24.1 圆的有关性质 练习2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.1 圆的有关性质 练习 一、选择题 1．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的 弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（　　） A． B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90° 3．如图，△ABC内接于⊙O，DE，FG是⊙O的弦，AB＝DE，FG＝AC．下列结论：①DE+FG＝BC；②+＝；③∠DOE+∠FOG＝∠BOC；④∠DEO+∠FGO＝∠BAC．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．②③ C．②④ D．②③④ 4．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，AB是半圆O的直径，点D是弧AC的中点，若∠BAC＝44°，则∠DAC等于（　　） A．22° B．44° C．23° D．46° 6．如图，点是上一点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，点B，C，D在上，，点A是的中点，则的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 8．下列说法中，正确的是（　　） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 9．如图，OA，OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，若AB∥OC，∠BCO=21°，则∠AOC的度数是（　　） A．42° B．21° C．84° D．60° 10．如图，AB是 的直径，弦 ， ， ，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=6，则BE=　 　. 12．如图，在中，是直径，，＝，，那么的长等于　 　. 13．如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧的中点，则△APB的面积为 　 　． 14．如图，AB是半圆O的直径，∠ABC＝40°，则∠D＝　 　. 15．⊙O外一点P到⊙O上的点的最大距离是12，最小距离是2，求此圆的半径是　 　 三、解答题 16．如图，线段过圆心O，交于B，C两点，线段交于D，E两点，且，，求的度数． 17．如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，求弦BD的长 18．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F． （1） 求证：CF=BF． （2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长． 19．如图，四边形内接于的延长线交于点是的延长线上任意一点，平分． 求证： （1）； （2）． 20． 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，点P是的中点，过点P作PD⊥AB，交AB延长线于点D，连接BP． （1）求证：∠CBP＝∠PBD； （2）过P作PG⊥BC交BC于G点，若AB＝6，BD＝4，求BC的长． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】 连接OC， ∵⊙O的直径AB=12， ∴OB= AB=6， ∴OC=6， ∵BP：AP=1：5， ∴BP= AB= ×12=2， ∴OP=OB−BP=6−2=4， ∵CD⊥AB， ∴CD=2PC， 在Rt△OPC中， ∵OC=6，OP=4， ∴PC= = =2 ， ∴CD=2PC=4 . 故答案选A. 【分析】由垂径定理可知CD=2CP，再利用比例求出OP的长，最后利用勾股定理可求CP的长度。 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F， ∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点， A、 ，正确，故本选项不符合题意； B、AF=BF，正确，故本选项不符合题意； C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意； D、∠DBC=90°，正确，故本选项不符合题意. 故答案为：C． 【分析】DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，根据垂径定理可得点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，再对所有选项逐一判断即可。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵AB+AC＞BC，AB＝DE，FG＝AC， ∴DE+FG＞BC． ∴①错误； ∵AB＝DE，FG＝AC， ∴，． ∴， ∴． ∴②正确； 连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，如图， ∵AB＝DE，FG＝AC， ∴∠AOB＝∠DOE，∠AOC＝∠FOG． ∴∠AOB+∠AOC＝∠DOE+∠FOG． 即∠DOE+∠FOG＝∠BOC． ∴③正确； ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝＝90°﹣∠AOB． 同理可得： ∠OAC＝90°﹣∠AOC， ∠DEO＝90°﹣∠DOE， ∠FGO＝90°﹣∠FOG． ∴∠OAB+∠OAC＝180°﹣（∠AOB+∠AOC）＝180°﹣∠BOC， ∠DEO+∠FGO＝180°﹣（∠DOE+∠FOG）． 由③知：∠DOE+∠FOG＝∠BOC， ∴∠OAB+∠OAC＝∠DEO+∠FGO． 即：∠DEO+∠FGO＝∠BAC． ∴④正确； ∴正确的序号为：②③④. 故答案为：D. 【分析】由三角形的三边关系可得AB+AC＞BC，由已知条件可知AB＝DE，FG＝AC，则DE+FG＞BC，据此判断①；根据弦、弧的关系可判断②；连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，由圆周角定理可得∠AOB＝∠DOE，∠AOC＝∠FOG，两式相加可判断③；根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠OAB＝∠OBA＝90°﹣∠AOB，∠OAC＝90°﹣∠AOC，∠DEO＝90°﹣∠DOE，∠FGO＝90°﹣∠FOG，则∠OAB+∠OAC＝180°﹣∠BOC，∠DEO+∠FGO＝180°﹣(∠DOE+∠FOG)，由③知∠DOE+∠FOG＝∠BOC，进而判断④. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接OC、OD. ∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD=DA=4， ∴弧AD=弧CD=弧BC， ∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°. 又OA=OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴OA=AD=4， ∴⊙O的周长=2×4π=8π. 故答案为：C. 【分析】连接OC、OD，由题意可得弧AD=弧CD=弧BC，根据弧、圆心角的关系可得∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，推出△AOD是等边三角形，得到OA=AD=4，然后根据圆的周长公式进行计算. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝44°， ∴∠B＝90°-∠BAC＝46°， ∵四边形ABCD是半⊙O的内接四边形， ∴∠D＝180°-∠B＝134°， ∵点D是弧AC的中点， ∴ ＝ ， ∴AD＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA＝ （180°-∠D）＝23°， 故答案为：C. 【分析】由圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠B＝90°-∠BAC＝46°，由圆内接四边形的性质可得∠D=180°-∠B＝134°，由中点的概念以及弧、弦的关系可得AD＝DC，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可得： 取优弧上一点C，连接AC，BC 则 ∴ 故答案为：B 【分析】取优弧上一点C，连接AC，BC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠ACB，再根据圆内接四边形对角互补即可求出答案. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴的度数为， ∵点A是的中点， ∴的度数为， ∴， 故答案为：A 【分析】先根据弧，弦，角之间的关系并结合题意可得的度数，再根据圆周角定理，即可求出的度数。 8．【答案】B 【解析】【解答】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故此选项错误，不符合题意； B、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故此选项正确，符合题意； C、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此选项错误，不符合题意； D、平分弧的弦不一定经过圆心，故此选项错误，不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据圆心相同，半径不相等的圆同心圆，可对A作出判断；利用等圆的定义，可对B作出判断；再根据在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，可对C作出判断；利用垂径定理的推论，可对D作出判断. 9．【答案】A 【解析】【解答】详解：∵AB∥OC， ∴∠ABC＝∠BCO＝21°， ∵∠ABC与∠AOC是同弧所对的圆周角与圆心角， ∴∠AOC＝2∠ABC＝42°． 故答案为：A 【分析】根据二直线平行内错角相等得出∠ABC＝∠BCO＝21°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠AOC＝2∠ABC＝42°． 10．【答案】D 【解析】【解答】解： ， ， 又 弦 ， ， ， ， 故答案为：D 【分析】设AB交CD于E，由垂径定理可得CE=DE=CD，由圆周角定理可得∠COB=2∠CDB，解直角三角形COE可求得OC的长，根据圆的轴对称性可得阴影部分的面积=扇形COB的面积=即可求解。 11．【答案】1 【解析】【解答】连接OC，如图， ∵弦CD⊥AB， 在Rt△OCE中，∵OC=5，CE=3， 故答案为：1. 【分析】根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，可得CE=DE，在Rt△OCE中用勾股定理求解。 12．【答案】 【解析】【解答】解：如图所示，设AB、CD交于点E， ∵是直径，，＝， ∴∠A=30°，CD=2DE， ∴∠DOE=60°， Rt△DOE中，OD=2，∠DOE=60°， ∴DE=ODsin60°=2×=， ∴DC=2DF=2， 故答案为：2. 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠A=30°，由圆周角定理的推论确定∠DOE=60°，解直角三角形DOE求出DE，根据垂径定理得DC=2DE即可. 13．【答案】 【解析】【解答】解：过B作BD⊥AP于点D. 如图： ∵点P是优弧的中点， ∴， ∴AP=BP. ∵∠AOB=90°=2∠APB， ∴∠APB=45°. ∴△DBP是等腰直角三角形， 设DB=x=DP， 则. ∴. 在Rt△ADB中，，， ∴ 解得： ∴ 故答案为：. 【分析】过B作BD⊥AP于点D. 根据圆周角定理得∠APB=45°，于是△DBP是等腰直角三角形，设出BD长，可表示出PD长，利用勾股定理可求得PB，PA，AD长，在Rt△ADB中利用勾股定理可得关于x的方程，求解之后即可计算△APB的面积 . 14．【答案】130° 【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=40°， ∴∠CAB=90°-∠ABC=50°， ∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形， ∴∠CAB+∠D=180°， ∴∠D=180°-∠CAB=180°-50°=130°. 故答案为：130°. 【分析】由圆周角定理可得∠ACB=90°，由余角的性质可得∠CAB=90°-∠ABC=50°，根据圆内接四边形的性质可得∠CAB+∠D=180°，据此计算. 15．【答案】5 【解析】【解答】解：如图： ∴ ∴圆的半径是： 故答案为：5. 【分析】由题意知根据线段间的数量关系得到：，据此即可求解. 16．【答案】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】从已知条件入手，AD=OB，AD与半径相等，认识到这一点容易想到圆上的半径都相等，图中AD与OB的位置关系非常别扭，即不相连也不相交，故连接OD，AD=OD，两次应用等边对等角和外角定理，则未知角可求。 17．【答案】解：如图，作CE⊥AB于E． ∵∠B=180°-∠A-∠ACB =180°-20°-130° =30°， 在Rt△BCE中， ∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2， ∴CE= BC=1，BE= CE= ， ∵CE⊥BD， ∴DE=EB， ∴BD=2EB=2 . 【解析】【分析】本道题的关键点在过点C作AB的垂线，接下来再利用垂径定理就可以了。 18．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠A=90°-∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠ECB=90°-∠ABC， ∴∠ECB=∠A． 又∵C是的中点， ∴， ∴∠DBC=∠A， ∴∠ECB=∠DBC， ∴CF= BF； （2）解：∵， ∴BC=CD=6． 在Rt△ABC中，AB= =10， ∴⊙O的半径为5； ∵S△ABC= AB×CE= BC×AC， ∴CE= . 【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，得∠ACB=90°，再利用同角的余角相等证∠ECB=∠A，然后根据同弧所对的圆周角相等得∠DBC=∠A，从而可得∠ECB=∠DBC，进而根据等角对等边求解； （2）根据相等的弧所对的弦相等得BD=CD=6，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，进而得到圆的半径，结合三角形的面积公式，由等面积法即可求解. 19．【答案】（1）证明： 四边形内接于， ． 由圆周角定理，得． 又， ． 平分， ， ， ， ． （2）证明：， ． 又， ． ， ． 【解析】【分析】(1)由圆内接四边形的性质可得∠CDE=∠ABC.由圆周角的定理及对顶角的定义可得∠ACB=∠ADB=∠FDE.根据题可得出∠ABC=∠ACB，所以AB=AC. （2）由（1）结论，三角形外角定理，可得，由圆周角定理可得．.进而得出. 20．【答案】（1）证明：如图，连接PC， ∵点P是的中点， ∴∠ACP＝∠PBC（等弧所对的圆周角相等）， ∵四边形ABPC是圆内接四边形， ∴∠DBP＝∠ACP， ∴∠CBP＝∠PBD； （2）解：连接AP， 在△PDB和△PGB中， ， ∴△PDB≌△PGB（AAS）， ∴BD＝BG＝4，PD＝PG， ∵点P是的中点， ∴PC＝PA， 在Rt△PCG和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PCG≌Rt△PAD（HL）， ∴CG＝AD＝AB+BD＝6+4＝10， ∴BC＝BG+CG＝4+10＝14． 【解析】【分析】（1）连接PC，根据等弧对等角得∠ACP＝∠PBC，根据圆内接四边形性质可得∠DBP＝∠ACP，等量代换即可求得； （2）连接AP，依据AAS判定△PDB≌△PGB，依据HL判定Rt△PCG≌Rt△PAD，可得BC=BG+CG=AB+2BD. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$