精品解析：吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体2023-2024学年高二下学期第三十八届基础年级期中考试数学试题

吉林地区普通高中友好学校联合体第三十八届基础年级期中考试 （2023-2024学年度下学期） 高二数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意） 1. 已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案. 【详解】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项. 当时，从左向右，是递增、递减、递增， 对应导数的符号为，由此排除C选项， 所以A选项正确. 故选：A 2. 用3种不同颜色给下图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（       ）种不同的涂色方案． A. 243 B. 32 C. 48 D. 1280 【答案】C 【解析】 【分析】直接由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】从左到右依次涂色，第一个图形可以涂3种颜色，第二、三、四、五个图形可以涂2种颜色， 共有种不同的涂色方案. 故选：C. 3. 若，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数求导法则求导并求出，再导数的定义求值即得. 【详解】由，求导得，则， 所以. 故选：B 4. 已知甲同学从学校的2个科技类社团，4个艺术类社团，3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设事件为“仅有一个是艺术类社团”，事件为“另一个是体育类社团的概率”，利用条件概率公式可得结论. 【详解】设事件为“仅有一个是艺术类社团”，事件为“另一个是体育类社团的概率”， 则，， . 故选：A. 5. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 6. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果. 【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”， ，，， 由全概率公式可得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算. 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得，所以函数的单调递增区间是. 故选：B 8. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理求出被8除得的余数，再逐项分析判断即可. 【详解】依题意， ，展开式共11项，其中前10均有因数8，最末一项为1， 则被8除得的余数是1，2022，2023，2024，2025被8除得的余数分别为6，7，0，1， 因此b的值可以是2025. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分.每小题有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的为（ ） A. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法； B. 6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有540种不同的分法； C. 6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法； D. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法． 【答案】AC 【解析】 【分析】用分步乘法原理判断AB，用隔板法判断C，先组合再排列判断D. 【详解】对于A，6本不同的书中，先取本给甲，再从剩余的本中取本给乙， 最后本给丙，共有种不同的分法，故A正确； 对于B，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有1种不同的分法，故B错误； 对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种，故C正确； 对于D，6本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的本中取作为一组， 最后本作为一组，共有种，再将分给甲、乙、丙三人， 共有种，故D错误； 故选：AC. 10. 二项式的展开式中（ ） A. 前三项系数之和为22 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 常数项为15 D. 所有项的系数之和为0 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先写出二项式展开式的通项，选项A中根据通项求前三项系数之和即可；选项B中二项式系数中最大的是；选项C，常数项满足通项中的指数为，可得；选项D中将代入即可. 【详解】二项式展开式的通项为： ； 对于选项A，前三项的系数之和为：，A错误； 对于选项B，二项式系数中最大的是，恰好是第4项，B正确； 对于选项C，常数项时，通项公式中满足，得，即，C正确； 对于选项D，将代入，可得所有项的系数之和，结果为，D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数，若的零点为，极值点为，则（ ） A. B. C. 的极小值为 D. 最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出可判断AB，由导数与极值、最值的关系可判断CD. 【详解】当时，，此时函数无零点， 当时，，函数的零点为，所以，故A错误； 当时，， 由得，由，得， 所以在为减函数，在为增函数， 即函数在处取得极小值，极小值点为，极小值为， 当时，为递增函数，此时无极值，也无最大值， 所以，所以，故BC正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，则_______． 【答案】720 【解析】 【分析】解排列数、组合数方程，再利用阶乘的意义求值. 【详解】由，得，则， 即，解得，所以. 故答案为：720 13. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，并求出的值，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由，求导得，则， 解得，于是，， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 14. 已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是____ （将正确序号填在横线上） ① ② ③ ④ 【答案】①③ 【解析】 【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可. 【详解】对于①，，令，得或，①有“巧值点”； 对于②，，令，无解，②无“巧值点”； 对于③，，令，即，令， 函数在上单调递增，而， 函数在上有零点，③有“巧值点”； 对于④，，令，整理得，无解，④无“巧值点”， 所以给定函数中有“巧值点”的是①③. 故答案为：①③ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 盒中装有5个同种产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求； （1）取两次，两次都取得二等品的概率； （2）取两次，第二次取得二等品的概率； （3）取两次，已知第一次取得二等品的条件下，第二次取得的是一等品的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）借助排列、组合列式求出取两次的基本事件总数，再求出所求概率的事件含有的基本事件数，利用古典概率求解即得. （2）利用缩小空间的方法求出条件概率. 【小问1详解】 取产品两次的基本事件总数为，两次都取得二等品的事件含有个基本事件， 所以取两次，两次都取得二等品的概率. 【小问2详解】 取产品两次的基本事件总数为，第二次取得二等品的事件含有个基本事件， 所以取两次，第二次取得二等品的概率. 【小问3详解】 取两次，第一次取得二等品的条件下，还有4个产品，3个一等品，1个二等品， 所以第二次取得的是一等品的概率是. 16. 已知函数，，在处的切线与直线平行. （1）求实数的值； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极大值为，无极小值 【解析】 【分析】（1）由求出实数的值； （2）利用导数得出的单调性，进而得出极值. 【小问1详解】 由题意可知，， ； 【小问2详解】 ， ； 即函数在上单调递增，在上单调递减； 故函数的极大值为，无极小值. 17. 已知. （1）若，求中含项的系数； （2）若，求. 【答案】（1）216 （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，先求出展开式中含，，的项，然后可得； （2）分别令，，两式相加可得结果. 【小问1详解】 ， ∵展开式中第项， ∴展开式中，，项分别为，， 故中含的项为 ， ∴中含项的系数为216， 【小问2详解】 ， 令，得，① 令，得，② 两式相加，得， 所以 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）递增区间为，递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出单调区间. （2）求出利用恒成立的不等式，分离参数，借助二次函数求出最大值即得. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为， 求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 函数，求导得， 不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 而，当且仅当时取等号，于是， 所以实数m的取值范围是. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间并求出极值； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） 当时，的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，无极大值． （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间及极值. （2）变形给定不等式，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，无极大值， 所以当时，的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，无极大值． 【小问2详解】 不等式， 令，依题意，在上恒成立， 求导得，令，求导得， 函数，即在上单调递减，， 因此函数在上单调递减，，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林地区普通高中友好学校联合体第三十八届基础年级期中考试 （2023-2024学年度下学期） 高二数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意） 1. 已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 2. 用3种不同颜色给下图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（       ）种不同的涂色方案． A. 243 B. 32 C. 48 D. 1280 3. 若，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4. 已知甲同学从学校的2个科技类社团，4个艺术类社团，3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 6. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 8. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分.每小题有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的为（ ） A. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法； B. 6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有540种不同的分法； C. 6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法； D. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法． 10. 二项式的展开式中（ ） A. 前三项系数之和为22 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 常数项为15 D. 所有项的系数之和为0 11. 已知函数，若的零点为，极值点为，则（ ） A. B. C. 的极小值为 D. 最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，则_______． 13. 曲线在点处的切线方程为______． 14. 已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是____ （将正确序号填在横线上） ① ② ③ ④ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 盒中装有5个同种产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求； （1）取两次，两次都取得二等品的概率； （2）取两次，第二次取得二等品的概率； （3）取两次，已知第一次取得二等品的条件下，第二次取得的是一等品的概率． 16. 已知函数，，在处的切线与直线平行. （1）求实数的值； （2）求函数的极值. 17. 已知. （1）若，求中含项的系数； （2）若，求. 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间并求出极值； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $