2025年中考数学二轮复习 核心考点复习： 方程与函数的应用

第九单元 方程与函数的应用 专题一 方程与函数建模(1) ——抛物线形运动轨迹与临界位置 01.某课外科技活动小组研制了一种航模飞行，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m) 、飞行高度y(单位：m) 随飞行时间t(单位：s) 变化数据如下表： 飞机时间t/s 0 2 4 6 8 飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 飞行高度y/m 0 22 40 54 64 探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述，直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式 (不要求写出自变量的取值范围). 问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机，根据上面的探究发现解决下列问题. (1) 若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； (2) 在安全线上设置回收区域MN，. . 若飞机落到MN内 (不包括端点 M，N) ，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围. 02嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏. 某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题. 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长. 嘉嘉在点A(6，1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线( 的一部分，淇淇恰在点B(0，c) 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 的一部分. (1) 写出 的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到淇淇回传的沙包，求符合条件的n的整数值. 专题二 方程与函数建模(2)——路径与双二次函数 01如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为 运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O的抛物线. 在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A 点的坐标为 正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误. 运动员入水后，运动路线为另一条抛物线. (1) 求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误? 通过计算说明理由； (3) 在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为 ，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间(包括M，N两点) ，请直接写出a的取值范围. 专题三 方程与函数建模 ( 3) ——变速运动 01公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s(单位：m)，速度v(单位：m/s) 与时间t(单位：s) 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示. (1) 直接写出s关于t的函数关系式和v关于t的函数关系式 (不要求写出t的取值范围) ； (2) 当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少? (3) 若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少? 02.在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处. 小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位：cm/s)、运动距离y(单位：cm)随运动时间t(单位：s) 变化的数据，整理得下表. 运动时间t/s 0 1 2 3 4 运动速度v/ cm/s 10 9.5 9 8.5 8 运动距离y/ cm 0 9.75 19 27.75 36 小聪探究发现，黑球的运动速度ν与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系. (1) 直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不用写出自变量的取值范围)； (2) 当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度； (3) 若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，黑球在运动过程中会不会碰到白球? 请说明理由. 专题四 方程与函数建模(4)——利润总分问题 01.某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种农产品后，分成A，B两类(A类直接销售，B 类深加工后再销售)，并全部售出. A类农产品的销售价格y(单位：万元/吨)与销售数量x(单位：吨)之间的函数关系是. B类农产品深加工总费用s(单位：万元) 与加工数量t(单位：吨) 之间的函数关系是s=12+3t，销售价格为9万元/吨. 注：总利润=总售价一总成本 (1) 设其中A类农产品有x吨，用含x的代数式表示下列各量. ①B类农产品有 吨； ②A类农产品所获得总利润为 万元； ③B类农产品所获得总利润为 万元. (2) 若两类农产品获得总利润和为30万元，问A，B两类农产品各有多少吨? (3) 直接写出两类农产品获得总利润和的最大值. 02. 睿智公司计划共投入资金50万元研发生产甲、乙两种新型智能产品，该公司市场部根据调查后得出：①甲种新型智能产品所获年利润y₁(单位：万元) 与投入资金m(单位：万元)的函数关系式是 ②乙种新型智能产品所获年利润y₂(单位：万元)与投入资金n(单位：万元) 的函数关系式是 注：该计划该公司所获全年总利润W(单位：万元) 为y₁与y₂之和. (1) 设其中投入乙种新型智能产品资金为x(单位：万元)( ，用含x的代数式表示下列各量： ①投入甲种新型智能产品的资金为 万元； ②投入甲种新型智能产品所获年利润为 万元； ③该计划该公司所获全年总利润为 万元. (2) 求公司市场部预判该公司全年总利润W(单位：万元) 的范围； (3)若该公司从全年总利润W(单位：万元)中扣除投入乙种新型智能产品资金的k倍( 用于其他产品的生产后，得到剩余利润 (单位: 万元) ,若 随x的增大而减小，请直接写出k的取值范围. 专题五 方程与函数建模(5) ——路径与落点高度分析 01.跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示) ，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高. 2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为h(m) ，h为定值. 设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m) 与水平距离x(m) 之间的函数关系为 (1) 直接写出c的值为 ； (2) ①若运动员落地点恰好到达K点，且此时 求基准点K的高度h；②若 时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ； (3) 若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由. 专题六 方程与函数建模(6)——二次函数路径与落点距离分析 01原地正面掷实心球是体育训练项目之一. 实心球被掷出后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分. 建立如图所示的平面直角坐标系xOy，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m) 近似满足函数关系. 小明进行了三次掷实心球训练. (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下. 根据表格数据，实心球竖直高度的最大值是 m； 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 (2)第二次训练时，发现前方7m处有一个高为1.1m的障碍物，小明应该向 (按图中方向填“左或右”) 移动 m后进行投掷，才能使得投掷的实心球恰好越过障碍物； (3) 第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系. (n为常数，且 记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为， 第三次训练实心球的着陆点的水平距离为d₃，试比较d₁与d₃的大小. 专题七 方程与函数建模 (7)——面积问题与参数套参数讨论 01.如图，学校计划建造一块边长为40m的正方形花坛ABCD，分别取四边中点E，F，G，H构成四边形EFGH，四边形 EFGH部分种植甲种花，在正方形ABCD 四个角落构造4个全等的矩形区域种植乙种花，剩余部分种草坪. 每一个小矩形的面积为xm²，已知种植甲种花50元/m², 乙种花80元/m², 草坪10元/m², 种植总费用为y元. (1) 求y关于x的函数关系式； (2) 当种植总费用为74880元时，求一个矩形的面积为多少? (3) 为了缩减开支，甲区域改用单价为40元/m²的花，乙区域用单价为a元/ 且a为10的倍数) 的花，草坪单价不变，最后种植费只用了55000元，求a的最小值. 02.春回大地，万物复苏，又是一年花季到. 某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域. 其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉. 活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m. A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元. (1) 设育苗区的边长为 xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 m²，花卉 B 的种植面积是 m²，花卉 C 的种植面积是 m². (2) 育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等? (3) 若花卉 A 与B的种植面积之和不超过： ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值. 专题八 方程与函数建模(8) ——面积问题与费用最值 01.如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分ACB 连接，为确保安全，在抛物线一部分ACB内修建了一个菱形支架ODCE，抛物线的最高点 C到AB的距离OC=4米，∠ODC=60°, 点D, E在抛物线一部分 ACB 上, 以AB所在的直线为x轴, OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，确定一个单位长度为1米. (1) 求此抛物线对应的函数表达式. (2)如图2，现在将菱形ODCE做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形 MNPQ广告牌，设边EP长度为m米，试求内接矩形MNPQ的面积S(用含m的式子表示)； (3) 若已知矩形 MNPQ广告牌的价格为80元/米²，广告牌其余部分的价格为160元/米²，试求完成菱形广告牌所需的最低费用. 专题九 方程与函数建模(9)——由函数的最值范围讨论自变量的取值 01.已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元. 经市场调查发现，甲种玩具每天的销量y₁(单位：件) 与每件售价x(单位：元) 的函数关系为 乙种玩具每天的销量y₂(单位：件) 与每件售价z(单位：元) 之间是一次函数关系，其部分数据如下表，其中x，z均为非负整数. 商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价均高于进价. 每件售价z(单位： 元) 20 25 30 销量y₂(单位: 件) 100 80 60 (1)直接写出乙种玩具每天的销量y₂与每件售价z的关系式是 ；甲种玩具每件 售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是 ； (2) 当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元? (3) 当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，直接写出甲种玩具每件的销售价格. 专题十 方程与函数建模(10)——分段函数与加权计算最值 01加强劳动教育，落实五育并举. 孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地. 2023年计划将其中 的土地全部种植甲乙两种蔬菜. 经调查发现：甲种蔬菜种植成本y(单位：元/ 与其种植面积x(单位：m²) 的函数关系如图所示，其中 乙种蔬菜的种植成本为50元/ (1) 当 时, y=35元/m²; (2) 设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小? (3) 学校计划今后每年在这 土地上，均按 (2) 中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%, 当a为何值时, 2025年的总种植成本为28920元? 专题十一 方程与函数建模(11)——调配问题与最值 01.A城有肥料200t, B城有肥料300t. 现要把这些肥料全部运往C, D两乡, C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，其运往C，D两乡的运费如下表： 两城/两乡 C/ (元/t) D/(元/t) A 20 24 B 15 17 设从A城运往C乡的肥料为 xt，从A城运往两乡的总运费为y₁元，从B城运往两乡的总运费为y₂元. (1) 分别写出y₁，y₂与x之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围)； (2) 试比较A，B两城总运费的大小； (3) 若B城的总运费不得超过4800元，怎样调运使两城总费用的和最少? 并求出最小值. 02.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件. A城生产产品的总成本y(万元) 与产品数量x(件)之间具有函数关系 当 时， 当 时， 城生产产品的每件成本为70万元. (1) 求a, b的值; (2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件? (3) 从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件； 从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件. C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示). 专题十二 方程与函数建模(12)——方案设计与一次函数最值 01.某公司计划购买A，B两种计算器共100个，要求A种计算器数量不低于B种的 且不高于B种的. 已知A，B两种计算器的单价分别是150元/个，100元/个. 设购买A种计算器x个. (1) 求计划购买这两种计算器所需费用y(元) 与x的函数关系式； (2) 问该公司按计划购买这两种计算器有多少种方案? (3) 由于市场行情波动，实际购买时，A种计算器单价下调了3m(m>0)元/个，同时B种计算器单价上调了2m元/个.此时购买这两种计算器所需最少费用为12150元，求m的值. 02.某茶叶经销商3月份用18000元购进一批茶叶售完后，4月份用48000元购进一批相同的茶叶，数量是3月份的2.5倍，但每罐进价涨了20元. (1) 4月份进了这批茶叶多少罐? (2)4月份，经销商将这批茶叶包装出售，其中甲种礼盒每盒装2罐，每盒标价800元； 乙种礼盒每盒装3罐，每盒标价1200元，恰好全部装完. 设甲种礼盒的数量为x盒，乙种礼盒的数量为y盒. ①求y关于x的函数表达式； ②在实际销售过程中，甲种礼盒按标价全部售出，乙种礼盒按标价的九折全部售出，若这些茶叶全部售出后的总利润不低于 8900元，求甲、乙两种礼品盒的数量和的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$