2.5.3 直线与圆的位置关系 同步练习 2024-2025学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级上册《2.5.3 直线与圆的位置关系》同步练习卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 的内切圆和各边分别相切于，，，则是的 A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【知识点】 三角形的外接圆与外心三角形的内切圆与内心 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的内心与外心的性质；三角形的内心：三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等；三角形的外心：三边中垂线的交点，到三角形三个顶点的距离相等．由题意知点是的内心，和各边分别相切于，，，因此，所以点也是的外心，而外心是三角形三边中垂线的交点，由此得解．【解答】解：是的内切圆，且和各边分别相切于，，，，点是的外心，是三边垂直平分线的交点；故选 试题ID:  771655b7-1586-4bbe-afe4-3f1825283f0d 2. 已知的内心为，则下列说法错误的是 A. B. 在的内部 C. 为三个内角平分线的交点 D. 到三边距离相等 【知识点】 圆周角定理角平分线的性质三角形的内切圆与内心 【解析】 解：三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．三角形内心到三角形三条边的距离相等．A.三角形内心到三角形三条边的距离相等，并不是到三个顶点的距离相等，故符合题意；B.三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，所以在的内部，故不符合题意；C.三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，故不符合题意；D.三角形内心到三角形三条边的距离相等，故不符合题意．故选：根据三角形的内心的概念可得出答案．考查了三角形的内切圆和内心，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 试题ID:  769df615-d197-4c61-a89d-7ad1b6fa5ae3 3. 直角三角形的外接圆半径为，内切圆半径为，则该直角三角形的周长是 A. B. C. D. 【知识点】 勾股定理三角形的外接圆与外心三角形的内切圆与内心 【解析】 解：如图，设切于，切于，切于，连接，，，则，，四边形是正方形，，由切线长定理得：，，，直角三角形的外接圆半径为，内切圆半径为，，即的周长是，故选：切于，切于，切于，连接，，，得出正方形推出，根据切线长定理得出，，，求出，即可求出答案．本题考查了直角三角形的外接圆与外心，内切圆与内心，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用． 试题ID:  8617b68f-64a7-4455-a552-0c554a69b2c2 4. 如图，点是的内心，若，则等于 A. B. C. D. 【知识点】 三角形内角和定理三角形的内切圆与内心 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理和内心的定义，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，根据内心的概念得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：，，点是的内心，，，，，故选 试题ID:  99f5378d-824a-4aa7-9d81-ed8310ec4b26 5. 正三角形内切圆的半径为，则此正三角形的边长是 A. B. C. D. 【知识点】 等边三角形的性质三角形的内切圆与内心 【解析】 解：过点作，则是的内心，；中，，，，故选：已知内切圆半径，可过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解．本题主要考查等边三角形的性质、三角形内切圆的性质，关键在于作辅助线构建直角三角形． 试题ID:  78695913-ae4d-4b23-8dee-0eb6bf35d05f 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾短直角边长为步，股长直角边长为步，问该直角三角形能容纳的圆形内切圆直径是多少？” A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 【知识点】 切线长定理三角形的内切圆与内心勾股定理 【解析】 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心和三角形的切线长定理.如图，，三边长为的对边，的对边，斜边，其内切圆半径为，连接，，，易证四边形为正方形，根据勾股定理求出直角三角形的斜边，由切线长定理可得，，则，解出，即可确定出内切圆半径，进而解决问题．【解答】解：按如图所示标记三角形，，三边长为的对边，的对边，斜边，其内切圆半径为，根据勾股定理得：斜边为，连接，，，易证四边形为正方形，由切线长定理可得，，则，解出，则该直角三角形能容纳的圆形内切圆半径步，即直径为步，故选： 试题ID:  190a4abb-169e-4d9d-ac84-2bfa5e02d371 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 7. 与三角形的各边都 ______ 的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心是 ______ 的交点，叫做三角形的 ______ . 【知识点】 三角形的内切圆与内心 【解析】 解：与三角形的各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．故答案为：相切；三角形三条角平分线；内心．运用三角形的内切圆的定义即可得到第一空；再运用角平分线的性质以及三角形角平分线的交点即可得到后两空．本题主要考查了三角形的内切圆，掌握三角形的内切圆的定义是解决此题的关键． 试题ID:  d5d13e65-9e08-41a8-bbe5-aca68039778e 8. 在中，，若为的外心，______ ；若为的内心，______ . 【知识点】 三角形的外接圆与外心三角形的内切圆与内心 【解析】 解：的内心为，，，，为的外心，故答案为：，直接利用三角形内心即角平分线的交点，外心是外接圆圆心，进而得出答案．本题考查了圆周角定理，三角形的内切圆和外接圆的应用，注意：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，正确把握内心、外心的定义是解题关键． 试题ID:  93fe39e2-2084-43aa-b9b1-1db9e4fffa0e 9. 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，则的周长为______. 【知识点】 切线的性质三角形的内切圆与内心 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：的内切圆与、、分别相切于点、、，，，，，的周长，故答案为 试题ID:  9e21dc1a-31d8-4258-809b-ea8cefb9198f 10. 直角三角形的两条直角边分别是和，则它的内切圆半径为__________. 【知识点】 三角形的内切圆与内心 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为其中、为直角边，为斜边先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为其中、为直角边，为斜边求解．【解答】解：根据勾股定理，可得直角三角形的斜边，所以它的内切圆半径故答案为 试题ID:  11496492-da39-4027-8f0e-be92e0116c8b 11. 若点是的外心，且，则的度数为 ______ . 【知识点】 三角形的外接圆与外心 【解析】 解：①如图，当在内部时，，②如图，当在外部时，在优弧上取一点，连接，，则，四边形为圆内接四边形，，故答案为：或根据题意，画出草图，根据在内部和在外部，分两类讨论，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解决．本题是关于三角形外接圆与外心的题目，要注意分类讨论，即根据在三角形内部和在三角形外部分两类讨论． 试题ID:  bec4094c-cc2d-48c2-ac60-7fcfe6ca2031 12. 已知是直角三角形的内心，，，，则线段的长为 ______ . 【知识点】 勾股定理三角形的内切圆与内心 【解析】 解：作于点，作于点，作于，连接、、如图所示：设，则，，，，由勾股定理得：，根据三角形的面积公式得：，，即：，解得：则，是直角三角形的内心，，；故答案为：作于点，作于，作于，连接、、，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式得出，代入求出，由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得出的长．本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能得出是解此题的关键． 试题ID:  3b376921-4729-4f3e-9604-6f81161091a4 13. 如图，四边形内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，若，则______ 【知识点】 切线的性质圆周角定理圆内接四边形的性质 【解析】 解：连接，是的切线，，，，，，，，故答案为：连接，根据切线的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论．本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 试题ID:  f7cb4077-d10f-45c3-8d50-b1867f7850ff 14. 已知一个三角形的三边长分别为、、，则其内切圆的半径为 ______ . 【知识点】 三角形的内切圆与内心 【解析】 解：如图，于，，，，设，，则，，①，，②①②得，，，设三角形内切圆的半径为，根据题意得，解得，即三角形内切圆的半径为故答案为：如图，于，设，，则，利用勾股定理得到，，求出，设三角形内切圆的半径为，根据题意得，然后解关于的方程即可．本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．接着三角形面积公式为三角形周长，为三角形内切圆半径 试题ID:  ea9a8935-67a3-4ad6-b0fd-d8d18a12dab2 三、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 如图，点是的内心，的延长线交的外接圆于求证： 【知识点】 三角形的外接圆与外心三角形的内切圆与内心 【解析】 本题考查了三角形的外接圆与内心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆周角定理得到连接，根据点是的内心，可得，，然后证明，即可得到结论． 试题ID:  2d15fbb2-0df2-4a2d-b066-0392b3577679 16. 如图，以为直径的经过点，为的切线，是上一点，以为圆心，长为半径作圆交于点，连接，且 求证：是的切线．                                                                                                   【知识点】 切线的判定与性质 【解析】 连结、根据全等三角形的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 试题ID:  2d8ea269-9e70-4361-98c0-de304a5f6764 17. 在中，已知，， 如图，若半径为的是的内切圆，求的值； 如图，若半径为的两个等圆，外切，且与，相切，与，相切， 求的值. 【知识点】 相切两圆的性质切线的性质三角形的内切圆与内心 【解析】 根据切线的性质以及正方形的判定得出四边形是正方形，进而得出，再利用切线长定理求出即可；在中，根据，，求出的值，可得，同理可得：，进而得出，，，即可求出此题主要考查了相切两圆的性质，三角形内切圆与内心，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 试题ID:  9bbf1de4-fadb-4dba-b80e-823b0f428d2f 18. 阅读材料：如图，的周长为，内切圆的半径为，连结、、，被划分为三个小三角形，用表示的面积． 又，， 可作为三角形内切圆半径公式 理解与应用：利用公式计算边长分为、、的三角形内切圆半径； 类比与推理：若四边形存在内切圆与各边都相切的圆，如图且面积为，各边长分别为、、、，试推导四边形的内切圆半径公式； 拓展与延伸：若一个边形为不小于的整数存在内切圆，且面积为，各边长分别为、、、…、，合理猜想其内切圆半径公式不需说明理由 【知识点】 三角形的内切圆与内心圆的综合 【解析】 根据上述三角形的内切圆的半径公式，由已知条件，结合勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形．可以首先求得其面积与周长，再根据其公式代入计算；同样连接圆心和四边形的各个顶点以及圆心和各切点，根据四边形的面积等于四个三角形的面积进行计算；根据上述方法和结论，即可猜想到：任意多边形的内切圆的半径等于其面积的倍除以多边形的周长．此题属于圆的综合题．考查了内切圆的性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积问题．注意把边形分成个三角形进行计算是关键． 试题ID:  9767fddd-c2ae-4b98-be7b-37246835e72d 学科网（北京）股份有限公司 $$