是直角，四个角的内角和是360°。将长方形的一边对折后，∠2是∠3对折得到的，所以∠3＝∠2。而且∠1、∠2和∠3构成了一个平角，据此解答。 【详解】90°×4＝360° （180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 答：长方形纸片，它的四个角都是直角，四个角的和是360°。∠2的度数为70°。 43．∠2＝65° ∠3＝115° ∠4＝65° 【分析】根据垂直定义∠1加∠2为90°直角，∠2＝90°－∠1＝65°；∠4和直角还有∠1构成平角，所以∠4＝180°－90°－∠1＝65°，∠4和∠3构成平角，用180°－∠3即可求出∠3的度数。 【详解】已知∠1＝25°，∠1加∠2为90°直角，∠2＝90°－25°＝65°； ∠4＝180°－90°－∠1＝180°－90°－25°＝65°； ∠3＝180°－65°＝115° 答：∠2＝65°；∠3＝115°；∠4＝65°。 44．（1）（2）（3）见详解 （4）4个；3个； 【分析】（1）直线没有端点，是无限长的，因此过点A和点B用直尺画一条直的线，即可得到直线AB。 （2）射线只有一个端点，因此以点C为端点过B点画一条直的线，即可得到射线CB。 （3）线段有两个端点，因此用直尺将点A和点C连接起来，即可得到线段AC，依此画图。 （4）小于90°的角是锐角，大于90°小于180°的角是钝角，依此解答。 【详解】（1）、（2）、（3）画图如下： （4） 由上图可知，∠2、∠3、∠4、∠6都是锐角，∠5、∠1、∠7是钝角。 答：画好的图形中有4个锐角，3个钝角。 45．①34；②见详解 【分析】（1）用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0度刻度线与角的一边重合，角的另一边所经过的量角器上（与0度刻度线同一圈）所显示的刻度就是被量角的度数； （2）量角器的中心和射线OB的端点O重合，零刻度线和射线OB重合，在量角器125°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角； 【详解】①量出上图中∠1＝34° ② 46．见详解 【分析】先画一条射线。用量角器的中心和射线的端点重合。“0”刻度线和射线重合，从射线端的“0”刻度线开始，数到要画的度数，在度数的刻度处点上一个小圆点。从射线的端点起，过刚才画好的小圆点画一条射线。最后再标注上角的符号和度数。 【详解】      要点总结：先画一条射线。用量角器的中心和射线的端点重合。“0”刻度线和射线重合，从射线端的“0”刻度线开始，数到75°，在75°的刻度处点上一个小圆点。之后把端点和小圆点连上，再标注上角的符号和度数。 【点评】明确角的画法是解决本题关键。 47．见详解 【详解】体育课上还有口号“向左转”和“向右转”，都是让同学旋转90°。180°的角是平角，90°的角是直角。 48．（1）见详解 （2）画图见详解；平角、钝角和锐角 【分析】（1）把线段向两端无限延伸，就得到一条直线，直线没有端点，是无限长的，不可以测量出长度；因此用直尺过A点和C点画一条直的线即可得到直线AC。 （2）射线只有一个端点，因此以点C为端点并过B点画一条直的线即可得到一条射线CB；依此画图，再根据角的分类标准进行解答即可。 【详解】（1）、（2）画图如下： 由此可知，画好的图形中有平角、钝角和锐角。 【点评】解答此题的关键是要熟练掌握角的分类标准，以及应掌握直线和射线的特点。 49．（1）能，无数条；（2）能，一条。 【分析】根据直线的性质：同一平面内，两点确定一条直线，过一点能画无数条直线；据此解答即可。 【详解】（1）根据直线的性质可知：过一点O，能画直线，且能画无数条。 （2）经过两点A、B，能画直线，且只能画一条。 【点评】本题主要考查的是直线的性质，解题关键在于熟知概念。 50．两个角都是45°；它们的大小相等；角的大小与角两边的长短无关。 【分析】先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量；最后根据测量结果进行比较并写成发现即可。 【详解】根据测量，两个角都是45°；45°＝45°，即这两个角的大小相等。    我发现：角的大小与角两边的长短无关。 【点评】解答此题的关键是要熟练掌握角的度量方法，以及角的大小比较方法。 51．（1）、（2）、（3）均见详解 （4）锐角、钝角、直角和平角 【分析】（1）直线没有端点，是无限长的，因此过点A和点C用直尺画一条直的线，即可得到直线AC。 （2）射线只有一个端点，因此以点C为端点过B点画一条直的线，即可得到射线CB。 （3）线段有两个端点，因此用直尺将点A和点B连接起来，即可得到线段AB；据此画图即可。 （4）小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角，等于360°的角是周角。 【详解】（1）、（2）、（3）画图如下： （4）画好的图形中有锐角、钝角、直角和平角。 【点评】解答此题的关键是要熟练掌握直线、射线和线段的特点，以及应掌握锐角、钝角、直角和平角的特点。 52．（1）∠1＝45°；∠2＝45°；∠＝40°；∠4＝40° （2）台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线也与桌边形成了一个角，两个角度数相同。 【分析】先用量角器量出角的度数，再比较每组中两个角的度数即可发现规律：入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角。 【详解】（1）通过测量可知，∠1＝45°，∠2＝45°，∠3＝40°，∠4＝40°。 （2）通过上面的度量，发现：台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线也与桌边形成了一个角，两个角度数相同。 【点评】此题主要考查了轴对称图形的实际应用，做这类题时要注意掌握轴对称图形的性质。 53．100°；80°；50° 【分析】∠1和∠2组成平角，平角是180°，∠2＝180°－∠1； ∠2和∠3组成平角，平角是180°，∠3＝180°－∠2； 长方形的四个角是直角为90°，∠6＝90°－∠5，依此解答即可。 【详解】因为∠1＝80°，所以，∠2＝180°－80°＝100°； ∠3＝180°－∠2＝180°－100°＝80°； 因为∠5＝40°，所以，∠6＝90°－40°＝50°； 答：∠2＝100°；∠3＝80°；∠6＝50°。 【点评】明白平角和直角的度数，找到对应组成的角是解题关键。 54．50°；130°；50° 【分析】观察图可知：∠1＋∠2＝90°，为直角，已知∠1＝40°，所以∠2＝90°－∠1；∠3＋∠2＝180°，为平角，所以∠3＝180°－∠2；∠3＋∠4＝180°，为平角，所以∠4＝180°－∠3，据此解答即可。 【详解】如图，因为，∠1＋∠2＝90°所以，∠2＝90°－40°＝50°； ∠3＝180°－50°＝130°； ∠4＝180°－130°＝50°； 答：∠2的度数为50°，∠3的度数为130°，∠4的度数为50°。 【点评】本题考查角度的计算，掌握理解平角和直角的度是解决本题的关键。 55．（1）94；（2）（3）见详解 【分析】（1）将这条线段的一端和直尺的0刻度线对齐，另一端对齐刻度就是线段的长度。 （2）先用已知线段的长度减去2厘米，求出所画线段长度，再画出这条线段。 （2）先用已知线段的长度乘2，求出所画线段长度，再画出这条线段。 【详解】（1）量一量，这条线段长94毫米。 （2）94毫米＝9厘米4毫米 9厘米4毫米－2厘米＝7厘米4毫米 （3）94×2＝188（毫米） 188毫米＝18厘米8毫米 【点评】本题主要考查长度的测量，画线段时，关键是求出线段的长度。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$