第二单元位置与方向（二）·思维素养篇【从课内到奥数】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 11 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8月 13 日 2 / 11 目 录 【课内精选一】确定物体的位置。 ........................................................................................ 3 【课内精选二】数对与位置。 ................................................................................................ 4 【课内精选三】描述并绘制路线图。 .................................................................................... 5 【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。 ........................................................................ 6 【奥数拓展二】数对与位置综合应用。 ................................................................................ 7 【奥数拓展三】描述并绘制路线图。 .................................................................................... 8 【奥数拓展四】数列与位置。 ................................................................................................ 9 【奥数拓展五】方格游戏。 .................................................................................................. 10 3 / 11 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元位置与方向（二）·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】确定物体的位置。 看图，填一填。以学校为观测点。 (1)小青家在学校( )方向( )米处。 (2)小华家在学校( )偏( )( )°的方向上。 (3)商店在学校( )方向( )米处。 (4)小红家在学校( )偏( )( )°的方向上。 (5)汽车站在学校( )方向( )米处。 【专项训练】 量一量，填一填。 4 / 11 (1)野生动物馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是 ( )米。 (2)鸟岛在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是 ( )米。 (3)表演区在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是 ( )米。 (4)海洋馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是 ( )米。 【课内精选二】数对与位置。 看一看，填一填。 (1)用数对表示体育中心的位置是( )。 (2)以植物园为观测点，学校在植物园的( )面；以图书馆为观测点，剧院 在( )方向上。 5 / 11 【专项训练】 (1)小亮的位置用数对表示为( )，数对（y，4）表示的位置可能是( )， 也可能是( )。 (2)小强在小明( )偏( )( )方向上。小明在小亮( ) 偏( )( )方向上。 【课内精选三】描述并绘制路线图。 一辆客车从起点站向东偏北 30°方向行驶 6千米，再向正东方向行驶 4千米到达 终点站。 ①根据上面的描述，把客车行驶的路线补充完整。 ②根据路线图，说说客车沿原路返回时所行驶的方向和路程。 【专项训练】 操作。 6 / 11 （1）一辆汽车从起点出发，先向( )偏( )( )°方向行驶 ( )千米到达 A站。 （2）到达 A站后，再向正西方向行驶 2千米到达 B站，最后向西偏北 40°方向 行驶 4千米到达终点站。请在图中标出 B站与终点站的位置。 【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。 图中三角形 ABC是等腰三角形。已知∠2＝40°，AC＝BC。点 B在点 C的 ( )方向上，点 A在点 C的东偏北( )°方向上。 【专项训练】 已知下图中每个方格的边长是 1厘米，三角形 ABC是一个等边三角形，那么， 点 C在点 A的( )偏( ) ( )°方向( )厘米处。 7 / 11 【奥数拓展二】数对与位置综合应用。 看图填空。 （1）如果 A点的位置用数对（1，2）表示，那么 B点的位置可用数对( ) 表示。 （2）如果一个小正方形的对角线长 10米，点 C在点 B的南偏东 45度方向 20 米处，请在图上标出 C点；点 D在 A点的东偏南 45度方向 20米处，请在图上 标出 D点。 （3）连接 ABCD四点，再画出将四边形 ABCD向右平移 3格后的图形。 【专项训练】 曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了 10×10的方格用以研究有关图形的数学 问题，假定一个方格的对角线长代表 10m，所研究的点都是网格的交点。 （1）点（0，0）北偏东 45°方向 30m是点 A，它的位置用数对表示是( )。 （2）点 A北偏西 45方向 20m是点 B，点 B北偏东 45°方向 20m是点 C，点 C 8 / 11 南偏东 45°方向 20m是点 D。用 A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形， 它的面积是多少？ （3）请你设计不同于点 D的另一个点 E使得以 A、B、C、E为端点的线段围成 四边形的面积与第（2）题用 A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积 相等。点 E可以有不同的设计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点 E：( )、( )、( )、( )。 【奥数拓展三】描述并绘制路线图。 如图是芳芳每天从家到学校的路线图。 （1）根据路线图把表格中的数据补充完整。 路线 方向 路程 时间 家→超市 5分钟 超市→医院 10分钟 医院→学校 9分钟 （2）芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？ 9 / 11 【专项训练】 小华从家出发，先向东走 200米到达 A地，再向东偏北 45°方向行 500米到达 B 地，最后向西偏北 30°方向行 300米到达终点 C地。 （1）根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。 （2）如果从终点 C原路返回家里用了 12分 30秒，那么他返回时每分钟行多少 米？ 【奥数拓展四】数列与位置。 已知数列 1 3， 1 15 ， 1 63…，则第 10个数是( )。 【专项训练】 1．找规律 4 3 、1、10 11 、 13 15、 16 19 、…，这串数中第 7个数是( )。 2．一列分数： 1 2、 1 3、 2 3 、 1 4、 2 4、 3 4 、 1 5…，按规律， 7 8 是这列分数中的第( ) 个。 3．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据 9 16 25 365 12 21 32 、 、 、 ，……中得到巴尔末公式， 从而打开了光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第 5个数是( )，第 8个 数是( )。 10 / 11 【奥数拓展五】方格游戏。 “扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下： ①图中阴影部分是雷区，共有 10个雷； ②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。 例如：左图中标有“★”的方格周围有 8个方格（标数的方格）。 请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标○，不是雷的标×） 【专项训练】 1．如图，每个小方块周围最多有 8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明 的雷区，其中每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小 方块周围的雷数。图中共有( )个雷。 11 / 11 2．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格 里共有几张笑脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画“○”，其他画“×”） 3．乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下： （1）图中共有 6个宝物； （2）数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量； （3）数字所在的方格内没有宝物。 请仿照图 1，在图 2中画出宝物。（宝物用○表示） 图 1 图 2 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月13日 目 录 【课内精选一】确定物体的位置。 3 【课内精选二】数对与位置。 4 【课内精选三】描述并绘制路线图。 5 【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。 6 【奥数拓展二】数对与位置综合应用。 7 【奥数拓展三】描述并绘制路线图。 8 【奥数拓展四】数列与位置。 9 【奥数拓展五】方格游戏。 10 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元位置与方向（二）·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】确定物体的位置。 看图，填一填。以学校为观测点。 (1)小青家在学校( )方向( )米处。 (2)小华家在学校( )偏( )( )°的方向上。 (3)商店在学校( )方向( )米处。 (4)小红家在学校( )偏( )( )°的方向上。 (5)汽车站在学校( )方向( )米处。 【专项训练】 量一量，填一填。 (1)野生动物馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。 (2)鸟岛在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。 (3)表演区在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。 (4)海洋馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。 【课内精选二】数对与位置。 看一看，填一填。 (1)用数对表示体育中心的位置是( )。 (2)以植物园为观测点，学校在植物园的( )面；以图书馆为观测点，剧院在( )方向上。 【专项训练】 (1)小亮的位置用数对表示为( )，数对（y，4）表示的位置可能是( )，也可能是( )。 (2)小强在小明( )偏( )( )方向上。小明在小亮( )偏( )( )方向上。 【课内精选三】描述并绘制路线图。 一辆客车从起点站向东偏北30°方向行驶6千米，再向正东方向行驶4千米到达终点站。 ①根据上面的描述，把客车行驶的路线补充完整。 ②根据路线图，说说客车沿原路返回时所行驶的方向和路程。 【专项训练】 操作。 （1）一辆汽车从起点出发，先向( )偏( )( )°方向行驶( )千米到达A站。 （2）到达A站后，再向正西方向行驶2千米到达B站，最后向西偏北40°方向行驶4千米到达终点站。请在图中标出B站与终点站的位置。 【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。 图中三角形ABC是等腰三角形。已知∠2＝40°，AC＝BC。点B在点C的( )方向上，点A在点C的东偏北( )°方向上。    【专项训练】 已知下图中每个方格的边长是1厘米，三角形ABC是一个等边三角形，那么，点C在点A的( )偏( ) ( )°方向( )厘米处。    【奥数拓展二】数对与位置综合应用。 看图填空。   （1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对( )表示。     （2）如果一个小正方形的对角线长10米，点C在点B的南偏东45度方向20米处，请在图上标出C点；点D在A点的东偏南45度方向20米处，请在图上标出D点。     （3）连接ABCD四点，再画出将四边形ABCD向右平移3格后的图形。 【专项训练】 曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了10×10的方格用以研究有关图形的数学问题，假定一个方格的对角线长代表10m，所研究的点都是网格的交点。 （1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是( )。 （2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是多少？ （3）请你设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的设计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点E：( )、( )、( )、( )。 【奥数拓展三】描述并绘制路线图。 如图是芳芳每天从家到学校的路线图。 （1）根据路线图把表格中的数据补充完整。 路线 方向 路程 时间 家→超市 5分钟 超市→医院 10分钟 医院→学校 9分钟 （2）芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？ 【专项训练】 小华从家出发，先向东走200米到达A地，再向东偏北45°方向行500米到达B地，最后向西偏北30°方向行300米到达终点C地。 （1）根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。 （2）如果从终点C原路返回家里用了12分30秒，那么他返回时每分钟行多少米？ 【奥数拓展四】数列与位置。 已知数列，，…，则第10个数是( )。 【专项训练】 1．找规律、1、、、、…，这串数中第7个数是( )。 2．一列分数： 、、、、、、…，按规律，是这列分数中的第( )个。 3．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第5个数是( )，第8个数是( )。 【奥数拓展五】方格游戏。 “扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下： ①图中阴影部分是雷区，共有10个雷； ②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。 例如：左图中标有“★”的方格周围有8个方格（标数的方格）。 请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标○，不是雷的标×） 【专项训练】 1．如图，每个小方块周围最多有8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数。图中共有( )个雷。 2．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画“○”，其他画“×”） 3．乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下： （1）图中共有6个宝物； （2）数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量； （3）数字所在的方格内没有宝物。 请仿照图1，在图2中画出宝物。（宝物用○表示） 图1                                   图2 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月13日 目 录 【课内精选一】确定物体的位置。 3 【课内精选二】数对与位置。 5 【课内精选三】描述并绘制路线图。 7 【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。 9 【奥数拓展二】数对与位置综合应用。 11 【奥数拓展三】描述并绘制路线图。 14 【奥数拓展四】数列与位置。 17 【奥数拓展五】方格游戏。 20 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元位置与方向（二）·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】确定物体的位置。 看图，填一填。以学校为观测点。 (1)小青家在学校( )方向( )米处。 (2)小华家在学校( )偏( )( )°的方向上。 (3)商店在学校( )方向( )米处。 (4)小红家在学校( )偏( )( )°的方向上。 (5)汽车站在学校( )方向( )米处。 【答案】(1) 正东 1000 (2) 东 北 34 (3) 正北 800 (4) 西 北 34 (5) 正西 600 【分析】确定物体位置的三大要素是：方向、角度、距离，同时根据图上的方向：上北下南、左西右东，以及角度和距离就可以确定方位； 同时通过对图的观察，图上一格代表实际距离200米，用图上的的格子数量乘200即可得到去每个地方的实际距离。 【详解】（1）小青家距离学校有5格，即：5×200＝1000（米） 小青家在学校正东方向1000米处。 （2）小华家在学校东偏北34°的方向上。 90°－34°＝56° 还可以说小华家在学校北偏东56米。（共两种答案） （3）商店距离4格学校，即：4×200＝800（米） 商店在学校正北方向800米处。 （4）小红家在学校西偏北34°的方向上。 或者：90°－34°＝56°， 还可以说小红家在学校北偏西56°的方向上。（共两种答案） （5）汽车距离学校有3个格子，即：3×200＝600（米） 汽车站在学校正西方向600米处。 【点睛】本题主要考查方向的辨别，明确判定物体位置的三要素是解答本题的关键。 【专项训练】 量一量，填一填。 (1)野生动物馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。 (2)鸟岛在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。 (3)表演区在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。 (4)海洋馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。 【答案】(1) 东 北 40 100 (2) 北 西 45 200 (3) 西 南 25° 100 (4) 东 南 35 200 【分析】观察图形可知，图上1格表示50米，则野生动物馆到售票亭的距离为2×50＝100米；鸟岛到售票亭的距离为4×50＝200米；表演区到售票亭的距离为2×50＝100米；海洋馆到售票亭的距离为4×50＝200米；再根据“上北下南，左西右东”及测量出的角度填空即可。 【详解】（1）2×50＝100（米） 野生动物馆在售票亭的东偏北40°（北偏东60°）的方向上，距离是100米。 （2）4×50＝200（米） 鸟岛在售票亭的北偏西45°（西偏北45°）的方向上，距离是200米。 （3）2×50＝100（米） 表演区在售票亭的西偏南25°（南偏西75°）的方向上，距离是100米。 （4）4×50＝200（米） 海洋馆在售票亭的东偏南35°（南偏东55°）的方向上，距离是200米。 【点睛】本题考查方向和位置，明确“上北下南，左西右东”及测量出的角度是解题的关键。 【课内精选二】数对与位置。 看一看，填一填。 (1)用数对表示体育中心的位置是( )。 (2)以植物园为观测点，学校在植物园的( )面；以图书馆为观测点，剧院在( )方向上。 【答案】(1)（1，4） (2) 南 南偏东 【分析】（1）根据利用数对表示物体位置的方法，用数对表示物体的位置时，列数在前，行数在后； （2）根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，先以学校为观测点，确定出植物园的位置；再以图书馆为观测点，确定出剧院的位置。 【详解】（1）用数对表示体育中心的位置是（1，4）。 （2）90°－37°＝53° 以植物园为观测点，学校在植物园的南面；以图书馆为观测点，剧院在南偏东37°（东偏南53°）方向上。 【专项训练】 (1)小亮的位置用数对表示为( )，数对（y，4）表示的位置可能是( )，也可能是( )。 (2)小强在小明( )偏( )( )方向上。小明在小亮( )偏( )( )方向上。 【答案】(1) （5，2） 小明 小红 (2) 北 东 60° 北 西 45° 【分析】（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。据此解答。 （2）明确观测点后，根据地图“上北下南，左西右东”的规定，结合夹角进行描述。 【详解】（1）小亮的位置用数对表示为（5，2）；数对（y，4）表示的位置是第y列第4行，可能是小明，也可能是小红。 （2）小强在小明北偏东60°方向上。小明在小亮北偏西45°方向上。 【课内精选三】描述并绘制路线图。 一辆客车从起点站向东偏北30°方向行驶6千米，再向正东方向行驶4千米到达终点站。 ①根据上面的描述，把客车行驶的路线补充完整。 ②根据路线图，说说客车沿原路返回时所行驶的方向和路程。 【答案】①见详解 ②见详解 【分析】①以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离2千米。 在客车行驶到6千米处的正东方向上画4÷2＝2厘米长的线段，即是终点站。 ②根据位置的相对性，观测点不同，方向相反，夹角的度数相同；由此写出客车沿原路返回时所行驶的方向和路程。 【详解】①如图： ②一辆客车从终点站向正西方向行驶4千米，再向西偏南30°（或南偏西60°）方向行驶6千米到达起点站。 【专项训练】 操作。 （1）一辆汽车从起点出发，先向( )偏( )( )°方向行驶( )千米到达A站。 （2）到达A站后，再向正西方向行驶2千米到达B站，最后向西偏北40°方向行驶4千米到达终点站。请在图中标出B站与终点站的位置。 【答案】（1）西；南；30；3 （2）见详解 【分析】以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离1千米。 （1）从图中可知，起点站与A站相距3厘米，那么实际相距1×3＝3千米，根据图上的方向、角度和距离，描述出汽车从起点出发到A站的路线。 （2）以A站为观测点，在A站的正西方向上画2÷1＝2厘米长的线段，即是B站； 再以B站为观测点，在B站的西偏北40°方向上画4÷1＝4厘米长的线段，即是终点站； 据此在图中标出B站与终点站的位置。 【详解】（1）一辆汽车从起点出发，先向西偏南30°（或南偏西60°）方向行驶3千米到达A站。 （2）如图： 【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。 图中三角形ABC是等腰三角形。已知∠2＝40°，AC＝BC。点B在点C的( )方向上，点A在点C的东偏北( )°方向上。    【答案】 正西 80 【分析】以点C为观测点，根据“上北下南，左西右东”描述方向，则点B在点C的正西方向，等腰三角形中两个底角相等，根据三角形的内角和求出∠3的度数，∠3与∠4的和等于一个平角的度数，∠4＝180°－∠3，求出∠4的度数，即可求得。 【详解】三角形ABC中，∠1＝∠2＝40°，且三角形的内角和为180°。 180°－40°－40° ＝140°－40° ＝100° 180°－100°＝80° 所以，点B在点C的正西方向上，点A在点C的东偏北80°方向上。 【点睛】掌握等腰三角形的特征，并根据三角形的内角和与一个平角的度数求出∠4的度数是解答题目的关键。 【专项训练】 已知下图中每个方格的边长是1厘米，三角形ABC是一个等边三角形，那么，点C在点A的( )偏( ) ( )°方向( )厘米处。    【答案】 北 东 30 4 【分析】观察题意可知，AB长4厘米，根据等边三角形的特征，可知AC长也是4厘米，∠BAC是60°；根据平面图上方向的规定：上北下南，左西右东，以A点为观测点即可确定C点的方向；据此解答。 【详解】点C在点A的东偏北60°或北偏东30°方向4厘米处。 【点睛】此题主要考查依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法，明确等边三角形的特征是解答本题的关键。 【奥数拓展二】数对与位置综合应用。 看图填空。   （1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对( )表示。     （2）如果一个小正方形的对角线长10米，点C在点B的南偏东45度方向20米处，请在图上标出C点；点D在A点的东偏南45度方向20米处，请在图上标出D点。     （3）连接ABCD四点，再画出将四边形ABCD向右平移3格后的图形。 【答案】（1）（3，6） （2）（3）见详解 【分析】（1）用数对表示位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此分析； （2）弄清要标示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画图；注意各场所离中心点的距离，根据要求的比例画出相应的长度。 （3）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。 【详解】（1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对（3，6）表示。     （2） （3） 【点睛】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要知道平移的方向、平移的距离。 【专项训练】 曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了10×10的方格用以研究有关图形的数学问题，假定一个方格的对角线长代表10m，所研究的点都是网格的交点。 （1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是( )。 （2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是多少？ （3）请你设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的设计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点E：( )、( )、( )、( )。 【答案】图见详解； （1）（3，3） （2）1600m² （3）11；（5，2）、（5，3）、（5，6）、（5，8） 【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数、平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”、方格的对角线长代表10m，即可描出点A，并用数对表示它的位置。 （2）同理，分别以点A的位置为观测点即可描出点B的位置、以点B的位置为观测点即可描出点C的位置、以点C的位置为观测点即可描出点D的位置，然后再把A、B、C、D连结成一个封闭图形。连结成的封闭图形是一个正方形，其边长是（20×2）米，根据正方形的面积计算公式“S＝a2”即可求出它的面积。 （3）正方形ABCD看作是由三角形ABC与三角形ADC的面积之和，且三角形ABC与三角形ADC的面积相等。三角形ACD看作底为4格，高为2格三角形，当底不变，高是2格时，其面积也不会变，因此，第5列上的任一点为E，与AC组成的三角形面积都与三角形ADC的面积相等。这样四边形ABCE的面积就与正方形ABCD的面积相等。这样的点在本图上共有8个：（5，0）、（5，2）、（5，3）、5，4）、（5，6）、（5，7）、（5，8）、（5，10）。可以写出其中四个（答案不唯一）。 【详解】（1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是（3，3） （2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是： （20×2）² ＝40² ＝1600（m²） （3）设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的 设计，这样的点共有8个，写出其中的四个点E：（5，2）、（5，3）、（5，6）、（5，8）（答案不唯一）。 【点睛】此题考查的知识有：数对与位置、根据方向和距离确定物体的位置、正方形面积的计算、三角形面积的计算等。 【奥数拓展三】描述并绘制路线图。 如图是芳芳每天从家到学校的路线图。 （1）根据路线图把表格中的数据补充完整。 路线 方向 路程 时间 家→超市 5分钟 超市→医院 10分钟 医院→学校 9分钟 （2）芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？ 【答案】（1）见详解。 （2）960米；40米 【分析】（1）先以家参照点建立方向标，向东偏北60°（或北偏东30°）方向走200米到超市；再以超市为参照点建立方向标，向东走400米到医院；最后以医院为参照点建立方向标，向东偏南30°（或南偏东60°）方向走360米到学校。 （2）把家到超市、超市到医院、医院到学校这三段路程加起来，即200＋400＋360，可求出芳芳每天从家出发到学校走的米数；再用5＋10＋9求出芳芳从家出发到学校走的分钟数（24分钟）；最后根据路程÷时间＝速度，用芳芳每天从家出发到学校走的米数÷从家出发到学校走的分钟数，可求出平均每分钟走的米数。 【详解】（1）如下图： 路线 方向 路程 时间 家→超市 东偏北60°（或北偏东30°） 200米 5分钟 超市→医院 东 400米 10分钟 医院→学校 东偏南30°（或南偏东60°） 360米 9分钟 （2）200＋400＋360＝960（米） 960÷（5＋10＋9） ＝960÷24 ＝40（米） 答：芳芳每天从家出发到学校走960米，平均每分钟走40米。 【专项训练】 小华从家出发，先向东走200米到达A地，再向东偏北45°方向行500米到达B地，最后向西偏北30°方向行300米到达终点C地。 （1）根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。 （2）如果从终点C原路返回家里用了12分30秒，那么他返回时每分钟行多少米？ 【答案】（1）见详解 （2）80米 【分析】（1）以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离100米。 小华从家出发，在家的正东方向画（200÷100）厘米长的线段，即是A地； 在A地的东偏北45°方向上画（500÷100）厘米长的线段，即是B地； 在B地的西偏北30°方向上画（300÷100）厘米长的线段，即是C地。 （2）已知从终点C原路返回家里用了12分30秒，根据“1分＝60秒”可知，用时12.5分； 用加法求出从C地返回家的总路程，再根据“速度＝路程÷时间”，即可求出他返回时的速度。 【详解】（1）200÷100＝2（厘米） 500÷100＝5（厘米） 300÷100＝3（厘米） 如图： （2）12分30秒＝12.5分 （300＋500＋200）÷12.5 ＝1000÷12.5 ＝80（米） 答：他返回时每分钟行80米。 【奥数拓展四】数列与位置。 已知数列，，…，则第10个数是( )。 【答案】 【分析】通过观察可知，＝，＝，＝…，以此类推，第n个数是，据此解答。 【详解】根据分析可知，第10个数是 ＝ ＝ ＝ 【专项训练】 1．找规律、1、、、、…，这串数中第7个数是( )。 【答案】 【分析】根据、、可得相邻两个分数的分子之差为3，分母之差为4，又因为和的分子之差为6，分母之差为8，即两数之间应该是，＝1。所以这串数中第7个数应该是的分子加上3，分母加上4之后所得的数。 【详解】16＋3＝19 19＋4＝23 所以这串数中第7个数是。 2．一列分数： 、、、、、、…，按规律，是这列分数中的第( )个。 【答案】28 【分析】观察数列可知，分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，发现分母是n的分数有（n－1）个，分子从1到n－1依次排列，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，分母是5的分数有4个，分母是6的分数有5个，分母是7的分数有6个，分母是8的分数有7个； 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 ＝（1＋2＋7）＋（4＋6）＋（3＋5） ＝10＋10＋8 ＝20＋8 ＝28 则按规律，是这列分数中的第28个。 【点睛】本题考查数列的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 3．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第5个数是( )，第8个数是( )。 【答案】 【分析】根据题意可知，分子的规律依次是32、42、52、62⋯⋯分母的规律是：1×5、2×6、3×7、4×8⋯⋯；通过上述分子和分母的规律，可知，第几个数，分子就是这个数加2的平方，即（n＋2）2，分母可以写成两个数相乘，后面的数比前面的数多4，则第几个数，它的分母就是n（n＋4），由此即可解答。 【详解】当n＝5时， （n＋2）2 ＝（5＋2）2 ＝72 ＝49 n（n＋4） ＝5×（5＋4） ＝5×9 ＝45 即第5个数是； 当n＝8时， （n＋2）2 ＝（8＋2）2 ＝102 ＝100 n（n＋4） ＝8×（8＋4） ＝8×12 ＝96 即第8个数是。 【点睛】本题主要考查分数的变化规律，仔细的找到分子和分母的变化规律是解答的关键。 【奥数拓展五】方格游戏。 “扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下： ①图中阴影部分是雷区，共有10个雷； ②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。 例如：左图中标有“★”的方格周围有8个方格（标数的方格）。 请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标○，不是雷的标×） 【答案】见详解 【分析】根据题目规则，数字5周围的阴影部分都是雷，据此第四行的数字2周围已经有2个雷，所以这个数字2周围其他阴影部分都不是雷；第四行的数字3也已经有3个雷，所以这个数字3周围其他阴影部分都不是雷；第四行的数字3右边的数字1已经有1个雷，所以这个数字1周围其他阴影部分都不是雷；数字4已经有1个阴影部分不是雷，有3个是雷，说明还有1个是雷；第二行的数字3已经有3个雷，则这个数字3周围其他阴影部分不是雷；第六行第一个数字1，周围已经有2个不是雷，说明剩余1个阴影部分是雷；第七行第一个数字2，周围有2个雷；第七行第二个数字2已经有2个雷，说明剩余1个阴影部分不是雷；第六行第三个数字1有1个雷；第六行第二个数字1已经有1个雷，说明这个数字1周围其他阴影部分都不是雷；第五行第二个数字2已经有1个雷，2个不是雷，说明剩余1个是雷；第四行第二个数字2已经有2个雷，说明这个数字2周围其他地方都不是雷；据此作图。 【详解】如图所示： 【点睛】本题从数字一个个分析，能确定的地方先做好标记，是雷的标○，不是雷的标×，然后不能确定的地方根据做的标记进行分析即可。 【专项训练】 1．如图，每个小方块周围最多有8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数。图中共有( )个雷。 【答案】16 【解析】如图，用小红旗表示不是雷，依次进行分析，可以得到所有不是雷的方格，剩下的方格中都是雷，总共16个。 【详解】如图所示： 图中共有16个雷。 【点睛】本题考查的是扫雷问题，扫雷实质上还是逻辑推理问题，在推理过程中，可以先把能够确定的地方标出来，然后再确定其它位置。 2．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画“○”，其他画“×”） 【答案】 【分析】首先从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸；然后根据点开的方格中是几，就代表周围的八个方格里有几个笑脸，判断出哪些方格中有笑脸即可。 【详解】右边的第二列、以及第三列和第四列的数字都是1，则可以判断最右边的一列的三个不是笑脸，右边第三列的中间一定是笑脸，则第四列中间的一个不是笑脸，左边第三列的两个也不是笑脸，由左边第三列的2判断出左边第二列的下面两个都是笑脸，由左下角的3可以判断出左第一列的中间是笑脸，有左上角的2可以判断第二列的上面的空不是笑脸。 答案如下图： 【点睛】此题主要考查了逻辑推理问题，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸。 3．乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下： （1）图中共有6个宝物； （2）数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量； （3）数字所在的方格内没有宝物。 请仿照图1，在图2中画出宝物。（宝物用○表示） 图1                                   图2 【答案】见详解 【分析】根据题意，只有6个宝物，尽量找一些重合的地方标记宝物。 ①数字5代表5的周围有5个宝物，3的周围有3个宝物，如下图，则有两个“√”号的可以标记有宝物。 ②分析5和另外一个3，如图，有两个“√”号的可以标记有宝物。 往下类推，找出所有的宝物。 【详解】 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 24 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8月 13 日 2 / 24 目 录 【课内精选一】确定物体的位置。 ........................................................................................ 3 【课内精选二】数对与位置。 ................................................................................................ 5 【课内精选三】描述并绘制路线图。 .................................................................................... 7 【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。 ........................................................................ 9 【奥数拓展二】数对与位置综合应用。 .............................................................................. 11 【奥数拓展三】描述并绘制路线图。 .................................................................................. 14 【奥数拓展四】数列与位置。 .............................................................................................. 17 【奥数拓展五】方格游戏。 .................................................................................................. 20 3 / 24 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元位置与方向（二）·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】确定物体的位置。 看图，填一填。以学校为观测点。 (1)小青家在学校( )方向( )米处。 (2)小华家在学校( )偏( )( )°的方向上。 (3)商店在学校( )方向( )米处。 (4)小红家在学校( )偏( )( )°的方向上。 (5)汽车站在学校( )方向( )米处。 【答案】(1) 正东 1000 (2) 东 北 34 (3) 正北 800 (4) 西 北 34 (5) 正西 600 【分析】确定物体位置的三大要素是：方向、角度、距离，同时根据图上的方向： 上北下南、左西右东，以及角度和距离就可以确定方位； 4 / 24 同时通过对图的观察，图上一格代表实际距离 200米，用图上的的格子数量乘 200即可得到去每个地方的实际距离。 【详解】（1）小青家距离学校有 5格，即：5×200＝1000（米） 小青家在学校正东方向 1000米处。 （2）小华家在学校东偏北 34°的方向上。 90°－34°＝56° 还可以说小华家在学校北偏东 56米。（共两种答案） （3）商店距离 4格学校，即：4×200＝800（米） 商店在学校正北方向 800米处。 （4）小红家在学校西偏北 34°的方向上。 或者：90°－34°＝56°， 还可以说小红家在学校北偏西 56°的方向上。（共两种答案） （5）汽车距离学校有 3个格子，即：3×200＝600（米） 汽车站在学校正西方向 600米处。 【点睛】本题主要考查方向的辨别，明确判定物体位置的三要素是解答本题的关 键。 【专项训练】 量一量，填一填。 (1)野生动物馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是 ( )米。 (2)鸟岛在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是 5 / 24 ( )米。 (3)表演区在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是 ( )米。 (4)海洋馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是 ( )米。 【答案】(1) 东 北 40 100 (2) 北 西 45 200 (3) 西 南 25° 100 (4) 东 南 35 200 【分析】观察图形可知，图上 1格表示 50米，则野生动物馆到售票亭的距离为 2×50＝100米；鸟岛到售票亭的距离为 4×50＝200米；表演区到售票亭的距离为 2×50＝100米；海洋馆到售票亭的距离为 4×50＝200米；再根据“上北下南，左 西右东”及测量出的角度填空即可。 【详解】（1）2×50＝100（米） 野生动物馆在售票亭的东偏北 40°（北偏东 60°）的方向上，距离是 100米。 （2）4×50＝200（米） 鸟岛在售票亭的北偏西 45°（西偏北 45°）的方向上，距离是 200米。 （3）2×50＝100（米） 表演区在售票亭的西偏南 25°（南偏西 75°）的方向上，距离是 100米。 （4）4×50＝200（米） 海洋馆在售票亭的东偏南 35°（南偏东 55°）的方向上，距离是 200米。 【点睛】本题考查方向和位置，明确“上北下南，左西右东”及测量出的角度是解 题的关键。 【课内精选二】数对与位置。 看一看，填一填。 6 / 24 (1)用数对表示体育中心的位置是( )。 (2)以植物园为观测点，学校在植物园的( )面；以图书馆为观测点，剧院 在( )方向上。 【答案】(1)（1，4） (2) 南 南偏东37 【分析】（1）根据利用数对表示物体位置的方法，用数对表示物体的位置时， 列数在前，行数在后； （2）根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，先以学校为观测点，确定 出植物园的位置；再以图书馆为观测点，确定出剧院的位置。 【详解】（1）用数对表示体育中心的位置是（1，4）。 （2）90°－37°＝53° 以植物园为观测点，学校在植物园的南面；以图书馆为观测点，剧院在南偏东 37°（东偏南 53°）方向上。 【专项训练】 7 / 24 (1)小亮的位置用数对表示为( )，数对（y，4）表示的位置可能是( )， 也可能是( )。 (2)小强在小明( )偏( )( )方向上。小明在小亮( ) 偏( )( )方向上。 【答案】(1) （5，2） 小明 小红 (2) 北 东 60° 北 西 45° 【分析】（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。表示列的数在 前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。据此解答。 （2）明确观测点后，根据地图“上北下南，左西右东”的规定，结合夹角进行描 述。 【详解】（1）小亮的位置用数对表示为（5，2）；数对（y，4）表示的位置是 第 y列第 4行，可能是小明，也可能是小红。 （2）小强在小明北偏东 60°方向上。小明在小亮北偏西 45°方向上。 【课内精选三】描述并绘制路线图。 一辆客车从起点站向东偏北 30°方向行驶 6千米，再向正东方向行驶 4千米到达 终点站。 ①根据上面的描述，把客车行驶的路线补充完整。 8 / 24 ②根据路线图，说说客车沿原路返回时所行驶的方向和路程。 【答案】①见详解 ②见详解 【分析】①以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上 1厘米相当于实 际距离 2千米。 在客车行驶到 6千米处的正东方向上画 4÷2＝2厘米长的线段，即是终点站。 ②根据位置的相对性，观测点不同，方向相反，夹角的度数相同；由此写出客车 沿原路返回时所行驶的方向和路程。 【详解】①如图： ②一辆客车从终点站向正西方向行驶 4千米，再向西偏南 30°（或南偏西 60°） 方向行驶 6千米到达起点站。 【专项训练】 操作。 （1）一辆汽车从起点出发，先向( )偏( )( )°方向行驶 ( )千米到达 A站。 （2）到达 A站后，再向正西方向行驶 2千米到达 B站，最后向西偏北 40°方向 行驶 4千米到达终点站。请在图中标出 B站与终点站的位置。 【答案】（1）西；南；30；3 （2）见详解 【分析】以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上 1厘米相当于实际 距离 1千米。 9 / 24 （1）从图中可知，起点站与 A站相距 3厘米，那么实际相距 1×3＝3千米，根 据图上的方向、角度和距离，描述出汽车从起点出发到 A站的路线。 （2）以 A站为观测点，在 A站的正西方向上画 2÷1＝2厘米长的线段，即是 B 站； 再以 B站为观测点，在 B站的西偏北 40°方向上画 4÷1＝4厘米长的线段，即是 终点站； 据此在图中标出 B站与终点站的位置。 【详解】（1）一辆汽车从起点出发，先向西偏南 30°（或南偏西 60°）方向行驶 3千米到达 A站。 （2）如图： 【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。 图中三角形 ABC是等腰三角形。已知∠2＝40°，AC＝BC。点 B在点 C的 ( )方向上，点 A在点 C的东偏北( )°方向上。 【答案】 正西 80 【分析】以点 C为观测点，根据“上北下南，左西右东”描述方向，则点 B在点 C 10 / 24 的正西方向，等腰三角形中两个底角相等，根据三角形的内角和求出∠3的度数， ∠3与∠4的和等于一个平角的度数，∠4＝180°－∠3，求出∠4的度数，即可 求得。 【详解】三角形 ABC中，∠1＝∠2＝40°，且三角形的内角和为 180°。 180°－40°－40° ＝140°－40° ＝100° 180°－100°＝80° 所以，点 B在点 C的正西方向上，点 A在点 C的东偏北 80°方向上。 【点睛】掌握等腰三角形的特征，并根据三角形的内角和与一个平角的度数求出 ∠4的度数是解答题目的关键。 【专项训练】 已知下图中每个方格的边长是 1厘米，三角形 ABC是一个等边三角形，那么， 点 C在点 A的( )偏( ) ( )°方向( )厘米处。 【答案】 北 东 30 4 【分析】观察题意可知，AB长 4厘米，根据等边三角形的特征，可知 AC长也 是 4厘米，∠BAC是 60°；根据平面图上方向的规定：上北下南，左西右东，以 A点为观测点即可确定 C点的方向；据此解答。 【详解】点 C在点 A的东偏北 60°或北偏东 30°方向 4厘米处。 【点睛】此题主要考查依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法，明确等边 三角形的特征是解答本题的关键。 11 / 24 【奥数拓展二】数对与位置综合应用。 看图填空。 （1）如果 A点的位置用数对（1，2）表示，那么 B点的位置可用数对( ) 表示。 （2）如果一个小正方形的对角线长 10米，点 C在点 B的南偏东 45度方向 20 米处，请在图上标出 C点；点 D在 A点的东偏南 45度方向 20米处，请在图上 标出 D点。 （3）连接 ABCD四点，再画出将四边形 ABCD向右平移 3格后的图形。 【答案】（1）（3，6） （2）（3）见详解 【分析】（1）用数对表示位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据 此分析； （2）弄清要标示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画 图；注意各场所离中心点的距离，根据要求的比例画出相应的长度。 （3）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确 定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移 的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。 【详解】（1）如果 A点的位置用数对（1，2）表示，那么 B点的位置可用数对 （3，6）表示。 12 / 24 （2） （3） 【点睛】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第 几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。确定一个图形平移后的位置，除 需要原来的位置外，还需要知道平移的方向、平移的距离。 【专项训练】 曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了 10×10的方格用以研究有关图形的数学 问题，假定一个方格的对角线长代表 10m，所研究的点都是网格的交点。 （1）点（0，0）北偏东 45°方向 30m是点 A，它的位置用数对表示是( )。 （2）点 A北偏西 45方向 20m是点 B，点 B北偏东 45°方向 20m是点 C，点 C 南偏东 45°方向 20m是点 D。用 A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形， 13 / 24 它的面积是多少？ （3）请你设计不同于点 D的另一个点 E使得以 A、B、C、E为端点的线段围成 四边形的面积与第（2）题用 A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积 相等。点 E可以有不同的设计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点 E：( )、( )、( )、( )。 【答案】图见详解； （1）（3，3） （2）1600m² （3）11；（5，2）、（5，3）、（5，6）、（5，8） 【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个 数字表示行数、平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”、方格的对角线长代 表 10m，即可描出点 A，并用数对表示它的位置。 （2）同理，分别以点 A的位置为观测点即可描出点 B的位置、以点 B的位置为 观测点即可描出点 C的位置、以点 C的位置为观测点即可描出点 D的位置，然 后再把 A、B、C、D连结成一个封闭图形。连结成的封闭图形是一个正方形， 其边长是（20×2）米，根据正方形的面积计算公式“S＝a2”即可求出它的面积。 （3）正方形 ABCD看作是由三角形 ABC与三角形 ADC的面积之和，且三角形 ABC与三角形 ADC的面积相等。三角形 ACD看作底为 4格，高为 2格三角形， 当底不变，高是 2格时，其面积也不会变，因此，第 5列上的任一点为 E，与 AC组成的三角形面积都与三角形 ADC的面积相等。这样四边形 ABCE的面积 就与正方形 ABCD的面积相等。这样的点在本图上共有 8个：（5，0）、（5， 2）、（5，3）、5，4）、（5，6）、（5，7）、（5，8）、（5，10）。可以写 出其中四个（答案不唯一）。 【详解】（1）点（0，0）北偏东 45°方向 30m是点 A，它的位置用数对表示是 （3，3） （2）点 A北偏西 45方向 20m是点 B，点 B北偏东 45°方向 20m是点 C，点 C 南偏东 45°方向 20m是点 D。用 A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形， 它的面积是： （20×2）² 14 / 24 ＝40² ＝1600（m²） （3）设计不同于点 D的另一个点 E使得以 A、B、C、E为端点的线段围成四边 形的面积与第（2）题用 A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。 点 E可以有不同的 设计，这样的点共有 8个，写出其中的四个点 E：（5，2）、（5，3）、（5，6）、 （5，8）（答案不唯一）。 【点睛】此题考查的知识有：数对与位置、根据方向和距离确定物体的位置、正 方形面积的计算、三角形面积的计算等。 【奥数拓展三】描述并绘制路线图。 如图是芳芳每天从家到学校的路线图。 （1）根据路线图把表格中的数据补充完整。 路线 方向 路程 时间 家→超市 5分钟 超市→医院 10分钟 医院→学校 9分钟 （2）芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？ 15 / 24 【答案】（1）见详解。 （2）960米；40米 【分析】（1）先以家参照点建立方向标，向东偏北 60°（或北偏东 30°）方向走 200米到超市；再以超市为参照点建立方向标，向东走 400米到医院；最后以医 院为参照点建立方向标，向东偏南 30°（或南偏东 60°）方向走 360米到学校。 （2）把家到超市、超市到医院、医院到学校这三段路程加起来，即 200＋400＋ 360，可求出芳芳每天从家出发到学校走的米数；再用 5＋10＋9求出芳芳从家出 发到学校走的分钟数（24分钟）；最后根据路程÷时间＝速度，用芳芳每天从家 出发到学校走的米数÷从家出发到学校走的分钟数，可求出平均每分钟走的米数。 【详解】（1）如下图： 路线 方向 路程 时间 家→超市 东偏北 60°（或北偏东 30°） 200米 5分钟 超市→医院 东 400米 10分钟 医院→学校 东偏南 30°（或南偏东 60°） 360米 9分钟 （2）200＋400＋360＝960（米） 960÷（5＋10＋9） ＝960÷24 ＝40（米） 答：芳芳每天从家出发到学校走 960米，平均每分钟走 40米。 【专项训练】 小华从家出发，先向东走 200米到达 A地，再向东偏北 45°方向行 500米到达 B 地，最后向西偏北 30°方向行 300米到达终点 C地。 16 / 24 （1）根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。 （2）如果从终点 C原路返回家里用了 12分 30秒，那么他返回时每分钟行多少 米？ 【答案】（1）见详解 （2）80米 【分析】（1）以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上 1厘米相当 于实际距离 100米。 小华从家出发，在家的正东方向画（200÷100）厘米长的线段，即是 A地； 在 A地的东偏北 45°方向上画（500÷100）厘米长的线段，即是 B地； 在 B地的西偏北 30°方向上画（300÷100）厘米长的线段，即是 C地。 （2）已知从终点 C原路返回家里用了 12分 30秒，根据“1分＝60秒”可知，用 时 12.5分； 用加法求出从 C地返回家的总路程，再根据“速度＝路程÷时间”，即可求出他返 回时的速度。 【详解】（1）200÷100＝2（厘米） 500÷100＝5（厘米） 300÷100＝3（厘米） 如图： 17 / 24 （2）12分 30秒＝12.5分 （300＋500＋200）÷12.5 ＝1000÷12.5 ＝80（米） 答：他返回时每分钟行 80米。 【奥数拓展四】数列与位置。 已知数列 1 3， 1 15 ， 1 63…，则第 10个数是( )。 【答案】 1 399 【分析】通过观察可知， 1 3＝ 1 1 3 ， 1 15 ＝ 1 3 5 ， 1 63＝ 1 5 7 …，以此类推，第 n个 数是     1 2 1 2 1－ ＋n n ，据此解答。 【详解】根据分析可知，第 10个数是     1 2 10 1 2 10 1× － × ＋ ＝     1 20 1 20 1－ ＋ ＝ 1 19 21 ＝ 1 399 【专项训练】 1．找规律 4 3 、1、10 11 、 13 15、 16 19 、…，这串数中第 7个数是( )。 18 / 24 【答案】 19 23 【分析】根据 10 11 、 13 15、 16 19 可得相邻两个分数的分子之差为 3，分母之差为 4，又 因为 4 3 和 10 11 的分子之差为 6，分母之差为 8，即两数之间应该是 77 ， 7 7 ＝1。所以 这串数中第 7个数应该是 16 19 的分子加上 3，分母加上 4之后所得的数。 【详解】16＋3＝19 19＋4＝23 所以这串数中第 7个数是 1923。 2．一列分数： 1 2、 1 3、 2 3 、 1 4、 2 4、 3 4 、 1 5…，按规律， 7 8 是这列分数中的第( ) 个。 【答案】28 【分析】观察数列可知，分母是 2的分数有 1个，分母是 3的分数有 2个，分母 是 4的分数有 3个，发现分母是 n的分数有（n－1）个，分子从 1到 n－1依次 排列，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 分母是 2的分数有 1个，分母是 3的分数有 2个，分母是 4的分数有 3个，分母 是 5的分数有 4个，分母是 6的分数有 5个，分母是 7的分数有 6个，分母是 8 的分数有 7个； 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 ＝（1＋2＋7）＋（4＋6）＋（3＋5） ＝10＋10＋8 ＝20＋8 ＝28 则按规律， 7 8 是这列分数中的第 28个。 【点睛】本题考查数列的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 3．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据 9 16 25 365 12 21 32 、 、 、 ，……中得到巴尔末公式， 从而打开了光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第 5个数是( )，第 8个 数是( )。 19 / 24 【答案】 49 45 100 96 【分析】根据题意可知，分子的规律依次是 32、42、52、62⋯ ⋯ 分母的规律是： 1×5、2×6、3×7、4×8⋯ ⋯ ；通过上述分子和分母的规律，可知，第几个数，分 子就是这个数加 2的平方，即（n＋2）2，分母可以写成两个数相乘，后面的数 比前面的数多 4，则第几个数，它的分母就是 n（n＋4），由此即可解答。 【详解】当 n＝5时， （n＋2）2 ＝（5＋2）2 ＝72 ＝49 n（n＋4） ＝5×（5＋4） ＝5×9 ＝45 即第 5个数是 4945； 当 n＝8时， （n＋2）2 ＝（8＋2）2 ＝102 ＝100 n（n＋4） ＝8×（8＋4） ＝8×12 ＝96 即第 8个数是10096 。 【点睛】本题主要考查分数的变化规律，仔细的找到分子和分母的变化规律是解 答的关键。 20 / 24 【奥数拓展五】方格游戏。 “扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下： ①图中阴影部分是雷区，共有 10个雷； ②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。 例如：左图中标有“★”的方格周围有 8个方格（标数的方格）。 请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标○，不是雷的标×） 【答案】见详解 【分析】根据题目规则，数字 5周围的阴影部分都是雷，据此第四行的数字 2 周围已经有 2个雷，所以这个数字 2周围其他阴影部分都不是雷；第四行的数字 3也已经有 3个雷，所以这个数字 3周围其他阴影部分都不是雷；第四行的数字 3右边的数字 1已经有 1个雷，所以这个数字 1周围其他阴影部分都不是雷；数 字 4已经有 1个阴影部分不是雷，有 3个是雷，说明还有 1个是雷；第二行的数 字 3已经有 3个雷，则这个数字 3周围其他阴影部分不是雷；第六行第一个数字 1，周围已经有 2个不是雷，说明剩余 1个阴影部分是雷；第七行第一个数字 2， 周围有 2个雷；第七行第二个数字 2已经有 2个雷，说明剩余 1个阴影部分不是 雷；第六行第三个数字 1有 1个雷；第六行第二个数字 1已经有 1个雷，说明这 个数字 1周围其他阴影部分都不是雷；第五行第二个数字 2已经有 1个雷，2个 不是雷，说明剩余 1个是雷；第四行第二个数字 2已经有 2个雷，说明这个数字 21 / 24 2周围其他地方都不是雷；据此作图。 【详解】如图所示： 【点睛】本题从数字一个个分析，能确定的地方先做好标记，是雷的标○，不是 雷的标×，然后不能确定的地方根据做的标记进行分析即可。 【专项训练】 1．如图，每个小方块周围最多有 8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明 的雷区，其中每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小 方块周围的雷数。图中共有( )个雷。 【答案】16 【解析】如图，用小红旗表示不是雷，依次进行分析，可以得到所有不是雷的方 格，剩下的方格中都是雷，总共 16个。 【详解】如图所示： 22 / 24 图中共有 16个雷。 【点睛】本题考查的是扫雷问题，扫雷实质上还是逻辑推理问题，在推理过程中， 可以先把能够确定的地方标出来，然后再确定其它位置。 2．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格 里共有几张笑脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画“○”，其他画“×”） 【答案】 【分析】首先从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸；然后 根据点开的方格中是几，就代表周围的八个方格里有几个笑脸，判断出哪些方格 中有笑脸即可。 【详解】右边的第二列、以及第三列和第四列的数字都是 1，则可以判断最右边 的一列的三个不是笑脸，右边第三列的中间一定是笑脸，则第四列中间的一个不 是笑脸，左边第三列的两个也不是笑脸，由左边第三列的 2判断出左边第二列的 下面两个都是笑脸，由左下角的 3可以判断出左第一列的中间是笑脸，有左上角 的 2可以判断第二列的上面的空不是笑脸。 答案如下图： 23 / 24 【点睛】此题主要考查了逻辑推理问题，考查了分析推理能力的应用，解答此题 的关键是从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸。 3．乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下： （1）图中共有 6个宝物； （2）数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量； （3）数字所在的方格内没有宝物。 请仿照图 1，在图 2中画出宝物。（宝物用○表示） 图 1 图 2 【答案】见详解 【分析】根据题意，只有 6个宝物，尽量找一些重合的地方标记宝物。 ①数字 5代表 5的周围有 5个宝物，3的周围有 3个宝物，如下图，则有两个“√” 号的可以标记有宝物。 ②分析 5和另外一个 3，如图，有两个“√”号的可以标记有宝物。 24 / 24 往下类推，找出所有的宝物。 【详解】