正比例的意义（教案）2023-2024学年六年级下册数学苏教版

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 六年级 学期 秋季 课题 正比例的意义 教科书 书 名：苏教版教材 出版社：江苏凤凰教育出版社 教学目标 1. 学生结合真实情境，借助具体实例感知相关联的量，初步理解正比例的意义，能正确判断 两种相关联的量是否成正比例关系。 2. 学生通过认识成正比列的量的探究过程，能从日常生活现象中抽象出数学知识，找出生活 中成正比例的量的实例；初步体会量的“变与不变” ，感受用数学模型表示特定数量关系， 揭示变化规律，发展数学思维能力。 3. 学生经历数学探究的学习过程，进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强从生活现象 中探索数学知识和规律的意识，培养积极参与数学学习的良好习惯，提升对数学学习的兴趣。 教学重难点 教学重点： 理解正比例的意义，能结合具体实例判断两种相关联的量是否成正比例关系。 教学难点： 在认识成正比例的量的过程中，发现两种成正比例的量的变化规律，体会“变与不变”的 数学思想，理解用数学模型表示特定的数量关系与变化规律。 教学过程 一、观察生活，感知变量 1.视频呈现加油时加油机变化现象。 学科网（北京）股份有限公司 学生观察加油时加油机变化的现象，初步感知油量和金额之间变化规律。 预设： 生 A:油量增加导致金额也在增加。 生 B:汽油的单价不变。 2.通过交流，学生明确：金额是随着油量的变化而变化的，像这样相依互变的关系的两 种量，我们就叫作两种"相关联的量"。 【设计说明：正比例是刻画某一现实背景中两种相关联的量的变化规律的数学模型，从 常量到变量，是学生认知过程中一次重大飞跃。联系学生生活实际，从具体情境切入，既可 以锻炼学生用数学的眼光观察现实世界的意识，又可以增强学生自主学习的兴趣和信心。加 之视频动态直观呈现两种相依互变的量，学生对变量有了充分感知。】 二、情境联结，探究规律 1．感知规律。 出示这辆汽车加油时，油量和金额实时数据如下表： 油量/升 10 20 30 40 50 … 金额/元 85.2 170.4 255.6 340.8 … 学生观察、比较表中的数据，发现汽车加油时金额随着油量的变化而变化的过程中，存 在不变的量。进一步体会汽车加油时金额和油量之间的变化关系。 学生独立思考，尝试填写完整表格，再交流。 预设: 生 A:发现金额其实就是加油的总价，油量就是加油的数量。 生 B:根据总价÷数量=单价 ，可以列出 85.2 ÷ 10=8.52 、 170.4÷20=8.52 、255.6 ÷ 30=8.52、340.8÷40=8.52…… 生 C：汽油的单价是不变的。 从而算出：8.52×50＝426 (元) 学生由此发现汽车加油过程中数量和总价的变化存在一定的规律，进而产生进一步深入 探究的想法。 学生大胆自主尝试探究。 启发学生:写出几组相对应的总价和数量间的比，并求出比值，看能发现什么? 学生写出几组相对应的总价和数量的比，并求出比值。 预设学生发现： 生A: = 8.52、 =8.52、 =8.52、 = 8.52… … 交流明确这里的比值 8.52 表示汽油的单价。 生 B:总价比数量等于单价，汽车加油时的汽油单价是不变的。 由此学生可以发现总价、数量和单价之间的变化规律；进而启发学生尝试用一个数量关 系式来表示这样的规律。 预设学生用下面的式子来表示这三个量之间的关系： 生: 交流明确，总价比数量等于单价，这里的式子它表示的是汽油单价不变的情况下，总价 和数量之间的关系，所以这里的单价不变，我们也可以说单价是一定的。 回顾小结：通过刚才的观察和计算，我们对总价和数量有两个发现，第一，总价和数量 是两种相关联的量，数量变化总价也随着变化。第二，总价和相对应数量间的比的比值总是 一定，也就是单价一定时，我们就可以说总价和数量成正比例关系，总价和数量是成正比例 的量，揭示正比例的意义。 【设计说明：提取真实数据，再利用表格呈现，学生通过观察和比较，联系已有的生活 经验进一步感知总价与数量两种相关联的量的变化规律的数学模型。学生借助表格，讨论数 量和总价是按什么样的变化规律变化的，并对学生可能出现的情况充分预设，提出不同的学 习预案，既为学生自主发现总价和数量的比的比值不变的规律提供足够空间，凸显了学生的 主体地位，又突出了本课的教学重点，使每一个学生都能在观察、比较、分析、归纳等具体 活动中经历由浅入深、 由表及里的学习过程，从而获得对正比例意义的充分感知。在揭示出 文字表达式后，让学生交流理解这里的“一定”表示的含义，并结合文字表达式说一说两种 量的变化规律，促使学生对已经积累的感性认知进行抽象和概括，为进一步理解正比例的意 义做好准备】 2．理解规律。 (1) 交流生活中活中除了加油，和汽车相关的行程问题中也存在这样的变化现象：一辆 汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表： 时间/时 1 2 3 4 5 … 路程/千米 80 160 240 320 400 480 560 … 观察表格，让学生说一说自己的发现。联系这辆汽车的行驶过程，体会表中行驶时间和 路程之间有什么关系? 预设：行驶的路程随着时间的变化而变化，行驶的时间越长，行驶的路程越多，行驶的 时间越短，行驶的路程也就越少了。 明确：时间和路程是两个相关联的量，行驶时间增加，路程也随着增加；反过来，时间 减少，路程也随着减少。两个量是正向变化的。 进一步仔细观察、比较表中的数据，尝试填写完整表格。 写一写：把表格填写完整，并写出几组相对的路程和速度的比并求出比值。 预设情况如下： 生 A：知道时间要求路程，我们还得知道速度是多少，结合表中数据，根据速度等于路 程除以时间，可以发现， = 80、 = 80、 = 80、 = 80…… 。相对应的路程比 时间的比值不变。 生 B：这里的比值 80 表示速度；速度一定，根据路程÷速度＝ 时间，即可算出： 480÷ 8＝6 560÷80=7 ；这里汽车行驶的路程随着时间的变化而变化，他们是两种相关联的量。 (2) 学生尝试完整说说路程、时间和速度的变化情况。 明确：时间和路程是两个相关联的量，时间变化，路程也随着变化，路程和时间的比值 不变，即行驶速度是一定。 学生独立尝试用一个式子来表示路程、时间、速度这三个量的关系。 交流： 学生通过前面的交流明确：汽车行驶的路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程 也随着变化；它们的比值也是一定，所以辆汽车行驶的路程和时间成正比例关系。 【设计说明：情境联结，让学生继续结合具体情境进一步感知成正比例的量的特点，积 累对成正比例的量的感性认知，为理解正比例的意义提供更丰富的感性经验。】 三、对比归纳， 内化认知 师生共同回顾刚才的学习过程。观察这两个成正比例关系的实际例子： 交流探讨成正比例的量的共同的特点。 发现：这两个实例中都存在两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。还可 以发现，两种量相对应的两个数的比的比值总是一定的，都成正比例。 如果用 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，正比例的关系就可以用下 面的关系式来表示： =k ( 一定) 讨论：k 可以是 0 吗? 预设情况如下： 生：k 如果为 0，根据比的后项不能为 0 (即 x≠0) ，那么 y 就是 0，y 就是一定的，不 再是变化的量，不符合 y 和x 是两种相关联的量，x 变化，y 也随着变化；所以k≠0； 明确可以对字母表达式进行补充： =k ( 一定) ，且 k≠0； 学生尝试举例说一说生活中成正比例的量的实际例子，从日常生活现象中抽象出数学知 识，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。 预设： 生 A：打字速度一定时，打字时间与总字数成正比例。 生 B：一块布的总长度一定时，用去的米数和剩余的米数成正比例? 生 C：正方形的周长和边长成正比例，正方形的面积和边长也成正比例? 【设计说明：师生共同回顾真实情境中的两个具体实例学习过程，说一说成正比例的量 有什么共同特点，并在充分交流的基础上，通过抽象和概括得到正比例关系的字母表达式， 既可以促使学生主动把已经积累的感性经验上升为理性认知，获得对正比例意义的准确把握， 又有利于学生初步感悟数学抽象的过程与方法，体验符号化的思想，发展数学思考，培养符 号和模型意识。】 四、应用迁移，回归生活 1.针对“真”正比例实例进行举例说明。 预设：打字速度一定时，打字时间与总字数成正比例。 2.针对“假”正比例的实例进行验证。 实例如：一块布的总米数一定时，用去的米数和剩余的米数成正比例吗? 分析：用去的米数+剩余的米数=总米数 ( 一定) ，虽然用去的米数和剩余的米数是两 种相关联的量，但它们是和一定，不成正比例关系。 学生明确后，追问:要判断两种相关联的量是不是成正比例，一般要按什么步骤进行? 预设情况如下： 生：首先必须是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。其次，两种相 关联的量它们的比值总是一定的，那它们就是成正比例关系。 3.关于“像”正比例关系的实例验证。 正方形的边长/cm 1 2 3 4 … n 正方形的边长/cm 正方形的面积/cm² 出示题目后，出示题中的表格，让学生独立填表并比较填出的数据，说一说正方形的周 长和边长是按什么规律变化的，它们是否成正比例;正方形的面积和边长是怎样变化的，它们 是否成正比例。 小结:正方形的周长和边长、面积和边长是两组相关联的量，为什么正方形的周长和边长 成正比例关系，而面积和边长不成正比例关系? 【设计说明：紧紧围绕本节课的教学重点和难点，学生从生活中找出成正比例的量的实例， 再结合实例有层次、有针对性的练习，既有利于学生进一步加深对正比例的意义的理解，掌 握判断两种量是否成正比例关系的过程与方法，又有利于学生初步体会变量的特点，感悟函 数的思想，发展用数学的语言表达的能力】 五、回顾总结，感悟提升 谈话：这节课我们学习了什么?怎样判断两种相关联的量是不是成正比例关系?回顾探究 的过程你有哪些体会? 学生回顾今天这节课的学习，通过生活实例认识了相关联的量，借助更多的生活实例， 观察、分析、研究数据，体会了数量之间的联系和变化规律，认识了成正比例的量，理解了 正比例的意义，还能学以致用，突破了判断两种相关联的量否成正比例关键方法。 $$