精品解析：江苏省常州市2023-2024学年八年级下学期期末数学模拟试题

江苏省常州市2023-2024学年下学期八年级期末模拟练习数学试卷 测试内容：八下第7--12章 测试时间：100分 总分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题1分，共16分） 1. 下列剪纸作品中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对市辖区水质情况的调查 B. 对电视台“商城聚焦”栏目收视率的调查 C. 对某小区每天丢弃塑料袋数量的调查 D. 对乘坐飞机的旅客是否违规携带违禁物品的调查 3. 下列计算正确的是（　　） A B. C. D. 4. 若，都是实数，且，则的值是（ ） A. 0 B. 4 C. 2 D. 不能确定 5. 某批羽毛球的质量检验结果如下： 抽取的羽毛球数a 100 200 400 600 800 1000 1200 优等品的频数b 93 192 380 561 752 941 1128 优等品的频率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 小明估计，从这批羽毛球中任意抽取的一只羽毛球是优等品的概率是0.94．下列说法中，正确的是（ ） A. 如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动 B. 从这批羽毛球中任意抽取一只，一定是优等品 C. 从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有47只 D. 从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在0.940~0.941的范围内 6. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．有以下两种说法：①摸出的小球标号都小于5是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球虽然是随机的，但可能性不一样．则（ ） A. ①对②错 B. ①错②对 C. ①②都对 D. ①②都错 7. 如图，在任意四边形中，，是对角线，、、、分别是线段、、、上的点，对于四边形的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A. 当，，，是各条线段的中点时，四边形为平行四边形 B. 当，，，是各条线段的中点时，且时，四边形为矩形 C. 当，，，是各条线段的中点时，且时，四边形为菱形 D. 当，，，不是各条线段的中点时，四边形可以为平行四边形 8. 如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点，直角顶点，点在第二象限．将沿轴正方向平移后得到，点的对应点恰好落在双曲线上，则平移的距离等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 如果分式的值为零，那么m的值是________． 10. 函数 中自变量x的取值范围是_______． 11. 在一个平面上画一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任意直线都不相交．根据记录在下表中的投针试验数据如下： 实验次数 相交频数 相交频率 请你根据表格数据，估计针与直线相交的概率为_______.(结果保留一位小数） 12. 已知反比例函数y1＝的图象和一次函数y2＝x＋b的图象交于点A（2，3）和点B（-1，－6），当函数值y1＞y2时，x的取值范围是________． 13. 利用图中的网格比较大小：______（填“＞”、“＜”或“＝”）． 14. 函数和的图像关于轴对称，我们把函数和叫做互为“镜子”函数．类似地，如果函数和的图像关轴对称，那么我们把函数和叫做互为“镜子”函数．则函数的“镜子”函数是_______________． 15. 如图，正方形ABCD边长为2，F为对角线AC上的一个动点，过C作AC的垂线并截取，连接EF，周长的最小值为______． 16. 一次函出（b为常数）的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函的图像交于点C、D，点C在第一象限，点D在第三象限，若，则b＝_______． 三、解答题（本大题共9小题，共68分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 解方程: (1) （2） 19 先化简，再求值：，其中 20. 某校为了进一步丰富学生的课外阅读，准备购买一批课外书，为此对学校部分学生进行了“你最喜欢的书籍”问卷调查(每人只选一项)．根据收集到的数据，绘制成如下统计图(不完整)： 请根据图中提供信息，完成下列问题： (1)在这次问卷调查中，一共调查了_____名学生，并将上面的条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中______，“体育”所对的圆心角的度数为______度； (3)如果全校共有学生人，请通过计算估计该校最喜欢“文学”类的学生比最喜欢“天文”类的学生多多少人． 21. 如图，在四边形中，，点E是的中点，连接交于点O，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知条件：①；②；③平分，请从这三个条件中选择1个，使得四边形是矩形，并加以证明． 22. 为弘扬学生“为人民服务”的精神，月份我区共青团委举办了“弘扬雷锋精神争做美德少年”主题演讲比赛比赛前购买了，两种装饰品对比赛场地进行了美化已知用元购买种装饰品与用元购买种装饰品的数量相等，且每个种装饰品的价格比种多元． （1），两种装饰品单价各为多少元？ （2）计划购买，两种装饰品共个，其中种装饰品的数量不低于种装饰品的，且不超过种装饰品数量的，请求出共有几种购买方案？ 23. 先阅读材料，然后回答问题： 形如的化简，只要找到两个正数、，使，， 使得，， 那么则有，例如：化简，． （1）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：__________；__________； （2）在中，，，其中边的垂直平分线分别交、于点、，当时，求的长．（结果要化为最简形式） 24. 在生活中，我们常会听到“糖水加糖甜更甜”的说法，小明和小华准备在实验室展开实验过程． （1）在50g水中加入50g的糖，搅拌溶解，则糖含量为______； （2）为了使（1）中的糖水的糖含量达到60%，小明采取的方法是继续往糖水中加入糖，小华采取的方法是用酒精灯加热蒸发水分．请选择其中一种方法计算加入糖的重量或蒸发的水分重量（精确到0.1g）； （3）在（1）中的糖水中继续加入tg糖，搅拌溶解，设此时的糖含量为y． ①y与t之间函数表达式为______； ②根据实际经验，在未饱和状态下，糖水中加入的糖越多，糖含量越高，用数学的语言可以描述为______． 25. 如图1，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点． （1）直接填写：k=___________；m=___________；n=___________； （2）设直线交y轴于点C，点是x轴正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图像于点M，连接．若，求t的取值范围． （3）如图2，将一次函数的图像向下平移后，与反比例函数的图像在第二象限的交点为点D，与x轴负半轴交于点E，y轴上一点P的纵坐标为4，且，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省常州市2023-2024学年下学期八年级期末模拟练习数学试卷 测试内容：八下第7--12章 测试时间：100分 总分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题1分，共16分） 1. 下列剪纸作品中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A选项、B选项、D选项中的图形找不到这样一个点， 使旋转180°后的图形与原图形重合，所以它们都不是中心对称图形； C选项中的图形绕对应点连线的交点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合， 所以它是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，能熟记中心对称图形的定义是解此题的关键． 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对市辖区水质情况的调查 B. 对电视台“商城聚焦”栏目收视率的调查 C. 对某小区每天丢弃塑料袋数量的调查 D. 对乘坐飞机的旅客是否违规携带违禁物品的调查 【答案】D 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A、对市辖区水质情况的调查适合抽样调查，故A不符合题意； B、对电视台“商城聚焦”栏目收视率的调查，工作量大，不易普查，适合抽样调查，故B不符合题意； C、对某小区每天丢弃塑料袋数量的调查工作量大，不易普查，适合抽样调查，故C不符合题意； D、对乘坐飞机的旅客是否违规携带违禁物品的调查适合全面调查，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4. 若，都是实数，且，则的值是（ ） A 0 B. 4 C. 2 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件，明确被开方数是非负数是解题的关键． 5. 某批羽毛球的质量检验结果如下： 抽取的羽毛球数a 100 200 400 600 800 1000 1200 优等品的频数b 93 192 380 561 752 941 1128 优等品的频率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 小明估计，从这批羽毛球中任意抽取的一只羽毛球是优等品的概率是0.94．下列说法中，正确的是（ ） A. 如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动 B. 从这批羽毛球中任意抽取一只，一定是优等品 C. 从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有47只 D. 从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在0.940~0.941的范围内 【答案】A 【解析】 【分析】根据频数和频率的关系进行判断即可 【详解】A. 如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动，故此选项正确； B. 从这批羽毛球中任意抽取一只，不一定是优等品，故此选项错误； C. 从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有不一定为47只，故此选项错误； D. 从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率不一定在0.940~0.941的范围内，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率的知识，熟练掌握利用频率估计概率的知识是解题的关键． 6. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．有以下两种说法：①摸出的小球标号都小于5是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球虽然是随机的，但可能性不一样．则（ ） A. ①对②错 B. ①错②对 C. ①②都对 D. ①②都错 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是可能性的大小及随机事件，理解随机事件与必然事件的定义是解题的关键．根据可能性大小的定义解答即可． 【详解】解：四个小球分别标号为1，2，3，4， 摸出的小球标号都小于5是必然事件，故①正确； 每个标号只有一个小球， 摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球是随机的，可能性一样，故②错误． 故选：A． 7. 如图，在任意四边形中，，是对角线，、、、分别是线段、、、上的点，对于四边形的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A. 当，，，是各条线段的中点时，四边形为平行四边形 B. 当，，，是各条线段的中点时，且时，四边形为矩形 C. 当，，，是各条线段的中点时，且时，四边形为菱形 D. 当，，，不是各条线段的中点时，四边形可以为平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形，矩形，菱形的判定．根据三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形，矩形，菱形的判定，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、∵，，，是各条线段的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形，故A选项正确，不符合题意； B、如图， 当时，， ， 四边形不可能是矩形，故B选项错误，符合题意； C、∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意； D、当，，，是各条线段的三等分点，即时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形，故D选项正确，不符合题意； 故选：B 8. 如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点，直角顶点，点在第二象限．将沿轴正方向平移后得到，点的对应点恰好落在双曲线上，则平移的距离等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定与性质、反比例函数的性质、平移的性质，由题意得，，作轴于，证明得出，设将沿轴正方向平移个单位后得到，得出，，结合反比例函数的性质求出的值即可得解． 【详解】解：∵点，， ∴，， 如图：作轴于， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设将沿轴正方向平移个单位后得到， ∴，， ∵点的对应点恰好落在双曲线上， ∴， 解得：， ∴平移的距离为， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 如果分式的值为零，那么m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分子为零，但分母不等于零解答即可． 【详解】解：， 则，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 10. 函数 中自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 11. 在一个平面上画一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任意直线都不相交．根据记录在下表中的投针试验数据如下： 实验次数 相交频数 相交频率 请你根据表格数据，估计针与直线相交的概率为_______.(结果保留一位小数） 【答案】 【解析】 【分析】根据频率估计概率即可解答． 【详解】解：∵根据记录在下表中的投针试验数据稳定在附近， ∴估计针与直线相交的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据数据描述求频率，用频率估计概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 12. 已知反比例函数y1＝图象和一次函数y2＝x＋b的图象交于点A（2，3）和点B（-1，－6），当函数值y1＞y2时，x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据函数图象可直接进行求解． 【详解】解：由题意可得函数图象如图所示： 由图象可得：当函数值y1＞y2时，x的取值范围是或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 13. 利用图中的网格比较大小：______（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】利用勾股定理，借助三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：设该网格最小单元的边长为１，如图所示： 在中， 在中， 在中，有 故 故答案为：＞ 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的三边关系等知识点．熟记相关知识点是解题关键． 14. 函数和的图像关于轴对称，我们把函数和叫做互为“镜子”函数．类似地，如果函数和的图像关轴对称，那么我们把函数和叫做互为“镜子”函数．则函数的“镜子”函数是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中的新定义，可以直接写出函数的“镜子”函数． 【详解】利用关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数得出： 函数的“镜子”函数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、关于x轴、y轴对称的点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 15. 如图，正方形ABCD边长为2，F为对角线AC上的一个动点，过C作AC的垂线并截取，连接EF，周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先过作交于，再连接、，证四边形为矩形，得，据此知，再求出，当时，取得最小值，此时，从而得出答案． 【详解】解：如图，过作交于，连接、， ，， ， ， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，， ， 当时，取得最小值，此时， 周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查轴对称最短路线问题及矩形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质及轴对称的性质． 16. 一次函出（b为常数）的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函的图像交于点C、D，点C在第一象限，点D在第三象限，若，则b＝_______． 【答案】-3 【解析】 【分析】过点D 作x轴的平行线，过 点C作y轴的平行线，两条平行线交于点Q，求出，联立方程组得，，得，根据 一元二次方程根与系数的关系可得出，再根据等腰直角三角形的性质可得出，结合可求出b的值． 【详解】解：如图，过点D 作x轴的平行线，过 点C作y轴的平行线，两条平行线交于点Q， 交轴于点交轴于点， ，即 又， ∴∠ 联立方程组得，，得， 整理得， ∴ ∵ ∴ ∴∠ ∴ ∵ ∵ ∴ 解得， 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合运用，根据 一元二次方程根与系数的关系可得出是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共68分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先确定结果的符号，再化为，再化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式乘除混合运算，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键． 18. 解方程: (1) （2） 【答案】（1） ;（2） 【解析】 【分析】(1)方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，验根即可求出解； (2)方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，验根即可求出解. 【详解】(1) (x-2)(x-3)-3(x+3)=x2-9 x2-5x+6-3x-9= x2-9 8x=6 x=; 当x=时，分母不为0，故是方程的解; （2） 2(2x+1)=4 4x+2=4 x= 当x=时，2x-1=0，所以x=是方程增根，故方程无解. 【点睛】考查了解分式方程，关键是能把分式方程转化成整式方程，注意解分式方程一定要进行检验． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的各个运算法则化简，然后代入求值即可． 【详解】解： 把，代入 原式 【点睛】此题考查的是分式的化简求值题和二次根式的运算，掌握分式的各个运算法则和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 20. 某校为了进一步丰富学生的课外阅读，准备购买一批课外书，为此对学校部分学生进行了“你最喜欢的书籍”问卷调查(每人只选一项)．根据收集到的数据，绘制成如下统计图(不完整)： 请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)在这次问卷调查中，一共调查了_____名学生，并将上面的条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中______，“体育”所对的圆心角的度数为______度； (3)如果全校共有学生人，请通过计算估计该校最喜欢“文学”类的学生比最喜欢“天文”类的学生多多少人． 【答案】（1）240，补全统计图见解析；（2）10，120；（3）540 【解析】 【分析】（1）从扇形图可知文学占，从条形统计图可知文学有60人，可求出总人数，求出科幻和其他的人数，接口补全条形统计图； （2）用“天文”的人数除以总人数再乘以100%可得a值，再用乘以“体育”类所占比例即可； （3）全校总人数（文学类人数所占比例天文类人数所占比例）即可得． 【详解】解：（1）在这次问卷调查中，一共调查学生数为： （名； 其他类的人数为：（人， 科幻的人数为：（人， 如图为补充完整的条形统计图； 故答案为：240； （2）， 扇形统计图， 扇形统计图中“体育”所对的圆心角的度数为： 度； 故答案为：10，120； （3）（人， （人， 答：估计该校最喜欢“文学”类的学生比最喜欢“天文”类的学生多540人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，在四边形中，，点E是的中点，连接交于点O，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知条件：①；②；③平分，请从这三个条件中选择1个，使得四边形是矩形，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得出，结合已知条件可得，即可证得结论； （2）根据等腰三角形的性质、矩形的判定和菱形的判定进行解答即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点，即， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 若选择①； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，不能说明四边形是矩形； 若选择②； ∵，点E是的中点， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； 若选择③平分； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形和菱形的判定和性质等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键． 22. 为弘扬学生“为人民服务”的精神，月份我区共青团委举办了“弘扬雷锋精神争做美德少年”主题演讲比赛比赛前购买了，两种装饰品对比赛场地进行了美化已知用元购买种装饰品与用元购买种装饰品的数量相等，且每个种装饰品的价格比种多元． （1），两种装饰品的单价各为多少元？ （2）计划购买，两种装饰品共个，其中种装饰品的数量不低于种装饰品的，且不超过种装饰品数量的，请求出共有几种购买方案？ 【答案】（1）种装饰品的单价为元，种装饰品的单价为元 （2）3种 【解析】 【分析】（1）设A种装饰品的单价为元，则种装饰品的单价为元，根据用元购买A种装饰品与用元购买种装饰品的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买A种装饰品个，则购买种装饰品个，根据A种装饰品的数量不低于种装饰品的，且不超过种装饰品数量的，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设A种装饰品的单价为元，则种装饰品的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：种装饰品的单价为元，种装饰品的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买A种装饰品个，则购买种装饰品个， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ，，， 共有种购买方案． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． 23. 先阅读材料，然后回答问题： 形如的化简，只要找到两个正数、，使，， 使得，， 那么则有，例如：化简，． （1）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：__________；__________； （2）在中，，，其中边的垂直平分线分别交、于点、，当时，求的长．（结果要化为最简形式） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）先根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而利用三角形的外角的性质可得，再利用含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，从而求出的长，最后由勾股定理进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解： 是边上的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， 在中，，， ， ， ， 在中， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握二次根式的性质，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，是解题的关键． 24. 在生活中，我们常会听到“糖水加糖甜更甜”的说法，小明和小华准备在实验室展开实验过程． （1）在50g水中加入50g的糖，搅拌溶解，则糖含量为______； （2）为了使（1）中的糖水的糖含量达到60%，小明采取的方法是继续往糖水中加入糖，小华采取的方法是用酒精灯加热蒸发水分．请选择其中一种方法计算加入糖的重量或蒸发的水分重量（精确到0.1g）； （3）在（1）中的糖水中继续加入tg糖，搅拌溶解，设此时的糖含量为y． ①y与t之间的函数表达式为______； ②根据实际经验，在未饱和状态下，糖水中加入的糖越多，糖含量越高，用数学的语言可以描述为______． 【答案】（1）50% （2）加入25g糖能使糖的含量达到60%；蒸发水分约为16.7g能使糖的含量达到60%； （3）①；②y随着t的增大而增大． 【解析】 【分析】（1）直接利用糖的质量除以糖水的质量得出答案； （2）选择小明采取的方法是继续往糖水中加入糖，设所加的糖为xg，列出分式方程求解；若选择小华采取用酒精灯加热蒸发水分的方法：设蒸发水分为x g，列出分式方程求解； （3）①根据糖重量÷（糖的重量+水的重量）=糖的含量来列函数表达式； ②根据加入的糖越多，糖含量越高解答即可． 【小问1详解】 解：． 故答案为：50%； 【小问2详解】 解：选择小明采取的方法是继续往糖水中加入糖， 设所加的糖为xg， 根据题意得， 解得（g）， 经检验是原方程的解， 所以所加的糖为25g． 答：加入25g糖能使糖的含量达到60%； 若选择小华采取用酒精灯加热蒸发水分的方法： 设蒸发水分为x g， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 所以（g）． 答：蒸发水分约为16.7g能使糖的含量达到60%； 【小问3详解】 解：①根据题意得， 故答案为：； ②根据实际经验，在未饱和状态下，糖水中加入的糖越多，糖含量越高，用数学的语言可以描述为：y随着t的增大而增大． 故答案为：y随着t的增大而增大． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，列函数关系式，理解糖的重量÷（糖的重量+水的重量）=糖的含量是解答关键． 25. 如图1，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点． （1）直接填写：k=___________；m=___________；n=___________； （2）设直线交y轴于点C，点是x轴正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图像于点M，连接．若，求t的取值范围． （3）如图2，将一次函数的图像向下平移后，与反比例函数的图像在第二象限的交点为点D，与x轴负半轴交于点E，y轴上一点P的纵坐标为4，且，求点D的坐标． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据得到面积的关系式，利用列不等式求出t的取值范围． （3）过点P作于点F，由平移设直线的解析式为，得到，进而得到直线的解析式为，求出交点F的坐标，设，由此得到，表示出点D的坐标，根据点D在上，求出即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴， 将点代入，得， 解得， ∴， 将，代入，得 ，解得， 故答案为：，，2； 【小问2详解】 ∵直线交y轴于点C， ∴点， ∵点，轴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 过点P作于点F， ∵将一次函数的图像向下平移后得到直线， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴直线过点， ∴直线的解析式为， 由，解得， ∴， ∵，， ∴， 设， 则有，解得， ∴， ∵点D在上， ∴， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数相交问题，待定系数法求函数解析式，等腰三角形三线合一的性质，一次函数图像的平移，综合掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$