2.1 锐角三角比（同步课件）-2024-2025学年九年级数学上册教材配套教学课件+同步练习（青岛版）

§2.1 锐角三角比 9上数学青岛版--第2章 解直角三角形 学习目标 1. 通过观察、探究、交流、猜想等数学活动，探索锐角三角比的概念。 2. 能叙述锐角三角比的概念，记住三角比的符号，掌握锐角三角比的表示方法。 3. 通过例题学习，会求直角三角形中指定锐角的三角比。 直角三角形的性质： 1、一般三角形的关系 2、两锐角的关系： 直角三角的两锐角互余。 3、边的关系： （1）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 一、课堂导入 根据现有知识，会解下列各题吗？ （1）已知：在直角三角形中，AC=4,BC=3, 求∠A. （2）已知：在直角三角形中，AC=4, ∠A=25°, 求：BC. 显然，不能。怎么办呢？ A C B ┏ A B C B1 C1 在Rt△ABC中，点B1在斜边AB上，过点B1 作B1C1⊥AC与C1。 求证：（1）△ABC∽△AB1C1 二、探究新知 证明：∵B1C1⊥AC ∴∠ACB=∠AC1B1=90° ∵∠A=∠A ∴Rt△ABC∽ Rt△AB1C1 结论： 只要锐角A的度数一定，∠A无论在哪一个直角三角形中，它的对边与斜边的比值就是定值。 易证：Rt△ABC∽ Rt△AB2C2 所以，得 在Rt△ABC中，在斜边AB上，再另取一点B2、 并作B2C2⊥AC，问： 成立吗？ A B C B1 C1 B2 C2 结论： 只要锐角A的度数一定，∠A无论在哪一个直角三角形中，它的对边与斜边的比值就是定值。 A B C B′ C′ B″ C″ 思考：如图，以点A为端点，在锐角A的内部作一条射线，在这条射线上取点B″，使AB ″= AB′，这样又得到了一个锐角∠CAB″． 过B ″作 B″C″⊥AC，垂足为C ″， 与 的值相等吗？为什么？ 结论： 只要锐角A的度数一定，∠A无论在哪一个直角三角形中，它的对边与斜边的比值就是定值。 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA 即， 例如，当∠A＝30°时，我们有 当∠A＝45°时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 正 弦 8 在Rt△ABC中， A B C B1 C1 易证：Rt△ABC∽ Rt△AB1C1 结论： 只要锐角A的度数一定，∠A无论在哪一个直角三角形中，它的对边与邻边的比值就是定值。 1、正弦：在直角三角形中，锐角A的对 边与斜边的比叫做∠A的正弦； sinA = ∠A的对边 斜边 记作sinA，即 A C B ┏ 2、余弦：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜 边的比叫做∠A的余弦； cosA = ∠A的邻边 斜边 记作cosA，即 3、正切：在直角三角形中，锐角A的对边与邻 边的比叫做∠A的正切。 记作tanA，即 tanA = ∠A的对边 ∠A的邻边 锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比． 1．sinA,cosA,tanA分别是一个完整的记号． 记号里习惯省去角的符号“∠”，不能理解 成 sin·A,cos·A,tan·A． 3．锐角三角比是两边的比值，没有单位。 4.sinA, cosA, tanA是一个比值. 均大于0,无单位. 2．多个字母表示角时，“∠”不能省略， 如：sin∠BAC． 锐角三角比在书写时应注意的问题： 5. sin2A 表示(sinA)2， cos2A 表示(cosA)2， tan2A 表示(tanA)2. A B C 例1 如图，你能用a、b、c表示∠A的正弦、余弦和正切吗？ c a b sinA= c a cosA= c b tanA= b a 例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2. 求∠A的正弦、余弦、正切的值． 解：在Rt△ABC中，∠C=90°． ∵AC=4，BC=2， 由勾股定理，得 B A C 4 2 结论:梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关: sin A越大,梯子越陡;cos A越小,梯子越陡. 如图,梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关吗? A C2 C1 B2 B1 三、课堂练习 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若将各边 长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正 切值 （ ） A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的4倍 D.不变 D 2.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是﹙ ﹚ A． B． C． D． C A O B 3、在正方形网格中，sin∠AOB=_____ C 4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,如果AC=4,cos B=,那么BC等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 A 5.[模拟· 聊城]在Rt△ ABC 中，∠ABC=90° . 若AC=100，sinA= ，则AB的长是( ) A. B. C. 60 D. 80 D 6.(教材P41 习题T5 变式)在Rt △ ABC中，∠ C=90°，tanA=，AC=6, 则AB 的长为( ) A. 6 B. C. 10 D. 8 C 7.在Rt △ ABC中， ∠ C=90°，AC= ，BC=4， 求∠ A，∠ B 的锐角三角比. 1、正弦：在直角三角形中，锐角A的对 边与斜边的比叫做∠A的正弦； sinA = ∠A的对边 斜边 记作sinA，即 A C B ┏ 2、余弦：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜 边的比叫做∠A的余弦； cosA = ∠A的邻边 斜边 记作cosA，即 3、正切：在直角三角形中，锐角A的对边与邻 边的比叫做∠A的正切。 记作tanA，即 tanA = ∠A的对边 ∠A的邻边 锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比或锐角A的三角函数． 四、知识总结 五、课后作业 1、课本40练习1,2 2、习题2.1,T1-6 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,求sin A·cos A的值. 【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5, 由勾股定理得,BC===4,所以sin A==,cos A==, 所以sin A·cos A=×=. 再见 解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝，BC＝4， ∴ AB＝＝3.∴sinA＝＝＝， cosA＝＝＝，tanA＝＝＝2； sinB＝＝＝，cosB＝＝＝， tanB＝＝. $$